高一下学期期中模拟测试卷（1）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一下册期中模拟测试卷（1） 【人教A版2019】范围：必修一 第六章～第八章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（为虚数单位）的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用复数虚部的定义即可求解 【详解】复数， 故虚部是， 故选：D 2．若等边的边长为4，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】可画出图形，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出的值． 【详解】如图， 根据条件，． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的概念，以及向量夹角的概念，向量数量积的计算公式． 3．在中，点D是AB的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法和减法运算即可. 【详解】因为点D是AB的中点， 所以 所以 故选：D. 4．已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C. 5．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，得；反之不成立．再由充分必要条件的判定判断. 【详解】由，得； 反之，由，得. ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．已知如图，点，，，分别是正方体中棱，，，的中点，则（    ） A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是异面直线 C．，且直线，是相交直线 D．，且直线，是异面直线 【答案】C 【解析】利用特殊值法，设正方体的棱长为2即可计算出相应的长度，再根据正方体的性质即可得出答案。 【详解】设正方体的棱长为2，则，，所以，设，分别为和的中点，则六边形是过四点的平面截正方体的截面，所以与是共面直线，且与不平行，所以与是相交直线. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正方体简单的几何性质，属于基础题。 7．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积. 【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故，    所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应该对已知条件展开，考虑条件和结果之间的内部关系，使用2倍角公式即可. 【详解】 ， 则，即，所以, 故选：B. 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．则下列命题中正确的是（    ） A．若复数z满足，则 B．若z为复数，则必成立 C．若复数，则 D．若复数，，则 【答案】ACD 【分析】由复数的运算性质对选项逐一判断 【详解】对于A，若，设，即，则，，故A正确， 对于B，若，则，故B错误， 对于C，若，，，故C正确， 对于D，设，则， 可得，故D正确． 故选：ACD 10．定义两个非零平面向量的一种新运算：，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D．若，则与平行 【答案】AD 【分析】根据向量的新运算逐个分析判断. 【详解】依题意可得，选项A正确； 在平行四边形中，取，则表示面积的两倍，表示面积的两倍，表示平行四边形的面积的两倍，而与方向相同，，选项B错误； ， 当时，，显然不相等，故选项C错误； 由，对于两个非零平面向量，，又表示的夹角，， 或，即与平行，故选项D正确. 故选：AD 11．如图，矩形ABCD中，，E是边AB的中点，将沿直线DE翻折成（点不落在底面BCDE内），连接、.若M为线段的中点，则在的翻折过程中，以下结论正确的是（    ）    A．平面恒成立 B．存在某个位置，使 C．线段BM的长为定值 D． 【答案】AC 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、棱锥体积公式、余弦定理逐一判断即可. 【详解】设的中点为，连接、， 因为M为线段的中点，所以， 而平面，平面， 所以平面， 因为在矩形ABCD中，，的中点为，所以， 同理可证平面，因为，平面， 所以平面平面，而平面， 所以有平面恒成立，因此选项A正确； 设点在底面的射影为，连接， 因为在矩形ABCD中，，E是边AB的中点， 所以有，因此有，而， 显然与不垂直， 假设存在某个位置，使， 因为平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面，而平面， 所以，这与与不垂直，因此选项B不正确；      在矩形ABCD中，，E是边AB的中点， 所以，显然有， 由余弦定理可知：， 因为，， 所以线段BM的长为定值，因此选项C正确； ，因此选项D不正确， 故选：AC 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是 ． 【答案】6 【分析】根据斜二测画法得出的结构，线段长，垂直关系，从而求得周长． 【详解】斜二测直观图的画法原则，横坐标不变，纵坐标减半， 所以，， 又因为，所以，因此的周长为， 故答案为：6． 13．如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点A，B．现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高CD为          【答案】米 【分析】先利用正弦定理求，再利用直角三角形的边角关系求. 【详解】在中，易知， 由正弦定理： . 在中，，， 所以： （米） 故答案为：米 14．在平面上，正方形ABCD的边长为，BD中点为E，点P满足，则最大值是 . 【答案】4 【分析】作出草图，根据题意，点位于正方形的外接圆圆上，当最大时， 与的夹角为，点与点重合，再根据数量积公式，即可求出结果． 【详解】如图根据题意，点为中点，且； 所以点在正方形的外接圆圆上； 又，其中为与的夹角； 所以当时，有最大值，此时点与点重合； ∴. 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，利用数形结合思想，属中档题． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. 【答案】(1) (2); 【分析】（1）根据复数的乘法结合纯虚数的概念可解得答案； （2）根据复数除法运算法则先求得复数，然后可求得． 【详解】（1），， 又为纯虚数，且，解得， ； （2），． 16．已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】(1)或3： (2)1或 (3) 【分析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. 【详解】（1）若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. （2）若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. （3）因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 17．在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 18．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，进而有，最后利用线面垂直的判断定理证明平面； （2）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与的法向量，利用向量法求二面角即可 【详解】（1）平面， ， 又正方形中，， 平面， 平面， 又平面， ， 是的中点，， 且面面， 平面 （2） 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知： 则， 设平面的法向量为， 则， 令，得到， 又，则，且平面， 平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 所以二面角的余弦值为. 19．如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． (1)求正四棱锥的表面积； (2)证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)存在， 【分析】（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果； （2）设，连接，可知∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （3）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【详解】（1）因为正四棱锥中，，， 则侧面的高， 所以正四棱锥的表面积． （2）设，连接， 因为分别为的中点，则∥， 且平面，平面， 所以平面. （3） 在侧棱上存在一点，使平面，满足． 理由如下： 取中点为，因为，则， 过作的平行线交于，连接． 由于，即．则， 且平面，平面，所以平面， 由（2）可知：平面， 因为，平面，可得平面平面， 且平面，所以平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下册期中模拟测试卷（1） 【人教A版2019】范围：必修一 第六章～第八章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（为虚数单位）的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．若等边的边长为4，则（    ） A．8 B． C． D． 3．在中，点D是AB的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．2 5．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知如图，点，，，分别是正方体中棱，，，的中点，则（    ） A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是异面直线 C．，且直线，是相交直线 D．，且直线，是异面直线 7．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A．B．C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．则下列命题中正确的是（    ） A．若复数z满足，则 B．若z为复数，则必成立 C．若复数，则 D．若复数，，则 10．定义两个非零平面向量的一种新运算：，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D．若，则与平行 11．如图，矩形ABCD中，，E是边AB的中点，将沿直线DE翻折成（点不落在底面BCDE内），连接、.若M为线段的中点，则在的翻折过程中，以下结论正确的是（    ）    A．平面恒成立 B．存在某个位置，使 C．线段BM的长为定值 D． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是 ． 13．如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点A，B．现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高CD为          14．在平面上，正方形ABCD的边长为，BD中点为E，点P满足，则最大值是 . 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. 16．已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 17．在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 18．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 19．如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． (1)求正四棱锥的表面积； (2)证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$