7.2 任意角的三角函数 7.2.2 单位圆与三角函数线-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

②若t＜０,则r＝－ ５t, 从而sinα＝ ２t － ５t ＝－２５ ５ ,cosα＝ t － ５t ＝－ ５５ ,tanα＝ y x ＝２． 变式训练 ２．解析:因为y＝３x,sinα＜０,所以点P(m,n)位于y＝３x 在第三象限的图像上,且m＜０,n＜０,n＝３m． 所以OP＝ m２＋n２＝ １０|m|＝－ １０m＝ １０． 所以m＝－１,n＝－３,所以m－n＝２． 答案:２ [例３]　[解]　(１)∵１９１°是第三象限角, ∴tan１９１°＞０,cos１９１°＜０, ∴tan１９１°－cos１９１°＞０． (２)∵π２＜２＜π ,π ２＜３＜π ,π＜４＜３π２ , ∴２是第二象限角,３是第二象限角,４是第三象限角． ∴sin２＞０,cos３＜０,tan４＞０． ∴sin２cos３tan４＜０． 变式训练 ３．解析:(１)因为１２０°角是第二象限角, 所以tan１２０°＜０． 因为２６９°角在第三象限内,所以sin２６９°＜０． 所以tan１２０°sin２６９°＞０． (２)因为π＜４＜３π２ ,所以４弧度角是第三象限角, 所以cos４＜０,因为－２３π４ ＝－６π＋ π ４ , 所以－２３π４ 是第一象限角,所以tan(－２３π４ )＞０, 所以cos４tan(－２３π４ )＜０． 随堂步步夯实 １．D　[依题意可知点(２sin３０°,－２cos３０°),即(１,－ ３),则 r＝ １２＋(－ ３)２＝２,因此sinα＝yr ＝－ ３ ２． ] ２．C　[由sinθ＜０,cosθ＜０知π＋２kπ＜θ＜３π２＋２kπ ,k∈Z． ∴π２＋kπ＜ θ ２＜ ３π ４＋kπ ,k∈Z． ∴θ２ 是第二或第四象限角．] ３．解析:因为sinθ＝ y ４２＋y２ ＝－２ ５５ , 所以y＜０,且y２＝６４,所以y＝－８． 答案:－８ ４．解析:因为点(３a－９,a＋２)在角α的终边上,sinα＞０,cos α≤０,所以 a＋２＞０ , ３a－９≤０,{ 解得－２＜a≤３． 答案:－２＜a≤３ ５．解析:根据三角函数的定义,tanα＝a５＝－ １２ ５ ,所以a＝ －１２,所以P(５,－１２),r＝１３,所以sinα＝－１２１３ ,cosα＝ ５ １３ ,从而sinα＋cosα＝－７１３． ７．２．２　单位圆 与三角函数线 课前预习学案 情境引入 　提示　sinα＝MP,cosα＝OM,tanα＝AT． 知识梳理 知识点一、１．x２＋y２＝１　２．横坐标　纵坐标 知识点二、１．MP→　OM→　AT→　２．三角函数线 [思考] １．提示:方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值,反之, 为负值． ２．提示:长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数 值的正负． 预习自测 １．B　[由三角函数线的定义知①③④正确,②错误．] ２．C　[依题意cosα＝－３５ ,sinα＝４５ , 所以sinα－cosα＝７５． ] ３．解析:如 图 所 示,作 出 π２ 和５π ４ 的 正 弦 线,可 得 sinθ ∈ － ２２ ,１ æ è ç ö ø ÷． 答案: － ２２ ,１ æ è ç ö ø ÷ 课堂互动学案 [例１]　[解]　如图,作－５π６ 的终 边与单位圆交于点P,作PM⊥ x轴,M 为垂足． 直线x＝１过点A(１,０)且与－ ５π ６ 终边所在直线交于点T． 所以－５π６ 的正弦线为MP→,余弦 线为OM→,正切线为AT→． 依题意∠POM＝π６ , 所以 MP＝１２ ,OM＝ ３２ ,AT＝ ３３ , 所以点P 坐标为(－ ３２ ,－１２ ), 故sin －５π６( )＝－ １ ２ , cos －５π６( )＝－ ３ ２ ,tan －５π６( )＝ ３ ３． 变式训练 １．解:已知角α的正弦值,可知 MP ＝１２ ,则P 点纵坐标为１２． 所以 在y轴上取点(０,１２ ),过该点作 x轴的平行线,交单位圆于 P１, P２ 两点,则OP１,OP２ 是角α的终边,因而角α的取值集 合为 αα＝２kπ＋π６ ,或α＝２kπ＋５π６ ,k∈Z{ }． [例２]　[解]　如图,sin２π３＝|MP →|,cos２π３＝－|OM →|,tan ２π ３＝－|AT →|,sin４π５＝|M′P′ →|, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B cos４π５＝－|OM →|,tan４π５＝－| AT′→|． 显然|MP→|＞|M′P′→|,符 号 皆正, ∴sin２π３＞sin ４π ５ ; |OM→|＜|OM′→|,符号皆负, ∴cos２π３＞cos ４π ５ ; |AT→|＞|AT′→|,符号皆负, ∴tan２π３＜tan ４π ５． 变式训练 ２．解:如图,在单位圆O 中分别作 出角５π ７ 的正弦线M１P１ →和２π ７ 的余 弦线OM２ →、正切线AT→． 由５π ７＝π－ ２π ７ 知,M１P１ →＝M２P２ →, 又π ４＜ ２π ７＜ π ２ , 易知cos２７π＜sin ５π ７＜tan ２π ７ ,故b＜a＜c． [例３]　[解]　(１)作直线y＝ ３２ 交单位圆于A,B 两点,连 接OA,OB,则OA 与OB 围成的区域(如图(１)所示的阴 影部分,包括边界),即为角α的终边的范围． 故满足要求的角α的集合为 α ２kπ＋π３≤α≤２kπ＋ ２π ３ ,k∈Z{ }． (２)作直线x＝－１２ 交单位圆于C,D 两点．连接OC,OD, 则OC与OD 围成的区域(如图(２)所示的阴影部分,包括 边界),即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 α ２kπ＋２π３≤α≤２kπ＋ ４π ３ ,k∈Z{ }． 