高一下学期期中模拟测试卷（2）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一下册期中模拟测试卷（2） 【人教A版2019】范围：必修一 第六章～第八章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．给出下列命题中，正确的命题是（    ） A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 B．侧棱都相等的棱锥是正棱锥 C．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 D．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 5．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是（    ）    A．10km B．20km C．km D．km 6．如图所示，平行四边形的对角线相交于点O，，若，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 7．在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 8．已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知在复数范围内关于的方程两根为，则下列结论正确的是（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D． 10．下列说法错误的是（    ） A．若向量与向量共线，则 B．在平行四边形中，有向线段与有向线段相等 C．为平面中两个不共线的单位向量，若，则 D．一个物体在力的作用下产生位移 ，那么力所做的功就是力与位移所对应的向量的内积 11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（     ） A．若，，，则符合条件的有且仅有两个 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知两个球的表面积之差为，它们的大圆周长之和，则这两个球的半径之差 ． 13．在菱形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，若，则 ． 14．在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是 . 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，． (1)若与共线，求实数k的值： (2)求向量与夹角的大小． 16．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位. （1）求复数z和； （2）若在第四象限，求m的范围. 17．在中，角的对边分别是，满足. (1)求角的余弦值； (2)若是边的中点且，求的取值范围. 18．如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． （Ⅰ）求证：，，，四点共面； （Ⅱ）求证：平面∥平面； （Ⅲ）画出平面与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）． 19．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记. （1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积； （2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下册期中模拟测试卷（2） 【人教A版2019】范围：必修一 第六章～第八章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量坐标运算法则直接求解即可. 【详解】解： ，， . . 故选：C. 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，再根据复数的除法运算计算即可. 【详解】由复数，得， 则. 故选：D. 3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 4．给出下列命题中，正确的命题是（    ） A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 B．侧棱都相等的棱锥是正棱锥 C．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 D．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 【答案】A 【分析】根据正四棱柱、正棱锥的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直与底面，所以该四棱柱为正四棱柱，所以A正确； 对于B中，只要棱锥的顶点在底面多边形上的射影为多边形外接圆的圆心，此时棱锥的所有侧棱都相等，但底面不一定是正多边形，所以该棱锥不一定是正棱锥，所以B错误； 对于C中，如图（1）所示，底面四边形为正方形，且有两个面矩形，但此棱柱不是正四棱柱，所以C不正确； 对于D中，如图（2）所示，三棱锥中，设，其中，此时三棱锥的侧面都是等腰三角形，但此时不是正三棱锥，所以D错误. 故选：A. 5．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是（    ）    A．10km B．20km C．km D．km 【答案】C 【分析】为等腰三角形，利用正弦定理求出的长，即为这时船与灯塔的距离． 【详解】根据题意，可得，即，， 在中，利用正弦定理得，得, 则这时船与灯塔的距离是 . 故选：C． 6．如图所示，平行四边形的对角线相交于点O，，若，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为平行四边形的对角线相交于点， 所以， 因为，所以， 则. 故选：B. 7．在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用三角公式得到，求出，即可判断. 【详解】在中，因为， 所以， 即, 展开，整理化简得：. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为为三角形内角，所以， 所以为直角三角形. 故选：B 8．已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作图得出区域D，然后根据向量关系得出，，然后表示出，根据和的关系可得出，，进而得出，根据“1”的代换，即可得出答案. 【详解】 如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得， ， 作，，，， 则四边形，，均为平行四边形. 由题意可知:点组成的区域D为图中的四边形及其内部. 因为，，， 所以，，，， 所以，，， 所以，. 又，则. 所以， . 因为四边形的面积， 所以，即， ， 当且仅当时取等号. 的最小值为4. 故选：A. 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知在复数范围内关于的方程两根为，则下列结论正确的是（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据实系数一元二次方程求根公式求出，然后逐一判断即可. 