七年级期中必刷卷-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

2024-2025学年七年级数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册（第七章+第八章+第九章）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案． 【详解】解：由得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴二元一次方程的正整数解有3组， 故选：C． 2．有下列命题：①两点确定一条直线；②相等的角是直角；③内错角相等；④两点之间，线段最短．其中，假命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 【详解】解：①两点确定一条直线，是真命题； ②相等的角是直角，是假命题； ③内错角相等，是假命题； ④两点之间，线段最短，是真命题； ∴假命题为②③共个， 故选C． 3．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：因为，所以，故A不符合题意； 因为，所以，故B不符合题意； 因为，所以，故C不符合题意； 因为，所以，故D符合题意． 故选：D． 4．下列事件：（1）明天会下雨；（2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）13名同学中一定有两人的出生月份相同；（4）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13．其中不确定事件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查确定事件与不确定事件的判断，理解不确定事件的判断方法是解题关键．根据不确定事件及确定事件的区别依次判断即可． 【详解】解：①明天会下雨，是不确定事件，符合题意； ②随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上，是不确定事件，符合题意； ③13名同学中一定有两人的出生月份相同，是确定事件，不符合题意； ④同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，不符合题意； 故不确定事件有2个． 故选B． 5．一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的应用．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意； C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据走路快的人走的路程等于走路慢的人走的路程加上先走的路程，走路快的人走x步和走路慢的人走y步所用时间相同，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可得：； 故选A． 7．用图像法解二元一次方程组时，小英所画图像如图所示，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图解法解二元一次方程，确定点坐标是解题关键．首先确定点坐标，然后结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知直线和直线的交点为， 将点代入直线， 可得，即， 由图像可知，二元一次方程组的解为． 故选：D． 8．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：A． 9．某学校社团活动中心要添置两样体育用品：跳绳和毽子，王老师准备用36元钱去购买，根据要求，每样体育用品最少买一件，跳绳每条9元，毽子每个1元，在把钱用完的条件下，买法共有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设购买跳绳x条，购买毽子y个，根据一共花费36元列出方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：设购买跳绳x条，购买毽子y个， 由题意得，， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时， 当时，； ∴一共有3种买法， 故选：C． 10．如图，，分别是的高和角平分线，F是上一点，过点F垂直于的直线分别交，，及的延长线于点G，H，M，N．甲､乙､丙､丁四个同学根据以上信息分别写出了一个结论． 甲同学的结论：；乙同学的结论：； 丙同学的结论：；丁同学的结论：． 其中结论正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，由题意可得，，，再结合即可判断甲；由，不是的角平分线即可判断乙；由三角形外角的定义及性质即可判断丙、丁，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∵过点F垂直于的直线分别交，，及的延长线于点G，H，M，N． ∴， ∴， ∵， ∴，故甲错误； ∵，不是的角平分线， ∴，故乙错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故丙错误； ∵， ∴，故丁正确； 故选：D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 【分析】本题考查了把命题改成“如果…，那么…”形式及逆命题的定义，关键是要找到什么是条件什么是结论．本命题是判断一个三角形是等边三角形，所以“如果”后面的是三角形具备的条件，那么后面的是“等边三角形”这一结论 【详解】解：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形， 则逆命题是：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等． 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 12．若方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查解二元一次方程组，解一元一次方程，正确掌握解方程及方程组的方法是解题的关键． 将方程组中两个方程相加即可得到，再解方程即可． 【详解】解：将方程组中两个方程相加得：， ∴ 解得， 故答案为：． 13．一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查利用概率求数量，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 14．如图所示，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形．如果搭建正三角形和正六边形共用了2024根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数少4个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ． 【答案】286 【分析】设搭建了个正三角形，个正六边形，则搭建正三角形用掉了根火柴棍，搭建正六边形用掉了根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2024根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数少4个”可得出关于，的二元一次方程组，解之即得答案． 【详解】解：设搭建了个正三角形，个正六边形，则搭建正三角形用掉了根火柴棍，搭建正六边形用掉了根火柴棍， 依题意，得：， 解得：， ∴能连续搭建正三角形的个数是286， 故答案为：286． 15．如图，点为边延长线上一点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，…，与的角平分线交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义以及规律型：图形的变化类，根据图形的变化，找出是解题的关键．