专题8.3.1棱柱棱锥棱台体积表面积【8个题型】-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【专题8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积与体积】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：棱柱的表面积】 知识讲解 棱柱表面积知识讲解 1. 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。 2. 棱柱的分类：按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3. 棱柱的表面积组成：棱柱的表面积等于两个底面的面积加上侧面积。 底面面积：底面是多边形，根据不同的多边形形状，使用相应的面积公式计算。例如，底面是三角形，根据三角形面积公式（为底边长，为这条底边对应的高）计算；底面是四边形，若为矩形，根据矩形面积公式（、 分别为矩形的长和宽）计算，若为平行四边形，根据平行四边形面积公式（为底边长，为这条底边对应的高）计算等。 侧面积：棱柱的侧面是矩形（直棱柱）或平行四边形（斜棱柱）。直棱柱的侧面积等于底面周长乘以棱柱的高，即（为底面周长，为棱柱的高）。对于斜棱柱，侧面积是各个侧面平行四边形面积之和，每个侧面平行四边形的面积等于其底边长乘以该边上的高。 例题精选 【例题1】（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 【例题2】（21-22高一下·山东烟台·期末）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示．若，则该直四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到底面四边形的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面积与底面周长，再根据表面积公式计算可得； 【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由， 则，，所以， 则，， 所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高， 所以棱柱的侧面积， 所以棱柱的表面积. 故选：C 【例题3】（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，由正四面体的表面积求出，从而求出正方体的表面积. 【详解】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以， 所以， 所以. 故选：B 相似练习 【相似题1】 （23-24高一下·浙江绍兴·期中）侧棱长为的直棱柱，其底面水平放置时用斜二测画法得到的直观图为如图所示的正方形，其中，则该直棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的定义，求出四边形的周长，然后根据直棱柱的侧面积公式计算即可. 【详解】根据斜二测画法，四边形为平行四边形，如图： 因为四边形为正方形，且，所以， 故，所以， 所以平行四边形的周长为， 所以直棱柱的侧面积为， 故选：D. 【相似题2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知侧面都是矩形的四棱柱，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则这个棱柱的侧面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由棱柱侧面积公式，计算可得答案. 【详解】根据题意，该四棱柱的侧面积都是矩形，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则其侧面积为； 故答案为： 【相似题3】（24-25高二·上海·课堂例题）直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，求底面各边之长． 【答案】 【分析】设底面三边长分别为，利用余弦定理求得底面三角形的最大内角的余弦值，从而得正弦值，再根据全面积公式即可求解. 【详解】设底面三边长分别为， 则， 设长为的边所对的三角形内角为，则， 所以， 所有， 所有，即， 解得（舍去负值）， 所以底面三边长分别为. 【解题思路】1. 分析棱柱类型：首先确定所给棱柱是直棱柱还是斜棱柱，以及底面多边形的形状和边数，这决定了我们使用何种公式来计算底面面积和侧面积。 2. 计算底面面积：根据底面多边形的具体形状，运用相应的面积公式求出一个底面的面积，再乘以得到两个底面的面积。 3. 计算侧面积： 如果是直棱柱，先求出底面周长，再乘以棱柱的高得到侧面积。 如果是斜棱柱，需要分别计算每个侧面平行四边形的面积，然后相加得到侧面积。计算每个侧面平行四边形面积时，要找到对应的底边长和该边上的高。 4. 计算表面积：将两个底面的面积与侧面积相加，得到棱柱的表面积。 【题型2：棱锥的表面积】 知识讲解 棱锥表面积知识讲解 1. 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 2. 棱锥的分类：按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 3. 棱锥的表面积组成：棱锥的表面积等于底面面积加上各个侧面三角形的面积之和。 底面面积：根据底面多边形的形状，使用相应的面积公式计算。如底面是正方形，面积为边长的平方；底面是梯形，根据梯形面积公式（、 为梯形的上底和下底，为梯形的高）计算等。 侧面面积：棱锥的侧面是三角形，根据三角形的面积公式（为侧棱长，为该侧面三角形底边上的高）来计算每个侧面的面积。对于正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥），侧面是全等的等腰三角形，其侧面三角形的高（斜高）可以通过勾股定理等方法求得。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）棱长都是1的三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三棱锥性质以及三角形面积计算公式可得结果. 【详解】棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个； 所以其表面积为. 故选：A 【例题2】（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为.    故选：. 【例题3】（24-25高一下·全国·课后作业）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可. 【详解】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：A. 【解题思路】1. 确定棱锥类型：判断是正棱锥还是一般棱锥，以及底面多边形的形状和边数。这会影响到计算底面面积和侧面面积的方法。 2. 计算底面面积：依据底面多边形的具体形状，运用对应的面积公式求出底面面积。 3. 计算侧面面积： 若是正棱锥，先求出底面边长和斜高。底面边长已知时，可根据底面多边形的性质求出相关线段长度；斜高通常可通过勾股定理，利用棱锥的高和底面中心到底面顶点的距离等条件求得。然后根据三角形面积公式（这里为底面边长，为斜高）计算出一个侧面的面积，再乘以侧面的个数，就得到侧面积。 对于一般棱锥，分别找出每个侧面三角形的底边长和对应的高，再根据三角形面积公式计算每个侧面的面积，最后将所有侧面面积相加得到侧面积。 4. 计算表面积：将底面面积与侧面积相加，得到棱锥的表面积。 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】相邻两个氟原子间的距离为2a， 故正八面体的每个面都是边长为2a的等边三角形， 故正八面体的表面积为：. 故选：A. 【相似题2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 【答案】 【分析】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成，从而可求出其表面积. 【详解】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成， 则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和． 又四棱锥的侧棱长为， 所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 故答案为： 【相似题3】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的侧面积为 . 