培优专题 第三章 图形的平移与旋转01（知识盘点+8题型+1易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版)

培优专题 图形的平移与旋转01 平移变换 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 1．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）下列各组图形中，可以由其中一个图形平移得到另一个图形的是（　　） A．B．C． D． 易错辨析： （1）平移是图形变换的一种，是运动的一种形式，当前学的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变位置，而不改变图形的形状和大小. 平移的基本性质 一个图形和它经过平移所得的图形中：①对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；②对应线段平行（或在一条直线上）且相等；③对应角相等． 如图，将沿的方向平移得到，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 如图，三角形沿边所在的直线向左平移得到三角形，下列错误的是（    ）    A． B． C． D． 易错辨析： （1）注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 平移与坐标变换 ·点的平移 点的平移→坐标的变化规律：①点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))； ②点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 口诀：右加左减、上加下减 注意：点的坐标的变化也可引起的点相应的平移变换． ·图形的平移 图形平移是图形上所有点的变换（整体运动）．在平面直角坐标系内，即图形的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度．得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 点A沿x轴的正方向平移3个单位长度得到点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【特别注意】 ①把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． ②一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 旋转变换 ·旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 如图，将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'C' 【特别提醒】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向）. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，那么： （1）点B的对应点是 ，的对应角是 ，线段BC的对应线段是 ； （2）旋转中心是 ，旋转角是 ． 旋转变换的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形： ①对应点到旋转中心的距离相等（如OA＝O’A’，OB＝O’B’）； ②旋转前后两图形全等(旋转不改变图形的形状、大小，只改变位置)； ③任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角（∠AOA'＝∠BOB'＝∠COC'）； ④对应线段相等，对应角相等（AB＝A’B’，AC＝A’C’， BC＝B’C’；∠ABC＝∠A’B’C’，∠ACB＝∠A’C’B’） 如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，，求的长． 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点，，且点C，A，三点共线，连接，，，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 旋转作图 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④按原图形连结方式顺次连结各对应点. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将向右平移4个单位长度，得到，再把绕点按逆时针方向旋转，得到．请你画出和． 中心对称和中心对称图形 ·中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【特别提醒】成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． ·中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（   ） A．点M处 B．点N处 C．点P处 D．点Q处 易混易错 中心对称图形与中心对称的区别 中心对称图形：一个图形，性质：(1)图形绕对称中心旋转180°，旋转前后的图形完全重合；(2)经过对称中心的任意一条直线平分该图形的面积 中心对称：两个图形的关系， 性质：(1)成中心对称的两个图形是全等图形；(2)对应点的连线交于对称中心，且被对称中心平分； (3)对应线段平行(或共线)且相等 （中心对称图形） .（中心对称） ·常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等； ·常见的既是轴对称图形又是中心对称图形的有：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等 确定对称中心与中心对称图形的作图步骤 ①确定对称中心； ②作已知图形的关键点与对称中心的连线，并且延长至2倍，得到关键点（顶点）的对称点. ③顺次连结对称点即得所作图形. 根据平移求坐标（高频考点） 例1．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在平面直角坐标系内，已知点在y轴上，点在x轴上，则点向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后的坐标为 ． 【变式1-3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，若点的对应点的坐标为，那么点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）将点向下平移2个单位，向右平移3个单位得到点，点恰好落在轴上，则点的坐标是 ． 【变式1-5】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A． B． C． D． 求平移距离（经过的面积） 例2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点，交轴于点．将线段绕点逆时针旋转得线段，若直线过点且平行于直线，那么直线能否看作是由直线沿轴向右平移得到？若能，请求出平移距离；若不能，请说明理由． 破题关键:作关于坐标轴的平行线，构造两个全等的直角三角形解决问题. 例3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，将沿方向平移得到，若为的中点，为与的交点，，， (1)求的长 (2)求图中阴影部分的面积 【变式3】如图，已知的面积为6，．现将沿直线向右平移a个单位到的位置．当所扫过的面积为18时，那么a的值为 ． 根据旋转的性质求角度 例4．如图，，，将绕点A逆时针旋转到，连接，若点D，C，B在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 例5．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【变式5】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，若点是等边的边上一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，则下列结论：①；②；③，其中正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【解题方法总结】 利用旋转构造全等三角形 根据旋转的性质求线段长（高频考点） 例5．（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使得，交于点，则的长为（　　） A． B．