2.10 共点力平衡中的整体隔离法与临界极值问题 讲义 -2026届高三物理一轮大单元考点题型复习对点练

目录 第10课时　共点力平衡中的整体隔离法与临界极值问题 1 考点一　整体隔离法 1 考点二　临界与极值问题 3 题型1：极限法 4 题型2：函数分析法 4 题型3：物理图解分析法 5 巩固训练·提升能力 6 第10课时　共点力平衡中的整体隔离法与临界极值问题 考点一　整体隔离法 必备知识·回顾梳理 整体法与隔离法 整体法 隔离法 概念 将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法 选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力或求系统整体的加速度 研究系统内物体之间的相互作用力 注意事项 对整体进行受力分析时，不再考虑系统内物体间的相互作用 一般先隔离受力较少的物体作为突破口 关键能力·规律方法 选择研究对象是解决物理问题的首要环节．若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法．对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；很多情况下，通常采用整体法和隔离法相结合的方法． 应注意的四个问题． 2 不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆，分清施力物体，受力物体． ②对于分析出的物体受到的每一个力，都必须明确其来源，即每一个力都应找出其施力物体，不能无中生有。 ③区分合力与分力．研究对象的受力图，通常只画出物体实际受到的力，不要把按效果命名的分力或合力分析进去，受力图完成后再进行力的合成或分解． ④区分内力与外力：对几个物体的整体进行受力分析时，这几个物体间的作用力为内力，不能在受力图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，内力变成外力，要在受力分析图中画出． 例题分析·考点题型 1.如图所示，在同一竖直平面内，物块甲上系有不可伸长的细线、、，其中的上端固定在天花板上，跨过光滑定滑轮与物块乙相连，与静止在粗糙斜面体上的物块丙相连。系统静止时，细线竖直，细线在甲和定滑轮之间的部分与竖直方向的夹角，细线平行于斜面。已知三个物块的质量均为且均可看成质点，斜面体置于水平地面上，其质量为，斜面倾角，重力加速度，，求： 细线的拉力大小； 物块丙受到的摩擦力； 地面对斜面体的摩擦力大小和支持力大小。 题后反思 　整体法和隔离法不是孤立的，两者在题目中经常综合使用，有时先整体再隔离，有时先隔离再整体。 变式训练·举一反三 2. (单选)如图所示，用三根相同细线、、将重力为的灯笼和重力为的灯笼悬挂起来。两灯笼静止时，细线与竖直方向的夹角为，细线水平。则(    ) A. 中的拉力大小为 B. 中的拉力大小为 C. 中的拉力大小大于中的拉力大小 D. 中的拉力大小为 3. (多选)如图所示，两个质量都是的小球、用轻杆连接后靠在墙上处于静止状态，已知墙面光滑，水平地面粗糙，重力加速度为则下列说法正确的是(    ) A. 小球受到地面给它的支持力大小为 B. 小球和小球受力个数之比为 C. 小球受到竖直墙面给它的弹力大小与小球受到的静摩擦力大小相等 D. 当小球的质量增加为时，小球对地面的压力大小不变 考点二　临界与极值问题 必备知识·回顾梳理 1.临界问题 处于平衡状态的物体，当某物理量变化时会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 2．极值问题 在力的变化过程中存在力的最大值或最小值。 3．解决共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图(力的平行四边形或力的矢量三角形)，通过对物理过程的分析，在力的矢量图上进行动态分析，确定最大值或最小值。 关键能力·规律方法 图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 函数法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值） 极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 例题分析·考点题型 题型1：极限法 4.风洞实验室中可以产生方向水平，速度大小可调节的风，用来研究处在流动气体中物体的受力情况。如图，现将一轻绳牵引下的氢气球放在风洞中，氢气球重为当无风时，轻绳竖直，此时轻绳的拉力当有水平方向风吹来，气球受到水平风力为一常数，为风速，当风速时，轻绳与水平方向的夹角为，设空气对氢气球的浮力不变。求： 值为多少？ 若绳子的最大拉力为，为使轻绳不断，则风速不能超过多少？ 题后反思 我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得 题型2：函数分析法 5.门下缝隙处塞了一个木楔，木楔尺寸比门小得多，侧面如图所示。已知木楔质量为，其上表面可视作光滑，下表面与水平地面间的动摩擦因数为，木楔上表面与水平地面间的夹角为，重力加速度为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。 若门推动木楔在地板上缓慢移动，求木楔对门下端的支持力大小； 小明研究发现，存在一种情境：不管用多大力推门，塞在门下缝隙处的木楔质量较小都能将门卡住而不再运动。求这一情境下木楔倾角与动摩擦因数所满足的关系式。 题后反思 数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值 题型3：物理图解分析法 6. (单选)如图所示，足够长的光滑平板与用铰链连接，平板与水平面成角固定不动，平板可绕水平轴在竖直面内自由转动，将一均匀圆柱体放在两板间。