4.3.3 等比数列的前n项和公式、性质及应用课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.3 等比数列 课时3 等比数列的前n项和公式、性质及应用 1 1.掌握等比数列的前 项和公式与应用.（逻辑推理、数学运算） 2.能运用等比数列的前 项和公式解决一些简单的实际问题．（逻辑推理、数学建模） 学习目标 2 1.如何计算公比为1的等比数列的前项和 ？ [答案] 当时， ， 所以 . 2.当时，如何计算等比数列的前项和 ？ [答案] 利用公式 计算. 3.当等比数列的公比为变量时，求的前 项和要注意什么？ [答案] 若等比数列的公比为变量，应用公式求其前 项和时要注意讨论公比是否为1， 分情况选取合适的公式来解答. 自主预习 3 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 求等比数列的前项和时可直接套用公式 来求．( ) × （2） 若首项为的数列既是等差数列又是等比数列，则其前项和 .( ) √ （3） 若某数列的前项和公式为，且， ，则 此数列一定是等比数列．( ) √ （4） 若数列为等比数列，其前项和为，则，， 成等比数列. ( ) × 自主预习 4 2.在等比数列中，，，则前5项和 ____. 31 [解析] . 3.已知等比数列的前项和为，若，，则 ____． 30 [解析] 因为数列是等比数列，所以，， 成等比数列， 即10，10，成等比数列，显然，解得 ． 4.某厂去年产值为，计划在5年内每年比上一年的产值增长 ，则从今年起5年内， 该厂的总产值为______________． [解析] 去年产值为，从今年起5年内各年的产值分别为,,,, ， 所以 . 自主预习 5 探究1 等比数列的前 项和公式 问题1: 等比数列的前 项和公式的推导除了教材中使用的错位相减法，还有其他 的方法吗？ 合作探究 6 [答案] 有.当时，.当 时，根据等比数列的定义， 可知 ， 所以,, , ， 即 ， 所以，即 ， 所以 . 把代入，可得 . 合作探究 7 问题2: 类比等差数列的前项和公式是关于 的二次型函数，如何从函数的角度理解 等比数列的前项和 ? [答案] 当时，，即等比数列的前 项和可以写 成的形式，所以可把等比数列前项和 理解为关于 的指数型函数． 合作探究 8 等比数列的前 项和 已知量 首项、公比 与项 数 首项、末项 与公比 首项 、公比 与项数 求和公 式 合作探究 9 例1 在等比数列中，为其前项和， 为其公比. （1）若，，求 ； （2）若，，求 ； （3）若，，，求 . 合作探究 10 [解析] （1）由题意知 解得或 所以或 . （2）（法一）由题意知解得 所以 . （法二）由，得，所以 . 又，所以，所以 . 合作探究 11 （3）因为，， 所以， 是方程 的两个根， 解得或 又，所以或 . 合作探究 12 方法总结 1．在等比数列的五个量，，，， 中，已知其中的三个量，通过列 方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2.在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或 进行判断，若两种 情况都有可能，则要分类讨论． 合作探究 13 巩固训练 在等比数列中，为其前项和， 为其公比. （1）若，求 ； （2）若，，，求和 . [解析] 设数列的首项为 . （1），， ， . 合作探究 14 （2）（法一）由， ， 得解得 （法二）由 ， 得，解得 . 又 ， ，解得 . 合作探究 15 探究2 等比数列前 项和的性质 问题1: 在等差数列中，我们知道，，， 仍组成等差数列.在 等比数列中，如果连续项的和不等于0，那么，，， 仍 组成等比数列吗？为什么？ 合作探究 16 [解析] ，，， 仍组成等比数列． 在等比数列中， ， ， ． 同理， . 故当时，，，， 仍组成等比数列． 合作探究 17 问题2: 若数列是项数为偶数的等比数列，且 ， ，则 等于何值？ [答案] 由等比数列的通项公式，可知 ． 合作探究 18 1.若是公比为的等比数列，则 ． 2.当或且为奇数时，，，， 仍成等比数列，其 公比为 ． 3.在等比数列中，若项数为，则；若项数为 ，则 ． 合作探究 19 例2 （1）设等比数列的前项和为，若，则 _____. （2）已知等比数列共有项，其和为 ，且奇数项的和比偶数项的和大80， 则公比 ___． 2 （1）根据等比数列前 项和的性质，利用等比中项的性质建立等式，令 ，即可求出 的值；（2）根据奇、偶数项之和与奇、偶数项和之差建立方 程组，利用即可求得公比 的值． 合作探究 20 [解析] （1）由等比数列的性质得，， 仍成等比数列，所以 ，不妨令，则，代入解得 ， 故 ． （2）由题意知 解得 故公比 ． 方法总结 熟练掌握等比数列前 项和的性质是解题的关键，且有助于减少运算量. 合作探究 21 例3 已知数列的前项和.求的通项公式，并判断 是否为等比数列. [解析] 当时， . 当时， ，不适合上式. 故 易知，，，显然，，不是等比数列，即 不是等比数列. 合作探究 22 方法总结 1.已知，则可通过求数列的通项公式，注意当 时， . 2.若数列的前项和，其中，且，则 是等 比数列. 合作探究 23 巩固训练1 设等比数列的前项和为，若，则 ( ) . B A.2 B. C. D.3 [解析] 设公比为，由题意知，根据等比数列前 项和的性质，得 ，解得．于是 ． 合作探究 24 巩固训练2 已知等比数列的公比，前100 项和为 ，则其偶数项和 ( ) . D A.15 B.30 C.45 D.60 [解析] 设，则 . 因为，所以，解得 ， 所以 ． 合作探究 25 探究3 等差数列、等比数列及前 项和的综合应用 例4 已知数列为等差数列，公差为，且.数列 为各项均为正数的等 比数列，， . （1）求数列和 的通项公式； （2）若，求数列的前项和 . [解析] （1） 数列为等差数列，公差为， ， . 合作探究 26 又 数列为各项均为正数的等比数列，设公比为， ， ， . 又， ， . （2）由（1）得 ， 则 . 合作探究 27 方法总结 求解由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成的一个数 列的前 项和的步骤 合作探究 28 [解析] （1）根据题意，有，即 ，解得 ，所以，故 ， 所以 是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）可知， ，所以 ， 所以 ， ． 巩固训练 已知数列满足，， 是公差为1的等差数列． （1）证明： 是等比数列. （2）求数列的前项和 ． 合作探究 29 1.设数列的前项和为，则 ( ) . D A. B. C. D. [解析] . 2.等比数列的前项和为，已知，，则 ( ) . C A. B. C. D. [解析] 由题意知公比，则，得 ， 又，所以 ，故选C. 随堂检测 30 3.已知等比数列的前项和为，若，，则 _____． 210 [解析] 设 ， ，，为等比数列，，40， 为等比数列， ，解得 ． 随堂检测 31 4.已知为数列的前项和，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）记求数列 的前12项和． [解析] （1）因为 ， 所以当时，，解得 ， 当时，，，所以 ， 即 ， 所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为 ． 随堂检测 32 （2）由（1）知，所以 记数列的前12项和为 ， 所以 ． 随堂检测 33 $$