3 C．2 D． 【变式6-1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在等边中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D． 【变式6-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【解后反思】 图形的旋转变换与三角形综合解题思路: (1)先根据旋转的性质，找到已知的角度和边长; (2)准确使用直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形等条件进行解三角形. 根据旋转的性质求坐标（重难点） ※例7．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，，，是平面直角坐标系中三点，P为y轴正半轴上一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点B的对应点为Q，交y轴于D，则的周长为 ． 审题关键:P、Q的坐标的表示. 破题思路:①方程思想：设动点坐标；②借助坐标轴构造全等（一线三直角全等模型）；③根据全等性质表示相关点的坐标；④勾股定理求动点坐标. 【变式7-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线分别与轴、轴交于点、B，将绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，已知，点的坐标是，则点的坐标为 ． 作图——确定旋转中心或对称中心 例8．如图，在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是点 ．    例9．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【解题技巧总结】 求不等式的特殊解的两种方法 旋转中心的确定方法:作对应点连线的垂直平分线，再找到交点. 对称中心的确定方法:作对应点连线，交点即对称中心. 作图——平移、旋转后的图形（解答题高频考点） 例10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知的顶点的坐标分别是． (1)是由向右平移5个单位长度得到，直接画出平移后的； (2)将以点为旋转中心，沿逆时针方向旋转得到，请画出． 【变式10】．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形，并直接写出点，，的坐标，其中点，，的对应点分别为点，，． (2)在图中作出先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图形，并直接写出点，，的坐标，其中点，，的对应点分别为点，，． 坐标与旋转规律问题 例11．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的等边绕O点顺时针旋转i个，得到等边．当时，顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，在中，顶点A在x轴的负半轴上，，，，将绕点A逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时点B的坐标是 ． 旋转作图 【错误作图】在旋转图形时，学生可能错误地旋转图形的某些部分，而不是整体旋转，或者没有保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 【正确作图】旋转图形时，应确保图形上每一点都绕旋转中心旋转相同角度，保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 1.在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，三角形的周长为，将三角形沿方向平移至三角形（点的对应点分别为点）的位置，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 3.如图，将三角形沿射线的方向平移得到三角形，如果平移的距离是2，，那么 ． 4.如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个． 5.点关于点中心对称的点的坐标是 ． 6.如图，在中，，过点A作交于点D，E是线段上一点，连接，在平面内将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、，则的度数为 ． 7．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得，连接．若，求证：．    8.（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，的顶点坐标分别为，，．    (1)平移使得点B与点O重合，平移以后的图形为，其中点A，C的对应点分别是点，，画出； (2)将绕B点顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别是点，，画出． 9.（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点沿顺时针方向旋转得到，此时点，，在同一直线上，设与交于点，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 10．（23-24八年级下·陕西西安·期中）【背景呈现】 如图，点O是等边内的一点，连接，有，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接． 【问题发现】（1）由题意可知，的形状为 ； 【初步探究】（2）试判断与的位置关系，并说明理由； 【深入拓展】（3）若，求的长． 11. （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 图形的平移与旋转01 平移变换 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 1．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）下列各组图形中，可以由其中一个图形平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查图形的平移，理解图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解题的关键．根据平移的基本性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、两个图形不可以通过平移得到，，故不符合题意； B、两个图形不可以通过平移得到，故不符合题意； C、两个图形不可以通过平移得到，故不符合题意； D、图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，符合平移性质，故符合题意； 故选：D． 易错辨析： （1）平移是图形变换的一种，是运动的一种形式，当前学的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变位置，而不改变图形的形状和大小. 平移的基本性质 一个图形和它经过平移所得的图形中：①对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；②对应线段平行（或在一条直线上）且相等；③对应角相等． 如图，将沿的方向平移得到，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质以及三角形的内角和性质，先由平移得出再结合三角形的内角和列式计算即可作答． 【详解】解：∵将沿的方向平移得到， ∴ 在中，， ∴ 故选：A． 如图，三角形沿边所在的直线向左平移得到三角形，下列错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】此题考查平移的基本性质，解题关键在于掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等或在同一条直线上，对应角相等．由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案． 【详解】∵三角形沿边所在的直线向左平移得到三角形，， ∴， ∴， 故选项A、B、D正确， 故选：C． 