在使板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是(    ) A. 当沿水平方向时，板受到的压力最大 B. 当沿竖直方向时，板受到的压力最大 C. 当沿竖直方向时，板受到的压力最小 D. 当板与板垂直时，板受到的压力最小 题后反思 物理方法包括（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。 变式训练·举一反三 7.如图所示，物体的质量为，两根轻细绳和的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上，绳与成角，在物体上，另施加一个方向与水平方向也成角的拉力，若要使绳都能伸直，求拉力的大小范围取。 8. (多选)如图所示，一辆小车静止在水平地面上，车内固定着一个倾角为的光滑斜面，光滑挡板可绕转轴在竖直平面内转动．现将一重力为的圆球放在斜面与挡板之间，挡板与水平面的夹角下列说法正确的是  (    ) A. 若保持挡板不动，则球对斜面的压力大小为 B. 若挡板从图示位置沿顺时针方向缓慢转动，则球对斜面的压力逐渐增大 C. 若挡板从图示位置沿顺时针方向缓慢转动，则球对挡板的压力逐渐减小 D. 若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，则球对挡板的压力可能为零 9.如图所示，质量为的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角时，不论水平恒力多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：  物体与斜面间的动摩擦因数； 这一临界角的大小． 10. (多选)某人最多能提起质量为的物体，如图，现在他在机场要把质量为的行李箱通过倾角为的斜坡拉上水平平台，已知行李箱与路面的动摩擦因数均为，重力加速度为，，下列说法正确的是(    ) A. 若在水平面上匀速拉物体，拉力与水平面的夹角为时拉力最小 B. 若在斜坡上匀速拉物体，拉力与斜坡的夹角为时拉力最小 C. 若水平面上匀速拉物体，拉力由水平变到竖直方向过程中，的功率先减小后增大 D. 在斜坡上，此人最多能匀速拉动质量为的物体 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，两个完全相同的木模质量均为，通过三根轻质竖直细线对称连接，放在水平面上呈“互”字型静置，上方木模呈现悬浮效果，这是利用了建筑学中的“张拉整体”的结构原理。细线、、上的张力大小分别用、、表示，水平面所受的压力大小为，重力加速度大小为。下列关系式正确的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. 2.如图所示为某粮库输送小麦的示意图。麦粒离开传送带受重力作用在竖直方向上掉落后，形成圆锥状的麦堆。若麦堆底面半径为，麦粒之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不考虑麦粒的滚动。则形成的麦堆的最大高度为(    ) A. B. C.   D. 3.我国高铁技术处于世界领先水平。某列复兴号动车组由节车厢组成，以车在前、车在后沿水平直轨道运行，其中车和车为动车，提供动力，其余为拖车，不提供动力。假设各节车厢质量及受到的阻力均相等，车和车提供的动力始终相同，则 A. 加速运行时，车对车有作用力 B. 关闭动力滑行时，每节车厢之间均无作用力 C. 匀速运行时，每节车厢之间均无作用力 D. 匀速运行时，、车之间的作用力大于、车之间的作用力 4.挂灯笼的习俗起源于多年前的西汉时期，已成为中国人喜庆的象征．如图所示，由五根等长的轻质细绳悬挂起四个质量相等的灯笼，中间的细绳是水平的，另外四根细绳与水平面所成的角分别和下列关系式中正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，质量为的小球用轻质细绳拴住放在足够长的光滑斜面上，倾角的斜面体置于光滑水平面上，用水平力推动斜面体，使小球沿斜面缓慢升高，至绳与斜面平行的过程中，绳上的拉力最小值为  (    ) A. B. C. D. 二、多选题。 6.将一长方形木块锯开为相同的、两部分后，按图示方式叠放并静止在粗糙水平地面上，、接触面与竖直方向的夹角为，、间的动摩擦因数为。若、的质量均为，重力加速度大小为，则下列说法正确的是(    ) A. 一定受到个力作用 B. 对的作用力大小为 C. 地面对的摩擦力为 D. 对的摩擦力大小为 7.如图，倾角为的斜面体置于水平地面上，小物块置于斜面上，通过跨过光滑定滑轮的细绳与物体相连接，连接的一段细绳与斜面平行，已知、、都处于静止状态。则(    ) A. 受到的摩擦力一定不为零 B. 受到地面的摩擦力一定为零 C. 有沿地面向右滑动的趋势，一定受到地面向左的摩擦力 D. 将细绳剪断，若物块依然静止在斜面上，此时地面对的摩擦力为 8.如图，小明同学做家务时用拖把清理地板拖把的质量为，拖把杆与水平方向成角，对拖把施加一个沿拖把杆向下、大小为的力时，恰好能推动拖把向前匀速运动重力加速度取，，则下列说法正确的是(    ) A. 拖把与地板间的动摩擦因数为 B. 拖把与地板间的动摩擦因数为 C. 拖把与地板间的摩擦力大小为 D. 小明发现如果拖把杆与水平方向成角时，无论用多大的力，拖把都推不动，则的值可能为 9.如图所示，两个半圆柱、紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱，三者半径均为。的质量为，、的质量都为，与地面的动摩擦因数均为。