2 等差数列 2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和公式-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

参考答案 2.2 等差数列的前n项和 a十ag S.7×921 第1课时 等差数列的前n项和公式 (3)[解析] 课前预习学案 2 [答案]21 知识梳理 [思考] 母体变式 3(a+a) -3a-21. [提示]S一 9a一 2 预习自测 1 1.(1)X(2)X(3)(4) 2.A [由a-18-a,可得a+a-18,所以S= [答案] 1 8(a.十as) )-4(a:+a)-4×18-72.] 2 变式训练 19(a+a)19×2a10-190. 2.(1)A [设a}的公差为d,则a+a+a-+as=Ss-S 3.解析:S。 2 。 -12.(as+a+ay+as)-S.-16d,解得d-1 4,a11+a12 答案:190 +a+a=a:+l0d+a+l0d+a+lod+a +10d= 4.解:设等差数列a。的公差为d,由已知得a十5d-10. S.+40d-18.] 2 (2)解析:因为a。=2n十1,所以a-3,所以S.= 2 课堂互动学案 为1,首项为3的等差数列,所以前10项和为3×10+ 10×9x1-75. [例1][解](1)由题意得,$,”“(a+a)”() 2 2 答案:75 当堂达标 --5,解得n-15. 3-.-15.d一 又a5二 2.AC [S-72.a-10. 8(a:+as)8(4+as) ..a.-4+(n-1)×1 la+6d-10 -172,解得a8= (2)由已知得S一 1-1 2 2 39.又.a=4+(8-1)d-39..d-5..a-39,d-5. 2 变式训练 3.解析:由2S -3S +6可得2(a +a+a)-3(a+a) (S.-5a54-5. 十6,化简得2a-a+a+6,即2(a.+2d)-2a:+d+6 * 1.解:(1) “解得a二-5,d-3. 解得d-2. a-a+5d-10. 答案:2 '.-a+2d-10+2x3-16. 4.[解]:S.-(-1).(-)--15.,整理得 2 2-7n-60-0,解得n-12或”--5(含去),a12-2 17X(a+at)_ 17×(a+a5) (2)S7= -17X40 2 (12-1)×(-)--4. -340. [例2](1)[解析] 利用等差数列的性质:S.,S2n-S. 第2课时 等差数列前n项和的应用 S.一S.成等差数列. 课堂互动学案 所以S.+(S-S)-2(S-S.),即30十(S.-100) [例1] [解] 从第一辆车投入工作算起,各车工作时间 -2(100-30). (单位:小时)依次设为a.a,....a25.由题意可知,此数列 解得S.-210. 答案:C 的工作量为:a+a+...+a2-25x24+25x12x (2)[解析] 因为等差数列共有2n十1项,所以S一Sa (-)-500. $1即132-120-132+120.解得-10. -+1-2n十1' 21 而需要完成的工作量为24×20-480. [答案]10 .500480..'.在24小时内能构筑成第二道防线. .81·２􀆰２　等差数列的前n项和 第１课时　等差数列的前n项和公式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．探索并掌握等差数列前n项和公式． ２．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． １．经过等差数列前n项和公式的推导,提升数学抽 象和逻辑推理的核心素养． ２．通过等差数列前n项和公式的运用,达成逻辑推 理和数学运算的核心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　 　 高 斯 (Gauss,１７７７－ １８５５),德国数学家,近代数学 的奠基者之一．他在天文学、 大地测量学、磁学、光学等领 域都做出过杰出贡献． ２００多年前,高斯的算术老师 提出了下面的问题: １＋２＋３＋􀆺＋１００＝? 　　你准备怎么算呢? 提示:高斯的算法:(１＋１００)＋(２＋９９)＋􀆺＋(５０＋ ５１)＝１０１×５０＝５０５０． [知识梳理] [知识点一]　等差数列的前n项和公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ n(a１＋an) ２ Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　等差数列{an}中,若已知a２＝７,能求出前 ３项和S３ 吗? [知识点二]　等差数列的前n项和公式与二次函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的关系 􀪋􀪋􀪋 将等差数列前n项和公式Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d 整理成关于n 的函数可得Sn＝ d ２n ２＋(a１－ d ２ )n． [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项 和公式求和． (　　) (２)数列{n２}可以用等差数列的前n项和公式求其 前n 项和． (　　) (３)等差数列的前n项和,等于其首项、第n项的等 差中项的n 倍． (　　) (４)若数列{an}的前n项和为Sn＝n２＋２n＋１,则数 列{an}一定不是等差数列． (　　) ２．