4.1 实数指数-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

思 维 导 图 ４．１　实数指数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P５０ [知识点一]　n次方根、n次根式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．a的n 次方根的定义:一般地,如果xn＝a,那么x 叫作a 的n 次方根,其中n＞１,且n∈N∗ ． ２．a的n次方根的表示: n的奇偶性 a的n 次方根 的表示符号 a的取值范围 n为奇数 na a∈R n为偶数 ± n a [０,＋∞) ３．根式:式子 n a叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作 被开方数． [知识点二]　根式的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １． n ０＝０(n∈N∗ ,且n＞１); ２．( n a)n＝a(n∈N∗ ,且n＞１); ３． n an＝a(n为大于１的奇数); ４． n an＝|a|＝ a,a≥０, －a,a＜０,{ (n为大于１的偶数)． [知识点三]　分数指数幂 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．规定正数的正分数指数幂的意义是:a m n ＝ n am(a＞ ０,m,n∈N∗ ,且n＞１); ２．规定正数的负分数指数幂的意义是:a－ m n ＝１ a m n (a＞ ０,m,n∈N∗ ,且n＞１); ３．０的正分数指数幂等于０,０的负分数指数幂没有 意义． [知识点四]　有理数指数幂的运算性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数 幂,即: １．aras＝ar＋s(a＞０,r,s∈Q); ２．(ar)s＝ars(a＞０,r,s∈Q); ３．(ab)r＝arbr(a＞０,b＞０,r∈Q)． [知识点五]　无理数指数幂 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,无理数指数幂aα(a ＞０,α是无理数)是一个确 定的实数．有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数 指数幂． 常用的几个幂函数的图象, 如下 [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)任意实数的奇次方根只有一个． (　　) (２)当n∈N∗ 时,( n －１６)n 都有意义． (　　) (３)(３－π)２＝π－３． (　　) (４)只要根式有意义,都能化成分数指数幂的形式． (　　) (５)分数指数幂a m n 可以理解为m n 个a 相乘． (　　) (６)０的任何指数幂都等于０． (　　) (７)函数y＝２x １ ３ 是幂函数． (　　) (８)当n＞０时,幂函数y＝xn 在(０,＋∞)上是增 函数． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５􀅰 (９)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是 原点． (　　) 答案:(１)√　(２)×　(３)√　(４)√　(５)×　 (６)×　(７)×　(８)√　(９)√ ２．若x４＝３,这样的x有几个,如何表示? 解:有２个,表示为± ４ ３ ３． ４ １６的运算结果是 (　　 ) A．２ B．－２ C±２ D．± ２ 解析:A　[ ４ １６＝ ４ ２４＝２．] ４．m是实数,则下列式子中可能没有意义的是 (　　 ) A ４ m２　　B． ５ m　　C ６ m　　D． ５ －m 解析:C　[当m＜０时, ６ m没有意义,其余各式均 有意义．] ５．计算:π０＋２－２× ２１４ æ è ç ö ø ÷ １ ２ ＝　　　　． 答案:１１ ８ ６．若x３＝－５,则x＝　　　　． 解析:x３＝－５,则x＝ ３ －５＝－ ３ ５． 答案:－ ３ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P５１ n次方根的概念问题 [例１]　(１)２７的立方根是　　　　;１６的４次方根 是　　　　． (２)已知x６＝２０１６,则x＝　　　　． (３)若 ４ x＋３有 意 义,求 实 数 x 的 取 值 范 围 为　　　　． [解析]　(１)２７的立方根是３;１６的４次方根是±２． (２)因为x６＝２０１６,所以x＝± ６ ２０１６． (３)要使 ４ x＋３有意义,则需要x＋３≥０,即x≥－３．所 以实数x的取值范围是[－３,＋∞)． [答案]　(１)３　±２　(２)± ６ ２０１６ (３)[－３,＋∞) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 n次方根的个数及符号的确定 (１)n的奇偶性决定了n 次方根的个数; (２)n为奇数时,a的正负决定着n 次方根的符号． １．已知a∈R,n∈N∗ ,给出下列４个式子: ① ６(－３)２n;② ５ a２;③ ６(－５)２n＋１;④ ９ －a２,其中 无意义的有 (　　 ) A．１个 B．２个 C３个 D．０个 解析:A　[①中(－３)２n＞０,所以 ６(－３)２n有意义, ②中根指数为５有意义,③中(－５)２n＋１＜０,因此无 意义,④中根指数为９,有意义．选 A．] 根式与分数指数幂的互化 [例２]　用分数指数幂的形式表或下列各式a２􀅰 ３ a２(a＞０);a ３ a(a＞０)． [解析]　a２􀅰 ３ a２＝a２􀅰a ２ ３ ＝a２＋ ２ ３ ＝a ８ ３ a ３ a＝ a􀅰a １ ３ ＝ a ４ ３ ＝(a ４ ３ ) １ ２ ＝a ２ ３ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)根指数化为分数指数的分母,被开方数(式)的指 数化为分数指数的分子． (２)当根式为多重根式时,要清楚哪个是被开方数,一 般由里向外用分数指数幂依次写出． ２．