现用水平向右的力拉，使缓慢移动，直至恰好降到地面。整个过程中保持静止，在整个运动过程中以下说法正确的是(    ) A. 对的压力的竖直分量一直减小 B. 所受到的地面的摩擦力大小不变 C. 所受地面的摩擦力一直增大 D. 拉动的拉力不变 10.如图所示，光滑杆竖直固定在地面上，倾角为的斜面体放在水平面上，小球和物体用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，小球穿过光滑竖直杆，物体放在斜面体上，且轻绳与斜面平行，连接小球的轻绳与竖直方向的夹角为时物体刚好不上滑，斜面体始终保持静止。已知小球的质量为，物体的质量为，斜面体的质量为，重力加速度为，，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是 A. 轻绳对定滑轮的作用力大小为 B. 物体与斜面间的动摩擦因数为 C. 斜面体对水平面的压力大小为 D. 斜面体与水平面间的动摩擦因数可能为 三、计算题。 11.如图所示，用不可伸长的轻绳和吊起一装有少量沙子的沙袋沙袋质量不计，绳和与天花板的夹角分别为和现缓慢往沙袋中注入沙子．重力加速度取． 当沙袋中沙子的质量时，求绳和上的拉力大小和； 若能承受的最大拉力为，能承受的最大拉力为，为使绳子不断裂，求沙袋中沙子质量的最大值． 12.如图所示，质量为的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角时，不论水平恒力多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，重力加速度取，试求： 物体与斜面间的动摩擦因数； 这一临界角的大小． 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目录 第10课时　共点力平衡中的整体隔离法与临界极值问题 1 考点一　整体隔离法 1 考点二　临界与极值问题 2 题型1：极限法 2 题型2：函数分析法 3 题型3：物理图解分析法 3 巩固训练·提升能力 5 第10课时　共点力平衡中的整体隔离法与临界极值问题 考点一　整体隔离法 例题分析·考点题型 1.如图所示，在同一竖直平面内，物块甲上系有不可伸长的细线、、，其中的上端固定在天花板上，跨过光滑定滑轮与物块乙相连，与静止在粗糙斜面体上的物块丙相连。系统静止时，细线竖直，细线在甲和定滑轮之间的部分与竖直方向的夹角，细线平行于斜面。已知三个物块的质量均为且均可看成质点，斜面体置于水平地面上，其质量为，斜面倾角，重力加速度，，求： 细线的拉力大小； 物块丙受到的摩擦力； 地面对斜面体的摩擦力大小和支持力大小。 变式训练·举一反三 2. (单选)如图所示，用三根相同细线、、将重力为的灯笼和重力为的灯笼悬挂起来。两灯笼静止时，细线与竖直方向的夹角为，细线水平。则(    ) A. 中的拉力大小为 B. 中的拉力大小为 C. 中的拉力大小大于中的拉力大小 D. 中的拉力大小为 3. (多选)如图所示，两个质量都是的小球、用轻杆连接后靠在墙上处于静止状态，已知墙面光滑，水平地面粗糙，重力加速度为则下列说法正确的是(    ) A. 小球受到地面给它的支持力大小为 B. 小球和小球受力个数之比为 C. 小球受到竖直墙面给它的弹力大小与小球受到的静摩擦力大小相等 D. 当小球的质量增加为时，小球对地面的压力大小不变 考点二　临界与极值问题 例题分析·考点题型 题型1：极限法 4.风洞实验室中可以产生方向水平，速度大小可调节的风，用来研究处在流动气体中物体的受力情况。如图，现将一轻绳牵引下的氢气球放在风洞中，氢气球重为当无风时，轻绳竖直，此时轻绳的拉力当有水平方向风吹来，气球受到水平风力为一常数，为风速，当风速时，轻绳与水平方向的夹角为，设空气对氢气球的浮力不变。求： 值为多少？ 若绳子的最大拉力为，为使轻绳不断，则风速不能超过多少？ 题型2：函数分析法 5.门下缝隙处塞了一个木楔，木楔尺寸比门小得多，侧面如图所示。已知木楔质量为，其上表面可视作光滑，下表面与水平地面间的动摩擦因数为，木楔上表面与水平地面间的夹角为，重力加速度为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。 若门推动木楔在地板上缓慢移动，求木楔对门下端的支持力大小； 小明研究发现，存在一种情境：不管用多大力推门，塞在门下缝隙处的木楔质量较小都能将门卡住而不再运动。求这一情境下木楔倾角与动摩擦因数所满足的关系式。 题型3：物理图解分析法 6. (单选)如图所示，足够长的光滑平板与用铰链连接，平板与水平面成角固定不动，平板可绕水平轴在竖直面内自由转动，将一均匀圆柱体放在两板间。在使板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是(    ) A. 当沿水平方向时，板受到的压力最大 B. 当沿竖直方向时，板受到的压力最大 C. 当沿竖直方向时，板受到的压力最小 D. 当板与板垂直时，板受到的压力最小 变式训练·举一反三 7.如图所示，物体的质量为，两根轻细绳和的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上，绳与成角，在物体上，另施加一个方向与水平方向也成角的拉力，若要使绳都能伸直，求拉力的大小范围取。 8. (多选)如图所示，一辆小车静止在水平地面上，车内固定着一个倾角为的光滑斜面，光滑挡板可绕转轴在竖直平面内转动．现将一重力为的圆球放在斜面与挡板之间，挡板与水平面的夹角下列说法正确的是  (    ) A. 若保持挡板不动，则球对斜面的压力大小为 B. 若挡板从图示位置沿顺时针方向缓慢转动，则球对斜面的压力逐渐增大 C. 若挡板从图示位置沿顺时针方向缓慢转动，则球对挡板的压力逐渐减小 D. 