抢分秘籍02 方程与不等式（八大题型+四大易错）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）

抢分秘籍02 方程与不等式 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】一元一次方程及应用 【题型二】二元一次方程及应用 【题型三】一元二次方程的解法 【题型四】一元二次方程的应用 【题型五】分式方程的解法 【题型六】分式方程的应用 【题型七】不等式的解法 【题型八】不等式的应用 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题 易错点二：一元二次方程中含参数易错问题 易错点三：分式方程中含参数易错问题 易错点四：不等式中含参数易错问题 ：方程和不等式是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1． 从考点频率看 1.高频核心考点：方程有一元二次方程（解法、判别式、韦达定理）、分式方程（解法及增根讨论）、二元一次方程组（解法及实际应用）每年必考，常结合利润、行程、几何等实际问题。不等式有一元一次不等式组（解集求解、参数范围讨论）及应用题（方案设计、最值问题）高频出现，常与函数、方程综合命题。 2. 易错考点： 分式方程的增根检验、一元二次方程二次项系数含参时的分类讨论、不等式组解集边界值的取舍（是否取等号）。 2． 从题型角度看： 1. 基础题型：选择题、填空题考查方程解法、不等式解集表示，占比约10%-15%。 2. 应用题：解答题中，方程与不等式常作为建模工具（如利润最大化、资源分配问题），占比约20%-25%，需结合题意列关系式。 3. 综合题：与函数（一次函数、二次函数）结合的压轴题，如利用不等式求自变量范围、方程根的分布分析，难度较高，区分度强。 1.基础巩固：熟练掌握各类方程（组）解法步骤（如分式方程验根、一元二次方程配方法/公式法），不等式组解集“数轴法”确定。 2.专题突破：针对参数问题专项训练（如含参方程的解的情况、不等式组参数范围），总结分类讨论逻辑（如二次项系数是否为0、不等号方向变化）。强化应用题建模能力，提炼“审-设-列-解-验-答”六步法，尤其注意实际问题中变量的取值范围（如正整数解）。 3.易错点攻坚：整理错题本，归纳增根遗漏、判别式忽略前提（二次项系数≠0）、不等式方向改变等高频错误。限时训练提升解题速度，确保基础题准确率达100%，综合题分步得分。 【题型一】一元一次方程及应用 【例1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有几个人合伙购买，该物品的价格是多少．设合伙赎买的有x人，根据题意，可列方程为（   ）． A． B． C． D． 本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．由此列式即可求解． 【例2】（2025·陕西咸阳·一模）为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“感谢贺卡”．若每人做8张，则比计划多了3张；若每人做5张，则比计划少了27张．该活动小组共有多少人？ 【变式1】（2025·广西来宾·一模）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025·陕西西安·一模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等．求图中x的值． 14 6 x 8 【变式3】（2025·陕西西安·一模）某班体育活动课上原计划分成两个小组进行活动，第一组26人，第二组22人，现要根据学校体育器材的数量，对两个小组的人数重新进行调整，从第一组调部分人到第二组去，使得调整后第一组的人数为第二组人数的一半，请问应该从第一组调多少人到第二组去？（用方程解答） 【变式4】（2025·安徽合肥·一模）为贯彻落实“立德树人”的根本任务，提高学生的劳动素养．某中学拟组织九年级师生去校外劳动教育实践基地参加劳动实践活动，需向某客运公司租客车前往，下表是有关租车的信息： 信息1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座客车每辆每天的租金多200元． 信息2 上周八年级师生去该基地参加劳动实践活动向这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车，一天的租金共计6200元． 信息3 九年级师生租用4辆60座的客车和4辆45座的客车正好坐满． 请根据以上表中的信息，解答下列问题； (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)九年级师生到该客运公司租车一天，共需租金多少元？ 【题型二】二元一次方程及应用 【例1】（2025·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组是（   ） A． B． C． D． 本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组求解方程即可． 【例2】（2025·湖南·一模）解方程组：． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 【变式3】（2025·北京延庆·模拟预测）某图书馆计划用800元购买经典文学和科普读物两种书籍，经典文学每套50元，科普读物每套35元．若购买经典文学的数量比科普读物的数量多10套，判断能否恰好用完预算？若能，请求出所购买的经典文学和科普读物的套数，若不能，请说明理由． 【变式4】（2025·安徽·一模）某天，蔬菜经营户张老板用218元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿到市场去卖，豆角和西红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示： 品名 豆角 西红柿 批发价/元 零售价/元 请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况． 【题型三】一元二次方程的解法 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）解一元二次方程：． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法解一元二次方程即可． 【例2】（2025·安徽·模拟预测）解方程：． 【变式1】（2025·江西南昌·一模）（1）计算：． （2）解方程：． 【变式2】（2025·江苏无锡·一模）解方程或不等式组： (1)； (2)． 【变式3】（2025·甘肃武威·一模）（1）解方程： （2）计算： （3）化简求值：，其中 【题型四】一元二次方程的应用 【例1】（2025·陕西汉中·二模）随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的30万人增加到2024年的万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率． 本题考查了由实际问题列出一元二次方程、找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【例2】（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为 ． 【变式1】（2025·贵州·一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是 ． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·二模）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ (2)设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【变式3】（2025·四川广安·模拟预测）某果园原计划种100棵桃树，一颗桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每颗桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵． (1)如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ (2)应种多少棵桃树，桃子的产量才会达到最大值？