10.4三元一次方程组的解法（第1课时三元一次方程组的解法）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第十章 二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法 第1课时 三元一次方程组的解法 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.三元一次方程组的解法及“消元”思想. 2.根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元． 情景导入 代入消元法 加减消元法 解一元一次方程 二元一次方 程组的解法 “多元” “一元” 消元 消元思想 化归转化思想 新知探究 问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场? 思考 （1）题目中有几个未知量? （2）题目中有哪些等量关系? （3）如何用方程表示这些等量关系? 设这支球队胜、平、负的场数分别为x，y，z. x + y + z = 22 3x + y = 47 x = 4z + 2 ①胜的场数+平的场数+负的场数=22； ②胜场积分+平场积分+负场积分=47； ③胜的场数=负的场数×4+2. 等量关系: x + y + z = 22 3x + y = 47 x = 4z + 2 观察列出的三个方程，你有什么发现? 二元一次方程 未知数的项的次数都是 1 未知数的项的次数都是 1 含两个未知数 含三个未知数 三元一次方程 都是整式 都是整式 这个问题的解必须同时满足上面的三个条件，因此，把这三个方程合在一起，写成 x + y + z = 22， 3x + y = 47， x = 4z + 2 . 一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 例题讲解 例1 解三元一次方程组 3x + 4z = 7， 2x + 3y + z = 9， 5x - 9y + 7z= 8. ① ② ③ 解:②×3+③，得 11x + 10z = 35. ④ ①与④组成方程组 3x+4y=7， 11x+10z=35. 解这个方程组，得 x=5， z=-2. 把x=5，z=-2代入②，得 2×5+3y-2=9， y = . 因此，这个三元一次方程组的解为 y= ， z=-2. x=5， 还有其他解法吗? + 3y - 9y 3x + 4z = 7， 2x + 3y + z = 9， 5x - 9y + 7z= 8. ① ② ③ 解：由①，得 ④ x= 把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组 2× + 3y + z = 9 5× - 9y + 7z= 8 整理，得 9y-5z=13 z-27y=-11 解这个方程组，得 y= ， z=-2 把z= -2代入④，得x=5 因此，这个三元一次方程组的解为 y= ， z=-2. x=5， 加减法比代入法更简单. 概念归纳 三元一次方程组必须满足的三个条件： 方程组中一共含有三个未知数. 含有未知数的项的次数都是1. 含有三个整式方程. (不一定每个方程都含有三个未知数) 一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 课堂练习 解下列三元一次方程组: 【选自教材P109 练习】 x-2y=-9， y-z=3， 2z+x=47； （1） x = 22， y = ， z = 解得 （2） 4x-9z=17， 3x+y+15z=18， x+2y+3z=2； x = 5， y = -2， z = . 解得 解下列三元一次方程组: 【选自教材P109 练习】 x+y=3， y+z=4， z+x=5； （3） （4） x = 2， y =1， z =3. 解得 3x-y+z=4， 2x+3y-z=12， x+y+z=6. x = 2， y = 3， z =1. 解得 分层练习 基础题 1. 下列方程组中是三元一次方程组的是( ) B A. B. C. D. 2. 解方程组 时，要使解法较为简便，应 ( ) B A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 先消去常数 15 3. [2024内江期中] 三元一次方程组 的解为( ) D A. B. C. D. 16 4.下列各方程组中，三元一次方程组有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17 5.三元一次方程组 的解是( ) D A. B. C. D. 6.解方程组 最简便的消元方法是( ) B A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常数项 18 7.[2024· 重庆梁平区期末] 解三元一次方程组 若 要消掉未知数 ，则应对方程组进行的变形为( ) C A.， B.， C.， D.， 8. 三元一次方程组 化为二元一次方 程组为_ ___________________________.（写出一种即可） （答案不唯一） 19 9.[2024成都郫都区期末] 已知，，满足 则 _______. 【点拨】 ，得，即 ， . ，得 ， 即 ， ， . 20 10. 