7.3 三角函数的性质与图像 7.3.2 正弦型函数的性质与图像 第2课时正弦型函数的性质与图像(二)-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

向左平移 π １２ 个单位长度 →y＝sin２x＋π４＋ π １２( ) ＝sin２x＋π３( )＝sin ２x＋ ２π ３( )．] [例４]　[解]　令X＝２x＋π４ ,则x＝１２ X－ π ４( )． 列表: X ０ π２ π ３π ２ ２π x －π８ π ８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ y ０ ２．５ ０ －２．５ ０ 描点连线,如图所示． 变式训练 ４．解:列表: ２x－π６ － π ６ ０ π ２ π ３π ２ １１π ６ x ０ π１２ π ３ ７π １２ ５π ６ π f(x) －１ ０ ２ ０ －２ －１ 描点连线得: 随堂步步夯实 １．B　 [原 函 数 图 像 向 左 平 移 π４ 个 单 位 后 得 y ＝ sin(x＋π６＋ π ４ )＝sin(x＋５π１２ )(x∈R)的图像,再把图像 上各点的横坐标扩大到原来的２倍得y＝sin(１２x＋ ５π １２ ) (x∈R)的图像．] ２．D　[由f(x)＝sin(π２＋２x )的图像向左平移π ３ 个单位得 到的是g(x)＝sin２ π２＋２ (x＋π３ )[ ] ＝sin(２x＋７π６)的图 像,则g(π６ )＝sin(２×π６＋ ７π ６ )＝sin３π２＝－１． ] ３．C　[将y＝２sinx的图像向左平移π６ 个单位长度,可以得 到y＝２sin(x＋π６ )的图像;再将所得图像上所有点的横 坐标伸长到原来的３倍(纵坐标不变)可以得到y＝２sin (１ ３x＋ π ６ )的图像,故选C．] ４．解析:将函数f(x)＝sin(ωx＋π６ )(ω＞０,x∈R)的图像向 右平移π ３ 个单位长度后,可得y＝sin(ωx－πω３＋ π ６ )的图 像．根据所得的图像与原函数图像重合,所以πω３＝２kπ ,k ∈Z,即ω＝６k,k∈Z,又０＜ω＜７,则ω＝６． 答案:６ ５．解析:第一步:列表． x π８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ ９π ８ ２x－π４ ０ π ２ π ３π ２ ２π sin ２x－π４( ) ０ １ ０ －１ ０ y ０ ２ ０ － ２ ０ 第二步:描点． 第三步:连线画出图像如图所示: 第２课时　正弦型函数的性质与图像(二) 课前预习学案 情境引入 (１)提示:因为y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数,所以f(０)＝０,因 此sinφ＝０,所以φ＝kπ,k∈Z． (２)提示:因为y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数,所以f(０)＝A 或 f(０)＝－A,即Asinφ＝A 或Asinφ＝－A,所以有φ＝kπ＋ π ２ ,k∈Z． 知识梳理 知识点一、１．|A|　２．φ　３．T＝ ２π |ω|　４． １ T　 |ω| ２π [思考] 　提示:对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言,A 与ω 的正负 影响单调性,如果ω＜０,可以利用诱导公式sin(－α)＝－ sinα将负号转化到函数符号外,再求相应单调区间． 预习自测 １．A　[当x＝０时,y＝sin －π３( )＝－ ３ ２＜０ ,排除B、D;当 x＝ π６ 时,y＝sin(２× π６ － π ３ )＝sin０＝０,排 除 C,故 选 A．] ２．A　[由T＝２πω＝π ,解得ω＝２,则f(x)＝sin(２x＋π３ )．该 函数图像关于点(π ３ ,０)对称．] ３．解析:对于函数y＝２sin(２x－π６ ), 令２x－π６＝kπ＋ π ２ (k∈Z)时,x＝kπ２＋ π ３ (k∈Z)． 答案:x＝kπ２＋ π ３ (k∈Z) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１０１􀅰 参考答案 课堂互动学案 [例１]　[解]　方法一:由图像可知A＝３, T＝４３ ４π－ π ４( )＝５π,∴ω＝ ２π T＝ ２π ５π＝ ２ ５ ,此时f(x)＝ ３sin ２５x＋φ( )．由于图像过点 π ４ ,０( ),得sin π１０＋φ( ) ＝０, ∴π１０＋φ＝kπ ,k∈Z,φ＝kπ－ π １０ ,k∈Z． ∵|φ|＜ π ２ ,∴φ＝－ π １０． ∴f(x)＝３sin ２５x－ π １０( )． 