求出这个最大值． 【题型五】分式方程的解法 【例1】（2025·陕西咸阳·一模）解方程：． 本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验计算即可得解． 【例2】（2025·甘肃定西·一模）解分式方程 【变式1】（2025·陕西西安·一模）解方程：． 【变式2】（2025·江苏南京·模拟预测）已知方程． (1)将该方程去分母，得 ，此步骤的依据是 ． (2)接着（1）中的步骤，继续解该方程． 【变式3】（2025·江西抚州·一模）以下是小张同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： ．第一步 ．第二步 ．第三步 经检验，是原方程的根．第四步 任务一：填空：以上解方程的过程中，第___________步开始出现错误； 任务二：请你帮他写出正确的解答过程． 【题型六】分式方程的应用 【例1】（2025·广东清远·一模）为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键 【例2】（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 天， 【变式1】（2025·山西忻州·一模）为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯”．据了解，该路段总长约5.4公里，改造后车辆通过该路段的平均速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度． 【变式2】（2025·山西运城·一模）晋阳高速公路改扩建项目是年山西省级的重点项目，现有一段路由甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修千米，乙工程队需要修千米，已知乙工程队每个月的修建速度是甲工程队的倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月修建多少千米？ 【变式3】（2025·重庆·一模）跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高． (1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？ (2)甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？ 【题型七】不等式的解法 【例1】（2025·陕西西安·一模）解不等式组： 本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【例2】（2025·浙江舟山·一模）解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解． 【变式1】（2025·甘肃平凉·一模）解不等式组： 【变式2】（2025·北京·模拟预测）解不等式组： 【变式3】（2025·天津蓟州·模拟预测）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为 ． 【题型八】不等式的应用 【例1】（2025·重庆·二模）重庆沙坪坝“全球校友”半程马拉松活动将于2025年4月20日在沙坪坝开展，重庆一中校友会计划为参与马拉松活动的一中校友采购活动周边纪念品．经初步调研发现，购买3件运动恤和2个运动手环花费165元，且1件运动恤比1个运动手环贵30元． (1)每件运动恤和每个运动手环的售价分别是多少元？ (2)截止2025年3月17日马拉松活动报名结束，重庆一中校友会计划采购运动恤和运动手环共200件，且购买的总费用不超过5000元，则最多可购买运动恤多少件？ 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． 【例2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）某商场购进甲、乙两种手机共50部．已知购进一部甲种手机比购进一部乙种手机进价少0.3万元，用36万元购进甲种手机的数量是用48万元购进乙种手机数量的3倍．请解答下列问题： (1)甲、乙两种手机每部进价各是多少元？ (2)若商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，商场有哪几种购进方案？ (3)在（2）的条件下，若甲种手机每部售价1100元，乙种每部手机售价4300元，甲、乙两种手机各有一部样机按八折出售，其余全部按标价售出，商场从销售这50部手机获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上手机共2部．请直接写出该商场购进这50部手机中，甲、乙两种手机各几部． 【变式1】（2025·贵州黔东南·一模）苗年和侗年是传统民俗节日，更是国家级非物质文化遗产，凯里市某文创公司在苗年和侗年节日期间制作了“苗族”和“侗族”两种玩偶纪念品进行售卖．已知每个“苗族”玩偶的售价比每个“侗族”玩偶的售价高元，用元购买的“苗族”玩偶的数量是用元购进的“侗族”玩偶的数量的． (1)求每个“苗族”玩偶和“侗族”玩偶的售价； (2)若某商店一次性购进“苗族”玩偶和“侗族”玩偶共个，要使总费用不超过元，则至少要购买多少个“侗族”玩偶. 【变式2】（2025·河南信阳·一模）据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 【变式3】（2025·四川泸州·一模）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以3150元购进A、B两种不同品种的盒装草莓，其中A品种进价为35元/盒、B品种50元/盒；若按A品种60元/盒、B品种80元/盒的标价出售可获利润2050元． (1)求这两个品种的草莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕．（损耗忽略不计）因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于25盒．如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题 解含参数二元一次方程组，先整理成标准形式，分系数是否为零讨论：①系数行列式非零时唯一解；②行列式为零，对比常数项判断无解或无穷解，注意消元时避免分母为零，警惕参数特殊值漏解。 例1．（2025·四川绵阳·二模）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为 ． 变式1：（2025·山东济宁·一模）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 变式2：（2025·浙江宁波·一模）若方程组    的解是     则方程组   的解是 变式3：（2025·四川内江·一模）若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是 ． 易错点二：一元二次方程中含参数易错问题 含参一元二次方程易错点：①讨论二次项系数是否为0，区分方程类型；②用判别式Δ时勿忘二次项系数≠0；③韦达定理需以Δ≥0为前提；④参数范围结合题意及根的分布综合分析，避免漏解。 例1．（2025·陕西汉中·二模）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值为 ． 变式1：（2025·甘肃定西·一模）若m是方程的根，则式子的值为 变式2：（2025·河南洛阳·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 变式3：（2025·江苏南京·模拟预测）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 . 变式4：（2025·山东聊城·一模）如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 易错点三：分式方程中含参数易错问题 分式方程组含参易错点：①关注分母不为零，参数可能使分母为零需排除；②去分母时防漏乘整式项；③解需验根，增根及无解情况结合参数讨论，确保解符合所有分式定义域。 