已知等式，且当 时， ；当时，；当时， . （1）求，， 的值； 【解】由题意得 ，得 ，④ ，得，即 ，⑤ ④与⑤组成方程组，得 解得 把代入①，得 . 21 （2）当时， 的值又是多少？ 【解】由（1）知，，的值分别是2， ，1， ， 当 时， . 22 11.如图是一个有三条边的算法图，每个 里有一个数，这个数等于它 所在边的两个里的数的和，请求出三个 里应填入的数. 【解】如图，设三个数分别是,, , 根据题意，得解得 23 综合应用题 12. 若关于,的方程组的解相等，则 的值为( ) C A. B. 4 C. 2 D. 1 【点拨】由题意可得，将 代入原方程组的第二个 方程,得，解得 . 将代入第一个方程,得 ， 解得 .故选C. 13.[2024· 邯郸邯山区期末] 已知方程组则 的值是 ( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 14.[2024· 张家口万全区期中] 已知 是三元一次方程组 的解，则 的值为( ) C A.125 B.119 C.113 D.71 25 [解析] 点拨：将，，代入 得 解得，， ， . 26 15.[2024· 佛山顺德区月考] 如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第 三个天平的右边只放 ，要使之保持平衡，则应放 ( ) B A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 27 [解析] 点拨：设的质量为， 的质量为，的质量为 ， 则根据题图得 由①，得 ，③ 把③代入②，得 ， 整理得， ， 应放 个. 28 16. 已知单项式 与 ●是同类项，则_ __，____， ___. 【点拨】根据题意，得 解得 29 17.已知，且，则 的值等于 _____. 【点拨】设，则， ， ， ， ，解得 ， ，， ， . 30 18.用3.50元买了面值分别为10分、20分、50分的三种邮票共18枚，其 中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分邮票共买了___枚. 3 【点拨】设面值为10分、20分、50分的邮票各有枚、 枚、 枚. 则由题意得 由③得 ， 把代入①，得 ，④ 把代入②，得 ，⑤ 由④得 ，⑥ 把⑥代入⑤，得， . 31 19.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个 衣袖、1个衣身和1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣 身15个，或衣领12个，那么安排多少名工人缝制衣袖，多少名工人缝制 衣身，多少名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正 好配套？ 32 解：设安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身， 名工人缝制衣领， 依题意，得解得 答：安排120名工人缝制衣袖，40名工人缝制衣身，50名工人缝制衣领， 才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套. 33 创新拓展题 20.在边长为1的小正方形组成的方格纸中， 称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点 上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面 积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为 ， 如图，图中的三角形是格点三角形，其中 ， ，；图中格点多边形所对应的，， 分别是，， .经探究发现，任意格点多边形 的面积可表示为，其中，， 为常数，求 当，时， 的值. 【解】连接，易得四边形 是格点四 边形，，， . 任意格点多边形的面积 ， 由图中的格点三角形 、格点多边形 、格点四边形 得 35 解得 ， 将， 代入，得 . 21.[2024· 重庆黔江区期末] 数学活动： 小川、小渝两位同学在学习方程组的过程中发现，三元一次方程组 虽然解不出，， 的具体数值，但可以解出 的值. 37 （1）小川的方法：，整理得 _______； ，整理得 ______； . 小渝的方法： ，得__________________； . 38 （2）已知求 的值. 解： ，得，整理得 ， ，得，整理得 ， 则 . 39 （3）学校现准备采购若干英语簿、数学簿以及作文本，已知采购2本英 语簿、2本数学簿、1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿、8本数学簿、 2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿、300本数学簿、100本作 文本需要多少钱？ 40 解：设1本英语簿元，1本数学簿元，1本作文本 元， 由题意得 ，得， . 将代入①，整理得 . . 答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元. 41 课堂小结 三元一次方程组 概念 含未知数的项的次数都是 1 方程组中一共含有 3 个未知数 解法 化“三元”为“二元” 含有三个整式方程 消元 代入消元法 加减消元法 二元一次方程组 $$