7.2 任意角的三角函数 7.2.2 单位圆与三角函数线-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版2019）

(２)因为π＜４＜３π２ ,所以４是第三象限角, 因为－２３π４ ＝－６π＋ π ４ , 所以－２３π４ 是第一象限角． 所以sin４＜０,tan －２３π４( )＞０, 所以sin４􀅰tan －２３π４( )＜０． １２．解:由题意知,cosα≠０． 设角α的终边上任一点为P(k,－３k)(k≠０),则x＝ k,y＝－３k,r＝ k２＋(－３k)２＝ １０|k|． (１)当k＞０时,r＝ １０k,α是第四象限角, sinα＝yr ＝ －３k １０k ＝－３ １０１０ , １ cosα＝ r x ＝ １０x k ＝ １０ , ∴１０sinα＋ ３cosα＝１０× － ３ １０ １０ æ è ç ö ø ÷＋３ １０ ＝－３ １０＋３ １０＝０． (２)当k＜０时,r＝－ １０k,α为第二象限角, sinα＝yr ＝ －３k － １０k ＝３ １０１０ , １ cosα＝ r x ＝－ １０k k ＝－ １０ , ∴１０sinα＋ ３cosα＝１０× ３ １０ １０ ＋３× (－ １０) ＝３ １０－３ １０＝０． 综上所述,１０sinα＋ ３cosα＝０． １３．解析:设点 M 的坐标为(x１,y１)．由题意,可知sinα ＝－ ２２ ,即y１＝－ ２ ２． 因为点 M 在圆x２＋y２＝１上, 所以x２１＋y２１＝１, 即x２１＋ － ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１, 解得x１＝ ２ ２ 或－ ２２． 所以cosα＝ ２２ 或cosα＝－ ２２ , 所以tanα＝－１或tanα＝１． ７．２．２　单位圆与三角函数线 １．D　[终边在y轴上的角的正切线不存在,故 A、C不 正确;对任意角都能作出正弦线、余弦线,故 B 不正 确;D显然正确．] ２．AC ３．B　[当α＝６０°时, 因为０°＜α＜９０°时,sinα＜α＜tanα, 所以tan６０°＞sin６０°． 又因为α＞４５°时,sinα＞cosα,所以sin６０°＞cos６０°, 所以OM＜MP＜AT．所以应选B．] ４．A　[如图所示,在x 轴正半轴上取 OM＝１２ ,过点 M 作x 轴的垂线交 单位圆于A,B 两点,由图可知满足 cosx≥１２ 的角x的范围如图所示中 阴影部分所示．因为x∈[０,２π],所以x的取值范围是 ０,π３[ ]∪ ５π ３ ,２π[ ]．] ５．D　[分析１弧度角的范围,作出单 位圆及三角函数线,如图所示,设１ 弧度角 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 P (x,y),x轴正半轴与单位圆交于点 A(１,０),过P 作PM⊥Ox,垂足为 M,过A 作单位圆的切线与OP 的 延长线交于点T,则有OM＜MP＜AT,即cos１＜sin １＜tan１．] ６．AD　[可以从三角函数线看,α,β的 正 弦 线 分 别 为 M１P１,M２P２,它 们 是 相 等 的;α,β 的 余 弦 线 分 别 为 OM１,OM２,它们是相反的．] ７．解析:如图所示,在单位圆中,作出－３π４＜α＜－ π ２ 内 的一个角及其余弦线、正弦线、正切线OM→,MP→,AT→． 由图知,|OM|→＜|MP|→＜|AT|→, ∴－|MP|→＜－|OM|→＜|AT|→,即sinα＜cosα＜tanα． 答案:sinα＜cosα＜tanα ８．解析:不等式的解集如图所示(阴影部分), ∴ α|kπ－π６＜α＜kπ＋ π ２ ,k∈Z{ }． 答案:α|kπ－π６＜α＜kπ＋ π ２ ,k∈Z{ } ９．解析:作 出２π３ 和４π ５ 的 三 角 函 数 线,如 图 所 示．