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a４＝１８－ a５,则S８ 等于 (　　) A．７２　　　　　　　B．５４ C．３６ D．１８ ３．在一个等差数列中,已知a１０＝１０,则S１９＝　　　　． ４．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a６＝１０,S５＝ ５,求S８． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　等差数列前n项和的有关计算 [例１]　在等差数列{an}中, (１)已知a１＝ ５ ６ ,an＝－ ３ ２ ,Sn＝－５,求n和d; (２)已知a１＝４,S８＝１７２,求a８ 和d． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　a１,d,n称为等差数列的三个基本量,an 和 Sn 都可以用这三个基本量来表示,五个量a１,d, n,an,Sn 中可知三求二,一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解,在求解过程中要注 意整体思想的运用． 􀳀[变式训练] １．在等差数列{an}中, (１)已知a６＝１０,S５＝５,求a８ 和S１０; (２)已知a３＋a１５＝４０,求S１７． 　　　等差数列前n项和有关的性质问题 [例２]　(１)等差数列前n项的和为３０,前２n项的和 为１００,则它的前３n项的和为 (　　) A．１３０　　　　　　　B．１７０ C．２１０ D．２６０ (２)等差数列{an}共有２n＋１项,所有的奇数项之和为 １３２,所有的偶数项之和为１２０,则n等于　　　　． (３)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn 和Tn, 已知 Sn Tn ＝ ７nn＋３ ,则a５ b５ ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 第一章　数　列 [母体变式] 将本例(３)条件变为:an∶bn＝(２n＋１)∶(３n－２), 则 S９ T９ ＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．等差数列前n项和的有关性质 (１)若数列{an}是公差为d 的等差数列,则数列 Sn n{ }也是等差数列,且公差为 d ２． (２)若Sm,S２m,S３m 分别为{an}的前 m 项,前２m 项,前３m 项的和,则Sm,S２m－Sm,S３m－S２m也 成等差数列,公差为m２d． (３)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为 Sn,Tn,则 an bn ＝ S２n－１ T２n－１ ． (４)若 等 差 数 列 的 项 数 为２n,则 S２n ＝n(an ＋ an＋１),S偶 －S奇 ＝nd, S偶 S奇 ＝ an＋１ an ． (５)若等差数列的项数为２n＋１,则S２n＋１＝(２n＋ １)an＋１,S偶 －S奇 ＝－an＋１, S偶 S奇 ＝ n n＋１． ２．等差数列前n项和运算的几种思维方法 (１)整体思路:利用公式Sn＝ n(a１＋an) ２ ,设法求 出整体a１＋an,再代入求解． (２)待定系数法:利用Sn 是关于n 的二次函数,设 Sn＝An２＋Bn(A≠０),列出方程组求出A,B 即可,或利用Sn n 是关于n 的一次函数,设 Sn n ＝ an＋b(a≠０)进行计算． (３)利用Sn,S２n－Sn,S３n－S２n成等差数列进行求解． 􀳀[变式训练] ２．(１)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S４＝８,S８ ＝２０,则a１１＋a１２＋a１３＋a１４＝ (　　) A．１８ B．１７ C．１６ D．１５ (２)等差数列{an}的通项公式是an＝２n＋１,其前n 项和为Sn,则数列 Sn n{ }的前１０项和为　　　　． [当堂达标] １．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若２a６＝a８＋ ６,则S７ 等于 (　　) A．４９ B．４２ C．３５ D．２８ ２．(多选)记Sn 为等差数列{an}的前n项和,已知S９ ＝７２,a７＝１０,则 (　　) A．an＝n＋３ B．an＝２n－４ C．Sn＝ １ ２n ２＋７２n D．Sn＝n ２－n ３．(２０２２􀅰全国乙卷)记Sn 为等差数列{an}的前n项 和．若２S３＝３S２＋６,则公差d＝　　　　． ４．已知等差数列{an}中,a１＝ ３ ２ ,d＝－１２ ,Sn＝－１５, 求n及a１２． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册