方法二:同方法一,求出f(x)＝３sin ２５x＋φ( )． ∵ π４ ,０( ) 对应了五点法作图的第一个点, ∴２５× π ４＋φ＝０ , ∴φ＝－ π １０． ∴f(x)＝３sin ２５x－ π １０( )． 变式训练 １．解:方法一:由图像知A＝２,T＝７π８－ － π ８( )＝π． ∴ω＝２πT＝２． 又过点 －π８ ,０( ),令－π８×２＋φ＝０． 得φ＝ π ４ ,∴y＝２sin ２x＋π４( )． 方法二:由图像知A＝２,且图像过点 ３π８ ,０( ), ７π ８ ,０( )． 根据五点法作图原理, 有 ３π ８ω＋φ＝π ７π ８ω＋φ＝２π ì î í ïï ï ,解得 ω＝２ φ＝ π ４{ , ∴y＝２sin ２x＋π４( )． [例２]　[解析]　(１)因为y＝sin(２x＋φ)(０≤φ≤π)是 R 上的偶 函 数,所 以 f(－x)＝f(x),所 以 f(π４ )＝ f(－π４ ),代入整理得cosφ＝０,所以φ＝ π ２． (２)要使sin(２x＋π３ )＝±１, 必有２x＋π３＝kπ＋ π ２ (k∈Z), ∴x＝kπ２＋ π １２ (k∈Z), 故函数y＝sin(２x＋π３ )的图像的对称轴为x＝kπ２＋ π １２ (k ∈Z)． ∵函数y＝sin(２x＋π３ )的图像与x轴的交点即为对称中 心,令y＝０,即sin(２x＋π３ )＝０, ∴２x＋π３＝kπ (k∈Z),即x＝kπ２－ π ６ (k∈Z), 故函数y＝sin(２x＋π３ )的图像的对称中心为(kπ ２－ π ６ ,０) (k∈Z)． 答案:(１)C　(２)x＝kπ２＋ π １２ (k∈Z)　(kπ２－ π ６ ,０)(k∈Z) 变式训练 ２．解析:由题意,得A＝ ３,T＝２(５π６－ π ３ )＝π,∴２πω＝π ,∴ ω＝２,∴f(x)＝ ３sin(２x＋φ)．又∵点( π ３ ,０)在f(x)的 图像上,∴f(π３ )＝０,∴ ３sin(２π３＋φ )＝０,∴sin(２π３＋φ ) ＝０．又∵－π＜φ＜０,∴φ＝－ ２π ３ ,∴f(x)＝ ３sin(２x－ ２π ３ )．令２x－２π３＝ π ２＋kπ (k∈Z),解得x＝７π１２＋ kπ ２ (k∈ Z)．∴f(x)图像的对称轴方程是x＝７π１２＋ kπ ２ (k∈Z)． 答案:x＝７π１２＋ kπ ２ (k∈Z) [例３]　[解]　(１)由２x＋φ＝kπ＋ π ２ ,k∈Z, 得x＝kπ２＋ π ４－ φ ２ , 令kπ ２＋ π ４－ φ ２＝ π ８ ,解得φ＝kπ＋ π ４ ,k∈Z． ∵－π＜φ＜０,∴φ＝－ ３π ４． (２)由(１)知,f(x)＝sin ２x－３π４( )． 由２kπ－π２≤２x－ ３π ４≤２kπ＋ π ２ (k∈Z),解得 kπ＋π８≤x≤kπ＋ ５π ８ (k∈Z)． 故函数的单调递增区间是 kπ＋π８ ,kπ＋５π８[ ](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是 kπ＋５π８ ,kπ＋９π８[ ](k∈Z)． 当２x－３π４＝２kπ＋ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋５π８ (k∈Z)时,函数有最大值１; 当２x－３π４＝２kπ－ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋π８ (k∈Z)时,函数有最小值－１． 变式训练 ３．A　[根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞o,|φ|＜ π ２ ) 的部分图像, 可得A＝３,T２ ＝ π ω ＝ ５π ６ － π ３ ,所 以 ω＝２,再 根 据 点 ５ ６π ,０( ) 是五点作图法中第五个点可得２×π３＋φ＝π,所 以φ＝ π ３ , 所以y＝３sin ２x＋π３( ),显然,它的周期为 ２π ２＝π ,故排 除 D; 当x＝４π３ 时,函数y＝f(x)＝３sin(２x＋π３ )＝０,故函数的 图像关于点(４π ３ ,０)对称,故 A正确; 当x＝－π２ 时,f(x)＝３２ ,不是最值,故f(x)的图像不关于 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２０１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 直线x＝－π１２ 对称,故排除B．在[－π,－π２ ]上,２x＋π３∈ [５π ３ ,－２π３ ],y＝３sin(２x＋π３ )不是增函数,故排除 C．故 选 A．] 随堂步步夯实 １．