若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，则球对挡板的压力可能为零 9.如图所示，质量为的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角时，不论水平恒力多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：  物体与斜面间的动摩擦因数； 这一临界角的大小． 10. (多选)某人最多能提起质量为的物体，如图，现在他在机场要把质量为的行李箱通过倾角为的斜坡拉上水平平台，已知行李箱与路面的动摩擦因数均为，重力加速度为，，下列说法正确的是(    ) A. 若在水平面上匀速拉物体，拉力与水平面的夹角为时拉力最小 B. 若在斜坡上匀速拉物体，拉力与斜坡的夹角为时拉力最小 C. 若水平面上匀速拉物体，拉力由水平变到竖直方向过程中，的功率先减小后增大 D. 在斜坡上，此人最多能匀速拉动质量为的物体 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，两个完全相同的木模质量均为，通过三根轻质竖直细线对称连接，放在水平面上呈“互”字型静置，上方木模呈现悬浮效果，这是利用了建筑学中的“张拉整体”的结构原理。细线、、上的张力大小分别用、、表示，水平面所受的压力大小为，重力加速度大小为。下列关系式正确的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. 2.如图所示为某粮库输送小麦的示意图。麦粒离开传送带受重力作用在竖直方向上掉落后，形成圆锥状的麦堆。若麦堆底面半径为，麦粒之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不考虑麦粒的滚动。则形成的麦堆的最大高度为(    ) A. B. C.   D. 3.我国高铁技术处于世界领先水平。某列复兴号动车组由节车厢组成，以车在前、车在后沿水平直轨道运行，其中车和车为动车，提供动力，其余为拖车，不提供动力。假设各节车厢质量及受到的阻力均相等，车和车提供的动力始终相同，则 A. 加速运行时，车对车有作用力 B. 关闭动力滑行时，每节车厢之间均无作用力 C. 匀速运行时，每节车厢之间均无作用力 D. 匀速运行时，、车之间的作用力大于、车之间的作用力 4.挂灯笼的习俗起源于多年前的西汉时期，已成为中国人喜庆的象征．如图所示，由五根等长的轻质细绳悬挂起四个质量相等的灯笼，中间的细绳是水平的，另外四根细绳与水平面所成的角分别和下列关系式中正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，质量为的小球用轻质细绳拴住放在足够长的光滑斜面上，倾角的斜面体置于光滑水平面上，用水平力推动斜面体，使小球沿斜面缓慢升高，至绳与斜面平行的过程中，绳上的拉力最小值为  (    ) A. B. C. D. 二、多选题。 6.将一长方形木块锯开为相同的、两部分后，按图示方式叠放并静止在粗糙水平地面上，、接触面与竖直方向的夹角为，、间的动摩擦因数为。若、的质量均为，重力加速度大小为，则下列说法正确的是(    ) A. 一定受到个力作用 B. 对的作用力大小为 C. 地面对的摩擦力为 D. 对的摩擦力大小为 7.如图，倾角为的斜面体置于水平地面上，小物块置于斜面上，通过跨过光滑定滑轮的细绳与物体相连接，连接的一段细绳与斜面平行，已知、、都处于静止状态。则(    ) A. 受到的摩擦力一定不为零 B. 受到地面的摩擦力一定为零 C. 有沿地面向右滑动的趋势，一定受到地面向左的摩擦力 D. 将细绳剪断，若物块依然静止在斜面上，此时地面对的摩擦力为 8.如图，小明同学做家务时用拖把清理地板拖把的质量为，拖把杆与水平方向成角，对拖把施加一个沿拖把杆向下、大小为的力时，恰好能推动拖把向前匀速运动重力加速度取，，则下列说法正确的是(    ) A. 拖把与地板间的动摩擦因数为 B. 拖把与地板间的动摩擦因数为 C. 拖把与地板间的摩擦力大小为 D. 小明发现如果拖把杆与水平方向成角时，无论用多大的力，拖把都推不动，则的值可能为 9.如图所示，两个半圆柱、紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱，三者半径均为。的质量为，、的质量都为，与地面的动摩擦因数均为。现用水平向右的力拉，使缓慢移动，直至恰好降到地面。整个过程中保持静止，在整个运动过程中以下说法正确的是(    ) A. 对的压力的竖直分量一直减小 B. 所受到的地面的摩擦力大小不变 C. 所受地面的摩擦力一直增大 D. 拉动的拉力不变 10.如图所示，光滑杆竖直固定在地面上，倾角为的斜面体放在水平面上，小球和物体用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，小球穿过光滑竖直杆，物体放在斜面体上，且轻绳与斜面平行，连接小球的轻绳与竖直方向的夹角为时物体刚好不上滑，斜面体始终保持静止。已知小球的质量为，物体的质量为，斜面体的质量为，重力加速度为，，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是 A. 轻绳对定滑轮的作用力大小为 B. 物体与斜面间的动摩擦因数为 C. 斜面体对水平面的压力大小为 D. 斜面体与水平面间的动摩擦因数可能为 三、计算题。 11.如图所示，用不可伸长的轻绳和吊起一装有少量沙子的沙袋沙袋质量不计，绳和与天花板的夹角分别为和现缓慢往沙袋中注入沙子．重力加速度取． 当沙袋中沙子的质量时，求绳和上的拉力大小和； 若能承受的最大拉力为，能承受的最大拉力为，为使绳子不断裂，求沙袋中沙子质量的最大值． 12.