5.2 等差数列-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

５．２　等差数列 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P６７ [知识点一]　等差数列与等差中项 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义: (１)文字语言:一个数列从第２项起,每一项与它的 前一项的差都等于同一个常数; (２)符号语言:an＋１－an＝d(n∈N∗ ,d为常数)． ２．等差中项:若三个数a,A,b组成等差数列,则A 叫 作a,b的等差中项． [知识点二]　等差数列的通项公式与前n项和公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．通项公式:an＝a１＋(n－１)d． ２．前n项和公式:Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d＝ n(a１＋an) ２ ． [知识点三]　等差数列的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知数列{an}是等差数列,Sn 是其前n 项和． １．通项公式的推广:an＝am＋(n－m)d (n,m∈N∗ )． ２．若k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N∗ ),则ak＋al＝am ＋an． ３．若{an}的公差为d,则{a２n}也是等差数列,公差 为２d． ４．若{bn}是等差数列,则{pan＋qbn}也是等差数列． ５．数列Sm,S２m－Sm,S３m－S２m,􀆺构成等差数列． [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)． (１)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常 数,那么这个数列是等差数列． (　　) (２)数列０,０,０,０,􀆺不是等差数列． (　　) (３)在等差数列中,除第１项和最后一项外,其余各项 都是它前一项和后一项的等差中项． (　　) (４)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差 都是常数,则这个数列是等差数列． (　　) (５)等差数列{an}的单调性与公差d有关． (　　) (６)若三个数a,b,c满足２b＝a＋c,则a,b,c一定是 等差数列． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)√　(４)×　(５)√　 (６)√ ２．在等差数列{an}中,a３＝２,d＝６．５,则a７＝ (　　 ) A．２２ B．２４ C．２６ D．２８ 解析:D　[a７＝a３＋４d＝２＋４×６．５＝２８,故选 D．] ３．等差数列{an}中,已知a３＝１,a９＝７,则公差d＝(　　 ) A．１ B．２ C．３ D．４ 解析:A　[因为等差数列{an}中,a３＝１,a９＝７,所 以 a１＋２d＝１ a１＋８d＝７{ , 解得 d＝１ a１＝－１{ ,故选 A．] ４．在等差数列{an}中,已知a２＝２,前７项和S７＝５６, 则公差d＝ (　　 ) A．２ B．３ C．－２ D．－３ 解析:B　[由题意可得 a１＋d＝２ ７a１＋ ７×６ ２ d＝５６ { ,即 a１＋d＝２a１＋３d＝８{ , 解得 a１＝－１ d＝３{ ．] ５．在数列{an}中,a１＝２,an＋１－an＝３(n∈N∗ ),则数 列{an}的通项公式为　　　　． 解析:因为an＋１－an＝３,n∈N∗,所以数列{an}是公差 为３的等差数列,又因为a１＝２,所以an＝２＋３(n－１) ＝３n－１． 答案:an＝３n－１ ６．在等差数列{an}中,若a３＋a４＋a５＋a６＋a７＝４５０, 则a２＋a８＝　　　　． 解析:由等差数列的性质可得 a３＋a７＝a４＋a６＝２a５, 又因为a３＋a４＋a５＋a６＋a７＝４５０, 所以５a５＝４５０,a５＝９０,所以a２＋a８＝２a５＝１８０． 答案:１８０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等差数列的基本运算 [例１]　(１)在数列{an}中,a１＝１,an＋１－３＝an,若an ＝２０２０,则n＝ (　　 ) A．６７１ B．６７２ C．６７３ D．６７４ (２)(２０１９􀅰高考全国卷Ⅰ)记Sn 为等差数列{an} 的前n项和,已知S４＝０,a５＝５,则 (　　) A．an＝２n－５ B．an＝３n－１０ C．Sn＝２n２－８n D．Sn＝ １ ２n ２－２n [解析]　(１)∵a１＝１,an＋１－３＝an,∴an＋１－an＝ ３,∴数列{an}是以１为首项,３为公差的等差数列, ∴an＝a１＋(n－１)d＝１＋３(n－１)＝２０２０,解得n＝ ６７４．