【详解】由，或， 显然与互为共轭复数，因此选项A正确； 因为，所以选项B不正确； 因为，所以选项C正确； 因为，所以选项D不正确， 故选：AC 10．下列说法错误的是（    ） A．若向量与向量共线，则 B．在平行四边形中，有向线段与有向线段相等 C．为平面中两个不共线的单位向量，若，则 D．一个物体在力的作用下产生位移 ，那么力所做的功就是力与位移所对应的向量的内积 【答案】ABC 【分析】根据向量的共线，考虑与共线情况，可判断A；根据向量和有向线段的概念判断B；根据数量积的运算判断C；根据力做功的含义结合数量积（内积）定义判断D. 【详解】.向量与向量共线，若与共线，则，A错误； B.有向线段与向量是不相同的概念，有向线段具有三要素：起点､方向､长度， 向量完全由模和方向确定，并且有向线段与有向线段的方向相反，二者不相等，B错误 C.当时，，此时，C错误； D. 一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功为为和的夹角， 则就是力与位移所对应的向量的内积，D正确， 故选：ABC 11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（     ） A．若，，，则符合条件的有且仅有两个 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【分析】根据余弦定理以及正弦定理，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A：若，，， 由余弦定理得， 故符合条件的有且仅有一个，故A错误； 对于B：反证法：假设，根据三角形内大边对大角，则， 由正弦定理可得，与题干矛盾，故B正确； 对于C：若，由正弦定理得， 由余弦定理得，故，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：若为锐角三角形，则，所以， 因为在上单调递增，所以，故D正确． 故选：BCD． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知两个球的表面积之差为，它们的大圆周长之和，则这两个球的半径之差 ． 【答案】 【分析】根据球的表面积和圆的周长公式可构造方程组求得结果. 【详解】设两球的半径分别为和，则，即， ，解得：， 即两个球的半径之差为. 故答案为：. 13．在菱形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算可用表示出，进而表示出；根据三点共线可构造方程求得结果. 【详解】 ，， 三点共线，，解得：. 故答案为：. 14．在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得，其中，结合范围，由于有最大值，可求，进而求解的取值范围. 【详解】由于，所以， 由正弦定理得， 所以，， 所以 . 当，即时，，没有最大值，所以， 则，其中， 要使有最大值，则要能取，由于， 所以，所以，即，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，． (1)若与共线，求实数k的值： (2)求向量与夹角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出与的坐标，再利用向量平行的坐标公式计算即可； （2）利用公式求解即可. 【详解】（1）由已知，， 与共线， ， 解得； （2）由已知，又， . 16．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位. （1）求复数z和； （2）若在第四象限，求m的范围. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z，再求其模； （2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可： 【详解】（1）设，则， 由为实数，得，则， 由为实数，得，则， ∴，则； （2） 由在第四象限，得，解得或， 故m的取值范围为． 【点睛】思路点睛：本题考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用，考查利用复数在复平面上对应点所在象限求参数范围，求解时先设，然后依据题设建立方程求出，属于基础题. 17．在中，角的对边分别是，满足. (1)求角的余弦值； (2)若是边的中点且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到，即可求出，从而得解； （2）设，利用正弦定理表示出，，设，利用辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在中，由正弦定理有， ， ，即， 在中，由余弦定理，有， ，则，即， ，∴，则； （2）如图，设，则，， 在中,根据正弦定理，有， ，， 设 ， （其中，，易得） 又，所以在上单调递增， 所以，又， 所以的取值范围为． 18．如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． （Ⅰ）求证：，，，四点共面； （Ⅱ）求证：平面∥平面； （Ⅲ）画出平面与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析 【分析】（Ⅰ）要证，，，四点共面，只需证明∥； （Ⅱ）只需证明∥平面，∥平面即可； （Ⅲ）因为∥平面，平面，设平面平面，由线面平行的性质定理知∥，过作的平行线即可. 【详解】（Ⅰ）因为分别是，的中点，所以为的中位线，所以∥， 又四边形是矩形，所以∥，所以∥，故，，，四点共面； （Ⅱ）由已知，为的中位线，所以∥，所以∥， 又平面，平面，所以∥平面， 同理∥∥，且 ，所以四边形为平行四边形， 所以∥，又平面，平面，所以∥平面， 又，所以平面∥平面. （Ⅲ）∴过作的平行线交分别于，连接分别交于，连接，如图， 理由如下：因为∥∥，∴∥平面，平面，设平面平面， 由线面平行的性质定理知∥，所以过作的平行线交分别于，连 接分别交于，连接，即可得到平面与正方体侧面的交 线. 【点睛】本题考查平面的基本性质，面面平行的判定定理、性质定理，考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力，是一道中档题. 19．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记. （1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积； （2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 【答案】（1）平方米；（2）212.5平方米. 【分析】（1）过M作OA的垂线，交AO于点E,过N作OA的垂线，交AO于点F，分别计算出MN、NP，即可求出矩形MNPQ的面积 （2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为x的函数，，利用三角函数求最值. 【详解】（1） 当时，过M作OA的垂线，交AO于点E. 则. . 过N作OA的垂线，交AO于点F，. ∵，， ∴. . 矩形MNPQ的面积平方米. 所以矩形观赏台MNPQ的面积平方米. （2）由题意可知，，，，， 在中，由， 得. 矩形MNPQ的面积. 观赏台的面积. 整个观赏台面积. 设，， ∴. . ∴. ∴ . 当时，整个观赏台观赏台S取得最大值为212.5平方米. ∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米. 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$