如图所示，质量为的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角时，不论水平恒力多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，重力加速度取，试求： 物体与斜面间的动摩擦因数； 这一临界角的大小． 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目录 第10课时　共点力平衡中的整体隔离法与临界极值问题 1 考点一　整体隔离法 1 考点二　临界与极值问题 4 题型1：极限法 5 题型2：函数分析法 6 题型3：物理图解分析法 7 巩固训练·提升能力 11 第10课时　共点力平衡中的整体隔离法与临界极值问题 考点一　整体隔离法 必备知识·回顾梳理 整体法与隔离法 整体法 隔离法 概念 将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法 选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力或求系统整体的加速度 研究系统内物体之间的相互作用力 注意事项 对整体进行受力分析时，不再考虑系统内物体间的相互作用 一般先隔离受力较少的物体作为突破口 关键能力·规律方法 选择研究对象是解决物理问题的首要环节．若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法．对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；很多情况下，通常采用整体法和隔离法相结合的方法． 应注意的四个问题． 2 不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆，分清施力物体，受力物体． ②对于分析出的物体受到的每一个力，都必须明确其来源，即每一个力都应找出其施力物体，不能无中生有。 ③区分合力与分力．研究对象的受力图，通常只画出物体实际受到的力，不要把按效果命名的分力或合力分析进去，受力图完成后再进行力的合成或分解． ④区分内力与外力：对几个物体的整体进行受力分析时，这几个物体间的作用力为内力，不能在受力图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，内力变成外力，要在受力分析图中画出． 例题分析·考点题型 1.如图所示，在同一竖直平面内，物块甲上系有不可伸长的细线、、，其中的上端固定在天花板上，跨过光滑定滑轮与物块乙相连，与静止在粗糙斜面体上的物块丙相连。系统静止时，细线竖直，细线在甲和定滑轮之间的部分与竖直方向的夹角，细线平行于斜面。已知三个物块的质量均为且均可看成质点，斜面体置于水平地面上，其质量为，斜面倾角，重力加速度，，求： 细线的拉力大小； 物块丙受到的摩擦力； 地面对斜面体的摩擦力大小和支持力大小。 【答案】根据物块乙的平衡状态，可得细线的拉力      对物块甲受力分析，如图，由平衡条件可知 水平方向    竖直方向 解得 对物块丙受力分析，如图 重力沿着斜面向下的分力 根据平衡条件，可得 解得 方向沿着斜面向下。 以丙和斜面体作为整体，将细线的拉力沿着水平方向和竖直方向分解，水平方向 解得 竖直方向 解得 题后反思 　整体法和隔离法不是孤立的，两者在题目中经常综合使用，有时先整体再隔离，有时先隔离再整体。 变式训练·举一反三 2. (单选)如图所示，用三根相同细线、、将重力为的灯笼和重力为的灯笼悬挂起来。两灯笼静止时，细线与竖直方向的夹角为，细线水平。则(    ) A. 中的拉力大小为 B. 中的拉力大小为 C. 中的拉力大小大于中的拉力大小 D. 中的拉力大小为 【答案】A  【解析】将两灯笼看作一个整体，对整体受力分析，如图所示 根据平衡条件可得  ，  解得  ，  故A正确，B错误； 对灯笼隔离分析，利用平衡条件可得 故CD错误； 故选A。 3. (多选)如图所示，两个质量都是的小球、用轻杆连接后靠在墙上处于静止状态，已知墙面光滑，水平地面粗糙，重力加速度为则下列说法正确的是(    ) A. 小球受到地面给它的支持力大小为 B. 小球和小球受力个数之比为 C. 小球受到竖直墙面给它的弹力大小与小球受到的静摩擦力大小相等 D. 当小球的质量增加为时，小球对地面的压力大小不变 【答案】BC  【解析】通过整体法，对、两个小球以及轻杆这个整体进行受力分析，受到重力地面对它的支持力，竖直墙面给它水平向右的弹力以及地面给它水平向左的静摩擦力、两个小球以及轻杆整体静止靠在墙上，受力平衡，合外力为，则小球受到地面给它的支持力大小为，A错误 小球受到墙面给它的弹力大小与小球受到的静摩擦力大小相等，C正确 当小球的质量增大为时，小球受到的支持力增大，故小球对地面的压力也增大，D错误 通过隔离法可知，小球受到重力，轻杆对小球的弹力，竖直墙面对小球水平向右的弹力共三个力，小球受到重力，水平地面对小球的支持力，轻杆对小球的弹力以及地面对小球水平向左的静摩擦力共四个力，故小球和小球受力个数之比为，B正确． 故选BC． 考点二　临界与极值问题 必备知识·回顾梳理 1.临界问题 处于平衡状态的物体，当某物理量变化时会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 2．极值问题 在力的变化过程中存在力的最大值或最小值。 3．解决共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图(力的平行四边形或力的矢量三角形)，通过对物理过程的分析，在力的矢量图上进行动态分析，确定最大值或最小值。 