【答案】 【分析】利用正四棱锥的性质，结合条件，求出斜高，即可求出结果.. 【详解】如图，，取的中点，连接，易知， 因为正四棱锥的底面边长为，高为，则，， 所以正四棱锥的侧面积为， 故答案为：. 【题型3：棱台的表面积】 知识讲解 棱台表面积知识讲解 1. 棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱。 2. 棱台的分类：根据原棱锥的类型进行分类，如由三棱锥截得的棱台叫三棱台，由四棱锥截得的棱台叫四棱台等。 3. 棱台的表面积组成：棱台的表面积等于上底面面积、下底面面积与侧面积之和。 · 上、下底面面积：上、下底面均为多边形，根据多边形的形状，运用相应的面积公式计算。例如，若上、下底面是矩形，分别根据矩形面积公式（、分别为矩形的长和宽）计算；若为平行四边形，根据平行四边形面积公式（为底边长，为这条底边对应的高）计算等。 · 侧面积：棱台的侧面是梯形。对于正棱台（由正棱锥截得的棱台），侧面是全等的等腰梯形。计算等腰梯形面积时，需要知道梯形的上底、下底（分别为棱台上、下底面的对应边长）以及梯形的高（即斜高）。斜高可通过构建直角三角形，利用棱台的高以及上、下底面中心到对应顶点距离的差等条件，借助勾股定理求得。对于一般棱台，每个侧面梯形的上底、下底同样是棱台上、下底面的对应边长，而每个梯形的高需根据具体几何关系分别确定，然后根据梯形面积公式（、为梯形上、下底，为梯形的高）计算每个侧面梯形的面积，最后将所有侧面梯形面积相加得到侧面积。 例题精选 【例题1】（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【分析】设，则，根据侧面积求出，再根据正棱台的结构特征结合勾股定理即可得解. 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图1，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 【例题2】（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【答案】C 【分析】先根据正四棱台的结构特点，求出斜高，在根据侧面积的计算方法求其侧面积. 【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为， 所以侧面梯形的斜高为， 所以棱台的侧面积为. 故选：C 【例题3】（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 【答案】D 【分析】根据题意求出正四棱台的斜高，从而可求出棱台的侧面积，进而可求出其表面积. 【详解】由题意可知，正四棱台的斜高为， 故侧面积等于， 所以表面积为． 故选：D 【解题思路】 1. 判断棱台类型：明确所给棱台是正棱台还是一般棱台，并确定上、下底面多边形的形状和边数。这是选择合适计算方法的基础。 2. 计算上、下底面面积：依据上、下底面多边形的具体形状，运用相应的面积公式分别求出上底面面积和下底面面积。 3. 计算侧面积： · 正棱台：先确定上、下底面的对应边长，这就是侧面等腰梯形的上底和下底。然后求斜高，通过构建包含棱台高、上底面中心到顶点距离与下底面中心到顶点距离之差的直角三角形，利用勾股定理算出斜高。再根据梯形面积公式（为上底边长，为下底边长）计算出一个侧面等腰梯形的面积，最后乘以侧面的个数，得到侧面积。 · 一般棱台：分别找出每个侧面梯形的上底、下底（对应棱台上、下底面的边长），再根据棱台的几何特征，通过解三角形等方法确定每个侧面梯形的高。接着运用梯形面积公式计算每个侧面梯形的面积，最后将所有侧面梯形面积相加，得到侧面积。 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（    ） A．28 B．26 C．24 D．16 【答案】B 【分析】利用正棱台的结构特征，求出其斜高，再求出表面积. 【详解】在正四棱台的侧面中，过点作，垂足为E， 则， 侧面的面积， 所以正四棱台的表面积． 故选：B 【相似题2】（23-24高一下·广东广州·期中）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．3 B． C． D．48 【答案】B 【分析】根据已知先求斜高，然后可得表面积. 【详解】如图，作平面，，垂足分别为，连接. 由题可知，，所以， 所以表面积. 故选：B 【相似题3】（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为 ． 【答案】 【分析】过作，由已知，求出，进而求出四棱台的侧面面积. 【详解】 如图，过作，垂足为， 所以为正四棱台的侧面的高， 因为， 则，， ， 所以正四棱台的侧面积为. 故答案为：. 【题型4：棱柱的体积】 知识讲解 棱柱的体积知识讲解 1. 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 2. 棱柱的分类：按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；按侧棱与底面是否垂直分类，可分为直棱柱和斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形，斜棱柱的各个侧面是平行四边形。 3. 棱柱体积公式的推导： 对于长方体，它的体积等于长、宽、高的乘积，即（、、分别为长方体的长、宽、高），也可以表示为（是底面面积，是高）。 棱柱可以通过切割、拼接等方法转化为长方体来推导体积公式。例如，将一个三棱柱补成一个四棱柱，再将四棱柱转化为长方体，发现棱柱的体积都可以用“底面积×高”来计算。所以，棱柱的体积公式为，其中是棱柱底面的面积，是棱柱的高。 例题精选 【例题1】（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】应用锥体体积及柱体体积公式结合图形特征计算求解即可. 【详解】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 【例题2】（24-25高三下·重庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（    ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺） A．1265.5 B．1897.5 C．2846.5 D．3795.5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用棱柱的体积公式计算得解. 【详解】依题意，“城”的形状是底面为等腰梯形的直四棱柱， 其中等腰梯形的两底分别为2丈、4丈，高为5丈，因此底面积（平方丈） 直四棱柱的高为126.5丈，所以体积（立方丈）. 故选：B 【例题3】（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据柱体的体积公式，即可求解. 【详解】因为直三棱柱， 所以直三棱柱的体积为. 故选：D. 【解题思路】1. 确定棱柱的类型：判断给定的棱柱是直棱柱还是斜棱柱，以及底面多边形的形状和特征。不同类型的棱柱在计算底面积和高时可能会有不同的方法。 2. 计算底面面积： 根据底面多边形的形状，运用相应的面积公式计算。如底面是三角形，根据三角形面积公式（为底边长，为这条底边对应的高）计算；若底面是平行四边形，根据（为底边长，为这条底边对应的高）计算；若底面是梯形，根据（、为梯形的上底和下底，为梯形的高）计算等。 如果底面是不规则多边形，可以通过分割或补形的方法，将其转化为几个规则图形的组合，然后分别计算这些规则图形的面积，再求和得到底面面积。 3. 确定棱柱的高： 对于直棱柱，高就是侧棱的长度，可直接从题目中获取或通过已知条件计算得出。 对于斜棱柱，高是指两底面之间的垂直距离。有时需要通过作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理或其他几何关系来求出高。 4. 计算体积：将求得的底面面积与高代入体积公式，计算出棱柱的体积。 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·广东广州·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据棱柱体积计算公式即可求解. 【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形， 设的面积为，则， 水的体积， 当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为， 则有，得， 即当底面水平放置时，水面高为9． 故选：C． 