4.3 对数及其运算-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

４．３　对数及其运算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P５６ [知识点一]　对数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．指数式与对数式的互化及有关概念: ２．底数a的范围是a＞０,且a≠１． [知识点二]　常用对数与自然对数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 常见的 对数 常用对数 lgN 以１０为底 自然对数 lnN 以e为底 [知识点三]　对数的基本性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．负数和零没有对数． ２．loga１＝０(a＞０,且a≠１)． ３．loga ＝１(a＞０,且a≠１)． ４．对数恒等式alogaN＝N(a＞０且a≠１,N ＞０)． [知识点四]　对数的运算性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．对数运算的三条性质:如果a＞０且a≠１,M＞０, N＞０,那么: (１)loga(MN)＝logaM＋logaN,即积的对数等于对数 的和． (２)loga M N ＝logaM －logaN ,即商的对数等于对数 的差． (３)logaMn＝nlogaM(n∈R),即指数幂的对数等于底 数的对数的指数倍． ２．对数的换底公式:logaN＝ logcN logcb (b＞０,且b≠１;c＞ ０,且c≠１;N＞０)． [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)logaN 是loga 与N 的乘积． (　　) (２)(－２)３＝－８可化为log(－２)(－８)＝３． (　　) (３)对数运算的实质是求幂指数． (　　) (４)在b＝log３ (m－１)中,实数 m 的取值范围是 (１,＋∞)． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)√　(４)√ ２．把指数式ab＝N 化为对数式是 (　　 ) A．logba＝N　　　　　B．logaN＝b C．logNb＝a D．logNa＝b 解析:B　[根据对数定义知ab＝N⇔logaN＝b．] ３．若log３ ２x－３ ３ ＝１ ,则x＝　　　　;若log３(２x－１)＝ ０,则x＝　　　　． 解析:若log３ ２x－３ ３ ＝１ ,则２x－３ ３ ＝３ ,即２x－３＝ ９,x＝６;若log３(２x－１)＝０,则２x－１＝１,即x＝１． 答案:６　１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P５６ 指数式与对数式的互化 [例１]　(１)根据对数定义,将下列指数式写成对 数式． ①３x＝１２７ ;② １４ æ è ç ö ø ÷ x ＝６４;③log１６ １ ２＝－ １ ４ ; ④ln１０＝x． (２)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值． ①log２x＝－ １ ２ ;②logx２５＝２;③log５x２＝２． (１)[解析]　①log３ １ ２７＝x ;②log１４６４＝x; ③１６－ １ ４ ＝１２ ;④ex＝１０． (２)[解析]　①由log２x＝－ １ ２ ,得２－ １ ２ ＝x,∴x ＝ ２２． ②由logx２５＝２,得x２＝２５．∵x＞０,且x≠１,∴x＝５． ③由log５x２＝２,得x２＝５２,∴x＝±５．∵５２＝２５ ＞０, (－５)２＝２５＞０,∴x＝５或x＝－５． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 指数式与对数式互化的思路 (１)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数 作为对数,底数不变,写出对数式． (２)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数 作为指数,底数不变,写出指数式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　指数函数与对数函数 １．将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式． (１)４３＝６４;(２)lna＝b;(３)１２ æ è ç ö ø ÷ m ＝n; (４)lg１０００＝３． 解析:(１)因为４３＝６４,所以log４６４＝３; (２)因为lna＝b,所以eb＝a; (３)因为 １２ æ è ç ö ø ÷ m ＝n,所以log１２n＝m; (４)因为lg１０００＝３,所以１０３＝１０００． ２．(１)求下列各式的值． ①log９８１＝　　　　．②log０．４１＝　　　　． ③lne２＝　　　　． (２)求下列各式中x的值． ①log６４x＝－ ２ ３ ;②logx８＝６;③lg１００＝x; ④－lne２＝x． (１)解析:①设log９８１＝x,所以９x＝８１＝９２,故x＝ ２,即log９８１＝２;②设log０．４１＝x,所以０．４x＝１＝０．４０, 故x＝０,即log０．