变式训练 ３．解析:∵点P 在第一象限内, ∴ sinα－cosα＞０ , tanα＞０,{ ∴ sinα＞cosα , tanα＞０．{ 结合单位圆(如图所示)中三角函 数线及０≤α＜２π． 可知π ４＜α＜ π ２ 或π＜α＜５π４． [例４]　[解]　由题意,自变量x应满足不等式组 １－２cosx≥０, sinx－ ２２＞０ ,{ cosx≤１２ , sinx＞ ２２． ì î í ï ï ïï 则不等式组的解的集合如图(阴 影部分)所示, ∴ x ２kπ＋π３≤x＜２kπ＋ ３ ４π ,k∈Z{ }． 变式训练 ４．解:依题意 sinα≥０ , ２cosα－１＞０,{ 即 sinα≥０, cosα＞１２．{ 在 直 角 坐 标 系 中 作 单 位 圆,如 图 所示, 由三角函数线可得 ２kπ≤α≤２kπ＋π(k∈Z), ２kπ－π３＜α＜２kπ＋ π ３ (k∈Z),{ 解集为 图 中 阴 影 重 叠 的 部 分,故 原 不 等 式 组 的 解 集 为 α ２kπ≤α＜２kπ＋π３ ,k∈Z{ }． 随堂步步夯实 １．B　[依题意sinα＝１或sinα＝－１, ∴角α的终边在y 轴上．] ２．C　[π６ 和５π ６ 的正弦线关于y轴对称,长度相等; π ３ 和４π ３ 两角的正切线相同; π ４ 和５π ４ 的余弦线长度相等． 故①②③都正确,故选C．] ３．A　[如图所示,当x＝π４ 和x＝－３π４ 时,sinx＝cosx,故使sinx≤cosx成 立 的 x 的 一 个 变 化 区 间 是 －３π４ ,π ４[ ]．] ４．解析:不等式的解集如图所示(阴影部 分), ∴ αkπ－π６＜α＜kπ＋ π ２ ,k∈Z{ }． 答案:αkπ－π６＜α＜kπ＋ π ２ ,k∈Z{ } ５．解:由题意知,自变量x 应满足 １－ ２cosx≥０, 即cosx≤１２ , 则不等式组的解的集合如图(阴影部 分)所示, ∴函数的定义域为 x ２kπ＋π３≤x≤２kπ＋ ５π ３ ,k∈Z{ }． ７．２．３　同角三角函数的基本关系式 课前预习学案 情境引入 １．提示:sinα＝yr ,cosα＝xr ,tanα＝yx ． ２．(１)提示:sin２α＋cos２α＝１,tanα＝sinαcosα． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９􀅰 参考答案 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．判断三角函数值正负的两个步骤 (１)定象限:确定角α所在的象限． (２)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全 正二正弦,三正切,四余弦”来判断． 提醒:若sinα＞０,则α的终边不一定落在第一象 限或第二象限内,有可能终边落在y轴的非负半 轴上． ２．正弦、余弦函数值的正负规律 􀳀[变式训练] ３．判断下列各式的符号: (１)tan１２０°sin２６９°; (２)cos４tan(－２３π４ )． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如果α的终边过点(２sin３０°,－２cos３０°),那么sinα ＝ (　　) A．１２　　　　　　　　B．－ １ ２ C．３２ D．－ ３ ２ ２．若sinθ＜０,cosθ＜０,则θ２ 是 (　　) A．第二象限角 B．第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 ３．已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半 轴,若 P(４,y)是 角θ 终 边 上 一 点,且 sinθ＝ －２ ５５ ,则y＝　　　　． ４．已知角α的终边经过点(３a－９,a＋２)且sinα＞０, cosα≤０,则实数α的取值范围是　　　　． ５．已知角α的终边过点P(５,a),且tanα＝－１２５ ,求 sinα＋cosα的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．２．２　单位圆 与三角函数线 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的 正弦、余弦和正切 ２．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 通过学习三角函数线的意义及应用三角函数线 解决问题,提升直观想象与数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　江南水乡,水车在清清的河流里悠悠转动,缓缓 地把河流里的水倒进水渠,流向绿油油的大地,流向 美丽的大自然,在水车转动的瞬间,同学们能想到些 什么呢? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B [问题]　将图中的水车抽象出 一个数学模型,建立平面直角坐 标系(如图所示),设水车的轮廓 为单位圆．在平面直角坐标系 中,任意角α的终边与单位圆交 于点P,过点P 作PM ⊥x 轴, 过点A(１,０)作单位圆的切线, 交α的终边或其反向延长线于点T,结合三角函数的 定义,你能得到sinα,cosα,tanα与MP,OM,AT 的 关系吗? [知识梳理] [知识点一]　单位圆 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．在平面直角坐标系中,坐标满足　　　　的点组成 的集合称为单位圆． ２．角α的终边与单位圆的交点为P,则P 的坐标为 (cosα,sinα),即角α的余弦和正弦分别等于角α 终边与单位圆交点的　　　　和　　　　． [知识点二]　三角函数线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．