C　[因为T＝２×[３－(－１)]＝８, 所以ω＝２πT＝ ２π ８＝ π ４ , 又因为f(１)＝１,所以π４＋φ＝ π ２＋２kπ (k∈Z)． 所以φ＝ π ４＋２kπ (k∈Z), 又因为０≤φ＜２π,所以φ＝ π ４． ] ２．D　[因为f(x)＝－cosx,故根据余弦函数的图像可知 D 是错误的．故选 D．] ３．解析:由题意知２×π６＋φ＝ π ２＋kπ ,k∈Z, 所以φ＝ π ６＋kπ＝２ ,k∈Z． 又－π＜φ＜０,所以φ＝－ ５ ６π． 答案:－５６π ４．解析:由题图可知:A＝２,T２＝ π ３＋ π ６＝ π ２ , 所以T＝π,ω＝２πT ;f(x)＝２sin(２x＋φ), 代入点(π ３ ,０)得０＝２sin(２×π３＋φ ), 所以φ＋ ２π ３＝π＋２kπ ,k∈Z, φ＝ π ３＋２kπ ,k∈Z, 因为－π＜φ＜π,所以φ＝ π ３ , 所以f(x)＝２sin(２x＋π３ )． 答案:f(x)＝２sin(２x＋π３ ) ５．解:(１)由图像知最小正周期 T＝４× １１π６ － ４π ３( )＝２π． (２)f(x)的对称轴为x＝π３＋kπ (k∈Z), 对称中心坐标为 ５ ６π＋kπ ,０( )． (３)在一个周期上的单调减区间为 π３ ,４ ３π[ ], ∴整个定义域上的单调减区间为 ２kπ＋π３ ,２kπ＋４３π[ ](k∈Z), 同理易知单调增区间为 ２kπ－２３π ,２kπ＋π３[ ](k∈Z)． ７．３．３　余弦函数的性质与图像 课前预习学案 情境引入 １．提示　单调性． ２．提示　最值,波峰,波谷． 知识梳理 知识点一、唯一　余弦函数　 知识点二、R　R　[－１,１]　[－１,１]　奇函数　偶函数　 ２π　２π　x＝π２＋２kπ (k∈Z)　x＝－π２＋２kπ (k∈Z)　x＝ ２kπ(k∈Z)　x＝π＋２kπ(k∈Z)　 －π２＋２kπ[ , π ２＋２kπ](k∈Z)　 π ２＋２kπ[ , ３π ２＋２kπ](k∈Z)　[－π＋２kπ,２kπ](k∈Z)　[２kπ,π＋ ２kπ](k∈Z)上单调递减 [思考] １．提示:因为cosx＝sin(x＋π２ ),所以y＝sinx(x∈R)的图 像向左平移π ２ 个单位长度可得y＝cosx(x∈R)的图像． ２．提示:观察图像可知: 当x∈[－π,０]时,曲线逐渐上升,是增函数,cosx的值由 －１增大到１; 当x∈[０,π]时,曲线逐渐下降,是减函数,cosx的值由１ 减小到－１． 推广到整个定义域可得 当x∈[２kπ－π,２kπ],k∈Z时,余弦函数y＝cosx是增函 数,函数值由－１增大到１; 当x∈[２kπ,(２k＋１)π],k∈Z时,余弦函数y＝cosx是减 函数,函数值由１减小到－１． ３．提示:平移法作余弦函数图像主要依据诱导公式６:sin(x ＋π２ )＝cosx．显然在诱导公式５:sin(π２－x )＝cosx中, 两个函数的解析式中自变量的系数符号相反,所以不能 利用该公式确定平移方向和单位长度． 预习自测 １．C ２．偶 ３．[－π＋２kπ,２kπ](k∈Z)　[２kπ,２kπ＋π](k∈Z) 课堂互动学案 [例１]　[解]　法一　列表、描点、连线得函数y＝３＋２cosx在 闭区间[０,２π]上的图像,如图中实线所示． 根据图像可知,函数y＝３＋２cosx在[０,２π]上的最大值 为５,最小值为１,又函数的周期为２π,故函数y＝３＋２cos x在R上的值域为[１,５]． x ０ π２ π ３π ２ ２π y＝cosx １ ０ －１ ０ １ y＝３＋２cosx ５ ３ １ ３ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０１􀅰 参考答案 １．将函数y＝sin(x＋π６ )(x∈R)的图像上所有的点 向左平移π ４ 个单位长度,再把图像上各点的横坐标 扩大到原来的２倍,则所得的图像的解析式为 (　　) A．y＝sin(２x＋５π１２ )(x∈R) B．y＝sin(x２＋ ５π １２ )(x∈R) C．y＝sin(x２－ π １２ )(x∈R) D．y＝sin(x２＋ ５π ２４ )(x∈R) ２．设g(x)的图像是由函数f(x)＝sin(π２＋２x )的图 像向左平移π ３ 个单位得到的,则g π６ æ è ç ö ø ÷等于(　　) A．１　　　B．－１２　　　C．０　　　D．－１ ３．为了得到函数y＝２sin(x３＋ π ６ )(x∈R)的图像,只 需把函数y＝２sinx(x∈R)的图像上所有的点 (　　) A．向左平移π６ 个单位长度,再把所得各点的横坐 标缩短到原来的１ ３ (纵坐标不变) B．向右平移π６ 个单位长度,再把所得各点的横坐标 缩短到原来的１ ３ (纵坐标不变) C．