4.4 对数函数-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

４．４　对数函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P５９ [知识点一]　对数函数的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,把函数y＝logax(a＞０,且a≠１)叫作对数 函数,其中x是自变量,函数的定义域是(０,＋∞)． [知识点二]　对数函数的图象与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　对数函数y＝logax(a＞０,且a≠１)的图象和性 质如下表: 定义 y＝logax(a＞０,且a≠１) 底数 a＞１ ０＜a＜１ 图象 定义域 (０,＋∞) 值域 R 单调性 在(０,＋∞)上 是增函数 在(０,＋∞)上 是减函数 共点性 图象过定点(１,０),即x＝１时,y＝０ 函数值 特点 x∈(０,１)时, y∈(－∞,０); x∈[１,＋∞)时, y∈[０,＋∞) x∈(０,１)时, y∈(０,＋∞); x∈[１,＋∞)时, y∈(－∞,０] 对称性 函数y＝logax 与y＝log１ax 的图象关于x 轴对称 [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)对数函数的定义域为R． (　　) (２)y＝log２x２ 与logx３都不是对数函数． (　　) (３)对数函数的图象一定在y轴的右侧． (　　) (４)loga(MN)＝logaM＋logaN． (　　) (５)logax􀅰logay＝loga(x＋y)． (　　) (６)对数函数y＝logax(a＞０且a≠１)在(０,＋∞)上 是增函数． (　　) 答案:(１)×　(２)√　(３)√　(４)×　(５)×　 (６)× ２．下列函数是对数函数的是 (　　 ) A．y＝lnx B．y＝ln(x＋１) C．y＝logxe D．y＝logx 答案:A ３．函数f(x)＝log２(x－１)的定义域是 (　　 ) A．[１,＋∞) B．(１,＋∞) C．(－∞,１) D．(－∞,１] 答案:B ４．函数f(x)＝logax 在(０,＋∞)上是减函数,则a的 取值范围是 (　　 ) A．(０,＋∞) B．(－∞,１) C．(０,１) D．(１,＋∞) 解析:C　[由对数函数的单调知识易知０＜a＜１．] ５．(２０２０􀅰全国Ⅰ卷)设alog３４＝２,则４－a＝ (　　 ) A．１１６ B． １ ９ C． １ ８ D． １ ６ 解析:B　[因为alog３４＝２,所以log３４a＝２,则４a＝ ３２＝９,所以４－a＝１ ４a ＝１９． 故选B．] ６．函数y＝loga(x－１)＋２(a＞０,且a≠１)的图象恒 过的定点是　　　　． 解析:当x＝２时,函数y＝loga(x－１)＋２(a＞０,且 a≠１)的值为２,所以图象恒过定点(２,２)． 答案:(２,２) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P６０ 对数型函数的定义域 [例１]　求下列函数的定义域． (１)y＝log(１－x)５;(２)y＝ log０．５(４x－３)． [解析]　(１)要使函数式有意义,需 １－x＞０ １－x≠１{ ,解 得x＜１,且x≠０,所以函数y＝log(１－x)５的定义域 是{x|x＜１,且x≠０}． (２)要使函数式有意义,需 ４x－３＞０log０．５(４x－３)≥０{ ,解得 ３ ４＜x≤１ ,所以函数y＝ log０．５(４x－３)的定义域 是 x ３４＜x≤１}{ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前 面已学习过的求函数定义域的方法外,还要对这种 函数自身有如下要求:一是要特别注意真数大于零; 二是要注意对数的底数大于零且不等于１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　指数函数与对数函数 １．已知函数log０．５(２x－３)＞０,求x的取值范围． 解:由log０．５(２x－３)＞０得: ２x－３＞０ log０．５(２x－３)＞０＝log０．５１{ ⇒ ２x－３＞０ ２x－３＜１{ 即３ ２＜x＜２ ,所以log０．５(２x－３)＞０的x的取值范 围为 ３ ２ ,２æ è ç ö ø ÷． 对数函数的图象 [例２]　(１)对数函数y＝logax,y＝logbx,y＝logcx, y＝logdx 在同一坐标系内的图象如图所示,则a, b,c,d的大小关系是　　　　． (２)y＝loga ２x＋１ x－１＋２ 图象恒过定点坐标是　　 　　． [解析]　(１)在第一象限内顺时针旋转,底数逐渐 增大,故a＞b＞c＞d． (２)令２x＋１x－１＝１ ,得x＝－２,此时y＝２, ∴函数y＝loga ２x＋１ x－１＋２ 过定点(－２,２)． [答案]　(１)a＞b＞c＞d　(２)(－２,２) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．对数函数的底与图象变化的关系: 在第一象限内,底数越大,图象越靠近x轴． ２．对数型函数过定点问题: 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞０,且a≠１)的图象 过的定点时,只需令f(x)＝１求出x,即得定点为 (x,m)． ２．