易错辨析： （1）注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 平移与坐标变换 ·点的平移 点的平移→坐标的变化规律：①点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))； ②点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 口诀：右加左减、上加下减 注意：点的坐标的变化也可引起的点相应的平移变换． ·图形的平移 图形平移是图形上所有点的变换（整体运动）．在平面直角坐标系内，即图形的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度．得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】根据平面直角坐标系中点平移的规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”求解即可． 【详解】将点向上平移个单位长度，点的横坐标不变，纵坐标增加个单位长度，得到点，再向左平移个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标减少个单位长度，得到点． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移，熟记平面直角坐标系中点平移的变化规律（横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减）是解题的关键． 点A沿x轴的正方向平移3个单位长度得到点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题考查了由平移后的坐标点求原坐标点，根据平移方式以及平移后的坐标求出原坐标即可． 【详解】解：将沿x轴的负方向平移3个单位长度得到， 故选：A． 【特别注意】 ①把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． ②一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 旋转变换 ·旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 如图，将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'C' 【特别提醒】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向）. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，那么： （1）点B的对应点是 ，的对应角是 ，线段BC的对应线段是 ； （2）旋转中心是 ，旋转角是 ． 【答案】 点 点 或 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应点，对应角，对应线段的关系以及旋转中心和旋转角的确定方法． 根据旋转性质，确定旋转后的对应元素（点，角，线段），以及旋转中心和旋转角． 【详解】（1）由旋转性质可知，旋转得到时，点的对应点是点；的对应角是旋转后的；线段的对应线段是． 故答案为：点；；； （2）旋转中心是旋转过程中位置固定的点，即点；旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角，因此是或． 故答案为：点；或． 旋转变换的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形： ①对应点到旋转中心的距离相等（如OA＝O’A’，OB＝O’B’）； ②旋转前后两图形全等(旋转不改变图形的形状、大小，只改变位置)； ③任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角（∠AOA'＝∠BOB'＝∠COC'）； ④对应线段相等，对应角相等（AB＝A’B’，AC＝A’C’， BC＝B’C’；∠ABC＝∠A’B’C’，∠ACB＝∠A’C’B’） 如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）由旋转的性质得，，即可根据等边三角形的判定定理得到出结论； （2）同（1）可知，是等边三角形，得，，进而可知，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点，，且点C，A，三点共线，连接，，，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，把握旋转的不变性是解题的关键．由旋转可得，，则等边对等角可得，设，那么，再代入即可求解判断A，至于B、C、D，不能证明． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， 设， ∴，， ∴， 故A正确，符合题意；对于B、C、D，现有条件均不足以证明，不符合题意， 故选：A． 旋转作图 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④按原图形连结方式顺次连结各对应点. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将向右平移4个单位长度，得到，再把绕点按逆时针方向旋转，得到．请你画出和． 【答案】见解析 【知识点】画旋转图形、平移(作图) 【分析】本题考查了作图平移变换和旋转变换， 利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点、、即可；利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可． 【详解】如图所示，，为所作， 中心对称和中心对称图形 ·中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【特别提醒】成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． ·中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（   ） A．点M处 B．点N处 C．点P处 D．点Q处 【答案】A 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：当放入白子的位置在点M处时，是中心对称图形． 故选：A． 易混易错 中心对称图形与中心对称的区别 中心对称图形：一个图形，性质：(1)图形绕对称中心旋转180°，旋转前后的图形完全重合；(2)经过对称中心的任意一条直线平分该图形的面积 中心对称：两个图形的关系， 性质：(1)成中心对称的两个图形是全等图形；(2)对应点的连线交于对称中心，且被对称中心平分； (3)对应线段平行(或共线)且相等 （中心对称图形） .（中心对称） ·常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等； ·常见的既是轴对称图形又是中心对称图形的有：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等 确定对称中心与中心对称图形的作图步骤 ①确定对称中心； ②作已知图形的关键点与对称中心的连线，并且延长至2倍，得到关键点（顶点）的对称点. ③顺次连结对称点即得所作图形. 根据平移求坐标（高频考点） 例1．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”，即可求解． 【详解】解：∵将点)向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，解题的关键是熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，逆向思考，把点先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后可得到A点坐标． 【详解】解：在坐标系中，点先向右平移4个单位得，再把向下平移2个单位后的坐标为，则A点的坐标为． 故选：A． 【变式1-2】在平面直角坐标系内，已知点在y轴上，点在x轴上，则点向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】先根据轴上的点的横坐标为0、轴上的点的纵坐标为0可求出的值，从而可得点的坐标，再根据点的坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：在轴上，在轴上， ，， 解得， ， 则向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后的坐标为，即为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标轴上的点的坐标、点的坐标的平移变换规律，熟练掌握点的坐标的平移变换规律是解题关键． 