4.2 指数函数-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 #础盘点 梳理·必备知识 学生用书 P53 落实双基 [知识点] 指数函数及其图象和性质 2.函数y=(3一1)在R上是 ) 1.(1)一般地,函数y=a(a>0且a去1)称为指数函 A.增函数 B.奇函数 数,其中a是常数,a>0且a关1. C.偶函数 D.减函数 (2)指数函数y=a(a>0且a≠1)具有下列性质 答案:D ①定义域是(一,十o). ②值域是(0,十),即对任何实数x,都有a>0, 3.设f(x)=a,且f(1)-2,则f(0)十f(2) 也就是说函数图象一定在;轴的上方. ③函数图象一定过点(0,1). A.4 B.5 C.6 D.7 ④当a>1时,y-a是在R上是增函数;当0<a 解析:B[由题意,函数f(x)一a,因为f(1)=2. <1时,y一a是在R是减函数. 可得f(1)-a-2,解得a-2,即f(x)-2,所以 指数函数的图象 f(0)+/(2)-2”+2-5.故选B.] y y=□(a>1) 4.函数y=(a-2)a是指数函数,则 A.a-1或a-3 (0,1) B.a-1 =1.....-- C.a-3 D.a>0且a≠1 , 答案:C 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的 5.(2020·春招,13)已知函数y一f(x)是偶函数,当 “升”与“降”,当a>1时,指数函数的图象是“上 升”的;当0<a<1时,指数函数的图象是“下 xE(0,十xo)时,y=a(0<a 1),则该函数在 降”的. (一。o,0)上的图象大致是 ##7 ##-# 2.指数函数解析式的3个特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数 (2)自变量x的位置在指数上,且x的系数是1. (3)a的系数是1. [基础自测] 解析:B [由指数函数可知y=a(0 a 1)在(0 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) (1)函数y-3·2与y-2都不是指数函数 (2)函数v三a是R上的增函数 (3)函数y-a1(a>1)的值域是(0,十oo). _ ) (4)函数v-2是指数函数 1 _~ (5)若a”<a”(a>0,且a-1),则n n. ( _ (6)y一xr*是指数函数 6.函数f(x)-2十3的值域为 答案:(1)(2)× (3)×(4)X (5)× (6)X 答案:(3,十o) .57· 职教高考总复习 数学 学生用书 P53 提升·学科素养 《 通法悟道 点一比较指数寡的天小 夸点二求解含有指数寡的函数定义域或不等式 [例1] 比较下列各题中的两个值的大小 一64的定义域. (1)0.8%,1.25*; (2)#(),1; [解析]根据题意得_。(1)-64二0, (3)0.2,(-3)02. [解析](1)因为0.8-1-()*-()*. 1.250.- 0) 所以函数y二 又指数函数y一() 为增函数,且0.1~0.2. 为(-# ##以(#)#{#(#)#} ,即0.8-1<1.25”}. 通性通法 (2)#()-#n#-1- 函数的定义域一般从以下几个方面考虑 (3)0.2>0.2-1.(-3)**-(-3)--3<o. (1)分式的分母不为零; 所以0.2(-3)*. (2)偶次根号a(nEN,n2,n为偶数)中,a0 (3)零的零次方没有意义 通性通法 跟踪训练 比较指数寡大小的常用方法 一是单调性法,不同底的指数函数化同底后就 2.已知函数f(x)-2. 可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化 (1)求函数f(x)的定义域; 同底的尽可能化同底。 (2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明; 二是取中间值法,不同底、不同指数的指数函数 (3)解不等式f(x)二4. 比较大小时,先与中间值(特别是0,1)比较大小,然 解析:(1)易知函数f(x)-2*}-,cR 后得出大小关系. 所以定义域为R 三是图解法,根据指数函数的特征,在同一平面 (2)由/(-c)-2-}-1-2*1-/(c),从而知 直角坐标系中作出它们的函数图象,借助图象比较 过大小. f(x)为偶函数; (3)由条件得2-→4-2^,得x-1→2,解得x 言跟踪训练 ③或x<一3. 1.比较下列各题中两个值的大小: (1)1.72与1.7 所以不等式的解集为:xx3或x<一③. (2)0.8-与0.8- 考点三 指数函数的值域及最值问题 (3)1.70与0.91. [例3] 求下列函数的定义域、值域 解析:(1)(单调性法)由于1.7与1.7的底数是 (1y-3 1+3(2)y-4r-2+1. 1.7.故构造函数y-1.7,而函数y-1.7在R上 是增函数.又2.5 3...1.7 1.7. [解析](1):对一切xR,3子一1; (2)(单调性法)由于0.8*与0.8的底数是0.8, .函数的定义域为R;·.1+3-1-1-- 1十3{ 1+3; 故构造函数y-0.8,而函数y=0.8在R上是减 函数。 又:3>0.1+3>1; 又-2-3,所以0.8<0.8. 1十3 1十3 (3)(中间量法)由指数函数的性质,知0.9! 0.9 -1,1.711.7*-1,则1.70.9. 1十3 .58. 