3.2.2 课时1 两点分布及二项分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2.2 课时1 两点分布及二项分布 1.了解两点分布的概念. 2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其应用. 3.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用. 学习目标 问题1：求下列各随机变量的分布列. (1)篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不中，得0分，已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.7，设其罚球一次的得分为X. X P (2)假设某人寿保险的投保人年龄超过50岁的占70%，从投保人中随机抽取1人，设Y表示抽到的年龄超过50岁的投保人人数. Y P (3)含有3件次品的100件产品中随机抽取1件，设抽到的次品数为Z. Z P (1) (2) (3) 1 0 0.7 0.3 1 0 0.7 0.3 1 0 0.03 0.97 新课导入 思考：以上随机试验的结果有几种可能性？这几种结果的概率有何特点？ X 1 0 P 0.7 0.3 Y 1 0 P 0.7 0.3 Z 1 0 P 0.03 0.97 每次试验只有两种可能的结果，其概率和为1. 课题探究 如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是 P(X=1) =p，P(X=0) =1-p，p∈(0，1) 则称随机变量X服从两点分布，记作X~B(1，p). 两点分布 课题探究 伯努利试验：一个所有可能结果只有两种的随机试验. 因此两点分布也常称为伯努利分布. 若伯努利试验结果看成“成功”（出现概率为p）与“不成功”，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布： X 1 0 P p 1－p 课题探究 思考1：在两点分布中随机变量的值域是什么？分布列P (X＝2)＝0.4，P (X＝5)＝0.6是否为两点分布？ {0，1} 否 思考2：能否将分布列P(X＝2)＝0.4，P(X＝5)＝0.6变换为两点分布？ 课题探究 在我们现实生活中经常会遇到一些问题，例如：检查产品是否合格，投篮是否命中，一粒种子是否发芽等等，这些问题都只考虑成功与否时，都可以用服从两点分布的随机变量来描述. 课题探究 例1 袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记 X＝求X的分布列． 解：由题设知X服从两点分布，且P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 P 课题探究 ①多次重复投掷一枚硬币，观察正面朝上的概率. ②为了解支持改革的人的比例，随机向多人进行访问，询问是否支持. ③某篮球队员共罚球98次，以此统计该队员罚球命中率. 问题2：若下述实验只完成一次，其结果如何？属于什么试验？ ①“朝上”或“不朝上”；②“支持”或“不支持”； ③“命中”或“不命中”.试验结果都可记为“成功”或“不成功”，都属于伯努利试验. 课题探究 问题3：分析下述实验，这些实验有何特点？ ①多次重复投掷一枚硬币，观察正面朝上的概率. ②为了解支持改革的人的比例，随机向多人进行访问，询问是否支持. ③某篮球队员共罚球98次，以此统计该队员罚球命中率. （1）每次试验都是在相同的条件下进行； （2）每次试验只有两个相互对立的结果； （3）各次试验是相互独立. 课题探究 一般地，在相同条件下重复n次伯努利试验，若这n次试验是相互独立的，则称这n次伯努利试验称为n次独立重复试验. 特征： (1)一致性：每次试验都是在相同的条件下进行. (2)对立性：每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”. (3)独立性：各次试验是相互独立. (4)重复性：每次“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1-p； 注：独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验. 课题探究 例2 10个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，验后放回，连续抽检3次. 求抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率. 分析 由于3次抽检是相互独立的，并且每次抽检只有两个可能的结果，即“抽到正品”或“抽到次品”，因此，这是一个3次独立重复试验. 解：记抽到次品的概率为p，抽到正品的概率为q. (方法一)设B=“3次抽检，恰好有两个次品”，Ai=“第i次抽到次品”(i=1，2，3)，则=“第i次抽到正品”(i=1，2，3)， 课题探究 因为3次抽检中恰有2个次品的事件共有3个，即A1A2，A1A3，A2A3，这三个事件是互斥的，并且A1，A2，A3之间都是相互独立的， 由概率加法公式有P(B)=P(A1A2∪A1A3∪A2A3) =P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3) =P(A1)P(A2)P()+P(A1)P()P(A3+P()P(A2)P(A3) =p2q+p2q+p2q=3p2q =3×()2× =0.189. 课题探究 (方法二)用X表示抽检次数，则X是一个随机变量，设事件A为“抽检到次品”. 事件A在3次实验中发生2次，共有种情形， 由试验的独立性可知，事件A在其中的2次发生时，其余(3-2)次则不发生，其概率为p2q3-2， 故事件A恰好发生2次的概率为P(X=2)=p2q3-2=3p2q=3×()2×=0.189. 例2 10个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，验后放回，连续抽检3次. 求抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率. 类似地，还可以求得3个零件中恰好有0个次品、1个次品、3个次品概率分别为P(X=0)=p0q3-0=q3，P(X=1)=p1q3-1=3pq2，P(X=3)=p3q3-3=p3. 课题探究 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A出现的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X有概率分布： P(X＝k)＝pkqn－k，k＝0，1，…，n，其中q＝1－p. 注意到pkqn－k正好是二项式(p＋q)n的展开式中的第(k＋1)项，故称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，其中n，p为参数，p为事件发生的概率． 课题探究 随机变量X服从二项分布的三个前提条件： (1)每次试验都是在同一条件下进行的； (2)每一次试验都彼此相互独立； (3)每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生. 课题探究 例3 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获奖的次数为X，求X的分布列． 解：(1)记事件A＝{甲、乙两箱中摸出球都是红球}， 则P(A)＝＝. 即顾客抽奖1次能获奖的概率为； 课题探究 (2)由题可知X～B， ∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 课题探究 (1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p. (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 归纳总结 二项分布中需要注意的问题： 课题探究 1.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X C.从有5名种子选手，3名非种子选手中选1人，选出种子选手的人数为随机变量X D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X A 当堂检测 2.若，则等于_____. 3.判断下列表述正确与否，并说明理由: (1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)； (2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1). 解：(1) 正确. 理由：每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(12, 0.25). (2) 错误. 理由：每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件. 当堂检测 根据今天所学，回答下列问题： 1.什么是两点分布？ 2. 随机变量X满足什么条件称其服从二项分布，如何表示？ 课后小结 X= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，当试验成功时；,0，当试验不成功时.)) $$