向左平移π６ 个单位长度,再把所得各点的横坐标 伸长到原来的３倍(纵坐标不变) D．向右平移π６ 个单位长度,再把所得各点的横坐 标伸长到原来的３倍(纵坐标不变) ４．若将函数f(x)＝sin(ωx＋π６ )(o＜ω＜７)的图像向 右平移π ３ 个单位后恰与f(x)的图像重合,则ω 的 值是　　　　． ５．利用“五点法”作出函数y＝ ２sin(２x－π４ )在一个 周期(闭区间)上简图. 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　正弦型函数的性质与图像(二) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图像研究性质 ２．会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图像确定其解 析式 ３．掌握利用y＝Asin(ωx＋φ)的图像解决 问题 １．根据y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质培养学生数学直观想 象和逻辑推理素养 ２．通过学习y＝Asin(ωx＋φ)的性质提升学生的数学运算 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] (１)若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数,则φ应满足什 么条件? (２)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)为偶函数, 则φ应满足什么条件? [知识梳理] [知识点一]　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中,A,ω,􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 φ的物理意义􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．振幅:　　　． ２．初相:　　　． ３．周期:　　　　． ４．频率:f＝　　　＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B [知识点二]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)的􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 性质 􀪋􀪋 根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)的图像, 我们可以得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０) 的性质． (１)定义域:R． (２)值域:[－A,A]．当x＝π２ω－ φ ω ＋ ２kπ ω (k∈Z)时,y 取得最大值A;当x＝３π２ω－ φ ω ＋ ２kπ ω (k∈Z)时,y 取得最小值－A． (３)单调性:由２kπ－π２≤ωx＋φ≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z,解 得单调递增区间; 由２kπ＋π２≤ωx＋φ≤２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z,解得单调 递减区间． (４)奇偶性:当φ＝kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;当φ＝ kπ＋π２ (k∈Z)时,函数为偶函数． (５)周期性:T＝２πω． (６)对称性:直线x＝π２ω－ φ ω ＋ kπ ω (k∈Z)都是其对称 轴;点 －φω＋ kπ ω ,０æ è ç ö ø ÷(k∈Z)都是其对称中心． [知识点三]　由y＝Asin(ωx＋φ)的图像性质或部分􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 图像确定解析式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解决此类问题的关键在于确定参数A,ω,φ,其基本 方法是在观察图像的基础上,利用待定系数法求 解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ),则在观察 