5.1 数列的概念与简单表示法-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

思 维 导 图 ５．１　数列的概念与简单表示法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P６３ [知识点一]　数列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 数列的一般形式可以写成a１,a２,a３,􀆺,an,􀆺,简 记为{an}． [知识点二]　通项公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．如果数列{an}的第n项与序号n 之间的关系可以 用一个式子来表示,那么这个公式叫作这个数列的 通项公式． ２．已 知 数 列 {an }的 前 n 项 和 Sn,则 an ＝ S１,n＝１, Sn－Sn－１,n≥２．{ [知识点三]　数列的分类 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．按项数分类,项数有限的数列叫作有穷数列,项数 无限的数列叫作无穷数列． ２．按项的大小变化分类,从第２项起,每一项都大于 它的前一项的数列叫作递增数列;从第２项起,每 一项都小于它的前一项的数列叫作递减数列;各项 相等的数列叫作常数列; 从第２项起,有些项大于它的前一项,有些项小于 它的前一项的数列叫作摆动数列． [知识点四]　递推公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如果数列{an}的第１项或前几项已知,并且数列 {an}的任一项an 与它的前一项an－１(或前几项)间 的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫 作这个数列的递推公式． 递推公式也是数列的一种表示方法． [知识点五]　数列的单调性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 判断一个数列的单调性,可以利用递增数列、递减 数列、常数列的定义进行,通常转化为判断一个数 列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定． １．若an＋１－an ＞０恒成立,则数列{an}是递增数列; ２．若an＋１－an ＜０恒成立,则数列{an}是递减数列; ３．若an＋１－an ＝０恒成立,则数列{an}是常数列． [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)． (１)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数 列． (　　) (２)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不 止一个． (　　) (３)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立 的点． (　　) (４)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N∗ ,都 有an＋１＝Sn＋１－Sn． (　　) (５)递推公式也是表示数列的一种方法． (　　) (６)所有数列都有递推公式． (　　) 答案:(１)×　(２)√　(３)√　(４)√　(５)√　 (６)× ２．下列叙述正确的是 (　　) A．所有数列可分为递增数列和递减数列两类 B．数列中的数由它的位置序号唯一确定 C．数列１,３,５,７可表示为{１,３,５,７} D．同一个数在数列中不可能重复出现 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰 解析:B　[按项的变化趋势,数列可分为递增数列、 递减数列、常数列、摆动数列等数列,A 错误;数列 １,３,５,７与由实数１,３,５,７组成的集合{１,３,５,７} 是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可 能重复出现,如２,２,２,􀆺表示由实数２构成的常数 列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置 序号唯一确定,B正确．] ３．数列{an}的通项公式为an＝ １ ２ (n－１)(n＋１),则a５ ＝ (　　 ) A．１０ B．１２ C．１４ D．