故选 D． (２)法一:设等差数列{an}的首项为a１,公差为d, 因 为 S４＝０ a５＝５{ , 所 以 ４a１＋ ４×３ ２ d＝０ a１＋４d＝５ { , 解 得 a１＝－３ d＝２{ ,所以an＝a１＋(n－１)d＝－３＋２(n－１) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第五章　数列 ＝２n－５,Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d＝n ２－４n．故选 A． 法二:设等差数列{an}的公差为d, 因 为 S４＝０ a５＝５{ , 所 以 ４a１＋ ４×３ ２ d＝０ a１＋４d＝５ { , 解 得 a１＝－３ d＝２{ ． 选项 A,a１＝２×１－５＝－３; 选项B,a１＝３×１－１０＝－７,排除B; 选项C,S１＝２－８＝－６,排除C; 选项 D,S１＝ １ ２－２＝－ ３ ２ ,排除 D．故选 A． [答案]　(１)D　(２)A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等差数列的基本运算的解题策略 (１)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五 个量a１,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两 个,体现了方程思想． (２)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到 变量代换的作用,而a１ 和d 是等差数列的两个 基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方 法． １．(２０２３􀅰惠州市第二次调研)已知等差数列{an}的 前n项和为Sn,且a２＋a３＋a４＝１５,a７＝１３,则S５ ＝ (　　) A．２８ B．２５ C．２０ D．１８ 解析:B　[法一:设等差数列{an}的公差为d,由已 知 得 a１＋d＋a１＋２d＋a１＋３d＝１５, a１＋６d＝１３,{ 解 得 a１＝１, d＝２,{ 所以S５＝５a１＋ ５×４ ２ d＝５×１＋ ５×４ ２ ×２＝ ２５,故选B． 法二:由{an}是等差数列,可得a２＋a４＝２a３,所以 a３ ＝５,所 以 S５ ＝ ５(a１＋a５) ２ ＝ ５×２a３ ２ ＝２５ ,故 选B．] 等差数列的判定与证明 [例２]　(２０２３􀅰贵州适应性考试)已知数列{an}满足 a１＝１,且nan＋１－(n＋１)an＝２n２＋２n． (１)求a２,a３; (２)证明数列 ann{ } 是等差数列,并求{an}的通项 公式． [解析]　(１)由已知,得a２－２a１＝４, 则a２＝２a１＋４,又a１＝１,所以a２＝６． 由２a３－３a２＝１２,得２a３＝１２＋３a２,所以a３＝１５． (２)由已知nan＋１－(n＋１)an＝２n２＋２n, 得 nan＋１－(n＋１)an n(n＋１) ＝２ ,即an＋１ n＋１－ an n＝２ , 所以数列 an n{ } 是首项为 a１ １＝１ ,公差为d＝２的等 差数列．则 an n＝１＋２ (n－１)＝２n－１, 所以an＝２n２－n． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判定数列{an}是等差数列的常用方法 (１)定义法:对任意n∈N∗ ,an＋１ －an 是 同 一 个 常数． (２)等差中项法:对任意n≥２,n∈N∗ ,满足２an＝ an＋１＋an－１． (３)通项公式法:数列的通项公式an 是n 的一次 函数． (４)前n项和公式法:数列的前n项和公式Sn 是n 的二次函数,且常数项为０． 提醒:判断是否为等差数列,最终一般都要转化为定 义法判断． ２．已知数列{an}满足a１＝ ３ ５ ,an＝２－ １ an－１ (n≥２, n∈N∗),数列{bn}满足bn＝ １ an－１ (n∈N∗), 求证:数列{bn}是等差数列． 证明:因为an＝２－ １ an－１ (n≥２,n∈N∗ ),bn＝ １ an－１ (n∈N∗ ), 所以bn＋１－bn＝ １ an＋１－１ － １an－１ ＝ １ ２－１an æ è ç ö ø ÷－１ － １ an－１ ＝ an an－１ － １an－１ ＝１．又b１＝ １ a１－１ ＝－５２． 所以数列{bn}是以－ ５ ２ 为 首 项,１ 为 公 差 的 等 差 数列． 等差数列的性质 [例３]　已知等差数列{an}满足a３＋a６＋a８＋a１１＝ １２,则２a９－a１１的值为 (　　 ) A．－３ B．３ C．－１２ D．１２ [解析]　B　[由等差中项的性质可得,a３＋a６＋a８ ＋a１１＝４a７ ＝１２,解 得 a７ ＝３,∵a７ ＋a１１ ＝２a９, ∴２a９－a１１＝a７＝３．