7.2 勾股定理 　 导学案　2024-2025学年青岛版数学八年级下册

勾股定理 在直角三角形中，如果两条直角边分别是a和b，斜边为c，那么__ __．用自然语言可叙述为__ __． (1)勾股定理体现的是直角三角形中三边之间的关系；(2)勾股定理只对直角三角形适用，应注意分清题目中的直角边和斜边，不要看到a，b，c就以为a，b为直角边，c为斜边． 勾股定理的证明 我们可以利用赵爽弦图、毕氏证法、总统证法等来证明勾股定理 利用勾股定理进行计算 角度1　求线段的长度 典例1 [2024·泰安期中]如图，高速公路上有A，B两点相距10 km，C，D为两村庄，已知DA＝4 km，CB＝6 km.DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是__ _ __． 典例1图 变式 如图，在△ABD中，∠D＝90°，CD＝3，AD＝4，∠ACD＝2∠B，则BD的长是( ) 变式图 A．5　 　　　　　 B．6 C．7　 　　 D．8 角度2　求图形的面积 典例2 [2024·南通]“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n)．若小正方形面积为5，(m＋n)2＝21，则大正方形面积为( ) 典例2图 A．12 B．13 C．14 D．15 变式 [2024·大庆]如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图2是1次操作后的图形．图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为__ __. 变式图 角度3　求解折叠问题 典例3 [2024·淄博期末]如图，有一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC＝4，BC＝8，现将Rt△ABC折叠，使点B与点A重合，得到折痕MN，则△ACM的面积为( ) 典例3图 A．6 B．8 C．10 D．12 变式 [2024·烟台期末]如图，在矩形ABCD中，E为CD边上的点，CE＝3 cm，AB＝8 cm.若沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的F点处，则阴影部分的面积为__ _ __． 变式图 勾股定理的实际应用 典例4 [2024·菏泽期中]一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面墙上． 典例4图 (1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 变式 [2023·深圳期末]有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5 m，将它往前推送2 m(水平距离BC＝2 m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.5 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 变式图 1．[2024·济南期末]如图，长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则BE的长度为( ) 第1题图 A．6 B．10 C．24 D．48 2．[2024·临沂期中]如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1，S2，S3，S4和S分别代表相应正方形的面积，且S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝( ) 第2题图 A．25 B．31 C．32 D．40 3．[2024·泰安期末]如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为__ __． 第3题图 4．[2024·菏泽二模]在直角三角形中，两边长分别为6，8，则第三条边长为__ __． 5．[2024·潍坊期中]综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验，如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度BC为2米，如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离FD为1米，以及点F到旗杆AB的距离FE为9.6米，请你根据测量数据计算旗杆的高度． 第5题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 勾股定理 在直角三角形中，如果两条直角边分别是a和b，斜边为c，那么__a2＋b2＝c2__．用自然语言可叙述为__直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方__． (1)勾股定理体现的是直角三角形中三边之间的关系；(2)勾股定理只对直角三角形适用，应注意分清题目中的直角边和斜边，不要看到a，b，c就以为a，b为直角边，c为斜边． 勾股定理的证明 我们可以利用赵爽弦图、毕氏证法、总统证法等来证明勾股定理 利用勾股定理进行计算 角度1　求线段的长度 典例1 [2024·泰安期中]如图，高速公路上有A，B两点相距10 km，C，D为两村庄，已知DA＝4 km，CB＝6 km.DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是__6_km__． 典例1图 根据DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DE＝CE，列式AD2＋AE2＝DE2＝BE2＋BC2＝CE2，解出AE的值，即可作答． 变式 如图，在△ABD中，∠D＝90°，CD＝3，AD＝4，∠ACD＝2∠B，则BD的长是( D ) 变式图 A．5　 　　　　　 B．6 C．7　 　　 D．8 角度2　求图形的面积 典例2 [2024·南通]“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n)．若小正方形面积为5，(m＋n)2＝21，则大正方形面积为( B ) 典例2图 A．12 B．13 C．14 D．15 由题意可知，中间小正方形的边长为m－n，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为m2＋n2. 变式 [2024·大庆]如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图2是1次操作后的图形．图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为__48__. 变式图 角度3　求解折叠问题 典例3 [2024·淄博期末]如图，有一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC＝4，BC＝8，现将Rt△ABC折叠，使点B与点A重合，得到折痕MN，则△ACM的面积为( A ) 典例3图 A．6 B．8 C．10 D．12 设BM＝x，由翻折易得AM＝BM，在Rt△ACM中，由勾股定理列出方程即可求得BM的长，进而可求出△ACM的面积． 变式 [2024·烟台期末]如图，在矩形ABCD中，E为CD边上的点，CE＝3 cm，AB＝8 cm.若沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的F点处，则阴影部分的面积为__30_cm2__． 变式图 勾股定理的实际应用 典例4 [2024·菏泽期中]一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面墙上． 典例4图 (1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ (1)直接由勾股定理计算即可； (2)先由勾股定理求出OB′，再计算出BB′即可． 解：(1)在Rt△AOB中，AB＝25米，OB＝7米， ∴OA＝＝＝24(米)， 答：梯子的顶端距地面24米； (2)在Rt△A′OB′中，A′O＝24－4＝20(米)， ∴OB′＝＝＝15(米)， ∴BB′＝15－7＝8(米)， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 变式 [2023·深圳期末]有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5 m，将它往前推送2 m(水平距离BC＝2 m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.5 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 变式图 解：在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2， ∵BF＝CE＝1.5 m，DE＝0.5 m， ∴CD＝1 m， 设秋千的绳索长为x m，则AC＝(x－1)m， 故x2＝22＋(x－1)2， 解得x＝2.5， 答：绳索AD的长度是2.5 m. 1．[2024·济南期末]如图，长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则BE的长度为( B ) 第1题图 A．6 B．10 C．24 D．48 2．[2024·临沂期中]如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1，S2，S3，S4和S分别代表相应正方形的面积，且S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝( B ) 第2题图 A．25 B．31 C．32 D．40 3．[2024·泰安期末]如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为__3__． 第3题图 4．[2024·菏泽二模]在直角三角形中，两边长分别为6，8，则第三条边长为__10或__． 5．[2024·潍坊期中]综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验，如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度BC为2米，如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离FD为1米，以及点F到旗杆AB的距离FE为9.6米，请你根据测量数据计算旗杆的高度． 第5题图 解：设旗杆AB的高度为x米，则绳子AF为(x＋2)米， 由题意可知，BE＝FD＝1米，FE＝9.6米，AE＝AB－BE＝(x－1)米， 在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE2＋EF2＝AF2， 即(x－1)2＋9.62＝(x＋2)2， 解得x＝14.86， 答：旗杆AB的高度为14.86米. 学科网（北京）股份有限公司 $$