角α的终边与单位圆交于点P,过P 作PM⊥x轴, M 为垂足,点A(１,０),直线x＝１与角α终边所在 直线交于点T,如图． 则角α的正弦线为　　　　,余弦线为　　　　, 正切线为　　　　． ２．正弦线、余弦线和正切线都称为　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．三角函数线的方向是如何规定的? ２．三角函数线的长度和方向各表示什么? [预习自测] １．下列四个命题中: ①当α一定时,单位圆中的正弦线一定; ②在单位圆中,有相同正弦线的角相等; ③α和α＋π有相同的正切线; ④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直 线上． 则错误命题的个数是 (　　) A．０　　B．１　　C．２　　D．３ ２．角α的终边与单位圆交于点P －３５ ,４ ５ æ è ç ö ø ÷,则sinα －cosα等于 (　　) A．－７５　　B．－ １ ５　　C． ７ ５　　D． １ ５ ３．若θ∈ π２ ,５π ４ æ è ç ö ø ÷,则sinθ的取值范围是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　三角函数线 [例１]　作出－５π６ 的正弦线、余弦线和正切线,并利 用三角函数线求出－５π６ 的正弦、余弦和正切． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　 作出单位圆,再作出－５π６ 角． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单 位圆的交点,然后过此交点作x 轴的垂线,得到 垂足,从而得到正弦线和余弦线． (２)作正切线时,应从点A(１,０)引单位圆的切线, 交角的终边或终边的反向延长线于一点T,即可 得到正切线AT→． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 第七章　三角函数 􀳀[变式训练] １．在单位圆中,画出满足sinα＝１２ 的角α的终边,并 求角α的取值集合． 　　　利用三角函数比较大小 [例２]　利用三角函数线比较sin２π３ 和sin４π５ ,cos２π３ 和cos４π５ ,tan２π３ 和tan４π５ 的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　先作出三角函数线,再比较大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般 分三步:(１)角的位置要“对号入座”．(２)比较三角 函数线的长度．(３)确定有向线段的正负． 􀳀[变式训练] ２．利用三角函数线比较:a＝sin５π７ ,b＝cos２π７ ,c＝tan２π７ 的 大小． 　　　利用三角函数线解不等式(组) [例３]　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边 的范围,并由此写出角α的集合． (１)sinα≥ ３２ ; (２)cosα≤－１２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　在单位圆中画出角的三角函数线, 观察图形即可求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不 等式,应注意以下两点 (１)先找到“正值”区间,即０~２π内满足条件的角 θ的范围,然后再加上周角的整数倍． (２)注意区间是开区间还是闭区间． 􀳀[变式训练] ３．已知点P(sinα－cosα,tanα)在第一象限,若α∈ [０,２π),求α的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 　　　利用三角函数线求函数的定义域 [例４]　求函数f(x)＝ １－２cosx＋lnsinx－２２ æ è ç ö ø ÷ 的定 义域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　在单位圆中画出三角函数线,构造 不等式组求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求三角函数定义域时,一般应转化为求不等式 (组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三 角不等式常用的方法．解多个三角不等式时,先在 单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围,再 取公共部分． 􀳀[变式训练] ４．已知函数f(α)＝ sinα＋lg(２cosα－１),求函数f(α) 的定义域． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知角α的正弦线是单位的有向线段,那么角α的 终边 (　　) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y＝x上 D．在直线y＝x或y＝－x上 ２．有三个命题:①π６ 和５π ６ 的正弦线长度相等;②π３ 和 ４π ３ 的正切线相同;③π４ 和５π ４ 的余弦线长度相等．其 中正确说法的个数为 (　　) A．１　　B．２　　C．３　　D．０ ３．使sinx≤cosx成立的x 的一个变化区间是 (　　) A．－３π４ ,π ４[ ]　　　　B．－ π ２ ,π ２[ ] C．－π４ ,３π ４[ ] D．[０,π] ４．不等式tanα＋ ３３＞０ 的解集是　　　　． ５．求函数y＝ １－２cosx的定义域． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 第七章　三角函数