【变式1-3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，若点的对应点的坐标为，那么点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．根据点A到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到答案． 【详解】解：∵线段平移后，点的对应点的坐标为， ∴将线段向左平移5个单位，向上平移5个单位得到线段， ∴点的对应点的坐标为，即． 故选：B． 【变式1-4】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）将点向下平移2个单位，向右平移3个单位得到点，点恰好落在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，利用平移的性质构建方程即可解决问题，解题的关键是理解题意学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：点向下平移2个单位，向右平移3个单位得到点， ，即 点恰好落在轴上， ， 解得， 将代入得：， 故答案为：． 【变式1-5】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平移方式确定点的坐标、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可． 【详解】解：把点先向右平移个单位坐标变为，再向上平移个单位得到点， 当点的横坐标和纵坐标相等时，即， 即， 故选． 求平移距离（经过的面积） 例2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点，交轴于点．将线段绕点逆时针旋转得线段，若直线过点且平行于直线，那么直线能否看作是由直线沿轴向右平移得到？若能，请求出平移距离；若不能，请说明理由． 【答案】直线能看作是由直线沿轴向右平移得到，平移距离为 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】如图所示，过点B作轴，过点A作，，求出，，证明出，得到，，，然后求出直线表达式为，当时，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作轴，过点A作， ∵直线交轴于点，交轴于点 ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∵直线过点且平行于直线， ∴设直线表达式为 ∴将代入得， 解得 ∴直线表达式为 ∴当时， 解得 ∴ ∴直线能看作是由直线沿轴向右平移得到，平移距离为． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数的平移等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 破题关键:作关于坐标轴的平行线，构造两个全等的直角三角形解决问题. 例3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，将沿方向平移得到，若为的中点，为与的交点，，， (1)求的长 (2)求图中阴影部分的面积 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是平移的性质，全等三角形的性质，熟练的利用平移的性质解题是关键． （1）根据勾股定理求出，由平移性质可知，根据为的中点，即可解题； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴ 由平移的性质可得：， ∴，，， ∵， ∴ （2）由平移的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为 【变式3】如图，已知的面积为6，．现将沿直线向右平移a个单位到的位置．当所扫过的面积为18时，那么a的值为 ． 【答案】4 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，把握平移的不变性是解题的关键． 设边上的高为h，根据的面积为6，，得到，解得．根据梯形面积公式得，解得． 【详解】解：由题意得，所扫过的面积为梯形的面积， 设边上的高为h， ∵的面积为6，， ∴， 解得． 根据题意，得， 解得， 故答案为：4． 根据旋转的性质求角度 例4．如图，，，将绕点A逆时针旋转到，连接，若点D，C，B在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查旋转性质，等腰三角形性质，三角形外角和内角和定理．根据题意可得，利用旋转性质得，继而可知，利用三角形内角和定理得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式4】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据旋转得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：∵绕直角顶点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得． 故选：A． 例5．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】内错角相等两直线平行、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，平行线的判定．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，平行线的判定是解题的关键． 由旋转的性质可知，，，，，，可判断①的正误；，，，可得，可判断②的正误；，可判断③的正误；由，可知不垂直，可判断④的正误． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，，①正确，故符合要求； ∴，，， ∴，②正确，故符合要求；，③正确，故符合要求； ∵， ∴不垂直，④错误，故不符合要求； 综上所述，①②③正确， 故选：A． 【变式5】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，若点是等边的边上一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，则下列结论：①；②；③，其中正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线的判定；设交于点，由等边三角形的性质得，由旋转得，，，则，可证明，所以是等边三角形，则，可判断②正确；若，则，与点是边上任意一点不符，可判断①错误；由，得，可知与不一定平行，可判断③错误． 【详解】解：设交于点，   是等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， 是等边三角形， ，，②正确； 若，则， ，与点是边上任意一点不符， 不一定等于，①错误； ， ， 与不一定平行，③错误， 故选：C． 【解题方法总结】 利用旋转构造全等三角形 根据旋转的性质求线段长（高频考点） 例5．（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使得，交于点，则的长为（　　） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简、根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先求出，再根据旋转可得，根据三角形的外角性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判断和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定定理；连接，延长交于，首先利用旋转的性质证明为等边三角形，然后利用等边三角形的性质求出，接着利用已知条件求出，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵把绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为的中垂线， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 在中，， 故选：． 【变式6-2】（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在等边中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的性质是解题的关键．先由等边三角形的性质得出，利用勾股定理求出．再根据旋转的性质得出，，那么是等边三角形，从而得到DE的长． 