(１)当a＞１时,在同一坐标系中,函数y＝a－x与y ＝logax 的图象为 (　　 ) (２)函数y＝loga(x＋１)－２(a＞０,且a≠１)的图象 恒过点　　　　． 解析:(１)∵a＞１,∴０＜１a＜１ ,∴y＝a－x是减函数, y＝logax 是增函数,故选C． (２)因为函数y＝logax(a＞０,且a≠１)的图象恒过 点(１,０),则令x＋１＝１得x＝０,此时y＝loga(x＋ １)－２＝－２,所以函数y＝loga(x＋１)－２(a＞０,且 a≠１)的图象恒过点(０,－２)． 答案:(１)C　(２)(０,－２) 比较对数值的大小 [例３]　比较下列各组中两个值的大小． (１)log３１．９,log３２; (２)log２３,log０．３２; (３)logaπ,loga３．１４(a＞０,a≠１)． [解析]　(１)因为y＝log３x 在(０,＋∞)上是增函 数,所以log３１．９＜log３２． (２)因为log２３＞log２１＝０,log０．３２＜log０．３１＝０,所 以log２３＞log０．３２． (３)当a＞１时,函数y＝logax 在(０,＋∞)上是增 函数,则有logaπ＞loga３．１４; 当０＜a＜１时,函数y＝logax 在(０,＋∞)上是减 函数,则有logaπ＜loga３．１４． 综上所得,当a＞１时,logaπ＞loga３．１４;当０＜a＜１ 时,logaπ＜loga３．１４． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 比较对数值大小的常用方法 (１)同底数的利用对数函数的单调性; (２)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式 转化; (３)底数和真数都不同,找中间量． ３．下列不等式成立的是(其中a＞０且a≠１)(　　 ) A．loga５．１＜loga５．９ B．log１２２．１＞log１２２．２ C．log１．１(a＋１)＜log１．１a D．log３２．９＜log０．５２．２ 解析:B　[对于选项 A,因为a和１大小的关系不确 定,无法确定指数函数和对数函数的单调性,故 A不 成立;对于选项B,因为以１２ 为底的对数函数是减函 数,所以成立;对于选项C,因为以１．１为底的对数函 数是增函数,所以不成立;对于选项 D,log３２．９＞０, log０．５２．２＜０,故不成立,故选B．] 解对数不等式 [例４]　已知log０．３(３x)＜log０．３(x＋１),则x的取值 范围为 (　　 ) A．１２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ B．－∞,１２ æ è ç ö ø ÷ C．－１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ D．０,１２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 职教高考总复习　数学 [解析]　A　[因为函数y＝log０．３x 是(０,＋∞)上 的减函数,所以原不等式等价于 ３x＞０ x＋１＞０ ３x＞x＋１ ì î í ï ï ïï ,解得x ＞１２． ] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 两类对数不等式的解法 (１)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式． ①当０＜a＜１时,可转化为f(x)＞g(x)＞０;② 当a＞１时,可转化为０＜f(x)＜g(x)． (２)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为 logaf(x)＜b＝loga b． ①当０＜a＜１时,可转化为f(x)＞ab; ②当a＞１时,可转化为０＜f(x)＜ab． ４．已知logab＜loga(b－１),则a的取值范围是 (　　 ) A．a＞１ B．０＜a＜１ C．a＞b D．a＜１ 解析:B　[∵b＞b－１,logab＜loga(b－１),∴y＝logax 在(０,＋∞)上单调递减,∴０＜a＜１．故选B．] 对数型复合函数的单调性 [例５]　求函数y＝log０．３(３－２x)的单调区间． [解析]　由３－２x＞０,解得x＜３２ ,设t＝３－２x, x∈ －∞,３２ æ è ç ö ø ÷,∵函数y＝log０．３t是减函数,且函数t ＝３－２x 是 减 函 数,∴函 数y＝log０．３ (３－２x)在 －∞,３２ æ è ç ö ø ÷上是增函数,即函数y＝log０．３(３－２x) 的单调递增区间是 －∞,３２ æ è ç ö ø ÷,没有单调递减区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　求复合函数单调性的具体步骤 (１)求定义域; (２)拆分函数;(３)分别求y＝f(u),u＝φ(x)的单调 性;(４)按“同增异减”得出复合函数的单调性． ５．函数f(x)＝ln(x２－２x－８)的单调递增区间是 (　　 ) A．(－∞,－２) B．(－∞,１) C．(１,＋∞) D．(４,＋∞) 解析:D　[要使函数有意义,则:x２－２x－８＞０,解 得:x＜－２或x＞４,结合二次函数的单调性、对数 函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函 数的单调增区间为(４,＋∞),故选 D．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P６２ [基础题组练] １．(多选)下列函数为对数函数的是 (　　 ) A．