精品解析：江苏省徐州市侯集高级中学2024-2025学年高二下学期期初测试数学试卷

高二年级下学期期初测试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得结果. 【详解】由导数的定义，. 故选：C. 2. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. (0，3) D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果. 【详解】函数的定义域为：， 因为， 令并且，得：， 所以函数的单调递减区间为(0，3). 故本题正确答案为C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题. 3. 若函数 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求得，从而求得. 【详解】因为，所以， 则，所以， 故选：B． 4. 若曲线在处切线与曲线也相切，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得在处的切线为，设直线与曲线相切的切点为，求得，又切点在曲线和切线上，代入即可求解. 【详解】对曲线，在切点处切线的斜率， 所以切线方程为：， 对于曲线，设切点，则在点处切线的斜率， 依题意，即， 又点切点在曲线和切线上，即， 所以， 故选：B. 5. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【详解】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A 6. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 7. 设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设函数，根据题意可知为偶函数且在上单调递减，根据函数性质解不等式即可. 【详解】设函数，可知的定义域为， 求导得， 因为当时，有恒成立，则， 所以上单调递减， 且，可知， 当时，；当时，； 又因为是定义在上的奇函数， 则，所以是偶函数， 可得：当时，；当时，； 所以不等式解集为； 注意到不等式等价于， 所以不等式解集为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：构建函数，结合的单调性和奇偶性解不等式. 8. 定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形得到，构造，求导得到，结合求出，求导得到函数单调性，变形得到其中，，，令，，求导得到函数单调性，比较出，从而得到答案. 【详解】等式两边同乘以得， 令，则， 即，设， 即，故， 又，故，解得， 故， ， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故，即. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有两个极值点 B. 为函数的极大值 C. 有两个极小值 D. 为的极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数图象判断符号，从而判断的单调性，进而根据极值点、极值的概念判断即可. 【详解】由题图知，当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以有三个极值点，为函数的极大值，和为的极小值. 故AD错误，BC正确. 故选：BC 10. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 的极大值点是 B 函数有且只有个零点 C. 存在实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，，且，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，可得极值点，判断A；利用导数判断的单调性，结合零点存在定理，即可判断B；判断的取值情况，可判断C；由可得，要证，只要证，利用构造函数，结合函数的单调性即可判断D. 【详解】因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值，所以A错误； B选项中，函数，则 由于， 即在上恒成立，所以函数在上单调递减， 又当时，，当时，， 所以函数在上有唯一零点， 即函数有且只有个零点，B正确； C选项中，由， 可得当且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0， 故不存在实数，使得成立， 即不存在实数，使得成立，C错误； D选项中，由得， 要证，只要证， 即证，由于，故令， 则， 故在上单调递增，则，即成立， 故成立，所以D正确. 故选：BD. 11. 函数定义域为，下列命题正确的是（ ） A. 对于任意正实数，函数在上是单调递增函数 B. 对于任意负实数，函数存在最小值 C. 存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立 D. 存在负实数，使得函数在上有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得函数的导函数，判断导函数在时的正负，确定函数的单调性，可判定A错误；在时，确定方程的解，并判断函数在解的两侧的单调性，由此确定函数的最值，可判定B正确；结合函数的单调性及零点存在性定理，可判定D正确；在时，结合图象确定的零点，可判定C错误. 【详解】由函数的定义域为，且， 当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 即对于任意正实数，函数在上是单调递增函数，所以A正确； 对于任意，设， 可得，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 当时，，且， 所以存在，使得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以对于任意时，函数存在最小值，所以B正确； 因为当时，函数存在最小值，且， 所以， 当且时，此时， 所以存在，使得， 当时，，当时，， 此时函数在定义域上有两个零点，所以D正确； 如图所示，函数，的图象在有公共点， 所以对于任意，有零点，所以C错误. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可. 【详解】， 因为函数存在单调递减区间， 所以存在，使得小于零， 所以导函数的判别式，解得或， 所以实数的取值范围为是， 故答案为：. 13. 已知函数，，是函数的极值点，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用导数分别求出在的值域，根据极值点性质得到，从而得到函数的单调性和，根据题意得到，再解不等式即可. 