利用三角形的外角性质及角平分线的定义，可求出，同理，可得出，，，，再结合，即可求出的值． 【详解】解：是的外角， ． 平分，平分， ，． 是的外角， ． 同理：，，， ． 又， ． 故答案为：． 16．小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当且点在直线的上方时，他发现若 ，则三角尺有一条边与斜边平行（写出所有可能）． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，画出图形，当，，，分别利用两直线平行，同位角相等或两直线平行，同旁内角互补，得到为或． 【详解】解：①图1，当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②图2，当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴； ③当时，， ∵， ∴，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题（其中17-18题每题6分，19题7分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24题10分，25题11分，26题12分），满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用加减法解答即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组化简得，， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 18．已知：如图，中，，，，平分．求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线的定义，熟练掌握“三角形内角和是”是解题的关键． 由的度数利用三角形外角性质即可得出的度数，由的度数利用角平分线的定义即可得出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数，此题得解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 19．胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个部件和3个部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个部件和2个部件的总质量为2.8吨，2个部件和3个部件的质量相等． (1)求1个部件和1个部件的质量各是多少吨？ (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，现准备一次运输10套设备，请你判断能否通行，请说明理由． 【答案】(1)1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨 (2)能通行，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用： （1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，由题意列方程组，即可求解； （2）利用（1）中结论计算出10套设备的质量，加上卡车自重，与大桥限重比较即可． 【详解】（1）解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得， 答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨． （2）解：能通行，理由如下： 10套设备的质量为：（吨）， ， 能通行． 20．如图，在中，点在边上，点分别在边上，，． (1)求证：； (2)若，．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先证明得到，等量代换得，进而可得； （2）根据三角形外角的性质，可以得到，然后根据平行线的性质可以求解． 【详解】（1）证明：， ． ． ， ， ． （2）解：在中，，， ． ， ． 21．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是_________事件．（填随机、必然、不可能） (2)小明观察一段时间后发现，平均每9个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖、二等奖的概率分别为多少？ 【答案】(1)必然 (2)12个 (3) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，事件的分类： （1）根据 题意可知，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件； （2）根据题意可知抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，据此求出红色球和黄色球的数量，进而求出白色球数量； （3）用红色球数量除以球的总数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵只有三种颜色小球，每种颜色小球都对应着相应的奖级， ∴小明获得1次抽奖机会，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件， 故答案为：必然； （2）解：∵平均每9个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖， ∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为， ∴红色球和黄色球分别有个，个， ∴估算袋中白球的数量为个； （3）解：， ∴如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一，二等奖的概率为． 22．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 【答案】(1)甲把m错看成了2，乙把n错看成了1 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，二元一次方程解的定义： （1）把代入中求出m的值，把代入求出n的值即可得到答案； （2）根据题意可得甲的结果满足②，则是方程的解，同理可得是方程的解，据此求出m、n的值，然后得到正确的原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解： 把代入中得，解得， 把代入中得，解得， ∴甲把m错看成了2，乙把n错看成了1； （2）解：∵甲解题看错了①中的m， ∴甲的结果满足②， ∴是方程的解， ∴， ∴， 同理可得是方程的解， ∴， ∴； ∴原方程组为 解得． 23．学完《二元一次方程与一次函数》后，老师布置了这样一道思考题： 已知：如图，在长方形中，，，点为的中点，和相交于点．求的面积． 小明同学根据“一次函数”的知识建立了如图所示的平面直角坐标系，写出一些点的坐标，求出点的坐标，从而可求得的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题． 【答案】，过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程与一次函数的关系，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知条件可得出点、、、的坐标，利用待定系数法求出直线、的解析式，联立两直线解析式构成方程组，解之即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出三角形的面积． 