１６ 解析:B　[由题意,通项公式为an＝ １ ２ (n－１)(n＋１), 则a５＝ １ ２× (５－１)×(５＋１)＝１２．故选B．] ４．已知数列的前几项是０、１４ 、２ ９ 、３ １６ 、􀆺,写出这个数 列的一个通项公式是　　　 　． 解析:该数列的前四项可表示为 a１＝ ０ １２ ,a２＝ １ ２２ ,a３＝ ２ ３２ ,a４＝ ３ ４２ , 因此,该数列的一个通项公式为an＝ n－１ n２ (n∈N∗)． 答案:an＝ n－１ n２ (n∈N∗ ) ５．若数列{an}的通项公式是an＝n２－１,则该数列的 第１０项a１０＝　　　　　,２２４是该数列的第　　 　　　项． 解析:a１０＝１０２－１＝９９．令an＝n２－１＝２２４,解得n ＝１５,即２２４是该数列的第１５项． 答案:９９　１５ ６．设数列{an}满足a１＝１,an＝１＋ １ an－１ (n∈N∗ ,n＞ １),则a３＝　　　　　． 解析:由已知,得a２＝１＋ １ a１ ＝２,a３＝１＋ １ a２ ＝３２． 答案:３ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P６４ 由数列的前几项求通项公式 [例１]　根据数列的前几项,写出下列各数列的一个 通项公式． (１)－１,７,－１３,１９,􀆺; (２)０．８,０．８８,０．８８８,􀆺; [解析]　(１)符号问题可通过(－１)n 或(－１)n＋１表 示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝 对值总比前面数的绝对值大６,故通项公式为an ＝(－１)n(６n－５)． (２)将数列变形为８９ (１－０．１),８９ (１－０．０１), ８ ９ (１－０．００１),􀆺,∴an＝ ８ ９ １－ １ １０n æ è ç ö ø ÷． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　解决由数列的前几项求通项公式此类问题,需 抓住下面的特征: (１)各项的符号特征,通过(－１)n 或(－１)n＋１来调节 正负项． (２)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之 间的关系． (３)相邻项(或其绝对值)的变化特征． (４)拆项、添项后的特征． (５)通过通分等方法变化后,观察是否有规律． １．根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项 公式． (１)２３ ,４ １５ ,６ ３５ ,８ ６３ ,１０ ９９ ,􀆺; (２)１２ ,１ ４ ,－５８ ,１３ １６ ,－２９３２ ,６１ ６４ ,􀆺． 解析:(１)这是一个分数数列,分母可分解为１×３, ３×５,５×７,７×９,９×１１,􀆺,每一项都是两个相邻 奇数的乘积,分子依次为２,４,６,􀆺,相邻的偶数． 故 所 求 数 列 的 一 个 通 项 公 式 为 an ＝ ２n(２n－１)(２n＋１)． (２)数列可以改为－－１２ ,１ ４ ,－５８ ,１３ １６ ,－２９３２ ,６１ ６４ , 􀆺,则分母为２n,分子为２n－３,所以数列的一个通 项公式为an＝(－１)n ２n－３ ２n ． 由an与Sn的关系求通项公式 [例２]　若数列{an}的前n项和Sn＝－２n２＋１０n,求 数列{an}的通项公式． [解析]　∵Sn＝－２n２＋１０n, ∴Sn－１＝－２(n－１)２＋１０(n－１),(n≥２) ∴当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝－２n２＋１０n＋２(n－ １)２－１０(n－１)＝－４n＋１２． 当n＝１时,a１＝－２＋１０＝８＝－４×１＋１２． 此时满足an＝－４n＋１２, ∴数列{an}的通项公式为an＝１２－４n． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　已知数列{an}的前n 项和Sn,求通项公式的 步骤: (１)当n＝１时,a１＝S１． (２)当n≥２ 时,根据Sn 写出Sn－１,化简an ＝Sn －Sn－１． (３)如果a１ 也满足当n≥２ 时,an ＝Sn －Sn－１ 的 式子, 那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－１; 如果a１ 不满足当n≥２ 时,an ＝Sn －Sn－１ 的 式子, 那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝ S１,n＝１, Sn－Sn－１,n≥２．