7.3 三角函数的性质与图像 7.3.2 正弦型函数的性质与图像 第1课时正弦型函数的性质与图像(一)-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版2019）

　　　　　　７．３．２　正弦型函数的性质与图像 　　　　　第１课时　正弦型函数的性质与图像(一) １．要得到函数y＝sin(４x－π３ )的图像,只需将函 数y＝sin４x的图像 (　　) A．向左平移π１２ 个单位　B．向右平移π１２ 个单位 C．向左平移π３ 个单位 D．向右平移π３ 个单位 ２．将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平移 π １０ 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到 原来的２倍(纵坐标不变),所得图像的函数解 析式是 (　　) A．y＝sin２x－π１０ æ è ç ö ø ÷ B．y＝sin(２x－π５ ) C．y＝sin １２x－ π １０ æ è ç ö ø ÷ D．y＝sin １２x－ π ２０ æ è ç ö ø ÷ ３．函数y＝３sin x２＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ 的图像可由函数y＝ ３sinx的图像　　　　而得到． (　　) A．先把横坐标扩大到原来的２倍(纵坐标不 变),再向左平移π ６ 个单位长度 B．先把横坐标缩短到原来的１２ (纵坐标不变), 再向右平移π ３ 个单位长度 C．先向右平移π３ 个单位长度,再把横坐标缩 短到原来的１ ２ (纵坐标不变) D．先向左平移π３ 个单位长度,再把横坐标扩 大到原来的２倍(纵坐标不变)． ４．将函数y＝sinx的图像上每个点的横坐标缩 短为原来的１ ２ ,纵坐标不变,再将所得图像向 左平移π ６ 个单位长度后,得到函数f(x)的图 像,那么所得图像的一条对称轴方程为(　　) A．x＝π１２ B．x＝ π ６ C．x＝π３ D．x＝ ２π ３ ５．函数f(x)＝sin ２x－π４ æ è ç ö ø ÷在区间 ０,π２[ ] 上的 最小值是 (　　) A．－１ B．－ ２２ C．２２ D．０ ６．(多选题)若函数y＝２sin(x＋θ)的图像向右平 移π ６ 个单位长度,再向上平移２个单位长度 后,它的一条对称轴是直线x＝π４ ,则θ的可能 的值是 (　　) A．π３ B． ５π １２ C．－π６ D．－ ７π １２ ７．把函数y＝sinx－π７ æ è ç ö ø ÷ 的图像上所有点的横 坐标变为原来的２倍(纵坐标不变)得到的图 像对应的函数解析式为y＝　　　　． ８．将函数y＝sin２x的图像向左平移φ(φ＞０)个 单位,可得到函数y＝sin(２x＋π４ )的图像,则 φ的最小值为　　　　． ９．(多空题)函数y＝１２sin２x－ π ６ æ è ç ö ø ÷的对称中心 坐标是　　　　,对称轴方程为　　　　． １０．已知函数y＝３sin １２x－ π ４ æ è ç ö ø ÷, (１)用“五点法”画函数的图像; (２)说出此图像是由y＝sinx的图像经过怎 样的变换得到的． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 第七章　三角函数 １１．已知函数f(x)＝２sin２x＋π４ æ è ç ö ø ÷． (１)求f(x)的最小正周期和最大值; (２)画出函数y＝f(x)在[０,π]上的图像,并 说明y＝f(x)的图像是由y＝sin２x的图像 怎样变换得到的． １２．已知f(x)＝２sin x２＋ π ３ æ è ç ö ø ÷． (１)在给定的坐标系内,用“五点法”作出函数 f(x)在一个周期内的图像． (２)写出f(x)的单调递增区间． (３)求f(x)的最大值和此时相应的x的值． １３．设f(x)＝４sin(２x－π３ )＋ ３． (１)求f(x)在 ０,π２[ ]上的最大值和最小值; (２)把y＝f(x)的图像上的所有点的横坐标 伸长到原来的２倍(纵坐标不变),再把得到 的图像向左平移２π ３ 个单位长度,得到函数y ＝g(x)的图像,求g(x)的单调减区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 必修第三册 ８．