y＝logax＋１(a＞０且a≠１) B．y＝loga(２x)(a＞０且a≠１) C．y＝log(a－１)x(a＞１且a≠２) D．y＝logax(a＞０且a≠１) 答案:CD ２．(２０２０􀅰春招,２)函数f(x)＝ １lgx 的定义域是 (　　) A．(０,＋∞) B．(０,１)∪(１,＋∞) C．[０,１)∪(１,＋∞) D．(１,＋∞) 答案:B ３．已知函数f(x)＝log３(x＋１),若f(a)＝１,则a等 于 (　　 ) A．０ B．１ C．２ D．３ 答案:C ４．函数y＝lg(x＋１)的图象大致是 (　　 ) 答案:C ５．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞,０]上是减 函数,且f(１)＝２,则不等式f(log２x)＞２的解集为 (　　 ) A．(２,＋∞) B．０,１２ æ è ç ö ø ÷∪(２,＋∞) C．０,２２ æ è ç ö ø ÷∪(２,＋∞) D．(２,＋∞) 解析:B　[因为偶函数f(x)在(－∞,０]上是减 函数, 所以f(x)在(０,＋∞)上是增函数． 又f(１)＝２,所以不等式f(log２x)＞２＝f(１), 即|log２x|＞１,解得０＜x＜ １ ２ 或x＞２．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　指数函数与对数函数 ６．已知函数y＝loga(x－３)－１的图象恒过定点P, 则点P 的坐标是　　　　． 解析:y＝logax 的图象恒过点(１,０), 令x－３＝１,得x＝４,则y＝－１． 答案:(４,－１) ７．函数f(x)＝ln(３＋２x－x２)的单调递增区间是 　　　,单调递减区间是　　 　． 解析:∵３＋２x－x２＞０,∴x２－２x－３＜０． ∴－１＜x＜３． 令u＝３＋２x－x２＝－(x２－２x－３)＝－(x－１)２ ＋４, ∴当x∈(－１,１)时,u是x 的增函数,y 是lnu的 增函数,故函数f(x)＝ln(３＋２x－x２)的单调递增 区间是(－１,１)．同理,函数f(x)＝ln(３＋２x－x２) 的单调递减区间是(１,３)． 答案:(－１,１)　(１,３) ８．设f(x)为奇函数,且x＞０时,f(x)＝ex＋lnx,则 f(－１)＝　　　　． 解析:由题可知,f(－１)＝－f(１)＝－e．故答案为 －e． 答案:－e ９．已知函数f(x)＝log２ １ ２x ＋aæ è ç ö ø ÷． (１)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值; (２)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值 范围; 解析:(１)若函数f(x)是R上的奇函数, 则f(０)＝０, ∴log２(１＋a)＝０,∴a＝０． 当a＝０时,f(x)＝－x 是 R 上的奇函数．所以a ＝０． (２)若函数f(x)的定义域是一切实数,则１２x ＋a＞０ 恒成立．即a＞－１ ２x 恒成立,由于－１ ２x ∈(－∞,０), 故只要a≥０,则a的取值范围是[０,＋∞)． [综合题组练] １．(２０２１􀅰春招,４)已知函数y＝logax(a＞０且a≠１) 的图象如图所示,则函数y＝(１－a)x２＋１的图象 大致是 (　　) 解析:B　[由y＝logax(a＞０且a≠１)的图象可知 a＞１,所以１－a＜０．所以y＝(１－a)x２＋１是开口 向下,顶点为(０,１)的抛物线,故选B．] ２．(多选)设函数f(x)＝ln(１＋x)－ln(１－x),则 f(x)是 (　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．在(０,１)上是增函数 D．在(０,１)上是减函数 解析:AC　[由题意可得,函数f(x)的定义域为 (－１,１),且f(x)＝ln１＋x１－x＝ln ２ １－x－１ æ è ç ö ø ÷,易知y ＝ ２１－x－１ 在(０,１)上为增函数,故f(x)在(０,１) 上为增函数,又f(－x)＝ln(１－x)－ln(１＋x)＝－ f(x),故f(x)为奇函数,选 AC．] ３．已知函数y＝loga(２x－３)＋２(a＞０且a≠１)的图象恒 过定点A,若点A 也在函数f(x)＝３x＋b的图象 上,则b＝　　　　． 解析:令２x－３＝１,得x＝２,∴定点为A(２,２),将定点 A的坐标代入函数f(x)中,得２＝３２＋b,解得b＝－７． 答案:－７ ４．已知f(x)是定义在 R上的偶函数,且当x≥０时, f(x)＝loga(x＋１)(a＞０,且a≠１)． (１)求函数f(x)的解析式; (２)若－１＜f(１)＜１,求实数a的取值范围． 解:(１)当x＜０时,－x＞０,由题意知f(－x)＝ loga(－x＋１),又f(x)是定义在R上的偶函数,所以 f(－x)＝f(x)． 所以当x＜０时,f(x)＝loga(－x＋１), 所 以 函 数 f (x) 的 解 析 式 为 f (x) ＝ loga(x＋１),x≥０, loga(－x＋１),x＜０．{ (２)因为－１＜f(１)＜１,所以－１＜loga２＜１, 所以loga １ a＜loga２＜loga ． ①当a＞１时,原不等式等价于 １ a＜２ a＞２ { ,解得a＞２; ②当０＜a＜１时,原不等式等价于 １ a＞２ a＜２ { , 解得０＜a＜１２． 综上可得,实数a的取值范围为 ０,１２ æ è ç ö ø ÷∪(２,＋∞)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 职教高考总复习　数学