{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 职教高考总复习　数学 ２．设数列{an}的前n项和Sn＝n２＋１,则a６ 的值为 (　　 ) A．８　　　B．９　　　C．１０　　　D．１１ 解析:D　[S６＝６２＋１＝３７,S５＝５２＋１＝２６,故a６＝ S６－S５＝３７－２６＝１１．故选 D．] 由递推关系求通项公式 [例３]　分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (１)a１＝０,an＋１＝an＋(２n－１)(n∈N∗ ); (２)a１＝１,an＋１＝２nan(n∈N∗ )． [解析]　(１)an＝a１＋(a２－a１)＋􀆺＋(an－an－１) ＝０＋１＋３＋􀆺＋(２n－５)＋(２n－３)＝(n－１)２, 所以数列的通项公式为an＝(n－１)２． (２)由 于 an＋１ an ＝２n,故 a２ a１ ＝２１, a３ a２ ＝２２,􀆺, an an－１ ＝２n－１, 将这n－１个等式叠乘, 得 an a１ ＝２１＋２＋􀆺＋(n－１)＝２ n(n－１) ２ ,故an＝２ n(n－１) ２ , 所以数列的通项公式为an＝２ n(n－１) ２ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 ３．在数列{an}中,若a１＝２,an＋１＝an＋２n－１,则an＝　 　　　． 解析:a１＝２,an＋１＝an＋２n－１⇒an＋１－an＝２n－１⇒an ＝(an－an－１)＋(an－１－an－２)＋􀆺＋(a３－a２)＋(a２ －a１)＋a１, 则an＝２n－２＋２n－３＋􀆺＋２＋１＋a１ ＝１－２ n－１ １－２ ＋２＝２ n－１＋１． 答案:２n－１＋１ 数列的函数特征 [例４]　已知数列{an}的通项公式为an＝ ３n＋k ２n ,若数列 {an}为递减数列,则实数k的取值范围为 (　　) A．(３,＋∞) B．(２,＋∞) C．(１,＋∞) D．(０,＋∞) [解析]　D　[因为an＋１－an＝ ３n＋３＋k ２n＋１ －３n＋k ２n ＝３－３n－k ２n＋１ ,由 数 列 {an}为 递 减 数 列 知,对 任 意 n∈N∗ ,an＋１－an＝ ３－３n－k ２n＋１ ＜０,所以k＞３－３n对任 意n∈N∗ 恒成立,所以k∈(０,＋∞)．故选 D．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)解决数列单调性问题的三种方法: ①用作差比较法,根据an＋１－an 的符号判断数 列{an}是递增数列、递减数列还是常数列; ②用作商比较法,根据 an＋１ an (an＞０或an＜０)与１ 的大小关系进行判断; ③结合相应函数的图象直观判断． (２)求数列最大项或最小项的方法: ①可以利用不等式组 an－１≤an, an≥an＋１{ (n≥２)找到数 列的最大项; ②利用不等式组 an－１≥an, an≤an＋１{ (n≥２)找到数列的 最小项． ４．等差数列{an}的公差d＜０,且a２１＝a２１１,则数列{an}的 前n项和Sn 取得最大值时的项数n的值为 (　　) A．５ B．６ C．５或６ D．６或７ 解析:C　[由a２１＝a２１１,可得(a１＋a１１)(a１－a１１)＝ ０,因为d＜０,所以a１－a１１≠０,所以a１＋a１１＝０,又 ２a６＝a１＋a１１,所以a６＝０． 因为d＜０,所以{an}是递减数列, 所以a１＞a２＞􀆺＞a５＞a６＝０＞a７＞a８＞􀆺,显然 前５项和或前６项和最大,故选C．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P６６ [基础题组练] １．下列各项表示数列的是 (　　) A．△,○,☆,□ B．２００８,２００９,２０１０,􀆺,２０２３ C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D．a＋b,a－b,ab,λa 答案:B ２．已知数列{an}满足an＝４an－１＋３,且a１＝０,则此数 列的第５项是 (　　) A．１５ B．２５５ C．１６ D．６３ 答案:B ３．已知数列{an},an－１＝man＋１(n＞１),且a２＝３, a３＝５,则实数m 等于 (　　) A．０ B．２５ C．２ D．５ 答案:B ４．若数列{an}的通项公式为an＝－２n２＋２５n,则数列 {an}的各项中最大项是 (　　) A．第４项 B．第５项 C．第６项 D．