解析:∵sin２＝sin(π－２),sin３＝sin(π－３),且０＜π －３＜１＜π－２＜π２ , 函数y＝sinx在 ０,π２[ ] 上单调递增,且sin４＜０, ∴sin(π－２)＞sin１＞sin(π－３)＞０,即sin２＞sin１ ＞sin３＞sin４． 答案:sin２＞sin１＞sin３＞sin４ ９．解析:由－２sinx≥０,得sinx≤０, ∴２kπ－π≤x≤２kπ(k∈Z), 即函数的定义域是[２kπ－π,２kπ](k∈Z)． ∵y＝ －２sinx与y＝sinx的单调性相反, ∴函数的单调递减区间为 ２kπ－π２ ,２kπ[ ](k∈Z)． 答案:[２kπ－π,２kπ](k∈Z)　 ２kπ－π２ ,２kπ[ ](k∈Z) １０．解:(１)由－１≤sinx≤１知,当x＝２kπ＋π２ (k∈Z) 时,函数y＝２sinx－１取得最大值,ymax＝１; 当x＝２kπ＋３π２ (k∈Z)时,函数y＝２sinx－１取得最 小值,ymin＝－３． (２)y＝－sin２x＋ ２sinx＋ ３４ ＝－ sinx－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋５４． 因为－１≤sinx≤１, 所以当sinx＝ ２２ ,即x＝２kπ＋π４ 或x＝２kπ＋３π４ (k ∈Z)时,函数取得最大值,ymax＝ ５ ４ ; 当sinx＝－１,即x＝２kπ＋３π２ (k∈Z)时,函数取得最 小值,ymin＝－ １ ４－ ２． １１．解:(１)∵－π２＜－ π １０＜－ π １８＜ π ２ , ∴sin －π１８( )＞sin － π １０( )． (２)sin１９６°＝sin(１８０°＋１６°)＝－sin１６°, cos１５６°＝cos(１８０°－２４°)＝－cos２４°＝－sin６６°, ∵０°＜１６°＜６６°＜９０°,∴sin１６°＜sin６６°; 从而－sin１６°＞－sin６６°,即sin１９６°＞cos１５６°． １２．解:(１)由２kπ＋π２≤ x ２≤２kπ＋ ３ ２π ,k∈Z, 得４kπ＋π≤x≤４kπ＋３π,k∈Z． ∴y＝１－sin x２ 的增区间为[４kπ＋π,４kπ＋３π],k ∈Z． (２)要求函数y＝log１２sin x ２－ π ３( ) 的增区间,即求 使y＝sin x２－ π ３( ) ＞０且单调递减的区间．为此,x 满足:２kπ＋π２≤ x ２－ π ３＜２kπ＋π ,k∈Z． 整理得４kπ＋５π３≤x＜４kπ＋ ８π ３ ,k∈Z． ∴函数y＝log１２sin x ２－ π ３( ) 的增区间为 ４kπ＋５π３ ,４kπ＋８π３[ ),k∈Z． １３．解析:(１)最小正周期T＝２π２＝π , 由２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ (k∈Z), 得kπ－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ (k∈Z), ∴递增区间是 kπ－π８ ,kπ＋３π８[ ](k∈Z)． (２)令t＝２x－π４ ,则由π ８≤x≤ ３π ４ 可得０≤t≤５π４ , ∴当t＝５π４ ,即x＝３π４ 时,ymin＝ ２􀅰 － ２２ æ è ç ö ø ÷＝－１, ∴当t＝π２ ,即x＝３π８ 时,ymax＝ ２􀅰１＝ ２． ７．３．２　正弦型函数的性质与图像 第１课时　正弦型函数的性质与图像(一) １．B　[依图像变换法则知选B．] ２．C　[将y＝sinx的图像向右平移 π１０ 个单位长度得到 y＝sinx－π１０( ) 的图像,再将图像上各点的横坐标伸 长到原来的２倍得到y＝sin １２x－ π １０( ) 的图像．] ３．D　[要正确区分先平移后伸缩 与 先 伸 缩 后 平 移 的 不同．] ４．A　[将函数y＝sinx 的图像上每个点的横坐标缩短 为原来的１ ２ ,纵坐标不变,可得y＝sin２x 的图像;再 将所得图像向左平移 π ６ 个单位长度,得到函数f(x) ＝sin ２x＋π３( ) 的图像．令２x＋ π ３＝kπ＋ π ２ ,k∈Z,求 得x＝kπ２＋ π １２ ,k∈Z．当k＝０时得图像的一条对称轴 方程为x＝π１２． ] ５．B　[由x∈ ０,π２[ ] 得 ２x－ π ４ ∈ － π ４ ,３π ４[ ],所 以 sin ２x－π４( )∈ － ２ ２ ,１[ ],故函数f(x)＝ sin ２x－π４( ) 在区间 ０, π ２[ ] 上的最小值为－ ２ ２． ] ６．