例1．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 变式1：（2025·山东东营·一模）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ． 变式2：（2025·山东·一模）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是 ． 变式3：（2025·重庆·二模）若关于的不等式组有且仅有1个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 变式4：（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ． 变式5：（2025·重庆开州·一模）若关于的不等式组有解且至多5个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 易错点四：不等式中含参数易错问题 不等式组含参易错点：①参数影响不等号方向（尤其乘除负数时）；②边界值是否取等需结合题意；③分情况讨论参数范围（如无解、有解、解集为空），注意数轴标根时参数位置与区间开闭。 例1．（2025·广东韶关·一模）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 变式1：（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为 ． 变式2：（2025·黑龙江牡丹江·一模）关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 变式3：（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 变式4：（2025·黑龙江大庆·一模）若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抢分秘籍02 方程与不等式 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】一元一次方程及应用 【题型二】二元一次方程及应用 【题型三】一元二次方程的解法 【题型四】一元二次方程的应用 【题型五】分式方程的解法 【题型六】分式方程的应用 【题型七】不等式的解法 【题型八】不等式的应用 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题 易错点二：一元二次方程中含参数易错问题 易错点三：分式方程中含参数易错问题 易错点四：不等式中含参数易错问题 ：方程和不等式是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1． 从考点频率看 1.高频核心考点：方程有一元二次方程（解法、判别式、韦达定理）、分式方程（解法及增根讨论）、二元一次方程组（解法及实际应用）每年必考，常结合利润、行程、几何等实际问题。不等式有一元一次不等式组（解集求解、参数范围讨论）及应用题（方案设计、最值问题）高频出现，常与函数、方程综合命题。 2. 易错考点： 分式方程的增根检验、一元二次方程二次项系数含参时的分类讨论、不等式组解集边界值的取舍（是否取等号）。 2． 从题型角度看： 1. 基础题型：选择题、填空题考查方程解法、不等式解集表示，占比约10%-15%。 2. 应用题：解答题中，方程与不等式常作为建模工具（如利润最大化、资源分配问题），占比约20%-25%，需结合题意列关系式。 3. 综合题：与函数（一次函数、二次函数）结合的压轴题，如利用不等式求自变量范围、方程根的分布分析，难度较高，区分度强。 1.基础巩固：熟练掌握各类方程（组）解法步骤（如分式方程验根、一元二次方程配方法/公式法），不等式组解集“数轴法”确定。 2.专题突破：针对参数问题专项训练（如含参方程的解的情况、不等式组参数范围），总结分类讨论逻辑（如二次项系数是否为0、不等号方向变化）。强化应用题建模能力，提炼“审-设-列-解-验-答”六步法，尤其注意实际问题中变量的取值范围（如正整数解）。 3.易错点攻坚：整理错题本，归纳增根遗漏、判别式忽略前提（二次项系数≠0）、不等式方向改变等高频错误。限时训练提升解题速度，确保基础题准确率达100%，综合题分步得分。 【题型一】一元一次方程及应用 【例1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有几个人合伙购买，该物品的价格是多少．设合伙赎买的有x人，根据题意，可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．设合伙赎买的有x人，根据每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，物价保持不变，由此列式即可求解． 【详解】解：设合伙赎买的有x人，根据题意：， 故选：B． 本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．由此列式即可求解． 【例2】（2025·陕西咸阳·一模）为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“感谢贺卡”．若每人做8张，则比计划多了3张；若每人做5张，则比计划少了27张．该活动小组共有多少人？ 【答案】该活动小组共有人 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该活动小组共有人，根据“若每人做8张，则比计划多了3张；若每人做5张，则比计划少了27张”列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设该活动小组共有人， 由题意可得：， 解得：， ∴该活动小组共有人． 【变式1】（2025·广西来宾·一模）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x，根据题意得：， 解得， 即在第2根绳子上的打结数是3， 故选：C． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等．求图中x的值． 14 6 x 8 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程应用，根据题意可得：，求解即可得到结果． 【详解】解：第1行中间数与第2列的最上面的数重合， ∴依题意得：， 解得：． 【变式3】（2025·陕西西安·一模）某班体育活动课上原计划分成两个小组进行活动，第一组26人，第二组22人，现要根据学校体育器材的数量，对两个小组的人数重新进行调整，从第一组调部分人到第二组去，使得调整后第一组的人数为第二组人数的一半，请问应该从第一组调多少人到第二组去？（用方程解答） 【答案】应该从第一组调10人到第二组去 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设应该从第一组调人到第二组去，根据调整后第一组的人数为第二组人数的一半，列出一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应该从第一组调人到第二组去． 根据题意，得， 解得， 答：应该从第一组调10人到第二组去． 【变式4】（2025·安徽合肥·一模）为贯彻落实“立德树人”的根本任务，提高学生的劳动素养．某中学拟组织九年级师生去校外劳动教育实践基地参加劳动实践活动，需向某客运公司租客车前往，下表是有关租车的信息： 信息1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座客车每辆每天的租金多200元． 信息2 上周八年级师生去该基地参加劳动实践活动向这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车，一天的租金共计6200元． 信息3 九年级师生租用4辆60座的客车和4辆45座的客车正好坐满． 请根据以上表中的信息，解答下列问题； (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)九年级师生到该客运公司租车一天，共需租金多少元？ 