故选B．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７􀅰 职教高考总复习　数学 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 应用等差数列的性质解题的注意点 (１)如果{an}为等差数列,m＋n＝p＋q,则am＋an＝ ap＋aq(m,n,p,q∈N ∗ )．因此,若出现am－n,am, am＋n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为 与am(或其他项)有关的条件;若求am 项,可由 am＝ １ ２ (am－n＋am＋n)转化为求am－n,am＋n或am＋n ＋am－n的值． (２)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵 活应用,如an＝am＋(n－m)d,d＝ an－am n－m ,S２n－１ ＝(２n－１)an,Sn＝ n(a１＋an) ２ ＝ n(a２＋an－１) ２ (n, m∈N∗ )等． ３．设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前６项和为 ３６,最后６项的和为１８０,Sn＝３２４(n＞６),则数列 {an}的项数为　　　　． 解析:由题意知a１＋a２＋􀆺＋a６＝３６,① an＋an－１＋an－２＋􀆺＋an－５＝１８０,② ①＋②得(a１＋an)＋(a２＋an－１)＋􀆺＋(a６＋an－５) ＝６(a１＋an)＝２１６, ∴a１＋an＝３６, 又Sn＝ n(a１＋an) ２ ＝３２４ ,∴１８n＝３２４,∴n＝１８． 答案:１８ 等差数列前n项和的最值问题 [例４]　(２０１９􀅰北京高考)设等差数列{an}的前n项 和为Sn,若a２＝－３,S５＝－１０,则a５＝　　　　, Sn 的最小值为　　　　． [解析]　设等差数列{an}的首项为a１,公差为d． 由S５＝ ５ ２ (a１＋a５)＝ ５ ２×２a３＝－１０ ,得a３＝－２, ∴d＝a３－a２＝－２－(－３)＝１,∴a１＝－３－１＝－４, ∴a５＝a１＋４d＝－４＋４＝０． 解法一:∵a１＝－４,d＝１,∴Sn＝－４n＋ n(n－１) ２ × １＝１２ (n２－９n)＝１２ n－ ９ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ －８１８． ∵n∈N∗ ,∴当n＝４或５时,Sn 取最小值,为S４＝ S５＝－１０． 解法二:∵a１＝－４,d＝１,∴an＝－４＋(n－１)×１ ＝n－５．由an≤０得n≤５,且n＝５时,a５＝０,故当 n＝４ 或 ５ 时,Sn 取 最 小 值,为 S４ ＝S５ ＝ ５×(－４＋０) ２ ＝－１０． [答案]　０　－１０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求等差数列前n项和Sn 最值的两种方法 (１)函数法:等差数列前n项和的函数表达式Sn＝ an２＋bn＝an＋b２a æ è ç ö ø ÷ ２ －b ２ ４a ,求“二次函数”最值． (２)邻项变号法 ①当a１＞０,d＜０时,满足 am≥０, am＋１≤０{ 的项数m 使 得Sn 取得最大值为Sm; ②当a１＜０,d＞０时,满足 am≤０, am＋１≥０{ 的项数m 使得 Sn 取得最小值为Sm． ４．设数列{an}的前n项和为Sn＝３􀅰２n(n∈N∗ ),数列 {bn}为等差数列,其前n项和为Tn,若b２＝a５,b１０＝S３, 则Tn 取最大值时n＝　　　　． 解析:由已知得b２＝a５＝S５－S４＝３×２５－３×２４＝ ４８,b１０＝S３＝３×２３＝２４． 设等差数列{bn}的公差为d, 则８d＝b１０－b２＝－２４,d＝－３, 所以bn＝b２＋(n－２)d＝４８－３(n－２)＝５４－３n, 所以当１≤n≤１８时,bn≥０,当n≥１９时,bn＜０, 所以Tn 取最值时n＝１７或１８． 答案:１７或１８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P６９ [基础题组练] １．数列{an}的通项公式为an＝５－３n,则此数列 (　　 ) A．是公差为－３的等差数列 B．是公差为５的等差数列 C．是首项为５的等差数列 D．是公差为n的等差数列 答案:A ２．等差数列{an}中,已知a２＝２,a５＝８,则a９＝ (　　 ) A．８ B．１２ C．１６ D．２４ 答案:C ３．在等差数列{an}中,若a３＋a５＋a７＋a９＋a１１＝１００, 则３a９－a１３的值为 (　　 ) A．２０ B．３０ C．４０ D．５０ 答案:C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第五章　数列 ４．