BD　[函数y＝２sin(x＋θ)的图像向右平移 π６ 个单位 长度,再 向 上 平 移 ２ 个 单 位 长 度 后,得 到 函 数y＝ ２sinx＋θ－π６( )＋２的图像,因为它的一条对称轴是 直线x＝π４ ,所以π ４＋θ－ π ６＝kπ＋ π ２ ,k∈Z．θ＝kπ＋ ５π １２ ,k∈Z,令k＝０,θ＝５π１２ ,令k＝－１,θ＝－７π１２． ] ７．解析:由于函数图像上所有点的横坐标变为原来的２ 倍而纵坐标不变,从而判断出是周期变换,故ω 由１ 变为１ ２． 答案:sin １２x－ π ７( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 必修第三册 ８．解析:∵y＝sin ２x＋π４( )＝sin２(x＋ π ８ )．∴φ最小值 为π ８． 答案:π ８ ９．解析:令２x－π６＝kπ ,k∈Z,则x＝π１２＋ kπ ２ ,k∈Z． ∴对称中心为 π１２＋ kπ ２ ,０( ),k∈Z． 令２x－π６＝ π ２＋kπ ,k∈Z,则x＝π３＋ kπ ２ ,k∈Z． ∴对称轴方程为x＝π３＋ kπ ２ ,k∈Z． 答案: π １２＋ kπ ２ ,０( ),k∈Z　x＝π３＋ kπ ２ ,k∈Z １０．解析:(１)列表: １ ２x－ π ４ ０ π ２ π ３π ２ ２π x π２ ３π ２ ５π ２ ７π ２ ９π ２ y ０ ３ ０ －３ ０ 描点:在 直 角 坐 标 系 中 描 出 下 列 各 点 π ２ ,０( ), ３ ２π ,３( ),５π２,０( ), ７π ２ ,－３( ) ９π２,０( ) 连线:将所得五点用光滑的曲线连接起来得到的所 求函数的图像如图所示． 这样就得到了函数y＝３sin １２x－ π ４( ) 在一个周期 内的图像,再将这部分向左或向右平移,４kπ(k∈Z), 得到函数y＝３sin １２x－ π ４( ) 的图像． (２)(相位变换在周期变换的前面) ①把y＝sinx 的图像上所有的点向右平移 π４ 个单 位,得到y＝sin(x－π４ )的图像; ②把y＝sin(x－π４ )的图像上所有点的横坐标伸长 到原来的２倍(纵坐标不变),得到y＝sin(x２－ π ４ ) 的图像; ③将y＝sin(１２x－ π ４ )的图像上所有点的纵坐标伸 长到原来的３倍(横坐标不变),就得到y＝３sin(１２x －π４ )的图像． １１．解析:(１)f(x)＝２sin(２x＋π４ ), 则f(x)的最小正周期T＝２π２＝π． 当２x＋π４＝２kπ＋ π ２ (k∈Z),即当x＝kπ＋π８ (k∈ Z)时,f(x)max＝２． (２)列表如下: ２x＋π４ π ４ π ２ π ３π ２ ２π ９π ４ x ０ π８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ π f(x) ２ ２ ０ －２ ０ ２ 根据列表,描点、连线,作图如下． y＝f(x)的图像是由y＝sin２x的图像经过以下变换 得到的:先将y＝sin２x 的图像向左平移 π８ 个单位, 得到y＝sin(２x＋π４ )的图像,再将y＝sin ２x＋π４( ) 的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的２倍,横坐 标不变,得到y＝２sin ２x＋π４( ) 的图像． １２．解析:(１)列表: x ２＋ π ３ ０ π ２ π ３π ２ ２π x －２π３ π ３ ４π ３ ７π ３ １０π ３ f(x) ０ ２ ０ －２ ０ 作图: (２)由２kπ－π２≤ x ２＋ π ３≤２kπ＋ π ２ ,得４kπ－５π３≤x ≤４kπ＋π３ ,k∈Z． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 参考答案 所 以 函 数 f (x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 ４kπ－５π３ ,４kπ＋π３[ ],k∈Z． (３)当x２＋ π ３＝ π ２＋２kπ ,即x＝π３＋４kπ (k∈Z)时． f(x)max＝２． １３．解析:(１)当x∈ ０,π２[ ] 时,２x－ π ３∈ － π ３ ,２π ３[ ]． 当x＝０时,函数f(x)有最小值． 