【答案】(1)60座客车每辆每天的租金为850元，45座客车每辆每天的租金为650元 (2)（元） 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设60座客车每辆每天的租金为元，则45座客车每辆每天的租金为元．再根据租了5辆60座和3辆45座的客车，一天的租金共计6200元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出租用4辆60座的客车和4辆45座的客车的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设60座客车每辆每天的租金为元，则45座客车每辆每天的租金为元． 由题意得，， 解得． 答：60座客车每辆每天的租金为850元，45座客车每辆每天的租金为650元． （2）解：由题意得，可知九年级师生租车的费用为：（元）． 【题型二】二元一次方程及应用 【例1】（2025·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组即可． 【详解】解：设木长尺，绳长尺， 根据题意，得， 故选：D． 本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组求解方程即可． 【例2】（2025·湖南·一模）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，将①②消去解得，从而代入②得到即可．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得； 将代入②得， 解得； 原方程组的解为． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设人数为人，车数为辆，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人，车数为辆， 由题意得，， 故选：． 【变式2】（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 【答案】5 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 将解代入原方程组即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 故答案为：5． 【变式3】（2025·北京延庆·模拟预测）某图书馆计划用800元购买经典文学和科普读物两种书籍，经典文学每套50元，科普读物每套35元．若购买经典文学的数量比科普读物的数量多10套，判断能否恰好用完预算？若能，请求出所购买的经典文学和科普读物的套数，若不能，请说明理由． 【答案】判断不能恰好用完预算．理由见解析 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，根据题意设购买经典文学x套，购买科普读物y套，列出二元一次方程，解得y不是正整数，不合题意，即可知不能恰好用完预算． 【详解】解：判断不能恰好用完预算．理由如下： 设购买经典文学x套，购买科普读物y套，假设恰好用完预算800元， 则 解得 此时y不是正整数，不合题意． 答：不能恰好用完预算． 【变式4】（2025·安徽·一模）某天，蔬菜经营户张老板用218元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿到市场去卖，豆角和西红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示： 品名 豆角 西红柿 批发价/元 零售价/元 请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况． 【答案】共能赚140元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设张老板批发了豆角，西红柿，根据豆角和西红柿、共用218元建立方程组，解方程组求出的值，再根据零售价和批发价计算利润即可得． 【详解】解：设张老板批发了豆角，西红柿， 由题意得：， 解得：， 则（元）， 因为， 所以张老板卖出这些豆角和西红柿共能赚140元． 【题型三】一元二次方程的解法 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）解一元二次方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解． 【详解】解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得，， 解得：，． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法解一元二次方程即可． 【例2】（2025·安徽·模拟预测）解方程：． 【答案】，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：，，， ， ， ，． 【变式1】（2025·江西南昌·一模）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则和方程的解法是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得； （2）方程的左边可以因式分解为，利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：（1） ． （2）， ， 或， 或， 所以方程的解为． 【变式2】（2025·江苏无锡·一模）解方程或不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元二次方程和一元一次不等式组： （1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴， ∴； （2）， 解不等式①得，； 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 【变式3】（2025·甘肃武威·一模）（1）解方程： （2）计算： （3）化简求值：，其中 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】解一元二次方程——配方法、特殊角三角函数值的混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，三角函数值的混合运算，分式的化简求值； （1）把方程化为，再利用配方法解方程即可； （2）先计算乘方，算术平方根，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可； （3）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）， ； （3） ； 当时， 原式； 【题型四】一元二次方程的应用 【例1】（2025·陕西汉中·二模）随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的30万人增加到2024年的万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的30万人增加到2024年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． 本题考查了由实际问题列出一元二次方程、找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【例2】（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设小川及兄弟姐妹一共有人，则每人需赠送出份礼物，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【变式1】（2025·贵州·一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程、圆的面积公式，由题图易得，圆的直径为，则半径则为，圆的面积为，再根据题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：由题图易得，圆的直径为，则半径则为，圆的面积为， 可得方程， 故答案为：． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·二模）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ (2)设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】(1)当天可盈利1692元 (2)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点．熟练掌握总利润，每件利润，件数的关系，正确列出式子，列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论； （2）根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【详解】（1）解：某天该商品每件降价3元，则每件商品盈利为：元，销售数量件， 当天可盈利（元） 答：当天可盈利1692元； （2）解：根据题意得， 整理，得 解得， 为了尽快减少库存， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元. 【变式3】（2025·四川广安·模拟预测）某果园原计划种100棵桃树，一颗桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每颗桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵． (1)如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ (2)应种多少棵桃树，桃子的产量才会达到最大值？求出这个最大值． 【答案】(1)应多种20棵桃树 (2)应种200棵桃树，桃子的产量才会达到最大值，最大值为 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用； （1）设多种x棵树，根据产量增加，列方程求解即可； （2）多种x棵桃树，桃子的产量为y，，当时，随的增大而增大，得到当时，最大，据此求解即可． 【详解】（1）解：设多种x棵树，则 ， 整理，得：， ， 解得，， ∵多种的桃树不能超过100棵，即，， ∴不合题意，故舍去， ∴， 答：应多种20棵桃树； （2）解：多种x棵桃树，桃子的产量为y，则 ， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， ∴多种100课桃树，即应种200棵桃树，桃子的产量才会达到最大值，最大值为． 【题型五】分式方程的解法 【例1】（2025·陕西咸阳·一模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验计算即可得解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验计算即可得解． 【例2】（2025·甘肃定西·一模）解分式方程 【答案】． 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，化分式方程为整式方程，找出最简公分母和验根是解题的关键． 由题意得，先通分，再去分母，化分式方程为整式方程，求整式方程的解，验根，写出分式方程的解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，，分母不为0，不是增根， 所以是原分式方程的解． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．由解分式方程的步骤进行即可． 【详解】解：方程两边同时乘得，， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 【变式2】（2025·江苏南京·模拟预测）已知方程． (1)将该方程去分母，得 ，此步骤的依据是 ． (2)接着（1）中的步骤，继续解该方程． 【答案】(1)，等式的性质 (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据解分式方程的方法，先去分母，依据是等式的性质，即可解答； （2）在（1）的基础上，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求出x的值，然后再进行检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘，得， 此步骤的依据是等式的性质， 故答案为：，等式的性质； （2）解：在（1）的基础上，去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得， 检验：把代入， ∴分式方程的解为． 【变式3】（2025·江西抚州·一模）以下是小张同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： ．第一步 ．第二步 ．第三步 经检验，是原方程的根．第四步 任务一：填空：以上解方程的过程中，第___________步开始出现错误； 任务二：请你帮他写出正确的解答过程． 【答案】任务一：一；任务二：无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了求解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解答本题的关键． 任务一：根据解分式方程的方法进行判断即可； 任务二：先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：任务一：第一步去分母时，常数项没有乘以，因此第一步开始出现错误； 任务二：解：， 方程两边同乘以，得 解得， 检验，当时，， ∴不是原方程的根， ∴原方程无解． 【题型六】分式方程的应用 【例1】（2025·广东清远·一模）为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 【答案】每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为，根据数量、总金额与单价的关系，找到等量关系，列分式方程求解，并检验作答． 【详解】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为元． 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合实际， ∴． 答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元． 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键 【例2】（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 天， 【答案】11 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设规定时间为天，根据快马的速度是慢马的倍列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，根据题意得： ， 整理得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：11． 【变式1】（2025·山西忻州·一模）为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯”．据了解，该路段总长约5.4公里，改造后车辆通过该路段的平均速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度． 【答案】千米∕小时 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的应用．设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，根据“行驶5.4千米，平均行驶时间减少了3分钟”列出方程并解答． 【详解】解：设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时， 由题意，得． 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． 