【详解】解：∵在等边中，，D是的中点， ∴，， ∴． ∵将绕点A旋转后得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 【变式6-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据旋转的性质，得出，，再根据等边三角形的性质，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）连接，根据旋转的性质，得出，，再根据等边三角形的判定，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，，进而得出，再根据勾股定理，得出，再根据（1）的结论，即可得出答案． 【详解】（1）证明：由旋转可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，并且正确作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 【解后反思】 图形的旋转变换与三角形综合解题思路: (1)先根据旋转的性质，找到已知的角度和边长; (2)准确使用直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形等条件进行解三角形. 根据旋转的性质求坐标（重难点） ※例7．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，，，是平面直角坐标系中三点，P为y轴正半轴上一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点B的对应点为Q，交y轴于D，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，设，过作轴于，证明得到，，则，再求出直线解析式为得到点，然后利用勾股定理求出，的长，最后求的周长即可． 【详解】解：过作轴于，则， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵P为y轴正半轴上一个动点， ∴设， ∵， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， ∴直线与y轴交点，则， ∵， ∴，， ∴，，， ∴的周长为， 故答案为：． 审题关键:P、Q的坐标的表示. 破题思路:①方程思想：设动点坐标；②借助坐标轴构造全等（一线三直角全等模型）；③根据全等性质表示相关点的坐标；④勾股定理求动点坐标. 【变式7-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线分别与轴、轴交于点、B，将绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了三角形的旋转，解题关键是正确应用一次函数知识．由直线分别与轴、轴交于点，，得，，由将绕点顺时针旋转得到，得轴，轴，，即可得出答案， 【详解】解：由直线分别与轴、轴交于点，， 将代入得，将代入得， 得，， 由将绕点顺时针旋转得到， 得轴，轴，， 则点的对应点的坐标是， 故选：C 【变式7-2】（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，已知，点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，解题关键是通过添加辅助线，利用一线三等角证全等三角形求解．作轴于点，轴于点，通过证明求解． 【详解】解：作轴于点，轴于点． ，． ， ． ． 在与中， ， ． 又的坐标是， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 作图——确定旋转中心或对称中心 例8．如图，在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是点 ．    【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】根据旋转中心的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到． 【详解】解：∵绕某点旋转一定的角度，得到， ∴连接、、， 作的垂直平分线过B、D、C， 作的垂直平分线过B、A， 作的垂直平分线过B， ∴三条线段的垂直平分线正好都过B， 即旋转中心是B． 故答案为：B．    【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点． 例9．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断中心对称图形的对称中心、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转的性质，连接对应点，与的交点即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点E的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点E， 点E即为对称中心，． 故选：A． 【解题技巧总结】 求不等式的特殊解的两种方法 旋转中心的确定方法:作对应点连线的垂直平分线，再找到交点. 对称中心的确定方法:作对应点连线，交点即对称中心. 作图——平移、旋转后的图形（解答题高频考点） 例10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知的顶点的坐标分别是． (1)是由向右平移5个单位长度得到，直接画出平移后的； (2)将以点为旋转中心，沿逆时针方向旋转得到，请画出． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、由平移方式确定点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查作图——旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质是解题的关键． （1）将三个顶点分别向右平移5个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕点O按逆时针方向旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ； 【变式10】．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形，并直接写出点，，的坐标，其中点，，的对应点分别为点，，． (2)在图中作出先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图形，并直接写出点，，的坐标，其中点，，的对应点分别为点，，． 【答案】(1)图见解析，，，； (2)图见解析，，，． 【知识点】画轴对称图形、平移(作图) 【分析】本题考查的知识点是作图—轴对称变换，平移变换，解题关键是正确找出关键点的对称点及平移后的点，再画出图形． （1）利用轴对称变换的性质分别作出三点的对称点并顺次连接，再写出点，，的坐标即可； （2）利用平移变换的性质分别作出三点的对应点并顺次连接，再写出点，，的坐标即可． 【详解】（1）解：关于轴对称的图形如下图所示： 则，，； （2）解：平移后得到的图形如下图所示： 则，，． 坐标与旋转规律问题 例11．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的等边绕O点顺时针旋转i个，得到等边．当时，顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与旋转规律问题、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是旋转的旋转，等边三角形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理；以O为圆心，为半径作得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解的坐标，从而可得答案． 【详解】解：如图以O为圆心，为半径作， 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个， 即把绕点O顺时针旋转i个， A旋转后对应点依次为，，……， ∵1周， ∴绕点O顺时针旋转8次回到原位置， ∵， ∴与重合， 如图：作轴于点， ∴， 在中，，， ∴，， ∴坐标为； 即的坐标为； 故选：A． 