最小值f(x)min＝f(０)＝４sin － π ３( )＋ ３＝－ ３, 当x＝５π１２ 时,函数f(x)有最大值, 最大值f(x)max＝f ５π １２( ) ＝４sin ２× ５π １２－ π ３( ) ＋ ３ ＝４＋ ３． (２)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原 来的２倍(纵坐标不变),得到y＝４sin x－π３( ) ＋ ３ 的图像,再把得到的图像向左平移２π ３ 个单位长度,得 到y＝４sinx＋π３( )＋ ３的图像, 所以g(x)＝４sinx＋π３( )＋ ３． 由２kπ＋π２≤x＋ π ３≤２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z,得２kπ＋π６≤ x≤２kπ＋７π６ ,k∈Z． 所以g(x)的单调减区间是 ２kπ＋π６ ,２kπ＋７π６[ ](k∈ Z)． 第２课时　正弦型函数的性质与图像(二) １．D　[y＝－２sin π４－ x ２( )＝２sin x ２－ π ４( ), ∴周期T＝２π１ ２ ＝４π,振幅A＝２． 初相φ＝－ π ４． ] ２．A　[由题图可知A＝２,T４＝ ５ ６－ １ ３＝ １ ２ , 所以T＝２πω＝２ ,则ω＝π． 由题图知 １ ３ ,２( ) 是五点作图的第二个点, 所以１ ３ω＋φ＝ π ２ ,即π ３＋φ＝ π ２ , 解得φ＝ π ６． 所以f(x)＝２sin πx＋π６( )．] ３．C　[在x＝０处有定义的奇函数必有f(０)＝０,f(x) 为奇函数,可知f(０)＝Asinφ＝０, 由|φ|＜π可得φ＝０; 把其图像上各点的横坐标伸长到原来的２倍,得g(x) ＝Asin１２ωx ,由g(x)的最小正周期为２π可得ω＝２, 由g π４( ) ＝ ２,可得 A＝２,所以f(x)＝２sin２x,f ３π ８( )＝２sin ３π ４＝ ２． 故选C．] ４．C　[∵当x＝π４ 时函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞０)取 得最小值,∴－A＝Asin π４＋φ( ),可得sin π ４＋φ( ) ＝ －１, ∴π４＋φ＝２kπ－ π ２ ,k∈Z,解得φ＝２kπ－ ３π ４ ,k∈Z, ∴f(x)＝Asinx－３π４( ), ∴y＝f ３π４－x( )＝Asin ３π ４－x－ ３π ４( )＝－Asinx, ∴该函数是奇函数且图像关于直线x＝π２ 对称．] ５．B　[依题意,令－π２＋２kπ≤ωx＋ π ６≤ π ２＋２kπ (k∈ Z), 解得 －２π３＋２kπ ω ≤x≤ π ３＋２kπ ω (k∈Z), 故 －２π３＋２kπ ω ≤－ π ４ , π ３＋２kπ ω ≥ ２π ３ , ω＞０ ì î í ï ï ï ï ï ï (k∈Z), 解得 ω≤８３－８k , ω≤１２＋３k , ω＞０ ì î í ï ï ï ï (k∈Z), 当k＝０ 时,可 得 ０＜ω≤ １２． 故 ω 的 取 值 范 围 是 ０,１２( ]．] ６．ACD　[将函数f(x)＝２sinx的图像先向左平移π６ 个 单位长度,可得y＝２sin x＋π６( ) 的图像;然后纵坐标 不变,横 坐 标 变 为 原 来 的 ２ 倍,可 得 g(x)＝２sin １ ２x＋ π ６( ) 的图像．对于 A 选项,当x∈ ０, ２π ３[ ] 时, １ ２x＋ π ６∈ π ６ ,π ２[ ],此时g(x)＝２sin １ ２x＋ π ６( ) 是 单调递增的,故 A正确;对于 B选项,将函数g(x)的 图像向 右 平 移 π ６ 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 y＝２sin １ ２x＋ π １２( ),不是奇函数,其图像不满足关于原点对 称,故B错误;对于C选项,将x＝－π３ 代入函数g(x)的 解析式中,得到２sin －１２× π ３＋ π ６( ) ＝２sin０＝０,故点 －π３ ,０( ) 是函数g(x)图像的一个对称中心,故C正确; 对于D选项,当x∈[π,２π]时,１２x＋ π ６∈ ２π ３ ,７π ６[ ],函 数g(x)的最大值为 ３,故D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 必修第三册