【相似题2】（2025·重庆·一模）已知平行六面体的体积为1，若将其截去三棱锥，则剩余部分几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可. 【详解】设点到平面的距离为，的面积为， 显然有，所以， 因此剩余部分几何体的体积为， 故选：D 【相似题3】（24-25高二上·江西上饶·期末）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设的中点分别为，如下图： 易知，则，由为的中点，则，可得， 设三棱柱与三棱柱的体积分别为，则， 设水的体积为，则， 在图1中，设水形成的三棱柱的高为，则，解得. 故选：D. 【题型5：棱锥的体积】 知识讲解 棱锥体积公式知识讲解 1. 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 2. 棱锥的分类：按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……。 3. 棱锥体积公式的推导： 以三棱锥为例，将一个三棱柱分割成三个三棱锥，通过等体积变换的方法，可以发现这三个三棱锥的体积是相等的，而三棱柱的体积是（是底面面积，是高），所以三棱锥的体积是等底等高三棱柱体积的，即。 对于任意棱锥，都可以通过类似的方法，将其转化为三棱锥来推导体积公式，所以棱锥的体积公式为，其中是棱锥底面的面积，是棱锥的高。 例题精选 【例题1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可. 【详解】设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 【例题2】（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）已知正方体的棱长为3，E为CD的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用体积法求点到平面的距离. 【详解】如图：    因为. 在中，,. 所以边上的高为：， 所以. 设点到平面的距离为，由. 故选：A 【例题3】（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）在正四棱锥中，已知，，则该正四棱锥的体积为（   ） A．96 B．80 C．64 D．32 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的性质，利用勾股定理求得棱锥的高，结合体积公式，可得答案. 【详解】连接AC，BD，设AC与BD交于点O，连接OP． 易知，PO就是正四棱锥的高，且． 又，所以，所以该正四棱锥的体积为． 故选：D. 相似练习 【相似题1】 （2024·浙江杭州·模拟预测）已知正三棱锥的高为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱锥底面三角形的斜二测直观图面积，求出底面边长，利用三棱锥体积公式，即可求得答案. 【详解】正三棱锥的底面为正三角形，设其边长为a，底面三角形的斜二测直观图如图示： 则，解得（舍去负值）， 则正三棱锥的底面积为， 故三棱锥的体积为， 故选：A 【相似题2】（2025·上海·模拟预测）在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则 . 【答案】 【分析】根据题意，设斜三棱柱的高为，，可得，得解. 【详解】设斜三棱柱的高为，， 则，， ，则. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 【答案】6 【分析】观察几何体，利用切割法的思想进行解决： , ,由即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以 ,设点到侧面的距离是， 由， 所以 . 故答案为：6. 【解题思路】1. 确定棱锥的类型：明确所给棱锥是三棱锥、四棱锥等何种类型，以及底面多边形的具体形状和特点，这有助于选择合适的方法计算底面面积。 2. 计算底面面积： 若底面是三角形，根据三角形的已知条件，使用相应的面积公式。如已知底和高，用（为底边长，为这条底边对应的高）计算；已知三边长度，可利用海伦公式（其中、、为三角形三边，）计算等。 若底面是四边形，对于特殊的四边形如矩形、正方形、平行四边形、梯形等，分别使用相应的面积公式计算。对于一般的四边形，可以通过分割成两个三角形等方法来计算面积。 若底面是其他多边形，可尝试将其分割为多个三角形或其他熟悉的图形，分别计算面积后求和。 3. 确定棱锥的高： 有些棱锥的高可以直接从题目所给的图形或条件中观察得到，比如直棱锥（顶点在底面的射影是底面多边形的中心），其高就是顶点到底面的垂直距离，可直接测量或由已知数据计算。 对于一般的棱锥，通常需要通过作辅助线来构造直角三角形，利用勾股定理或其他几何关系来求出高。例如，已知棱锥的棱长和底面相关线段长度，可通过在底面作垂线，连接顶点与垂足，构造出直角三角形，再根据已知条件求解高。 4. 计算体积：将求得的底面面积与高代入体积公式，计算出棱锥的体积。 【题型6：棱台的体积】 知识讲解 棱台体积公式知识讲解 1. 棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，两底面之间的距离叫做棱台的高。 2. 棱台的分类：按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……。 3. 棱台体积公式的推导： 设棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为。我们可以将棱台补成一个大棱锥，设大棱锥的高为，小棱锥（被截去的部分）的高为。 根据棱锥的体积公式，大棱锥的体积，小棱锥的体积。 那么棱台的体积。 通过相似三角形的性质，可得，即。 将代入上面的式子，经过化简可得棱台的体积公式。 例题精选 【例题1】（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设水体对应的台体的高为，利用台体的体积公式可求出的值，可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出容器的容积. 【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为， 故选：A. 【例题2】（24-25高三上·河北邢台·期末）某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（   ）（不考虑储物料斗斗壁的厚度） A．立方米 B．28立方米 C．立方米 D．84立方米 【答案】B 【分析】由棱台的体积公式计算可求得体积. 【详解】该储物料斗为正四棱台，且上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米， 所认立方米. 所以该储物料斗的体积是立方米. 故选：B. 【例题3】（2025·重庆·模拟预测）若高为3的正三棱台的上、下底面的边长之比为1:2，且其体积等于7，则该三棱台上底面的面积为 . 【答案】 【分析】假设上底面边长，结合棱台的体积公式代入即可求解. 【详解】设上底面边长为，则下底面边长为， 正三角形的面积公式为，因此上底面面积，下底面面积， 显然，即，棱台的体积公式为：， 代入已知条件,，并设，则，得： 化简后： 解得，因此上底面的面积， 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积. 【详解】如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱台中，，，侧棱，则该棱台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】将其补成正三棱锥，利用相似比可得，则正三棱锥为正方体的一角，再将三棱锥的体积转化为求正方体的体积，求出两个正三棱锥体积再作差即可. 【详解】补成正三棱锥， 因，，则为三棱锥侧棱的中点， 又，则， 则由勾股定理可知两两垂直，故该图形为正方体的一角， 所以， 同理，得， 所以正三棱台的体积．    【相似题3】（24-25高三上·河南周口·期末）已知一个正六棱台两底面的面积分别为，，体积为，则该棱台的侧面积为 . 【答案】/ 【分析】先根据上下底面积求出，再根据体积计算求出，最后求出正六棱台的斜高后根据侧面积公式计算． 【详解】如图，分别是上,下底面中心，分别是棱中点，由正棱台性质知，，，所以， 因为体积为,所以， 是斜高，，， ∵，∴，， 在直角梯形中，， ∴侧面积为． 故答案为：． 【解题思路】1. 确定棱台的类型：明确是三棱台、四棱台等，以及上下底面多边形的形状和特征，这对计算上下底面面积有帮助。 2. 计算上、下底面面积： 根据上下底面多边形的形状，运用相应的面积公式计算。