关键能力·规律方法 图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 函数法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值） 极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 例题分析·考点题型 题型1：极限法 4.风洞实验室中可以产生方向水平，速度大小可调节的风，用来研究处在流动气体中物体的受力情况。如图，现将一轻绳牵引下的氢气球放在风洞中，氢气球重为当无风时，轻绳竖直，此时轻绳的拉力当有水平方向风吹来，气球受到水平风力为一常数，为风速，当风速时，轻绳与水平方向的夹角为，设空气对氢气球的浮力不变。求： 值为多少？ 若绳子的最大拉力为，为使轻绳不断，则风速不能超过多少？ 【答案】解：无风时气球在竖直方向受重力、绳子拉力和浮力： 解得： 当时对气球受力分析如图所示： 水平方向： 在竖直方向上 解得： 若绳子的最大拉力为，为使轻绳不断，则最大风速为，此时细绳与水平方向的夹角为，根据平衡条件可得： 水平方向： 在竖直方向上 联立解得，代入可得，故 解得。 答：值为； 若绳子的最大拉力为，为使轻绳不断，则风速不能超过。  题后反思 我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得 题型2：函数分析法 5.门下缝隙处塞了一个木楔，木楔尺寸比门小得多，侧面如图所示。已知木楔质量为，其上表面可视作光滑，下表面与水平地面间的动摩擦因数为，木楔上表面与水平地面间的夹角为，重力加速度为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。 若门推动木楔在地板上缓慢移动，求木楔对门下端的支持力大小； 小明研究发现，存在一种情境：不管用多大力推门，塞在门下缝隙处的木楔质量较小都能将门卡住而不再运动。求这一情境下木楔倾角与动摩擦因数所满足的关系式。 【答案】解：对木楔受力分析，受到重力、压力、支持力和摩擦力，如图所示， 若门推动木楔在地板上缓慢移动，则由力的平衡条件可知，在竖直方向上有 ， 在水平方向上有， 又知， 联立解得， 由牛顿第三定律可得木楔对门的支持力 大小为； 不管用多大力推门，塞在门下缝隙处的木楔都能将门卡住而不再运动，即推力的水平分力小于最大静摩擦力，而最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，则有， 因木楔质量较小，可得。 题后反思 数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值 题型3：物理图解分析法 6. (单选)如图所示，足够长的光滑平板与用铰链连接，平板与水平面成角固定不动，平板可绕水平轴在竖直面内自由转动，将一均匀圆柱体放在两板间。在使板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是(    ) A. 当沿水平方向时，板受到的压力最大 B. 当沿竖直方向时，板受到的压力最大 C. 当沿竖直方向时，板受到的压力最小 D. 当板与板垂直时，板受到的压力最小 【答案】B  【解析】解：圆柱体受重力、平板弹力和平板弹力，将与合成为，如图 小球一直处于平衡状态，三个力中的任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F和合成的合力一定与重力等值、反向、共线。 从图中可以看出，当挡板逆时针缓慢地转向竖直位置的过程中，越来越大，先变小，后变大； 、由几何关系可知，当沿竖直方向时，板、板受到的压力均达到最大，故A错误、B正确； 、当板与板垂直时，板受到的压力最小，当板在水平方向时，板受到的压力最小为零，故CD错误。 故选：。 题后反思 物理方法包括（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。 变式训练·举一反三 7.如图所示，物体的质量为，两根轻细绳和的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上，绳与成角，在物体上，另施加一个方向与水平方向也成角的拉力，若要使绳都能伸直，求拉力的大小范围取。 【答案】对球受力分析，受到拉力，重力，两根细绳的拉力、，如图所示 根据平衡条件，有： 方向： 方向： 解得：， 当时，最大，为：； 当时，最小，为：； 故拉力的范围为：。 答：拉力的大小范围为。  8. (多选)如图所示，一辆小车静止在水平地面上，车内固定着一个倾角为的光滑斜面，光滑挡板可绕转轴在竖直平面内转动．现将一重力为的圆球放在斜面与挡板之间，挡板与水平面的夹角下列说法正确的是  (    ) A. 若保持挡板不动，则球对斜面的压力大小为 B. 若挡板从图示位置沿顺时针方向缓慢转动，则球对斜面的压力逐渐增大 C. 若挡板从图示位置沿顺时针方向缓慢转动，则球对挡板的压力逐渐减小 D. 若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，则球对挡板的压力可能为零 【答案】AD  【解析】本题考查平衡状态和非平衡状态下的共点力的受力分析． A.若保持车静止，挡板不动，对球受力分析如图甲所示，由平衡条件可得，，解得，根据牛顿第三定律可得球对斜面的压力大小为，故A正确； 若挡板从图示位置沿顺时针方向缓慢转动，画出转动过程中球的受力示意图如图乙所示，则斜面对球的支持力逐渐减小，挡板对球的支持力先减小后增大，由牛顿第三定律可得球对斜面的压力逐渐减小，球对挡板的压力先减小后增大，故B、C错误； D.若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，对球受力分析如图丙所示，设小车的加速度大小为，对球有，，解得 ，当时，挡板对球的支持力为零，由牛顿第三定律可知此时球对挡板的压力为零，故D正确． 