根 据 三 角 函 数 线得: sin２π３＝MP＞sin ３π ４＝M′P′ ; cos２π３＝OM＞cos ３π ４＝OM′ ; tan２π３＝AT＜tan ３π ４＝AT′． 答案:(１)＞　(２)＞　(３)＜ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 参考答案 １０．解:如图,在单位圆O 中分别作 出角５π ７ 的正弦线 M１P１ 和 ２π ７ 的 余弦线OM２、正切线AT．由 ５π ７ ＝π－２π７ 知 M１P１＝M２P２, 又π ４＜ ２π ７＜ π ２ ,易知AT＞M２P２＞OM２, ∴cos２７π＜sin ５π ７＜tan ２π ７ ,故b＜a＜c． １１．解:由 题 意 得,要 使 函 数 有 意 义,则须 sinx＞０且sinx≠１, ２cosx＋１＞０,{ 如 图 所 示,阴 影 部 分 (不 含 边 界 与 y 轴)即为所求． 所以所求函数的定义域为 x|２kπ＜x＜２kπ＋π２ ,或２kπ＋π２＜x＜２kπ＋ ２π ３ ,k∈Z{ }． １２．解:(１)如图(１)所示,过点(１,－１)和原点作直线,交 单位圆于点P 和P′,则角α的终边在直线PP′上,所 以满足条件的角α的集合是 α{ α＝kπ－π４ ,k∈Z}． (２)如图(２)所示,过点 ０,－１２( ) 作x 轴的平行线, 交单位圆于点P 和P′,连接OP,OP′,则sin∠xOP ＝sin∠xOP′＝－１２ ,所以∠xOP＝１１６π ,∠xOP′＝ ７ ６π , 所以满足条件的角α的集合是 α{ ７６π＋２kπ＜α＜ １１ ６π＋２kπ ,k∈Z}． (３)如图(３)所示,过点 ３ ２ ,０ æ è ç ö ø ÷ 作x 轴的垂线,与单 位圆交于点P 和P′,则∠xOP＝π６ ,∠xOP′＝－π６． 所以满足条件的角α的集合是 α{ －π６＋２kπ≤α≤ π ６＋２kπ ,k∈Z}． １３．证明:如图所示,单位圆O 与x 轴正 半轴交于点A, 与角β,α的终边分别交于点P,Q,过 点P,Q 分别作OA 的垂线,垂足分 别是 M,N,则sinα＝|NQ→|,sinβ＝ |MP→|．过点 Q 作QH ⊥MP 于 H, 则|HP→|＝|MP|→|－|NQ→|＝sinβ－sinα．连接PQ, 由图可知|HP→|＜PQ︵＝AP︵－AQ︵＝β－α,即β－α＞ sinβ－sinα． ７．２．３　同角三角函数的基本关系式 １．D　[∵tanα＝sinαcosα＝－ ５ １２ ,sin２α＋cos２α＝１,∴sinα ＝±５１３．α 是第四象限角,∴sinα＝－５１３． ] ２．C　[sin２α＋cos４α＋sin２αcos２α ＝sin２α＋cos２α(cos２α＋sin２α) ＝sin２α＋cos２α＝１．] ３．B　[sin４α－cos４α＝(sin２α＋cos２α)􀅰(sin２α－cos２α) ＝sin２α－cos２α＝２sin２α－１＝２×１５－１＝－ ３ ５． ] ４．A　[由３sinα＋cosα＝０,得tanα＝－１３． １ cos２α＋２sinαcosα ＝ sin ２α＋cos２α cos２α＋２sinαcosα ＝tan ２α＋１ １＋２tanα ＝ －１３( ) ２ ＋１ １－２×１３ ＝１０３． ] ５．D　[由题意知θ∈(０,π)． 因为sinθcosθ＝－１８ ,所以sinθ－cosθ＞０, 即sinθ－cosθ＝ (sinθ－cosθ)２＝ １－２sinθcosθ ＝ ５２． 故选 D．] ６．AB　[(sinα＋２cosα)２＝sin２α＋４sinαcosα＋４cos２α ＝sin ２α＋４sinαcosα＋４cos２α sin２α＋cos２α ＝tan ２α＋４tanα＋４ tan２α＋１ ＝３ ２＋４×３＋４ ３２＋１ ＝５２． 又tanα＝３＞０,所以sinα,cosα同号,故sinα＋２cosα ＝ １０２ 或－ １０２ ． ] ７．解析:因为tanα＝m,所以sin ２α cos２α ＝m２． 