答：改造前通过该路段车辆的平均速度是千米∕小时． 【变式2】（2025·山西运城·一模）晋阳高速公路改扩建项目是年山西省级的重点项目，现有一段路由甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修千米，乙工程队需要修千米，已知乙工程队每个月的修建速度是甲工程队的倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月修建多少千米？ 【答案】甲工程队每个月修建千米． 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设甲工程队每个月修建千米，则乙工程队每个月修建千米，根据乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲工程队每个月修建千米，则乙工程队每个月修建千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每个月修建千米． 【变式3】（2025·重庆·一模）跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高． (1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？ (2)甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？ 【答案】(1)安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名； (2)甲平均每秒跳绳个 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用； （1）设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，再建立方程求解即可； （2）设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则利用时间关系建立分式方程求解即可. 【详解】（1）解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名， 由题可知：， 解得：， ∴（名）， 答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名； （2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：甲平均每秒跳绳个. 【题型七】不等式的解法 【例1】（2025·陕西西安·一模）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由得：； 由得：； 不等式组的解集为． 本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【例2】（2025·浙江舟山·一模）解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解． 【答案】，见解析，不等式组的整数解为：，0，1， 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解即可． 本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集表示在数轴上为： 不等式组的整数解为：，0，1， 【变式1】（2025·甘肃平凉·一模）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集为：． 【变式2】（2025·北京·模拟预测）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分的解集，即可作答． 【详解】解： 由解得， 由解得， ∴不等式组的解集为． 【变式3】（2025·天津蓟州·模拟预测）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （3）根据（1）（2）所求表示出对应的解集即可； （4）根据（3）所求即可得到答案． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：； （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：数轴表示如下所示： （4）解：由（3）可知，不等式组的解集为． 【题型八】不等式的应用 【例1】（2025·重庆·二模）重庆沙坪坝“全球校友”半程马拉松活动将于2025年4月20日在沙坪坝开展，重庆一中校友会计划为参与马拉松活动的一中校友采购活动周边纪念品．经初步调研发现，购买3件运动恤和2个运动手环花费165元，且1件运动恤比1个运动手环贵30元． (1)每件运动恤和每个运动手环的售价分别是多少元？ (2)截止2025年3月17日马拉松活动报名结束，重庆一中校友会计划采购运动恤和运动手环共200件，且购买的总费用不超过5000元，则最多可购买运动恤多少件？ 【答案】(1)每件运动恤的售价是45元，每个运动手环的售价是15元 (2)最多可购买运动恤66件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设每件运动恤的售价是元，每个运动手环的售价是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买运动恤件，则购买运动手环件，根据题意建立一元一次不等式，解不等式，求出的最大正整数解即可得． 【详解】（1）解：设每件运动恤的售价是元，每个运动手环的售价是元， 由题意得：， 解得， 答：每件运动恤的售价是45元，每个运动手环的售价是15元． （2）解：设购买运动恤件，则购买运动手环件， 由题意得：， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为66， 答：最多可购买运动恤66件． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． 【例2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）某商场购进甲、乙两种手机共50部．已知购进一部甲种手机比购进一部乙种手机进价少0.3万元，用36万元购进甲种手机的数量是用48万元购进乙种手机数量的3倍．请解答下列问题： (1)甲、乙两种手机每部进价各是多少元？ (2)若商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，商场有哪几种购进方案？ (3)在（2）的条件下，若甲种手机每部售价1100元，乙种每部手机售价4300元，甲、乙两种手机各有一部样机按八折出售，其余全部按标价售出，商场从销售这50部手机获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上手机共2部．请直接写出该商场购进这50部手机中，甲、乙两种手机各几部． 【答案】(1)甲种手机进价为每部1000元，乙种手机进价为每部4000元； (2)有3种进货方案：①甲种手机31部，乙种手机19部；②甲种手机32部，乙种手机18部；③甲种手机33部，乙种手机17部； (3)购进甲种手机32部，乙种手机18部． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程和差倍分问题、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程和不等式组是解题的关键： （1）设甲种手机的进价为每部万元，根据用36万元购进甲种手机的数量是用48万元购进乙种手机数量的3倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进甲种手机部，根据商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，列出不等式组进行求解即可； （3）根据（2）种方案，逐一进行计算，判断即可． 