图像的基础上,可按以下规律来确定A,ω,φ． (１)A:一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|． (２)ω:因为T＝２π|ω| ,所以往往通过求周期T 来确定 ω,可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T,即 相邻的最高点与最低点之间的距离为T ２ ;相邻的 两个最高点(或最低点)之间的距离为T． (３)φ:从寻找“五点法”中的第一零点 －φω ,０æ è ç ö ø ÷(也叫 初始点)作为突破口,要从图像的升降情况找准第 一零点的位置,从而确定φ． (４)A,ω,φ三个量中,初相φ的确定是一个难点,除使 用初始点 －φω ,０æ è ç ö ø ÷外,还可利用五点法中其他点 确定初相φ,即在五点中找两个特殊点列方程组 解出φ,如: ωx１＋φ＝ π ２ ωx２＋φ＝π { ,解出ω,φ等． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠０)的单调区 间应注意什么? [预习自测] １．函数y＝sin(２x－π３ )在区间 －π２ ,π[ ]上的简图是 (　　) ２．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π３ )(ω＞０)的最小正周 期为π,则该函数图像 (　　) A．关于点(π３ ,０)对称　　B．关于直线x＝π４ 对称 C．关于点(π４ ,０)对称 D．关于直线x＝π３ 对称 ３．函数y＝２sin(２x－π６ )的对称轴方程是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　由y＝Asin(ωx＋φ)的图像确定其解析式 [例１]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞０,ω＞０,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷ 的 一段图像如图所示,求f(x)的解析式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　此类问题可由最值确定A,由周期 确定ω,由图像上的点确定φ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 第七章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像确定解析式 关键在于确定参数A,ω,φ的值． (１)一 般 可 由 图 像 上 的 最 大 值、最 小 值 来 确 定|A|． (２)因为T＝２π|ω| ,所以往往通过求周期T 来确定 ω,可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定 T,即相邻的最高点与最低点所对应的横坐标 之间的距离为T ２ ;相邻的两个最高点(或最低 点)之间的距离为T． (３)求φ,常用方法有: ①代入法:把图像上的一个已知点代入转化 求解． ②五点法:要确定φ 值时,往往以寻找“五点 法”中的第一个点(－φω ,０)作为突破口,具体 如下: “第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx ＋φ＝０; “第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝ π ２ ; “第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx ＋φ＝π; “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝ ３π ２ ; “第五点”为ωx＋φ＝２π． 􀳀[变式训练] １．函 数 y＝Asin(ωx＋φ) A＞０,ω＞０,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷ 的 部分图像如图,求其函数 解析式． 　　　三角函数图像的对称性 [例２](１)函数y＝sin(２x＋φ)(０≤φ≤π)是 R上的 偶函数,则φ的值是 (　　) A．０　　　B．π４　　　C． π ２　　　D．π (２)函 数 y＝sin ２x＋π３ æ è ç ö ø ÷ 的 图 像 的 对 称 轴 是 　　　　,对称中心是　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　把“ωx＋φ”看作一个整体代入基本 函数性质． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ ＋π２ (k∈Z) 令ωx＋φ＝ kπ(k∈Z)求 对称 中 心 横 坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ (k∈Z) 令ωx＋φ＝ kπ＋π２ (k∈ Z)求对称中 心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝ kπ ２ (k∈Z)求 对称 中 心 横 坐标 􀳀[变式训练] ２．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０,－π＜ φ＜０),其图像最低点的纵坐标是－ ３,相邻的两个 对称中心是(π ３ ,０)和(５π６ ,０),则f(x)图像的对称 轴方程为　　　　． 　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及其应用 [例３]设函数f(x)＝sin(２x＋φ)(－π＜φ＜０),y＝ f(x)图像的一条对称轴是直线x＝π８． (１)求φ; (２)求函数y＝f(x)的单调区间及最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　本题关键是对图像的一条对称轴为 x＝π８ ,这一条件的利用,由图像的一条对称轴为 x＝π８ 得:当x＝π８ 时,２x＋φ＝kπ＋ π ２ (k∈Z)进 而可求φ值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y ＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ),当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函 数,当φ＝kπ± π ２ (k∈Z)时为偶函数;对于函数 y＝Acos(ωx＋φ),当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函 数,当φ＝kπ± π ２ (k∈Z)时为奇函数． ２．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (１)结合正弦、余弦函数的图像,熟记它们的单调 区间． (２)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)单调 区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx＋ φ看作一个整体,可令“z＝ωx＋φ”,即通过求 y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区 间．若ω＜０,则可利用诱导公式先将x的系数 转变为正数,再求单调区间． 􀳀[变式训练] ３．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω ＞０,|φ|＜ π ２ )的部分图像如图 所示,则 (　　) A．f(x)的一个对称中心为(４π３ ,０) B．f(x)的图像关于直线x＝－π１２ 对称 C．f(x)在 －π,－π２[ ]上是增函数 D．f(x)的周期为π２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R,ω＞０,０≤φ＜２π) 的部分图像如图所示,则 (　　) A．ω＝π２ ,φ＝ π ４　　　　　　B．ω＝ π ３ ,φ＝ π ６ C．ω＝π４ ,φ＝ π ４ D．ω＝ π ４ ,φ＝ ５π ４ ２．已知函数f(x)＝sinx－π２ æ è ç ö ø ÷(x∈R),下面结论错 误的是 (　　) A．函数f(x)的最小正周期为２π B．函数f(x)在区间 ０,π２[ ]上是增函数 C．函数f(x)的图像关于直线x＝０对称 D．函数f(x)是奇函数 ３．函数f(x)＝sin(２x＋φ)(－π＜φ＜０)图像的一条 对称轴是直线x＝π６ ,则φ的值为　　　　． ４．若函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A＞０,ω＞０, －π＜φ＜π)的部分图像 如图所示,则函数f(x) 的解析式为　　　　． ５．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像如图所示,根据图 像求: (１)f(x)的最小正周期; (２)f(x)的对称轴和对称中心; (３)f(x)的单调区间． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 第七章　三角函数