又因为sin２α＋cos２α＝１, 所以cos２α＝ １ m２＋１ ,sin２α＝ m ２ m２＋１ ． 又因为π＜α＜３π２ , 所以sinα＜０,tanα＞０,即m＞０． 因而sinα＝－ m m２＋１ ． 答案:－ m m２＋１ ８．解析:cosα－π４( )＝± １－sin ２ α－π４( ) ＝± １－ １３( ) ２ ＝±２ ２３ ． 答案:±２ ２３ ９．解析:(１)２sinα－３cosα４sinα－９cosα＝ ２tanα－３ ４tanα－９＝ ２×３－３ ４×３－９＝１ ; (２)sin２α－３sinαcosα＋１ ＝sin ２α－３sinαcosα＋sin２α＋cos２α sin２α＋cos２α ＝２sin ２α－３sinαcosα＋cos２α sin２α＋cos２α ＝２tan ２α－３tanα＋１ tan２α＋１ ＝２×３ ２－３×３＋１ ３２＋１ ＝１． 答案:(１)１　(２)１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５􀅰 必修第三册 　７．２．２　单位圆与三角函数线 １．对于三角函数线,下列说法正确的是 (　　) A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正 切线 B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任意角的正弦线、正切线总是存在的,但余 弦线不一定存在 D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的,但正 切线不一定存在 ２．如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆 交于P(x,y),则 (　　) A．sinα＝y　　　　　　B．cosα＝－x C．tanα＝yx (x≠０) D．sinα＝－y ３．已知MP,OM,AT 分别是６０°角的正弦线、余 弦线和正切线,则 (　　) A．MP＜OM＜AT B．OM＜MP＜AT C．AT＜OM＜MP D．OM＜AT＜MP ４．在[０,２π]上满足cosx≥１２ 的x的取值范围是 (　　) A．０,π３[ ]∪ ５π ３ ,２π[ ] B．０,π６[ ]∪ １１π ６ ,２π[ ] C．０,π３[ ] D．５３π ,２π[ ] ５．cos１,sin１,tan１的大小关系是 (　　) A．sin１＜cos１＜tan１ B．tan１＜sin１＜cos１ C．cos１＜tan１＜sin１ D．cos１＜sin１＜tan１ ６．(多选题)如图,α,β的终边关于y 轴对称,则下 面关系式正确的是　　　　． A．sinα＝sinβ B．sinα＝－sinβ C．cosα＝cosβ D．cosα＝－cosβ ７．若－３π４＜α＜－ π ２ ,则sinα,cosα,tanα的大 小关系是　　　　． ８．不等式tanα＋ ３３＞０ 的解集是　　　　． ９．(多空题)利用三角函数线比较下列各组数的 大小(用“＞”或“＜”连接): (１)sin２π３　　　　sin ３π ４ ; (２)cos２π３　　　　cos ３π ４ ; (３)tan２π３　　　　tan ３π ４． １０．利用三角函数线比较a＝sin５π７ ,b＝cos２π７ ,c ＝tan２π７ 的大小． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 第七章　三角函数 １１．求函数y＝logsinx(２cosx＋１)的定义域． １２．利用三角函数线,求满足下列条件的角α的 集合． (１)tanα＝－１;(２)sinα＜－１２ ;(３)cosα ≥ ３２． １３．利用三角函数线证明:若０＜α＜β＜ π ２ ,则β －α＞sinβ－sinα． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 必修第三册