第四章 指数函数与对数函数 (2)函数的定义域为R; 通性通法 y#(2)*-2”+1- (2--){}3; 求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y=a (a>0,且a去1)的函数求值域时 要借助换元法:令a三f(x),先求出a三f(x)的 同时y可以取一切大于的实数; 值域,再利用y一a的单调性求出y一a的 .值域为[,).# 值域。 (2)形如三a{(a>0,且a去1)的函数单调性的判 通性通法 断,首先确定定义域D.,再当a>1时,若f(x)在 要熟悉指数函数的图象和性质,对一些简单的 区间(m,n)上,其中(m,n)CD 复合函数可以用换元法,但要注意换元后的范围. 具有单调性,则函数y一a{在区间(n,”)上的 跟踪训练 单调性与f(x)在区间(n,n)上的单调性相同 3.函数(2)-() 在区间[一2,-1]上的最小值 当0a 1时,若f(x)在区间(n,”)上,其中 为 (n,n)CD具有单调性,则函数y一a在区间 解析:'/(x)在一2,-1]上单调递减, (m,n)上的单调性与f(x)在区间(m,n)上的单 (2)_ )(一1)0() 一 调性相反,以上概括为同增异减. 故答案为:2. 跟踪训练 答案:2 (1)(<-1)# 4.函数/(x)一 考点四 指数型复合函数的相关问题-- 的值域是 (2(-1) [例4若4十1对一切实数x都成立,则实数 的取值范围是 [解析] 4十1对一切实数x都成立, 解析:当x<-1时,/(.x)- #(#)#)#_ 即b<(4十1)min 当x二-1时,f(x)-2. 因为4>0,所以4+1>1,所以1. 故答案为:(-oo,1]. '.f(x)的值域为[2,十). [答案](一0,1] 答案:[2,十oo) ##层词 突破·高效演练 学生用书 P55 高效提能 [基础题组练] 解析:C[.y-2在R上单调递增,.'.y=2 在 1.函数-2一1的定义域是 [2,a]上单调递增,'当x-2时,y-2取得最小 A.(-oo,0) B.(-c.0] 值为4:当x-a时,y-2取得最大值为2..,2- C.[o,十) D.(0.十o) 4-4,解得:a-3.故选C. 解析:C[由2-1二0,得22,所以x0.] 4.若21,则x的取值范围是 ( 2.下列判断正确的是 A.(-1,1) B.(-1,+o) A.2.5>2.5 B.0.8<0.8{ C.(0.1)U(1,+) D.(-o,-1) C.}_, D.0.900.9. 解析:D[2<1-2^},且y-2是增函数, 解析;D[因为y-0.9是减函数,且0.50.3, 所以0.9”>0.9{.] '.x十1<0,.x-1.] 3.若函数三2在区间[2,a]上的最大值比最小值大 5.雨数y-()## ( 的单调增区间为 ) 4,则a- ( ) A.R A.1 B.2 B.(0,十o) C.3 D.4 C.(1,+) D.(0,1) .59· 职教高考总复习 ] 数学 解析:A [令u(x)-1一x,则u(x)在R上是减函 解析:C [设(-2+2x-1.则y-(2).因为 ,()“## 是减函数, #]<1,所以y一()# 为关于:的减函数,因为 故y-()在R上单调逃增,故选A.] =(π+1)-2-2,所以0<()(<() 6.已知函数f(x)一4+2a 的图象恒过定点P,则 ) ( 点P的坐标是 一4,故所求函数的值域为(0,4].] A.(1,6) B.(1,5) 2.已知a,b(0,1)U(1,+oo),当x>0时,1<< a,则 ( C.(0,5) D.(5,0) ) A.0<b<a<1 解析:A [由x-1=0得x=1,f(1)-4+2a*=6. B.0<a<<1 C.1<a 所以函数 D.1<ab f(x)-4十2a的图象恒过定点(1,6).] 解析:C[因为x>0时,1<b,所以b1.因为 7.若-1<<0,a-2,b-2,c=0.2,则a,b,$c的 0时,6<,所以x→时,()>1.所以> 大小关系是 1.所以a>b.所以1<b<a.故选C.] 解析:因为一1 x0,所以由指数函数的图象和性 质可得;2 1,2>1,0.21,又因为0.5 0. 2,所以b<ac. (2-4>0. 答案:b<<c 解析:由 解得>2. 3-9去0. 8.已知a-v5-1 所以函数f(x)的定义域为(2,十). f(m)>f(n),则n,n的大小关系为 答案:(2,十) 2 减函数,又f(m)>f(n)..'mn 过点(-1,2). 答案:n<n (1)求a的值; 9.已知指数函数f(x)三a()0月a右1) (2)若g(x)=4-2,且g(x)=f(x),求满足条件 过点(2,4). 的;的值. (1)求/(x)的解析式; 解:(1)由已知得()一2.解得a-一1. (2)若f(2m-1)一f(m十3)<0,求实数m的取值 范围. (2)由(1)知(x)一(), 解:(1)将点(2,4)代入f(x)-a,得4-a{},a-2, 又g(x)=f(c),则4-2-(1). 故f(x)-2; (2)2>1,..f(x)是增函数,f(2m-1)-f(m十 所以()-()-0# 3) 0,即f(2m-1) f(m+3),2m-1<m+3,m 令#(1)=1,则10,f-一-2=0. 4:所以n的取值范围,m4 [综合题组练] 即(-2)(z+1)-0. 1._(1)8 ( ) 的值域是 又>0.故1-2.即(1)-2.解得--1. A.(-o,4) B.(0,十oo) 故满足条件的:的值为一1. C.(0,4] D.[4,+) .60·