如上下底面是三角形，按三角形面积公式计算；是四边形，按四边形的相关面积公式计算，对于不规则多边形，可通过分割或补形转化为规则图形来计算面积。 3. 确定棱台的高： 棱台的高是两底面之间的垂直距离，有些题目中可能会直接给出高的值。 如果没有直接给出，可能需要通过作辅助线，利用棱台的性质、相似三角形或勾股定理等知识来求出高。例如，在棱台中构造直角梯形，通过已知的侧棱长度、上下底面的相关边长等条件，求出高。 4. 计算体积：将求得的上底面面积、下底面面积以及高代入体积公式，计算出棱台的体积。 【题型7：锥体展开图与最值】 知识讲解 1. 棱锥展开图的本质：将棱锥的各个面沿着侧棱展开在一个平面上，得到的图形就是棱锥的展开图。展开过程中，侧棱长度保持不变，各个面之间的角度和边长关系发生了变化，但它们之间的内在联系是解决最值问题的关键。例如，三棱锥展开后，三个侧面三角形会平铺在同一平面，原本在空间中不共面的线段和角在平面上有了新的位置关系。 2. 常见最值类型： · 线段长度最值：比如在棱锥表面上找两点间的最短路径，这是最常见的类型。在空间中，两点间直线距离最短，但由于要在棱锥表面移动，所以需要借助展开图，将空间问题转化为平面问题。例如，一只蚂蚁要从棱锥的一个顶点沿着表面爬到另一个顶点，求最短爬行路径长度，就需要展开棱锥侧面，使这两个顶点在同一平面内，此时连接这两点的线段长度就是最短路径。 · 角度最值：有时会涉及在棱锥展开图中求某个角的最大或最小值。这通常与图形的形状变化和线段的位置关系有关。例如，在正三棱锥展开图中，研究某个侧面三角形绕侧棱旋转过程中，与其他面形成的二面角的最值情况。 · 面积最值：可能会遇到在棱锥展开图的基础上，通过改变某些条件（如点的位置移动等）来求某个区域面积的最值。比如，在棱锥展开图中，有一个动点在某条边上移动，求由该动点与其他固定点构成的三角形面积的最大值。 例题精选 【例题1】（2025·陕西西安·一模）正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】将正三棱锥侧面沿侧棱剪开并展开在同一平面内，利用最小周长求出侧面顶角大小即可. 【详解】将正三棱锥的侧面沿侧棱剪开并展开在同一平面内，如图， 连接，当分别为与的交点时，的周长最小， 此时，而，，则，， 所以三棱锥的侧面积为. 故选：A 【例题2】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，将直三棱柱展开成矩形，连结交于，此时最小，则，利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】将直三棱柱展开成矩形， 如下图，连接，交于，此时最小， ∵，则，而， 由且都在面，则面， 又，则面，即面， 点为侧棱上的动点，当最小时，即，得， 又为直角三角形，此时三棱锥的体积为： . 故选：C 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，，求该几何体的体积. (2)若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）代入四棱锥和四棱柱的体积公式，即可求解； （2）（ⅰ）根据条件求四棱锥的底边长以及斜高，即可求解；（ⅱ）利用展开图，即可两点间距离，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，正四棱柱的高， 所以正四棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为； （2）（ⅰ），所以， 正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的侧面积为； （ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面， ，，设 ，， ，所以， 所以， ， 当四点共线时，最短， 所以 所以的最小值为. 【相似题2】（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，已知三棱柱的所有棱长都为1，，点P为线段上的动点． (1)若点恰为线段上靠近点的三等分点，求三棱锥和三棱柱的体积之比； (2)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）应用锥体及柱体的体积计算得到比值； （2）先根据侧面展开图得出三点共线时取最小值，再应用余弦定理计算即可. 【详解】（1） （2）将绕着直线旋转至平面，当P，，C三点共线时，取得最小值 ∵，， ∴ ∴． 此时， 【解题思路】 1. 分析棱锥结构： · 明确棱锥的类型，是三棱锥、四棱锥还是其他棱锥，不同类型棱锥的展开图有不同特点。例如，三棱锥展开后有三个侧面三角形相连，四棱锥展开后有四个侧面三角形相连。 · 确定棱锥的棱长、底面形状及边长等关键数据，这些数据在展开图中会影响图形的形状和线段长度。比如，正三棱锥的三条侧棱长相等，底面是正三角形，这些特性在展开图中依然存在，且对后续计算有重要作用。 2. 作出合适的展开图： · 根据题目中涉及的点和路径情况，选择恰当的方式展开棱锥。如果是求从一个顶点到另一个顶点的最短路径，就将包含这两个顶点的侧面展开。例如，求三棱锥中从顶点到顶点在棱锥表面的最短路径，可将、、中的两个或三个侧面展开，使和在同一平面内。 · 准确绘制展开图，标注好原棱锥中的对应点、线段和角度等信息，避免混淆。例如，在展开正四棱锥时，要清楚地标出底面正方形的四个顶点在展开图中的位置以及侧棱与底面顶点的连接关系。 3. 运用平面几何知识求解： · 求线段长度最值： · 在展开图中，连接要求路径的两点，根据两点之间线段最短的原理，这条线段的长度就是所求的最短路径长度。例如，在展开图中，若两点间有其他线段阻碍，可通过平移等方法，将折线转化为直线段来求解。 · 利用勾股定理、相似三角形等知识计算线段长度。比如，在展开图中构建直角三角形，已知直角边长度，通过勾股定理求出斜边长度，即所求的最短路径长度。若存在相似三角形，可根据相似比求出未知线段长度。 · 求角度最值： · 分析在展开图中角度变化的相关因素，比如线段的旋转、平移等对角度的影响。例如，在一个侧面三角形绕侧棱旋转过程中，观察与其他面的交线位置变化，从而确定角度的变化趋势。 · 利用三角函数知识，通过已知线段长度求出角度的三角函数值，进而确定角度最值。例如，在一个三角形中，已知三条边的长度，可通过余弦定理求出某个角的余弦值，再根据余弦函数的单调性确定角度的最值情况。 · 求面积最值： · 确定面积表达式中与变量相关的因素，比如某个动点的位置变化会影响三角形的底和高。例如，在展开图中，一个动点在某条边上移动，以该动点和另外两个固定点构成三角形，分析动点位置变化时三角形底和高的变化规律。 · 利用函数思想，设出变量，建立面积关于变量的函数关系式，再通过求函数的最值来确定面积的最值。比如，设动点到某端点的距离为，根据几何关系表示出三角形的底和高，从而得到面积关于的函数，然后利用二次函数的性质或导数等方法求出函数的最值。 【题型8：组合体与不规则几何体的表面积与体积】 知识讲解 1. 组合体定义：由两个或多个简单几何体（棱柱、棱锥等）组合而成，组合方式有拼接、挖空等。 2. 组合体表面积：是各面面积总和。拼接组合体要减去拼接面重复计算的面积；挖空组合体需加上挖空新暴露面的面积。 3. 组合体体积：拼接组合体体积是各简单几何体体积相加；挖空组合体体积是被挖几何体体积减去挖去部分体积。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】如图所示，    该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 由于是两个相同的直三棱柱，所以 . 所以 . 故选：D. 【例题2】（24-25高三下·天津·开学考试）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得. 【详解】 如图，把几何体补全为长方体，则， ， 所以该包装盒的容积为， 故选：C 【例题3】（24-25高三上·天津·期末）如图，四边形ABCD为正方形平面ABCD记三棱锥的体积分别为有如下的结论，其中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】作出图形，根据三棱锥的体积公式，转化三棱锥的顶点，即可求解． 【详解】如图，设连接分别延长EG，FB交于点I， 则根据题意可得G为DB中点，又从而可得又 所以 所以所以所以①错误，③正确； 又且 所以所以又 所以所以②错误，④正确． 故选：B 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·安徽宣城·期末）如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为60cm，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把几何体转化为正方体减去八个三棱锥，再结合棱柱及棱锥的体积公式计算即可. 