【变式11-1】如图，在中，顶点A在x轴的负半轴上，，，，将绕点A逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时点B的坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与旋转规律问题 【分析】先利用勾股定理求出点A的坐标，再根据题意得到规律每4秒为一个循环，点B回到起始位置，则第2022秒点B的位置与第2秒点B的位置相同，即相当于把点B绕点A逆时针旋转，由此求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴（正值舍去）， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转，每秒旋转， ∴每4秒为一个循环，点B回到起始位置， ∵， ∴第2025秒点B的位置与第1秒点B的位置相同，即相当于把点B绕点A逆时针旋转90°， ∴此时借助坐标轴构造全等， ∴此时点B的对应点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，点的坐标旋转规律， 正确找到规律是解题的关键． 旋转作图 【错误作图】在旋转图形时，学生可能错误地旋转图形的某些部分，而不是整体旋转，或者没有保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 【正确作图】旋转图形时，应确保图形上每一点都绕旋转中心旋转相同角度，保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 1.在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 2.（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，三角形的周长为，将三角形沿方向平移至三角形（点的对应点分别为点）的位置，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】此题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，则，即可得到图中阴影部分的周长． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形， ，， ， 图中阴影部分的周长为： （）． 故选：B． 3.如图，将三角形沿射线的方向平移得到三角形，如果平移的距离是2，，那么 ． 【答案】4 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，把握平移的不变性是解题的关键．根据平移的性质和线段的和差即可得到结论． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：4． 4.如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个． 【答案】2 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质即可完成． 【详解】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形． 故答案为：2． 5.点关于点中心对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、成中心对称 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握关于中心对称的两个点，到对称中心的距离相等．由M、N关于点A成中心对称，得出点A为的中点，再根据中点坐标公式求出点N的坐标即可． 【详解】解：设点关于点中心对称的点为， ∵点关于点的中心对称点为， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为． 故答案为：． 6.如图，在中，，过点A作交于点D，E是线段上一点，连接，在平面内将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、，则的度数为 ． 【答案】/40度 【知识点】根据旋转的性质求解、三角形的外角的定义及性质、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，作射线，证明，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，作射线， 则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，而， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为： 7．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得，连接．若，求证：．    【答案】见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定；由旋转的性质得：， 根据，，得出，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8.（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，的顶点坐标分别为，，．    (1)平移使得点B与点O重合，平移以后的图形为，其中点A，C的对应点分别是点，，画出； (2)将绕B点顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别是点，，画出． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】画旋转图形、平移(作图) 【分析】本题考查作图—平移旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质， （1）利用平移变换的性质分别作出A、C的对应点即可求解； （2）利用旋转变换的性质分别作出的A，C对应点即可． 【详解】（1）解：且点B与点O重合， 向右平移五个单位长度，向下平移两个单位长度， ， ，， 连接、、得即为所求；    （2）将绕B点顺时针旋转得到如图即为所求：    9.（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点沿顺时针方向旋转得到，此时点，，在同一直线上，设与交于点，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、根据等边对等角证明 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由外角的性质可求，可得结论； （2）由等腰直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：绕点沿顺时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ； （2）解：过点作于， 根据旋转性质可得，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 10．（23-24八年级下·陕西西安·期中）【背景呈现】 如图，点O是等边内的一点，连接，有，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接． 【问题发现】（1）由题意可知，的形状为 ； 【初步探究】（2）试判断与的位置关系，并说明理由； 【深入拓展】（3）若，求的长． 【答案】（1）等边三角形；（2），理由见解析；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据旋转的性质即可求得是等边三角形； （2）根据旋转的性质求得，计算可得，即可得到； （3）证明，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）解：，理由如下； 由（1）知为等边三角形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴，即； （3）解：由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形等知识，解题的关键在于熟练掌握相关图形的性质定理． 11. （23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形的性质、根据旋转的性质说明线段或角相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等，面积相等． （1）通过证明，即可求证； （2）先求出，在根据勾股定理求出，由全等的性质得出，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵绕点C逆时针旋转到， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$