9.如图所示，质量为的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角时，不论水平恒力多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：  物体与斜面间的动摩擦因数； 这一临界角的大小． 【答案】解：斜面倾角为时，物体恰能匀速下滑，满足 解得 设斜面倾角为，由匀速直线运动的条件： ， 解得： 当，即时，， 即“不论水平恒力多大”，都不能使物体沿斜面向上滑行此时，临界角 10. (多选)某人最多能提起质量为的物体，如图，现在他在机场要把质量为的行李箱通过倾角为的斜坡拉上水平平台，已知行李箱与路面的动摩擦因数均为，重力加速度为，，下列说法正确的是(    ) A. 若在水平面上匀速拉物体，拉力与水平面的夹角为时拉力最小 B. 若在斜坡上匀速拉物体，拉力与斜坡的夹角为时拉力最小 C. 若水平面上匀速拉物体，拉力由水平变到竖直方向过程中，的功率先减小后增大 D. 在斜坡上，此人最多能匀速拉动质量为的物体 【答案】AD  【解析】【解答】 A.假设拉力与水平面夹角，根据平衡条件有： 解得 则当时，有最小值，故A正确； B.在斜坡上匀速拉物体，假设拉力与斜坡夹角，根据平衡条件有： 解得 则当时，有最小值，故B错误； C.根据功率定义式，当为水平方向时， 当为竖直方向时，，故C错误； D.当时有最小值，即某人拉力达到最大值时，所拉重物达到最大值，有 解得，故D正确。 故选：。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，两个完全相同的木模质量均为，通过三根轻质竖直细线对称连接，放在水平面上呈“互”字型静置，上方木模呈现悬浮效果，这是利用了建筑学中的“张拉整体”的结构原理。细线、、上的张力大小分别用、、表示，水平面所受的压力大小为，重力加速度大小为。下列关系式正确的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. 【答案】A  【解析】解：整体受力分析，由平衡条件得 由对称性可知 对上方木模受力分析有 则 ， 故A正确，BCD错误； 故选：。 2.如图所示为某粮库输送小麦的示意图。麦粒离开传送带受重力作用在竖直方向上掉落后，形成圆锥状的麦堆。若麦堆底面半径为，麦粒之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不考虑麦粒的滚动。则形成的麦堆的最大高度为(    ) A. B. C.   D. 【答案】B  【解析】当麦堆达到最大高度后，堆面的倾角达到最大值，此时位于堆面上的麦粒恰好不会滚下，则，根据几何关系有，联立以上两式可得，故选B。 3.我国高铁技术处于世界领先水平。某列复兴号动车组由节车厢组成，以车在前、车在后沿水平直轨道运行，其中车和车为动车，提供动力，其余为拖车，不提供动力。假设各节车厢质量及受到的阻力均相等，车和车提供的动力始终相同，则 A. 加速运行时，车对车有作用力 B. 关闭动力滑行时，每节车厢之间均无作用力 C. 匀速运行时，每节车厢之间均无作用力 D. 匀速运行时，、车之间的作用力大于、车之间的作用力 【答案】B  【解析】【分析】设每节动车的牵引力为，每一节车厢的质量是，阻力为，根据受力分析，利用整体法和隔离法结合牛顿第二定律分析车厢之间的作用力． 【解答】解：设每节动车的牵引力为，每一节车厢的质量是，阻力为， A、加速运行时，有两节动力车厢，对整个动车组车进行受力分析得： 对第车到第车进行受力分析得： 联立可解得：，故A错误； B、关闭动力滑行时，对整个动车组车进行受力分析得： 解得 可知，每节车厢加速度均为，故每节车厢受的合力均为，故每节车厢之间均无作用力，故B正确； 、匀速运动时，对整个动车组车进行受力分析得： 对第车到第车进行受力分析得： 对第车到第车进行受力分析得： 联立可解得：， 可知，匀速运行时，、车之间的作用力等于、车之间的作用力，故CD错误。 故选：。 4.挂灯笼的习俗起源于多年前的西汉时期，已成为中国人喜庆的象征．如图所示，由五根等长的轻质细绳悬挂起四个质量相等的灯笼，中间的细绳是水平的，另外四根细绳与水平面所成的角分别和下列关系式中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、对左下方灯笼的上方结点分析，受到三段细绳的拉力，其中下方细绳拉力等于灯笼的重力，受力情况如图所示： 根据平衡条件可得： ， ， 解得：，， 故B正确； 、对左侧两个灯笼整体分析，受到重力、两边细绳的拉力，如图所示： 根据平衡条件可得： ， ， 解得：，， 故AC错误； D、由以上分析得，，故D错误。 故选：。 5.如图，质量为的小球用轻质细绳拴住放在足够长的光滑斜面上，倾角的斜面体置于光滑水平面上，用水平力推动斜面体，使小球沿斜面缓慢升高，至绳与斜面平行的过程中，绳上的拉力最小值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】斜面体向左缓慢移动过程中小球受力情况如图所示．小球所受重力、支持力的方向不变，当绳与斜面平行时，即与垂直时，绳上的拉力最小，为，故A正确． 二、多选题。 6.将一长方形木块锯开为相同的、两部分后，按图示方式叠放并静止在粗糙水平地面上，、接触面与竖直方向的夹角为，、间的动摩擦因数为。若、的质量均为，重力加速度大小为，则下列说法正确的是(    ) A. 一定受到个力作用 B. 对的作用力大小为 C. 地面对的摩擦力为 D. 对的摩擦力大小为 【答案】AC  【解答】整体受力分析可知，地面对只有一个支持力，与、的重力之和平衡，大小等于，还受到重力以及对它的压力和静摩擦力，共个力，故AC正确； B.