【详解】. 故选：D. 【相似题2】（24-25高二上·北京·期中）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义，结合菱形的面积公式求解. 【详解】因为ABCDEF是正六边形，又BC=1， 则，即， 因为四边形PGHI为菱形，连接PH，GI，则， 又且GI=AC，则， 设， 则， 则，则， 则菱形PGHI的面积为， 则上顶菱形的面积为. 故选：D. 【点睛】 【相似题3】（24-25高二上·北京·期末）中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直颈，颈两侧饰对称象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角抹平，向内收缩，如同把角折起来．如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥．在长方体中，，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知委角之后的瓶身体积是长方体体积的，则长方体的体对角线长度为 ． 【答案】4 【分析】由题意结合柱体和锥体的体积公式建立关于x的方程，求出x即可计算求解长方体的体对角线长度. 【详解】由题长方体体积为，， 所以抹去的八个形状与大小都相同的三棱锥的体积之和为， 所以， 所以长方体的体对角线长度为. 故答案为：4. 【解题思路】 1. 分析构成： · 明确由哪些简单几何体组成及组合方式。 · 确定各简单几何体关键几何特征，如边长、半径、高。 2. 计算相关量： · 表面积：算各简单几何体表面积，确定拼接面或挖空新暴露面面积。 · 体积：按公式算各简单几何体体积。 3. 计算组合体数值： · 表面积：拼接的相加后减拼接面面积的 2 倍；挖空的用被挖几何体表面积加新暴露面面积。 · 体积：拼接的直接相加；挖空的用被挖体积减挖去体积。 课后针对训练 一、单选题 1．（20-21高三上·河南·阶段练习）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·安徽宣城·二模）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗（如图），斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．如图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，下底面边长为25cm，上底面边长为10cm，侧棱长为15cm，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（22-23高一下·全国·单元测试）正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高是 ． 4．（21-22高二下·上海·单元测试）已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是 5．（2024高三·全国·专题练习）底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，则所得棱台的体积为 ． 三、解答题 6．（24-25高一上·全国·课后作业）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是．求这个正三棱台的侧面积． 7．（22-23高一下·浙江·期中）如图，在正四棱锥中，是上的点且是的中点．求： (1)四棱锥的表面积； (2)三棱锥的体积． 8．（2024高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 9．（22-23高一下·安徽阜阳·阶段练习）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.    (1)若，，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 10．（24-25高二上·上海·课后作业）用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米． (1)求a关于h的函数表达式； (2)设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（不计容器的厚度）． 参考答案 题号 1 2 答案 B C 1．B 【分析】利用四棱锥体积公式，可得正八面体的体积，再根据正三角形面积公式可得正八面体的表面积. 【详解】    如图所示，连接，， 则四边形为正方形，且平面， 由正八面体可知， ， 则，， 所以， 表面积， 所以， 故选：B. 2．C 【分析】计算高，由体积公式得出答案. 【详解】上下底面对角线的长度分别为，则高. 上底面的面积，下底面的面积. 则. 故选：C 3．/ 【分析】根据棱台的几何特点，结合已知数据，作出辅助线，解三角形即可. 【详解】取的中点分别为，连接， 取上靠近的三等分点分别为， 连接，过作，垂足为，作图如下：    根据题意可得：，即为所求斜高； 易知四边形为平行四边形，故可得， 在△中，， 在△中，， 在△中，， 故. 故答案为：. 4． 【分析】先求出底面三角形的中心到底面三角形的边的距离及正三棱锥的斜高，再根据棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为， 所以正三棱锥的斜高为， 所以这个正三棱锥的侧面积为，底面积为， 所以正三棱锥的表面积为. 故答案为:. 5．104 【分析】由题意求出原正四棱锥的高，利用棱锥的体积公式或者棱台的体积公式，即可求得答案. 【详解】由题意知截去的正四棱锥与原正四棱锥的底面边长的比， 而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为9， 所以原正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. （或棱台的体积为）， 故答案为：104 6． 【分析】作出示意图，点，分别是上、下底面的中心，则，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过作的垂线，垂足为点；连接． 可求得，进而可求得，可求三棱台的侧面积. 【详解】如图，点，分别是上、下底面的中心，则． 连接并延长交于点，连接并延长交于点； 过作的垂线，垂足为点；连接． 在中，， ， ． 所以． 因此，三棱台的侧面积为． 7．(1) (2) 【分析】（1）先求斜高，然后直接计算可得； （2）根据M、N的位置，将所求三棱锥体积问题转化为求三棱锥的体积. 【详解】（1）作，垂足为E， 由正四棱锥性质可知，E为BC中点，所以 所以； （2）作平面ABCD，由正四棱锥性质可知O为BD的中点 因为 所以 又是的中点， 所以 ． 8． 【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解. 【详解】如图所示，画出正三棱台， 其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点， 则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形， ,, 所以, 所以此三棱台的表面积,    9．(1) (2)， 【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解； （2）先根据面积关系建立函数解析式，，然后利用二次函数性质求其最值. 【详解】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积 正四棱柱的体积 所以仓库的容积. （2）设，下部分的侧面积为， 则，， ， 设， 当，即时，，. 即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是. 10．(1)； (2)时，V最大，最大值为立方米. 【详解】（1）连接AC，BD，交点为O，则PO即为正四棱锥的高， 取CD的中点E，连接OE，PE，则， 由勾股定理得：， 由题意得：， 整理得：，即. （2）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即棱锥的高为1米，底面边长为米时，V的最大值为立方米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【专题8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积与体积】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：棱柱的表面积】 知识讲解 棱柱表面积知识讲解 1. 