第７项 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第五章　数列 解析:C　[因为an＝－２n２＋２５n＝－２n－ ２５ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ６２５ ８ ,且n∈N∗ , 所以当n＝６时,an 的值最大,即最大项是第６项．] ５．已知an＝ n＋０．９９ n－０．９９ ,那么数列{an}是 (　　 ) A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 解析:A　[an ＝ n＋０．９９ n－０．９９＝ n－０．９９＋１．９８ n－０．９９ ＝１＋ １．９８ n－０．９９ ,因为函数y＝１＋ １．９８x－０．９９ 在(０．９９,＋∞) 上是减函数,所以数列{an}是递减数列．] ６．已知数列 ３,７,１１,１５,􀆺,则５ ３是该数列的 第　　　　项． 解析:观 察 可 得 数 列 的 一 个 通 项 公 式 是 an ＝ ４n－１,而５ ３＝ ７５＝ ４×１９－１,所以５ ３是该 数列的第１９项． 答案:１９ ７．已知数列{an}的通项公式为an＝log３(２n＋１),则 a３＝　　　　　． 解析:∵an＝log３(２n＋１),∴a３＝log３(２３＋１)＝ log３９＝２． 答案:２ ８．已知数列{an}中,a１＝１,n≥２时,an＝an－１＋２n－ １,依次计算a２,a３,a４ 后猜想an＝　　　． 解析:因为an＝an－１＋２n－１,a１＝１,所以a２＝a１＋ ２×２－１＝４,a３＝a２＋２×３－１＝９,a４＝a３＋２×４－ １＝１６,所以猜想an＝n２．故答案为n２． 答案:n２ ９．若数列{an}的前n项和为Sn,首项a１＞０,且２Sn＝ a２n＋an(n∈N∗ )．求数列{an}的通项公式． 解析:当n＝１时,２S１＝a２１＋a１,则a１＝１． 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝ a２n＋an ２ － a２n－１＋an－１ ２ , 即(an＋an－１)(an－an－１－１)＝０⇒an＝－an－１或an ＝an－１＋１, 所以an＝(－１)n－１或an＝n． [综合题组练] １．已知数列{an}中a１＝１,an＝n(an＋１－an)(n∈N∗ ), 则an＝ (　　 ) A．２n－１ B．n＋１n æ è ç ö ø ÷ n－１ C．n D．n２ 解析:C　[an＝n(an＋１－an),而 an＋１ an ＝n＋１n ,则an ＝ an an－１ × an－１ an－２ ×􀆺× a３ a２ × a２ a１ ＝ nn－１× n－１ n－２× 􀆺× ３ ２× ２ １＝n． 故选C．] ２．已知数列{an}的通项公式为an＝n２－２λn(n∈N∗), 则“λ＜１”是“数列{an}为递增数列”的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:A　[若数列{an}为递增数列,则有an＋１－an ＞０,即２n＋１＞２λ对任意的n∈N∗ 都成立,于是有 ３＞２λ,λ＜３２． 由λ＜１可推得λ＜３２ ,但反过来,由λ ＜３２ 不能得到λ＜１,因此“λ＜１”是“数列{an}为递 增数列”的充分不必要条件,故选 A．] ３．在数列{an}中,已知an＝(－１)n＋n＋a(a 为常 数),且a１＋a４＝３a２,则a１００＝　　　　． 解析:由题意,得a１＝a,a４＝５＋a,a２＝３＋a． 因为a１＋a４＝３a２,所以a＋５＋a＝３(３＋a), 解得a＝－４,所以an＝(－１)n＋n－４, 所以a１００＝(－１)１００＋１００－４＝９７． 答案:９７ ４．已知数列{an}中,a１＝１,前n项和Sn＝ n＋２ ３an． (１)求a２,a３; (２)求{an}的通项公式． 解:(１)由S２＝ ４ ３a２ ,得３(a１＋a２)＝４a２,解得a２＝ ３a１＝３． 由S３＝ ５ ３a３ ,得３(a１＋a２＋a３)＝５a３,解得a３＝ ３ ２ (a１＋a２)＝６． (２)当 n＞１ 时,有 an ＝Sn －Sn－１ ＝ n＋２ ３ an － n＋１ ３ an－１ , 整理得an＝ n＋１ n－１an－１． 又a１＝１, 所以a２＝ ３ １a１ , a３＝ ４ ２a２ , 􀆺 an－１＝ n n－２an－２ ,an＝ n＋１ n－１an－１ , 将以上n个等式两端分别相乘,整理得 an＝ n(n＋１) ２ ． 当n＝１时,满足上式． 综上,{an}的通项公式an＝ n(n＋１) ２ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７􀅰 职教高考总复习　数学