若a≠b,则等差数列a,x１,x２,b的公差是 (　　 ) A．b－a B．b－a２ C．b－a３ D． b－a ４ 解析:C　[由等差数列的通项公式, 得b＝a＋(４－１)d, 所以d＝b－a３ ． ] ５．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S３＝９,S６＝ ３６,则a７＋a８＋a９ 等于 (　　 ) A．６３ B．４５ C．３６ D．２７ 解析:B　[由{an}是等差数列,得S３,S６－S３,S９－ S６ 为等差数列．即２(S６－S３)＝S３＋(S９－S６),得 到S９－S６＝２S６－３S３＝４５,故选B．] ６．已知a＝ １ ３＋ ２ ,b＝ １ ３－ ２ ,则a,b的等差中项为 　　　． 解析:a＋b ２ ＝ １ ３＋ ２ ＋ １ ３－ ２ ２ ＝ ３－ ２＋ ３＋ ２ ２ ＝ ３． 答案:３ ７．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为 An 和Bn,且 An Bn ＝７n＋４５n＋３ (n∈N∗ ),则 a７ b７ ＋ a９ b１１ ＝　 　　　． 解析:设An＝kn(７n＋４５),Bn＝kn(n＋３),则n＞ １,n∈N∗ 时,an＝An－An－１＝k(１４n＋３８),bn＝k (２n ＋２),则 a７ b７ ＝k (１４×７＋３８) k(２×７＋２) ＝ １７ ２ ,a９ b１１ ＝ k(１４×９＋３８) k(２×１１＋２)＝ ４１ ６ ,所以a７ b７ ＋ a９ b１１ ＝１７２＋ ４１ ６＝ ４６ ３． 答案:４６ ３ ８．已知数列{an}满足a１ ＝４,an ＝４－ ４ an－１ (n≥２, n∈N∗ ),令bn＝ １ an－２ ． (１)求证:数列{bn}是等差数列; (２)求数列{an}的通项公式． 解析:(１)证明　因为an＝４－ ４ an－１ (n≥２), 所以an＋１－２＝２－ ４ an ＝ ２(an－２) an (n≥１), 所以 １ an＋１－２ ＝ an ２(an－２) ＝１２＋ １ an－２ (n≥１), 所以 １ an＋１－２ － １an－２ ＝１２ (n≥１), 即bn＋１－bn＝ １ ２ (n≥１)．所以数列{bn}是以 １ ２ 为首 项,以１ ２ 为公差的等差数列． (２)由(１)知 １an－２{ }是公差为 １ ２ 的等差数列, 所以 １ an－２ ＝ １a１－２ ＋(n－１)􀅰１２＝ n ２ , 解得an＝２＋ ２ n． 所以数列{an}的通项公式为an＝２＋ ２ n． ９．已知{an}满足an＋１＝an＋２,而且a１＝１,求an． 解:∵an＋１－an＝２为常数,∴{an}是首项为１,公差 为２的等差数列,∴an＝１＋２(n－１)＝２n－１． [综合题组练] １．已知等差数列{an}的公差d＜０,前n项和为Sn,若 S５＝１０a６,则当Sn 最大时,n＝ (　　 ) A．８ B．９ C．７或８ D．８或９ 解析:D　[由S５＝１０a６,可得 ５×(a１＋a１＋４d) ２ ＝ １０(a１＋５d),解得a１＝－８d,所以Sn＝na１＋ １ ２n (n －１)d＝d２ n－ １７ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ －２８９４[ ]．因为d＜０,所以当n ＝８或９时,Sn 最大．故选 D． ２．在公差不为０的等差数列{an}中,４a３＋a１１－３a５＝ １０,则１５a４＝ (　　) A．－１ B．０ C．１ D．２ 解析:C　[通解:设数列{an}的公差为d(d≠０),由 ４a３＋a１１－３a５＝１０,得４(a１＋２d)＋(a１＋１０d)－３ (a１＋４d)＝１０,即２a１＋６d＝１０,即a１＋３d＝５,故 a４＝５,所以 １ ５a４＝１ ,故选C． 优解:设数列{an}的公差为d(d≠０),因为an＝am ＋(n－m)d,所以由４a３＋a１１－３a５＝１０,得４(a４－ d)＋(a４＋７d)－３(a４＋d)＝１０,整理得a４＝５,所 以１ ５a４＝１ ,故选C．] ３．(２０２３􀅰沈阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和 为 Sn,若 a１ ＝１,S３ ＝a５,am ＝２０１９,则 m ＝　　　　． 解析:设等差数列{an}的公差为d,则S３＝３a２＝３(a１ ＋d)．又S３＝a５,则３(１＋d)＝１＋４d,解得d＝２．所以 am＝a１＋(m－１)d＝２m－１＝２０１９,解得m＝１０１０． 答案:１０１０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７􀅰 职教高考总复习　数学 ４．(２０２１􀅰春招,２７)在数列{an}中,an ＞０,a１＝１, ２an＋１－an＝０． (１)求数列{an}的通项公式; (２)若bn＝log２an,求数列{bn}的前９０项和S９０． 