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。 2. 棱柱的分类：按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3. 棱柱的表面积组成：棱柱的表面积等于两个底面的面积加上侧面积。 底面面积：底面是多边形，根据不同的多边形形状，使用相应的面积公式计算。例如，底面是三角形，根据三角形面积公式（为底边长，为这条底边对应的高）计算；底面是四边形，若为矩形，根据矩形面积公式（、 分别为矩形的长和宽）计算，若为平行四边形，根据平行四边形面积公式（为底边长，为这条底边对应的高）计算等。 侧面积：棱柱的侧面是矩形（直棱柱）或平行四边形（斜棱柱）。直棱柱的侧面积等于底面周长乘以棱柱的高，即（为底面周长，为棱柱的高）。对于斜棱柱，侧面积是各个侧面平行四边形面积之和，每个侧面平行四边形的面积等于其底边长乘以该边上的高。 例题精选 【例题1】（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（21-22高一下·山东烟台·期末）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示．若，则该直四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】 （23-24高一下·浙江绍兴·期中）侧棱长为的直棱柱，其底面水平放置时用斜二测画法得到的直观图为如图所示的正方形，其中，则该直棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知侧面都是矩形的四棱柱，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则这个棱柱的侧面积是 ． 【相似题3】（24-25高二·上海·课堂例题）直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，求底面各边之长． 【解题思路】1. 分析棱柱类型：首先确定所给棱柱是直棱柱还是斜棱柱，以及底面多边形的形状和边数，这决定了我们使用何种公式来计算底面面积和侧面积。 2. 计算底面面积：根据底面多边形的具体形状，运用相应的面积公式求出一个底面的面积，再乘以得到两个底面的面积。 3. 计算侧面积： 如果是直棱柱，先求出底面周长，再乘以棱柱的高得到侧面积。 如果是斜棱柱，需要分别计算每个侧面平行四边形的面积，然后相加得到侧面积。计算每个侧面平行四边形面积时，要找到对应的底边长和该边上的高。 4. 计算表面积：将两个底面的面积与侧面积相加，得到棱柱的表面积。 【题型2：棱锥的表面积】 知识讲解 棱锥表面积知识讲解 1. 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 2. 棱锥的分类：按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 3. 棱锥的表面积组成：棱锥的表面积等于底面面积加上各个侧面三角形的面积之和。 底面面积：根据底面多边形的形状，使用相应的面积公式计算。如底面是正方形，面积为边长的平方；底面是梯形，根据梯形面积公式（、 为梯形的上底和下底，为梯形的高）计算等。 侧面面积：棱锥的侧面是三角形，根据三角形的面积公式（为侧棱长，为该侧面三角形底边上的高）来计算每个侧面的面积。对于正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥），侧面是全等的等腰三角形，其侧面三角形的高（斜高）可以通过勾股定理等方法求得。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）棱长都是1的三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一下·全国·课后作业）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】1. 确定棱锥类型：判断是正棱锥还是一般棱锥，以及底面多边形的形状和边数。这会影响到计算底面面积和侧面面积的方法。 2. 计算底面面积：依据底面多边形的具体形状，运用对应的面积公式求出底面面积。 3. 计算侧面面积： 若是正棱锥，先求出底面边长和斜高。底面边长已知时，可根据底面多边形的性质求出相关线段长度；斜高通常可通过勾股定理，利用棱锥的高和底面中心到底面顶点的距离等条件求得。然后根据三角形面积公式（这里为底面边长，为斜高）计算出一个侧面的面积，再乘以侧面的个数，就得到侧面积。 对于一般棱锥，分别找出每个侧面三角形的底边长和对应的高，再根据三角形面积公式计算每个侧面的面积，最后将所有侧面面积相加得到侧面积。 4. 计算表面积：将底面面积与侧面积相加，得到棱锥的表面积。 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 【相似题3】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的侧面积为 . 【题型3：棱台的表面积】 知识讲解 棱台表面积知识讲解 1. 棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱。 2. 棱台的分类：根据原棱锥的类型进行分类，如由三棱锥截得的棱台叫三棱台，由四棱锥截得的棱台叫四棱台等。 3. 棱台的表面积组成：棱台的表面积等于上底面面积、下底面面积与侧面积之和。 · 上、下底面面积：上、下底面均为多边形，根据多边形的形状，运用相应的面积公式计算。例如，若上、下底面是矩形，分别根据矩形面积公式（、分别为矩形的长和宽）计算；若为平行四边形，根据平行四边形面积公式（为底边长，为这条底边对应的高）计算等。 · 侧面积：棱台的侧面是梯形。对于正棱台（由正棱锥截得的棱台），侧面是全等的等腰梯形。计算等腰梯形面积时，需要知道梯形的上底、下底（分别为棱台上、下底面的对应边长）以及梯形的高（即斜高）。斜高可通过构建直角三角形，利用棱台的高以及上、下底面中心到对应顶点距离的差等条件，借助勾股定理求得。对于一般棱台，每个侧面梯形的上底、下底同样是棱台上、下底面的对应边长，而每个梯形的高需根据具体几何关系分别确定，然后根据梯形面积公式（、为梯形上、下底，为梯形的高）计算每个侧面梯形的面积，最后将所有侧面梯形面积相加得到侧面积。 例题精选 【例题1】（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【例题2】（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【例题3】（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 【解题思路】 1. 判断棱台类型：明确所给棱台是正棱台还是一般棱台，并确定上、下底面多边形的形状和边数。这是选择合适计算方法的基础。 2. 计算上、下底面面积：依据上、下底面多边形的具体形状，运用相应的面积公式分别求出上底面面积和下底面面积。 3. 计算侧面积： · 正棱台：先确定上、下底面的对应边长，这就是侧面等腰梯形的上底和下底。然后求斜高，通过构建包含棱台高、上底面中心到顶点距离与下底面中心到顶点距离之差的直角三角形，利用勾股定理算出斜高。再根据梯形面积公式（为上底边长，为下底边长）计算出一个侧面等腰梯形的面积，最后乘以侧面的个数，得到侧面积。 · 一般棱台：分别找出每个侧面梯形的上底、下底（对应棱台上、下底面的边长），再根据棱台的几何特征，通过解三角形等方法确定每个侧面梯形的高。接着运用梯形面积公式计算每个侧面梯形的面积，最后将所有侧面梯形面积相加，得到侧面积。 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（    ） A．28 B．26 C．24 D．16 【相似题2】（23-24高一下·广东广州·期中）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．3 B． C． D．48 【相似题3】（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为 ． 【题型4：棱柱的体积】 知识讲解 棱柱的体积知识讲解 1. 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 2. 棱柱的分类：按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；按侧棱与底面是否垂直分类，可分为直棱柱和斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形，斜棱柱的各个侧面是平行四边形。 3. 棱柱体积公式的推导： 对于长方体，它的体积等于长、宽、高的乘积，即（、、分别为长方体的长、宽、高），也可以表示为（是底面面积，是高）。 