４１＝０;③设lne２＝x,所以ex＝e２, 故x＝２,即lne２＝２． (２)(２)解析　①由log６４x＝－ ２ ３ 得x＝６４－ ２ ３ ＝ ４３×(－ ２ ３)＝４－２＝１１６ ; ②由logx８＝６,得x６＝８,又x＞０,即x＝８ １ ６ ＝２３× １ ６ ＝ ２; ③由lg１００＝x,得１０x＝１００＝１０２,即x＝２; ④由－lne２＝x,得lne２＝－x,所以e－x＝e２,所以 －x＝２,即x＝－２． 答案:(１)①２　②０　③２ 　　　利用指数式与对数式的互化求变量的值 [例２]　求值． (１)log２x＝－ ２ ３ ,则x＝　　　　． (２)若－lne３＝x,则x＝　　　　． (３)若xlog３４＝１,则４x＋４－x＝　　　　． (４)若f(x)＝３x,则f(log３２)＝　　　　． [解析]　(１)由log２x＝－ ２ ３ ,可得x＝２－ ２ ３ ． ∴x＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ３ ＝ ３ １ ４＝ ３ ２ ２． (２)由－lne３＝x,则lne３＝－x． ∴e－x＝e３,∴x＝－３． (３)由xlog３４＝１,∴log３４＝ １ x ,∴３ １ x ＝４,４x＝３, ∴４－x＝１３ , ４x＋４－x＝３＋１３＝ １０ ３． (４)设t＝log３２,则３t＝２,∴f(log３２)＝f(t)＝３t ＝２． [答案]　(１) ３ ２ ２　 (２)－３　(３)１０３　 (４)２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． ３．方程log２x＝ １ ２ 的解为 (　　 ) A．１２　　B． １ ４　　C． ２ ２　　D．２ 解析:D　[方程log２x＝ １ ２ ,化为:x＝２ １ ２ ＝ ２．故 选 D．] 对数基本性质的应用 [例３]　(１)求下列式子值． ①２log２３＋２log３１－３log７ ＋３ln１＝ 　． ②９ １ ２log３４＝　　　　; (２)求下列各式中的x的值． ①log２(log３x)＝０; ②log５(log２x)＝１; (１)[解析]　①原式＝３＋２×０－３×１＋３×０＝０． ②９ １ ２log３４＝ ９ １ ２( )log３４＝３log３４＝４． [答案]　(１)０　(２)４ (２)[解析]　①因为log２(log３x)＝０,所以log３x＝ １,所以x＝３． ②因为log５(log２x)＝１,所以log２x＝５,所以x＝２５ ＝３２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用对数性质求值的方法 (１)性质loga１＝０,loga ＝１　 (a＞０,且a≠１)． (２)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求 loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logb c)的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 职教高考总复习　数学 ４．求下列各式中的x的值． (１)log８[log７(log２x)]＝０; (２)log２[log３(log２x)]＝１． 解析:(１)由log８[log７(log２x)]＝０得log７(log２x) ＝１,所以log２x＝７,所以x＝２７＝１２８． (２)由log２[log３(log２x)]＝１得log３(log２x)＝２,所 以log２x＝３２,所以x＝２９＝５１２． ５．化简求值． (１)７１－log７５;(２)１００ １ ２lg９－lg２( ) ． 解析:(１)原式＝７×７－log７５＝ ７ ７log７５ ＝７５． (２)原式＝１００ １ ２lg９×１００－lg２＝１０lg９× １ １００lg２ ＝９× １ １０２lg２ ＝９× １ １０lg４ ＝９４． 对数运算性质的应用 [例４]　求下列各式的值． (１)log３４５－log３５; (２)lg２５＋２３lg８＋lg５×lg２０＋ (lg２)２． [解析]　(１)log３４５－log３５＝log３ ４５ ５ ＝log３９＝ log３ ２＝２． (２)原 式 ＝２lg５＋２lg２＋lg５(２lg２＋lg５)＋ (lg２)２＝２lg１０＋(lg５＋lg２)２ ＝２＋ (lg１０)２ ＝２＋１＝３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法: (１)基本原则: ①正用或逆用公式,对真数进行处理,②选哪种 策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便 于真数化简的原则进行． (２)两种常用的方法: ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的 对数． ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和 (差)． ６．计算(１)２log６３＋log６４; (２)lg２５－lg１４ æ è ç ö ø ÷÷１００－ １ ２ ． 解析:(１)原 式＝log６３２＋log６４＝log６(３２×４)＝ log６ ２＝２log６ ＝２． (２)原式＝lg ２５ １ ４ æ è ç ç ö ø ÷ ÷÷１０ ２× －１２( ) ＝lg１０２÷１０－１＝２ ×１０＝２０． 