解析:(１)∵２an＋１－an＝０,∴２an＋１＝an,∴ an an＋１ ＝ ２,∴ an＋１ an ＝１２ ,即q＝１２ , ∴an＝a１􀅰qn－１＝１× １ ２ æ è ç ö ø ÷ n－１ ＝２－１(n－１)＝２－n＋１． (２)∵bn＝log２an,∴bn＝log２ －n＋１＝－n＋１,当n＝ １时,b１＝０,当n＝２时,b２＝－１,当n＝３时,b３＝ －２,∴数列为等差数列,∴S９０＝９０×０＋ ９０×８９ ２ × (－１)＝－４００５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．３　等比数列 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P７０ [知识点一]　等比数列的有关概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义: (１)文字语言:一个数列从第２项起,每一项与它的 前一项的比都等于同一个常数(非零)． (２)符号语言: an＋１ an ＝q(n∈N∗ ,q为非零常数)． ２．等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G 叫作a 与b的等比中项．即G２＝ab． [知识点二]　等比数列的有关公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．通项公式:an＝a１qn－１． ２．前n项和公式:Sn＝ na１,q＝１, a１(１－qn) １－q ＝ a１－anq １－q ,q≠１． ì î í ïï ï [知识点三]　等比数列的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知数列{an}是等比数列,Sn 是其前n 项和．(m, n,p,q,r,k∈N∗ ) １．若m＋n＝p＋q＝２r,则am􀅰an＝ap􀅰aq＝a ２ r; ２．数列am,am＋k,am＋２k,am＋３k,􀆺仍是等比数列; ３．数列Sm,S２m－Sm,S３m－S２m,􀆺仍是等比数列(此 时{an}的公比q≠－１)． [知识点四]　常用结论 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．等比数列的单调性: 当q＞１,a１＞０或０＜q＜１,a１＜０时,{an}是递增 数列; 当q＞１,a１＜０或０＜q＜１,a１＞０时,{an}是递减 数列; 当q＝１时,{an}是常数列． ２．等比数列与指数函数的关系: 当q≠１时,an＝ a１ q 􀅰qn,可以看成函数y＝cqx,是 一个不为０的常数与指数函数的乘积,因此数列 {an}各项所对应的点都在函数y＝cqx 的图象上． ３．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B􀅰Cn⇔A＋B ＝０,公比q＝C(A,B,C均不为零) [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)满足an＋１＝qan(n∈N∗ ,q为常数)的数列{an}为 等比数列． (　　) (２)G 为a,b的等比中项⇔G２＝ab． (　　) (３)如果数列{an}为等比数列,则数列{lgan}是等差 数列． (　　) (４)若数列{an}的通项公式是an＝an,则其前n项和 为Sn＝ a(１－an) １－a ． (　　) (５)若数列{an}为等比数列,则S４,S８－S４,S１２－S８ 成等比数列． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)× ２．方程x２－５x＋４＝０的两根的等比中项是 (　　 ) A．５２ B．±２ C．± ５ D．２ 解析:B　[设方程的两根分别为x１,x２,由根与系 数的 关 系,得 x１x２ ＝４,∴ 两 根 的 等 比 中 项 为 ± x１x２＝±２．] ３．(２０２０􀅰春招,４)在等比数列{an}中,a１＝１,a２＝－２,则 a９ 等于 (　　) A．２５６ B．－２５６ C．５１２ D．－５１２ 解析:A　[∵{an}是等比数列,a１＝１,a２＝－２, ∴公比q＝ a２ a１ ＝－２,∴a９＝a１q８＝１×(－２)８＝２５６, 所以选 A．] ４．等比数列{an}的前n 项和为Sn,已知S３＝a２＋ １０a１,a５＝９,则a１＝ (　　 ) A．１３ B．－ １ ３ C． １ ９ D．－ １ ９ 解析:C　[由已知条件及S３＝a１＋a２＋a３,得a３＝ ９a１,设数列{an}的公比为q,则q２＝９,所以a５＝９＝ a１􀅰q４＝８１a１,得a１＝ １ ９． ] ５．数列{an}中a１＝２,an＋１＝２an,Sn 为{an}的前n项 和,若Sn＝１２６,则n＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第五章　数列