【详解】，，令，解得. 所以，，为增函数. 所以时，. ，， 因为是函数的极值点，所以，解得. 所以. 所以，，为增函数， ，，为减函数，且 因为对任意的，总存在唯一的，使得成立， 所以， 即，解得. 故答案为： 14. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】令，求得， 令，可得，证得存在，使得，且，得到函数得单调性，结合题意，转化为，令，求得在上递增，且，得到，再由，利用导数求得满足，得到，即可求解. 【详解】令，可得 令，可得，即， 令，其中， 可得恒成立，所以在上单调递增， 又由，， 所以存在，使得，此时 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在单调递减， 且时，，时，， 要使得方程有两个不同的实数根， 则满足， 令，可得恒成立， 所以在上单调递增，且，所以， 又由，其中， 令，可得，所以单调递减， 因为，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极小值5. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求出，检验后得到答案； （2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案. 【小问1详解】 由题意可知， 因为在处取极小值5，所以，解得， 此时， 所以在上单调递减，在上单调递增 所以在时取极小值，符合题意 所以，又，所以. 综上. 【小问2详解】 由（1）得，所以 列表如下： 0 1 2 3 0 0 1 极大值6 极小值5 10 故时，的值域为. 16. 已知函数的最大值为1． （1）求实数的值； （2）若函数有极值，求实数的取值范围． 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求导函数及其零点，再分段讨论求单调区间及最值计算参数即可； （2）根据函数有极值得在上有零点，结合二次函数零点分布分类讨论计算即可. 【小问1详解】 由题意得， 令，， 当时，，递增；当时，，递减. ，所以． 【小问2详解】 ， 有极值，即在上有零点， 令，即在上有解 当时，，在上单调递增，无极值； 当时，在上有解， 所以，所以. 17. 设，. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，试讨论的单调性. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）当时，先求导，再求，利用点斜式即可写出切线方程； （2）分，，，四种情况，结合求导讨论即可求解． 【小问1详解】 若，则，， 又，故， 所以在处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ，， 当时，，令，即，解得，令，解得， 所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减． 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减． 18. 已知函数 （1）若求的极值； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可； （2）令，求导函数，分和两种情况，分析导函数的符号，求得的最值，继而可得答案. 【小问1详解】 当， 令，解得， 则当单调递减，当单调递增， 故的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由题意可得 令则 当时，则时，，不合题意； 当时，设， ，， 所以存在时，， 因为，所以在上单调递增， 所以当，；当，， 则当，；当，， 则在单调递减，在单调递增， 所以 因为，所以，即 故解得 综上所述，实数a的取值范围 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】（1）是上的“函数”，理由见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，结合题中定义验证即可； （2）（ⅰ）分析可知，任意的恒成立．时，可得，时，可得出，时，可得出，利用导数分析函数在区间、上的单调性，综合可得出实数的取值范围； （ii）由题意可得，．利用导数先证明：，，即证，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，求其最小值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． 【小问2详解】 （ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级下学期期初测试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A B. C. (0，3) D. 3. 若函数 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有两个极值点 B. 为函数极大值 C. 有两个极小值 D. 为的极小值 10. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 的极大值点是 B. 函数有且只有个零点 C. 存在实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，，且，若，则 11. 函数定义域为，下列命题正确是（ ） A. 对于任意正实数，函数在上是单调递增函数 B. 对于任意负实数，函数存在最小值 C. 存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立 D. 存在负实数，使得函数在上有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______. 13. 已知函数，，是函数的极值点，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是__________． 14. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极小值5. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的值域. 16. 已知函数的最大值为1． （1）求实数的值； （2）若函数有极值，求实数的取值范围． 17. 设，. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，试讨论的单调性. 18. 已知函数 （1）若求的极值； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 19. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$