对数换底公式的应用 [例５]　计算:①log２９􀅰log３４; ② log５ ２×log７９ log５ １ ３×log７ ３ ４ ． [解析]　 ① 原 式 ＝lg９lg２ 􀅰lg４ lg３＝ lg３２􀅰lg２２ lg２􀅰lg３ ＝ ２lg３􀅰２lg２ lg２􀅰lg３ ＝４． ②原式＝ log５ ２ log５ １ ３ æ è ç ö ø ÷ 􀅰 log７９ log７ ３ ４ ＝log１３ ２􀅰log３４９＝ lg ２ lg１３ 􀅰lg９ lg ３ ４ ＝ １ ２lg２ 􀅰２lg３ －lg３􀅰２３lg２ ＝－３２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)化成同底的对数时,要注意换底公式的正用、逆 用以及变形应用． (２)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与 对数式统一成一种形式． ７．log２ １ ２５ 􀅰log３ １ ８ 􀅰log５ １ ９＝　　　　． 解析:原式＝ lg１２５ lg２ 􀅰 lg１８ lg３ 􀅰 lg１９ lg５＝ (－２lg５)􀅰(－３lg２)􀅰(－２lg３) lg２lg３lg５ ＝－１２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　指数函数与对数函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P５８ [基础题组练] １．对于下列说法: (１)零和负数没有对数; (２)任何一个指数式都可以化成对数式; (３)以１０为底的对数叫作自然对数; (４)以e为底的对数叫作常用对数． 其中错误说法的个数为 (　　 ) A．１ B．２ C．３ D．４ 答案:C ２．将 １３ æ è ç ö ø ÷ －２ ＝９写成对数式,正确的是 (　　 ) A．log９ １ ３＝－２ B．log １ ３ ９＝－２ C．log１３ (－２)＝９ D．log９(－２)＝ １ ３ 答案:B ３．若１０a＝lgb＝c,则a,b,c的大小关系为 (　　 ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c 解析:B　[令a＝１,则b＝１０１０,c＝１０,a＜c＜b,排 除 ACD．故选B．] ４．３log３４－２７ ２ ３ －lg０．０１＋lne３ 等于 (　　 ) A．１４ B．０ C．１ D．６ 答案:B ５．设２a＝５b＝m,且１a＋ １ b＝２ ,则m 等于 (　　 ) A．１０ B．１０ C．２０ D．１００ 解析:A　[由２a＝５b＝m,得a＝log２m,b＝log５m, 所以１ a＋ １ b＝logm２＋logm５＝logm１０＝２ ,所以 m ＝ １０．] ６．方程lg(２x－３)＝１的解为　　　　． 解析:由lg(２x－３)＝１知２x－３＝１０,解得x＝１３２． 答案:１３ ２ ７．在对数式y＝log(x－２)(４－x)中,实数x的取值范围 是　　　　． 解析:由题意可知 ４－x＞０ x－２＞０ x－２≠１ { ,解得 ２＜x＜４ 且x ≠３． 答案:(２,３)∪(３,４) ８．计算(lg２)２＋lg２×lg５０＋lg２５的结果为　　 　　． 解析:原 式＝lg２(lg２＋lg５０)＋lg５２＝lg２× lg１００＋２lg５＝２(lg２＋lg５)＝２lg１０＝２． 答案:２ ９．计算下列各式: (１)２lne＋lg１＋３log３２; (２)３log３４－lg１０＋２ln１． 解析:(１)原式＝２１＋０＋２＝２＋２＝４． (２)原式＝３log３４－１＋２０＝４－１＋１＝４． [综合题组练] １．计算log２９×log３４＋２log５１０＋log５０．２５等于 (　　 ) A．０ B．２ C．４ D．６ 解析:D　[log２９×log３４＋２log５１０＋log５０．２５＝ ２log２３× log２４ log２３ ＋log５(１０２×０．２５)＝４＋２＝６．] ２．(２０２４􀅰山东省实验中学模拟)已知正实数a,b,c 满足log２a＝log３b＝log６c,则 (　　 ) A．a＝bc B．b２＝ac C．c＝ab D．c２＝ab 解析:C　[设log２a＝log３b＝log６c＝k,则a＝２k, b＝３k,c＝６k,所以ab＝２k􀅰３k＝(２×３)k＝６k＝c．] ３．(２０２３􀅰春招,１０)不等式log２|x－１|＞１的解集是 (　　) A．(－１,＋∞) B．(－∞,－１) C．(－∞,－１)∪(３,＋∞) D．(－∞,３)∪(３,＋∞) 解析:C　[log２|x－１|＞log２ ,∵底数２＞１,∴|x －１|＞２,解得x＜－１或x＞３,故选C．] ４．已知函数 f(x)＝x３ ＋alog３x,若 f(２)＝６,则 f １２ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． 解析:由f(２)＝８＋alog３２＝６,解得a＝－ ２ log３２ , 所以 f １２ æ è ç ö ø ÷＝１８＋alog３ １ ２＝ １ ８－alog３２＝ １ ８＋ ２ log３２ × log３２＝ １７ ８． 答案:１７ ８ ５．计算下列各式的值: (１)３２ æ è ç ö ø ÷ －２ 􀅰 ２７ ８ æ è ç ö ø ÷ ２ ３ ＋ (１－ ３)２; (２)(lg２)２＋lg５(lg２＋１)＋４log４ ３􀅰log３２． 解:(１)原式＝ ２３ æ è ç ö ø ÷ ２ × ３２ æ è ç ö ø ÷ ３×２３ ＋ ３－１＝４９× ９ ４ ＋ ３－１＝ ３． (２)原式＝(lg２)２＋(１－lg２)(lg２＋１)＋４􀅰lg ３lg４ 􀅰lg２ lg３＝１＋４ 􀅰 １ ２lg３ ２lg２ 􀅰lg２ lg３＝２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６􀅰 职教高考总复习　数学