【详解】（1）解：设甲种手机的进价为每部万元，则乙种手机的进价为每部万元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 万元元，万元元； 答：甲种手机进价为每部1000元，乙种手机进价为每部4000元； （2）设购进甲种手机部，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴； 故有3种进货方案：①甲种手机31部，乙种手机19部；②甲种手机32部，乙种手机18部；③甲种手机33部，乙种手机17部； （3）①购买甲种手机31台，购买乙种手机19台， （元），不符合题意，舍去； ②购买甲种手机32台，购买乙种手机18台， （元），符合题意； ③购买甲种手机33台，购买乙种手机17台， （元），不符合题意，舍去． 综上所述，购买甲种手机32台，购买乙种手机18台． 【变式1】（2025·贵州黔东南·一模）苗年和侗年是传统民俗节日，更是国家级非物质文化遗产，凯里市某文创公司在苗年和侗年节日期间制作了“苗族”和“侗族”两种玩偶纪念品进行售卖．已知每个“苗族”玩偶的售价比每个“侗族”玩偶的售价高元，用元购买的“苗族”玩偶的数量是用元购进的“侗族”玩偶的数量的． (1)求每个“苗族”玩偶和“侗族”玩偶的售价； (2)若某商店一次性购进“苗族”玩偶和“侗族”玩偶共个，要使总费用不超过元，则至少要购买多少个“侗族”玩偶. 【答案】(1)每个“苗族”玩偶的售价为元，则每个“侗族”玩偶的售价为元 (2)至少要购买个“侗族”玩偶 【知识点】解分式方程、求一元一次不等式的整数解、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题关键． （1）根据用元购买的“苗族”玩偶的数量是用元购进的“侗族”玩偶的数量的列方程，解方程，即可求解； （2）根据“总费用不超过7200元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个“侗族”玩偶的售价为元，则每个“苗族”玩偶的售价为元． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个“苗族”玩偶的售价为元，则每个“侗族”玩偶的售价为元． （2）解：设要购买个“侗族”玩偶，则要购买个“苗族”玩偶， 根据题意，得：， 解得：， 答：至少要购买个“侗族”玩偶． 【变式2】（2025·河南信阳·一模）据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 【答案】(1)30元，60元 (2)3210元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】（1）设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购买A种玩偶y件，则购买B种玩偶件．根据题意，得，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：A种玩偶价格为30元，则B种玩偶价格为元． （2）解：设购买A种玩偶y件，则购买B种玩偶件． 根据题意，得， 解得， 设此次购进的费用为W元，根据题意，得 ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵y是正整数， 故y最大正整数是53， ∴当时，W值最小，且最小值为， 答：此次购进至少要花3210元． 【变式3】（2025·四川泸州·一模）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以3150元购进A、B两种不同品种的盒装草莓，其中A品种进价为35元/盒、B品种50元/盒；若按A品种60元/盒、B品种80元/盒的标价出售可获利润2050元． (1)求这两个品种的草莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕．（损耗忽略不计）因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于25盒．如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)品种草莓购进40盒，品种草莓购进35盒 (2)安排品种草莓购进25盒，则品种草莓购进75盒，可以获得最大利润2875元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握利用一次函数的性质求解最大利润是解题的关键． （1）设品种草莓购进盒，品种草莓购进盒，再利用购买的总价为3150元及总利润为2050元列方程组，再解方程组可得答案； （2）设品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，总利润为元，再列出与的函数关系式，再求解的范围，利用一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设品种草莓购进盒，品种草莓购进盒， 则， 解得：， 即品种草莓购进40盒，品种草莓购进35盒． （2）解：设品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，总利润为元， 则， 又由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大整数为33，最小整数为25， ， ∴随的增大而减少， ∴当时，取最大值，最大值为：元， 所以安排品种草莓购进25盒，则品种草莓购进75盒，可以获得最大利润2875元． 易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题 解含参数二元一次方程组，先整理成标准形式，分系数是否为零讨论：①系数行列式非零时唯一解；②行列式为零，对比常数项判断无解或无穷解，注意消元时避免分母为零，警惕参数特殊值漏解。 例1．（2025·四川绵阳·二模）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为 ． 【答案】1 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法求得，，再根据，求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入，得， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴k的值为1． 故答案为：1． 变式1：（2025·山东济宁·一模）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 得：，即：； ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 变式2：（2025·浙江宁波·一模）若方程组    的解是     则方程组   的解是 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，把求解的方程组进行合理变形，并把和看做一个整体换元得到一个关于和的新方程组是解答本题的关键.把的两边都除以4变形为，然后把和看做一个整体，用换元法求解. 【详解】解：∵， ∴，即 ∵的解为， ∴， ∴. 故答案为： 变式3：（2025·四川内江·一模）若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解、求不等式组的解集、y=ax²+bx+c的最值 【分析】此题考查解三元一次方程，解一元一次不等式组，二次函数的性质，解题关键在于掌握运算法则，先利用加减消元法求出的值，建立关于z的不等式组，求出z的取值范围，再把代入代数式，将其转化为关于z的二次函数，利用二次函数的性质分别求出最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：， 得，， 把代入得，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值是， 当时，的最小值是， 则代数式的最大值与最小值的差是： 故答案为：． 易错点二：一元二次方程中含参数易错问题 含参一元二次方程易错点：①讨论二次项系数是否为0，区分方程类型；②用判别式Δ时勿忘二次项系数≠0；③韦达定理需以Δ≥0为前提；④参数范围结合题意及根的分布综合分析，避免漏解。 例1．（2025·陕西汉中·二模）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可． 