【详解】解：如图，点，，，，， 设直线的解析式为， 将点代入中，得， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入中，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立直线、的解析式成方程组：， 解得：， 点的坐标为， ． 24．[核心素养]有一条公共边的两个三角形称为共边三角形，如图①、图②、图③中的与都是共边三角形，以下是共边三角形有关角的性质的探索．    (1)当点与点在公共边异侧时，若． ①如图①，则___________，___________； ②若把“异侧”改为“同侧”，如图②，求的度数； (2)如图③，若，且点在内，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为． （1）①根据三角形内角和定理可得，进而整理可求出的度数； ②根据三角形内角和定理可得，进而整理可求出的度数； （2）根据三角形内角和定理有，，由②得再代入即可． 【详解】（1）解：①在中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：； ②由①知，，， ， ， ， ； （2）解：， 由②知，，， ， ， ， ， 即． 25．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)（1）， (2)①150；②与的数量关系为，理由见解析；③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，图形规律问题． （1）如图1，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论，如图2，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论； （2）①如图3，过点作，过点作，然后根据平行线的性质得到，，由，，分别平分和，即可求得结论； ②同①即可求得结论； ③由（2）②知，进而，，由规律即可求得结论． 【详解】（1）如图1，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）①如图3，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴ ∴； ②由（1）可知，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； ③由（2）②知， 同理可证：， ， …… ， 故答案为：． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册（第七章+第八章+第九章）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．有下列命题：①两点确定一条直线；②相等的角是直角；③内错角相等；④两点之间，线段最短．其中，假命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．下列事件：（1）明天会下雨；（2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）13名同学中一定有两人的出生月份相同；（4）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13．其中不确定事件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 6．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．用图像法解二元一次方程组时，小英所画图像如图所示，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 9．某学校社团活动中心要添置两样体育用品：跳绳和毽子，王老师准备用36元钱去购买，根据要求，每样体育用品最少买一件，跳绳每条9元，毽子每个1元，在把钱用完的条件下，买法共有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 10．如图，，分别是的高和角平分线，F是上一点，过点F垂直于的直线分别交，，及的延长线于点G，H，M，N．甲､乙､丙､丁四个同学根据以上信息分别写出了一个结论． 甲同学的结论：；乙同学的结论：； 丙同学的结论：；丁同学的结论：． 其中结论正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 12．若方程组的解满足，则的值为 ． 13．一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 14．如图所示，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形．如果搭建正三角形和正六边形共用了2024根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数少4个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ． 15．如图，点为边延长线上一点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，…，与的角平分线交于点，若，则的值为 ． 16．小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当且点在直线的上方时，他发现若 ，则三角尺有一条边与斜边平行（写出所有可能）． 三、解答题（本大题共10小题（其中17-18题每题6分，19题7分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24题10分，25题11分，26题12分），满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程组 (1)； (2)． 18．已知：如图，中，，，，平分．求：的度数． 19．胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个部件和3个部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个部件和2个部件的总质量为2.8吨，2个部件和3个部件的质量相等． (1)求1个部件和1个部件的质量各是多少吨？ (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，现准备一次运输10套设备，请你判断能否通行，请说明理由． 20．如图，在中，点在边上，点分别在边上，，． (1)求证：； (2)若，．求的度数． 21．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是_________事件．（填随机、必然、不可能） (2)小明观察一段时间后发现，平均每9个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖、二等奖的概率分别为多少？ 22．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 23．学完《二元一次方程与一次函数》后，老师布置了这样一道思考题： 已知：如图，在长方形中，，，点为的中点，和相交于点．求的面积． 小明同学根据“一次函数”的知识建立了如图所示的平面直角坐标系，写出一些点的坐标，求出点的坐标，从而可求得的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题． 24．[核心素养]有一条公共边的两个三角形称为共边三角形，如图①、图②、图③中的与都是共边三角形，以下是共边三角形有关角的性质的探索．    (1)当点与点在公共边异侧时，若． ①如图①，则___________，___________； ②若把“异侧”改为“同侧”，如图②，求的度数； (2)如图③，若，且点在内，请直接写出之间的数量关系． 25．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$