因为静止，所以对的作用力与重力平衡，大小为，根据牛顿第三定律可知对的作用力大小也为，故B错误； D.受重力，对的支持力和摩擦力，得，是静摩擦力，根据牛顿第三定律可知对的静摩擦力大小为，故D错误。 故选AC。 7.如图，倾角为的斜面体置于水平地面上，小物块置于斜面上，通过跨过光滑定滑轮的细绳与物体相连接，连接的一段细绳与斜面平行，已知、、都处于静止状态。则(    ) A. 受到的摩擦力一定不为零 B. 受到地面的摩擦力一定为零 C. 有沿地面向右滑动的趋势，一定受到地面向左的摩擦力 D. 将细绳剪断，若物块依然静止在斜面上，此时地面对的摩擦力为 【答案】CD  【解析】A.若绳对的拉力恰好与的重力沿斜面向下的分力平衡，则与间的摩擦力为零，项错误； 将和看成一个整体，则和受到细绳向右上方的拉力作用，故有向右滑动的趋势，一定受到向左的摩擦力，项错误、项正确； D.将细绳剪断，若物体依然静止在斜面上，利用整体法判断，系统在水平方向不受其它外力作用，处于平衡状态，则水平面对的摩擦力为，项正确。 故选CD。 8.如图，小明同学做家务时用拖把清理地板拖把的质量为，拖把杆与水平方向成角，对拖把施加一个沿拖把杆向下、大小为的力时，恰好能推动拖把向前匀速运动重力加速度取，，则下列说法正确的是(    ) A. 拖把与地板间的动摩擦因数为 B. 拖把与地板间的动摩擦因数为 C. 拖把与地板间的摩擦力大小为 D. 小明发现如果拖把杆与水平方向成角时，无论用多大的力，拖把都推不动，则的值可能为 【答案】BD  【解析】对拖把进行受力分析，如图所示， 拖把受到重力，地板对拖把的支持力，人对拖把沿拖把杆向下的力，地板对拖把的摩擦力由拖把匀速运动可得，水平方向有，竖直方向有，其中，解得，AC错误，B正确 D.由前面分析可得不同推力下，要使拖把不动，则，无论用多大的力，拖把都推不动，则可知，则的最小值为，D正确． 9.如图所示，两个半圆柱、紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱，三者半径均为。的质量为，、的质量都为，与地面的动摩擦因数均为。现用水平向右的力拉，使缓慢移动，直至恰好降到地面。整个过程中保持静止，在整个运动过程中以下说法正确的是(    ) A. 对的压力的竖直分量一直减小 B. 所受到的地面的摩擦力大小不变 C. 所受地面的摩擦力一直增大 D. 拉动的拉力不变 【答案】BC  【解析】A、由整体法可以知道地面对和的支持力之和：，再由对称性可知，地面对的支持力等于，所以，对的压力的竖直分量不变，整个运动过程中一直等于，故A错误； B、地面对的支持力不变，根据滑动摩擦力公式，可知地面对的摩擦力不变，故B正确； C、对受力分析，受到地面的静摩擦力，开始静止时和球落地时受力如下图， 隔离可知，半球对的弹力的合力与的重力等值反向，由图可知，对的支持力一直增大，水平分量也在一直增大。根据牛顿第三定律，所以地面对的摩擦力一直增大，故C正确； D、隔离物体，缓慢运动一直处于平衡状态，在水平方向上，地面的摩擦力不变，对的压力的水平分量一直增大，所以外力一直减小，故D错误。 故选：。 10.如图所示，光滑杆竖直固定在地面上，倾角为的斜面体放在水平面上，小球和物体用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，小球穿过光滑竖直杆，物体放在斜面体上，且轻绳与斜面平行，连接小球的轻绳与竖直方向的夹角为时物体刚好不上滑，斜面体始终保持静止。已知小球的质量为，物体的质量为，斜面体的质量为，重力加速度为，，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是 A. 轻绳对定滑轮的作用力大小为 B. 物体与斜面间的动摩擦因数为 C. 斜面体对水平面的压力大小为 D. 斜面体与水平面间的动摩擦因数可能为 【答案】BC  【解析】对小球由力的平衡条件得，物体刚好不上滑，对物体由力的平衡条件得，，又，解得，，B正确 轻绳对滑轮的作用力大小等于两侧轻绳的合力，由几何关系可知，两侧的轻绳垂直，轻绳对定滑轮的作用力大小为，解得，A错误 对斜面体和物体组成的整体，受力分析如图所示，竖直方向上有，解得，由牛顿第三定律可知斜面体对水平面的压力大小为，C正确 设斜面体与水平面间的动摩擦因数为，由选项分析可知，在水平方向上有，解得，斜面体静止不动，满足的条件为，又最大静摩擦力为，解得，D错误。 三、计算题。 11.如图所示，用不可伸长的轻绳和吊起一装有少量沙子的沙袋沙袋质量不计，绳和与天花板的夹角分别为和现缓慢往沙袋中注入沙子．重力加速度取． 当沙袋中沙子的质量时，求绳和上的拉力大小和； 若能承受的最大拉力为，能承受的最大拉力为，为使绳子不断裂，求沙袋中沙子质量的最大值． 【答案】对点受力分析，如图所示． 沙袋处于静止，根据二力平衡有，和两段绳子的拉力分别沿各自绳子的方向，二力的合力与等大反向，由几何知识和力的分解，有，． 和两段绳子方向不变，要保持平衡，两绳子的拉力方向不变，由力的三角形可得，而，， 所以更容易被拉断，此时有，解得． 12.如图所示，质量为的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角时，不论水平恒力多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，重力加速度取，试求： 物体与斜面间的动摩擦因数； 这一临界角的大小． 【答案】解：物体匀速下滑时应有： 解得：； 设斜面的倾角为，对物体受力分析，由匀速运动的条件应有：       联立可得： 讨论如下： 当时，，即无论用多大的力都不能使物体沿斜面上滑， 可解得临界角，解得： 答：物体与斜面间的动摩擦因数为 临界角  12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$