【详解】解：把方程得， 解得 故答案为： 变式1：（2025·甘肃定西·一模）若m是方程的根，则式子的值为 【答案】2029 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及整体代入思想的应用，难度中等，熟练掌握整体代入思想是解题关键． 利用整体思想解答即可． 【详解】解：∵m是方程的根， 把代入，得， 则． 所以． 故答案为：2029． 变式2：（2025·河南洛阳·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 变式3：（2025·江苏南京·模拟预测）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 . 【答案】5 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如，等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化．先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将进行变形，化成和或积的形式，代入即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为m，n， 由根与系数的关系得：，， ． 故答案为：5． 变式4：（2025·山东聊城·一模）如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据题意分两种情况讨论：当方程是一元一次方程时和当方程是一元二次方程时，然后根据一元二次方程有实数根得到，据此列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：当方程是一元一次方程时， 根据题意得，， ∴； 当方程是一元二次方程时， ∵关于x的方程有实数根 ∴ 解得． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 易错点三：分式方程中含参数易错问题 分式方程组含参易错点：①关注分母不为零，参数可能使分母为零需排除；②去分母时防漏乘整式项；③解需验根，增根及无解情况结合参数讨论，确保解符合所有分式定义域。 例1．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【答案】3 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数， ∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个． 故答案为：3． 变式1：（2025·山东东营·一模）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解、解不等式，根据方程的解得出不等式是解题的关键，易忽略分式方程的增根的情况，根据方程的解为负数且不能使分母为0，可得关于m的不等式，解不等式可得． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， ∵解是非负数， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴且． 故答案为：且． 变式2：（2025·山东·一模）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可． 【详解】解：分式方程去分母得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 经检验是增根， ∴分式方程的解为， 当时，由只有4个整数解，得到． 故答案为：． 变式3：（2025·重庆·二模）若关于的不等式组有且仅有1个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】10 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组可得，再解分式方程可得，从而可得为整数，且，即，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有且仅有1个奇数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴为整数，且，即， ∴所有满足条件的整数的值为， ∴所有满足条件的整数的和为， 故答案为：10． 变式4：（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】22 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得的取值范围，再解分式方程可得，从而可得是整数，且，则可得出符合条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有解且至多3个整数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴是整数，且，即， ∴符合条件的所有整数的值为， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：22． 变式5：（2025·重庆开州·一模）若关于的不等式组有解且至多5个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有解且至多5个奇数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 易错点四：不等式中含参数易错问题 不等式组含参易错点：①参数影响不等号方向（尤其乘除负数时）；②边界值是否取等需结合题意；③分情况讨论参数范围（如无解、有解、解集为空），注意数轴标根时参数位置与区间开闭。 例1．（2025·广东韶关·一模）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1：（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得③； 不等式组无解， 当时，，解③得，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得，则，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 变式2：（2025·黑龙江牡丹江·一模）关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集求参数，解题的关键是表示出各不等式的解集，再根据不等式组的解集求得参数．表示出各不等式的解集后，再根据口诀“同小取小”得出的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得，， 故答案为：． 变式3：（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三边关系得到，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数，求和即可得到答案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键． 【详解】解：线段能构成三角形， ， ， 由②得， 关于的不等式组有解， 不等式组的解集为， 则，即， 为整数， 可取， 则使关于的不等式组有解的所有整数的和为， 故答案为：． 变式4：（2025·黑龙江大庆·一模）若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解题的关键在于正确掌握解一元一次不等式组的步骤方法．根据解一元一次不等式组的步骤方法得到不等式组的解集，再结合不等式组有且仅有2个奇数解得到的取值范围，最后根据为整数取值求和，即可解题． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 则解集为， 整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解， ， 解得， 符合条件的所有整数为，，，， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 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