棱柱可以通过切割、拼接等方法转化为长方体来推导体积公式。例如，将一个三棱柱补成一个四棱柱，再将四棱柱转化为长方体，发现棱柱的体积都可以用“底面积×高”来计算。所以，棱柱的体积公式为，其中是棱柱底面的面积，是棱柱的高。 例题精选 【例题1】（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【例题2】（24-25高三下·重庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（    ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺） A．1265.5 B．1897.5 C．2846.5 D．3795.5 【例题3】（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．6 D． 【解题思路】1. 确定棱柱的类型：判断给定的棱柱是直棱柱还是斜棱柱，以及底面多边形的形状和特征。不同类型的棱柱在计算底面积和高时可能会有不同的方法。 2. 计算底面面积： 根据底面多边形的形状，运用相应的面积公式计算。如底面是三角形，根据三角形面积公式（为底边长，为这条底边对应的高）计算；若底面是平行四边形，根据（为底边长，为这条底边对应的高）计算；若底面是梯形，根据（、为梯形的上底和下底，为梯形的高）计算等。 如果底面是不规则多边形，可以通过分割或补形的方法，将其转化为几个规则图形的组合，然后分别计算这些规则图形的面积，再求和得到底面面积。 3. 确定棱柱的高： 对于直棱柱，高就是侧棱的长度，可直接从题目中获取或通过已知条件计算得出。 对于斜棱柱，高是指两底面之间的垂直距离。有时需要通过作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理或其他几何关系来求出高。 4. 计算体积：将求得的底面面积与高代入体积公式，计算出棱柱的体积。 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·广东广州·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【相似题2】（2025·重庆·一模）已知平行六面体的体积为1，若将其截去三棱锥，则剩余部分几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高二上·江西上饶·期末）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 【题型5：棱锥的体积】 知识讲解 棱锥体积公式知识讲解 1. 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 2. 棱锥的分类：按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……。 3. 棱锥体积公式的推导： 以三棱锥为例，将一个三棱柱分割成三个三棱锥，通过等体积变换的方法，可以发现这三个三棱锥的体积是相等的，而三棱柱的体积是（是底面面积，是高），所以三棱锥的体积是等底等高三棱柱体积的，即。 对于任意棱锥，都可以通过类似的方法，将其转化为三棱锥来推导体积公式，所以棱锥的体积公式为，其中是棱锥底面的面积，是棱锥的高。 例题精选 【例题1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【例题2】（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）已知正方体的棱长为3，E为CD的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【例题3】（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）在正四棱锥中，已知，，则该正四棱锥的体积为（   ） A．96 B．80 C．64 D．32 相似练习 【相似题1】 （2024·浙江杭州·模拟预测）已知正三棱锥的高为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·上海·模拟预测）在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则 . 【相似题3】（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 【解题思路】1. 确定棱锥的类型：明确所给棱锥是三棱锥、四棱锥等何种类型，以及底面多边形的具体形状和特点，这有助于选择合适的方法计算底面面积。 2. 计算底面面积： 若底面是三角形，根据三角形的已知条件，使用相应的面积公式。如已知底和高，用（为底边长，为这条底边对应的高）计算；已知三边长度，可利用海伦公式（其中、、为三角形三边，）计算等。 若底面是四边形，对于特殊的四边形如矩形、正方形、平行四边形、梯形等，分别使用相应的面积公式计算。对于一般的四边形，可以通过分割成两个三角形等方法来计算面积。 若底面是其他多边形，可尝试将其分割为多个三角形或其他熟悉的图形，分别计算面积后求和。 3. 确定棱锥的高： 有些棱锥的高可以直接从题目所给的图形或条件中观察得到，比如直棱锥（顶点在底面的射影是底面多边形的中心），其高就是顶点到底面的垂直距离，可直接测量或由已知数据计算。 对于一般的棱锥，通常需要通过作辅助线来构造直角三角形，利用勾股定理或其他几何关系来求出高。例如，已知棱锥的棱长和底面相关线段长度，可通过在底面作垂线，连接顶点与垂足，构造出直角三角形，再根据已知条件求解高。 4. 计算体积：将求得的底面面积与高代入体积公式，计算出棱锥的体积。 【题型6：棱台的体积】 知识讲解 棱台体积公式知识讲解 1. 棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，两底面之间的距离叫做棱台的高。 2. 棱台的分类：按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……。 3. 棱台体积公式的推导： 设棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为。我们可以将棱台补成一个大棱锥，设大棱锥的高为，小棱锥（被截去的部分）的高为。 根据棱锥的体积公式，大棱锥的体积，小棱锥的体积。 那么棱台的体积。 通过相似三角形的性质，可得，即。 将代入上面的式子，经过化简可得棱台的体积公式。 例题精选 【例题1】（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三上·河北邢台·期末）某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（   ）（不考虑储物料斗斗壁的厚度） A．立方米 B．28立方米 C．立方米 D．84立方米 【例题3】（2025·重庆·模拟预测）若高为3的正三棱台的上、下底面的边长之比为1:2，且其体积等于7，则该三棱台上底面的面积为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱台中，，，侧棱，则该棱台的体积为 ． 【相似题3】（24-25高三上·河南周口·期末）已知一个正六棱台两底面的面积分别为，，体积为，则该棱台的侧面积为 . 【解题思路】1. 确定棱台的类型：明确是三棱台、四棱台等，以及上下底面多边形的形状和特征，这对计算上下底面面积有帮助。 2. 计算上、下底面面积： 根据上下底面多边形的形状，运用相应的面积公式计算。如上下底面是三角形，按三角形面积公式计算；是四边形，按四边形的相关面积公式计算，对于不规则多边形，可通过分割或补形转化为规则图形来计算面积。 3. 确定棱台的高： 棱台的高是两底面之间的垂直距离，有些题目中可能会直接给出高的值。 如果没有直接给出，可能需要通过作辅助线，利用棱台的性质、相似三角形或勾股定理等知识来求出高。例如，在棱台中构造直角梯形，通过已知的侧棱长度、上下底面的相关边长等条件，求出高。 4. 计算体积：将求得的上底面面积、下底面面积以及高代入体积公式，计算出棱台的体积。 【题型7：锥体展开图与最值】 知识讲解 1. 棱锥展开图的本质：将棱锥的各个面沿着侧棱展开在一个平面上，得到的图形就是棱锥的展开图。展开过程中，侧棱长度保持不变，各个面之间的角度和边长关系发生了变化，但它们之间的内在联系是解决最值问题的关键。例如，三棱锥展开后，三个侧面三角形会平铺在同一平面，原本在空间中不共面的线段和角在平面上有了新的位置关系。 2. 常见最值类型： · 线段长度最值：比如在棱锥表面上找两点间的最短路径，这是最常见的类型。在空间中，两点间直线距离最短，但由于要在棱锥表面移动，所以需要借助展开图，将空间问题转化为平面问题。例如，一只蚂蚁要从棱锥的一个顶点沿着表面爬到另一个顶点，求最短爬行路径长度，就需要展开棱锥侧面，使这两个顶点在同一平面内，此时连接这两点的线段长度就是最短路径。 · 角度最值：有时会涉及在棱锥展开图中求某个角的最大或最小值。这通常与图形的形状变化和线段的位置关系有关。例如，在正三棱锥展开图中，研究某个侧面三角形绕侧棱旋转过程中，与其他面形成的二面角的最值情况。 · 面积最值：可能会遇到在棱锥展开图的基础上，通过改变某些条件（如点的位置移动等）来求某个区域面积的最值。比如，在棱锥展开图中，有一个动点在某条边上移动，求由该动点与其他固定点构成的三角形面积的最大值。 例题精选 【例题1】（2025·陕西西安·一模）正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【例题2】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，，求该几何体的体积. (2)若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 【相似题2】（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，已知三棱柱的所有棱长都为1，，点P为线段上的动点． (1)若点恰为线段上靠近点的三等分点，求三棱锥和三棱柱的体积之比； (2)求的最小值及此时的值． 【解题思路】 1. 分析棱锥结构： · 明确棱锥的类型，是三棱锥、四棱锥还是其他棱锥，不同类型棱锥的展开图有不同特点。例如，三棱锥展开后有三个侧面三角形相连，四棱锥展开后有四个侧面三角形相连。 · 确定棱锥的棱长、底面形状及边长等关键数据，这些数据在展开图中会影响图形的形状和线段长度。比如，正三棱锥的三条侧棱长相等，底面是正三角形，这些特性在展开图中依然存在，且对后续计算有重要作用。 2. 作出合适的展开图： · 根据题目中涉及的点和路径情况，选择恰当的方式展开棱锥。如果是求从一个顶点到另一个顶点的最短路径，就将包含这两个顶点的侧面展开。例如，求三棱锥中从顶点到顶点在棱锥表面的最短路径，可将、、中的两个或三个侧面展开，使和在同一平面内。 · 准确绘制展开图，标注好原棱锥中的对应点、线段和角度等信息，避免混淆。例如，在展开正四棱锥时，要清楚地标出底面正方形的四个顶点在展开图中的位置以及侧棱与底面顶点的连接关系。 3. 运用平面几何知识求解： · 求线段长度最值： · 在展开图中，连接要求路径的两点，根据两点之间线段最短的原理，这条线段的长度就是所求的最短路径长度。例如，在展开图中，若两点间有其他线段阻碍，可通过平移等方法，将折线转化为直线段来求解。 · 利用勾股定理、相似三角形等知识计算线段长度。比如，在展开图中构建直角三角形，已知直角边长度，通过勾股定理求出斜边长度，即所求的最短路径长度。若存在相似三角形，可根据相似比求出未知线段长度。 · 求角度最值： · 分析在展开图中角度变化的相关因素，比如线段的旋转、平移等对角度的影响。例如，在一个侧面三角形绕侧棱旋转过程中，观察与其他面的交线位置变化，从而确定角度的变化趋势。 · 利用三角函数知识，通过已知线段长度求出角度的三角函数值，进而确定角度最值。例如，在一个三角形中，已知三条边的长度，可通过余弦定理求出某个角的余弦值，再根据余弦函数的单调性确定角度的最值情况。 · 求面积最值： · 确定面积表达式中与变量相关的因素，比如某个动点的位置变化会影响三角形的底和高。例如，在展开图中，一个动点在某条边上移动，以该动点和另外两个固定点构成三角形，分析动点位置变化时三角形底和高的变化规律。 · 利用函数思想，设出变量，建立面积关于变量的函数关系式，再通过求函数的最值来确定面积的最值。比如，设动点到某端点的距离为，根据几何关系表示出三角形的底和高，从而得到面积关于的函数，然后利用二次函数的性质或导数等方法求出函数的最值。 【题型8：组合体与不规则几何体的表面积与体积】 知识讲解 1. 组合体定义：由两个或多个简单几何体（棱柱、棱锥等）组合而成，组合方式有拼接、挖空等。 2. 组合体表面积：是各面面积总和。拼接组合体要减去拼接面重复计算的面积；挖空组合体需加上挖空新暴露面的面积。 3. 组合体体积：拼接组合体体积是各简单几何体体积相加；挖空组合体体积是被挖几何体体积减去挖去部分体积。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三下·天津·开学考试）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 【例题3】（24-25高三上·天津·期末）如图，四边形ABCD为正方形平面ABCD记三棱锥的体积分别为有如下的结论，其中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·安徽宣城·期末）如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为60cm，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·北京·期中）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 【相似题3】（24-25高二上·北京·期末）中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直颈，颈两侧饰对称象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角抹平，向内收缩，如同把角折起来．如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥．在长方体中，，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知委角之后的瓶身体积是长方体体积的，则长方体的体对角线长度为 ． 【解题思路】 1. 分析构成： · 明确由哪些简单几何体组成及组合方式。 · 确定各简单几何体关键几何特征，如边长、半径、高。 2. 计算相关量： · 表面积：算各简单几何体表面积，确定拼接面或挖空新暴露面面积。 · 体积：按公式算各简单几何体体积。 3. 计算组合体数值： · 表面积：拼接的相加后减拼接面面积的 2 倍；挖空的用被挖几何体表面积加新暴露面面积。 · 体积：拼接的直接相加；挖空的用被挖体积减挖去体积。 课后针对训练 一、单选题 1．（20-21高三上·河南·阶段练习）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·安徽宣城·二模）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗（如图），斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．如图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，下底面边长为25cm，上底面边长为10cm，侧棱长为15cm，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（22-23高一下·全国·单元测试）正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高是 ． 4．（21-22高二下·上海·单元测试）已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是 5．（2024高三·全国·专题练习）底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，则所得棱台的体积为 ． 三、解答题 6．（24-25高一上·全国·课后作业）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是．求这个正三棱台的侧面积． 7．（22-23高一下·浙江·期中）如图，在正四棱锥中，是上的点且是的中点．求： (1)四棱锥的表面积； (2)三棱锥的体积． 8．（2024高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 9．（22-23高一下·安徽阜阳·阶段练习）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.    (1)若，，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 10．（24-25高二上·上海·课后作业）用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米． (1)求a关于h的函数表达式； (2)设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（不计容器的厚度）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$