下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　　 ) A．－ x＝(－x) １ ２ 　(x＞０) B． ６ y２＝y １ ３ (y＜０) C．x－ ３ ４ ＝ ４ １ x æ è ç ö ø ÷ ３ (x＞０) D．x－ １ ３ ＝－ ３ x(x≠０) 解析:C　[－ x＝－x １ ２ (x＞０); ６ y２＝[(y)２] １ ６ ＝ －y １ ３ (y＜０); x－ ３ ４ ＝(x－３) １ ４ ＝ ４ １ x æ è ç ö ø ÷ ３ (x＞０);x－ １ ３ ＝ １x æ è ç ö ø ÷ １ ３ ＝ ３ １ x (x≠０)．] 　　　利用分数指数幂的运算性质化简求值 [例３]　(１)求值:０．０６４－ １ ３ － －７８ æ è ç ö ø ÷ ０ ＋ [(－２)３]－ ４ ３ ＋１６－０．７５＋[(－０．１)２] １ ２ ． (２)化简: ３ a ７ ２ a－３÷ ３ a－８􀅰 ３ a１５÷ ３ a－３􀅰 a－１ (a＞０)． (１)[解析]　 原 式 ＝(０．４３)－ １ ３ －１＋(－２)－４ ＋ (２４)－ ３ ４ ＋(０．１２) １ ２ ＝０．４－１ －１＋ １１６＋ １ ８ ＋０．１ ＝１４３８０． (２)解 析:原 式 ＝ ３ a ７ ２ 􀅰a－ ３ ２ ÷ a－ ８ ３ 􀅰a １５ ３ ÷ ３ a－ ３ ２ 􀅰a－ １ ２ ＝ ３ a２÷ a ７ ３ ÷ ３ a－２＝a ２ ３ ÷ a ７ ３( ) １ ２ ÷ a－ ２ ３ ＝a ７ ３ ÷a ７ ６ ÷a－ ２ ３ ＝a ２ ３－ ７ ６＋ ２ ３ ＝a １ ６ ＝ ６ a． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　进行指数幂运算时,有根式的,先将根式化成分 数指数幂的形式,可将系数、同类字母归在一起,分 别计算;化负指数为正指数,化小数为分数进行运 算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为 简的目的． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　指数函数与对数函数 ３．若x≠０,则|x|－ x２＋ x ２ |x| 的值为 (　　 ) A．－１　　B．０　　C．１　　D．２ 解析:C　[因为x≠０,所以|x|－ x２＋ x ２ |x|＝ |x|－|x|＋|x||x|＝１． 故选C．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P５２ [基础题组练] １．下列说法正确的个数是 (　　 ) ①１６的４次方根是２;② ４ １６的运算结果是±２; ③当n为大于１的奇数时, n a对任意a∈R都有意义; ④当n为大于１的偶数时, n a只有当a≥０时才有 意义． A．１ B．２ C．３ D．４ 答案:B ２．已知m１０＝２,则m 等于(　　) A． １０ ２ B．－ １０ ２ C ２１０ D．± １０ ２ 答案:D ３．把根式a a化成分数指数幂是 (　　 ) A．(－a) ３ ２ B．－(－a) ３ ２ C－a ３ ２ D．a ３ ２ 答案:D ４．计算 ９４ æ è ç ö ø ÷ １ ２ ＝ (　　) A．８１１６ B． ３ ２ C． ９ ８ D． ２ ３ 答案:B ５．若x＜y,则 x２－２xy＋y２的值为 (　　) A．x－y B．y－x C．|y|－|x| D．±(x－y) 答案:B ６．(π－４)２＋ ３(π－３)３＝　　　　． 解析:(π－４)２＋ ３(π－３)３＝４－π＋π－３＝１． 答案:１ ７．设x＜０,则(－x)２＝　　　　． 解析:∵x＜０,∴－x＞０,∴((－x))２＝－x． 答案:－x ８．计算 ４ １６３＝　　　　． 答案:８ ９．计算:化简a２􀅰 ３ a５􀅰 １a æ è ç ö ø ÷ ５ ２ 􀅰a ５ ６ 的结果是　　　． 答案:a２ １０．(１)若x＜０,则x＋|x|＋ x ２ x ＝　　　　． (２)若－３＜x＜３,求 x２－２x＋１－ x２＋６x＋９ 的值． 解析:(１)∵x＜０,∴原式＝x－x＋－xx ＝－１ , (２) x２－２x＋１－ x２＋６x＋９＝ (x－１)２ － (x＋３)２＝|x－１|－|x＋３|,当－３＜x≤１时, 原式＝１－x－(x＋３)＝－２x－２．当１＜x＜３时, 原式＝x－１－(x＋３)＝－４． 因此,原式＝ －２x－２,－３＜x≤１, －４,１＜x＜３．{ 答案:－１ [综合题组练] １．下列各式正确的是 (　　) A． ４ a４＝a B． ６(－２)２＝ ３ －２ C．a０＝１ D． １０ (２－１)５＝ ２－１ 答案:D ２．已知a＞０,则 a １ ３ a １ ２ a化为 (　　) A．a ７ １２ B．a ５ １２ C．a ５ ６ D．a １ ３ 答案:B ３．已知 (４a＋１)２＝－４a－１,则实数a的取值范围是 　　　　． 解析:∵ (４a＋１)２＝|４a＋１|＝－４a－１,∴４a＋１ ≤０,∴a≤－１４． 答案:－∞,－１４ æ è ç ] ４． ３ ６ a９( ) ４ ＝　　　　． 答案:a２ ５．计算下列各式: (１) １８ æ è ç ö ø ÷ －１３ × －７６ æ è ç ö ø ÷ ０ ＋８０．２５× ４ ２＋( ３ ２× ３)６; (２) ５x －２３y １ ２ －１４x －１y １ ２æ è ç ö ø ÷ －５６x １ ３y－ １ ６æ è ç ö ø ÷ ; 解析:(１)原式＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ３× －１３( ) ×１＋ ２３( ) １ ４ ×２ １ ４ ＋ ２ １ ３( )６× ３ １ ２( )６＝２＋２ ３ ４＋ １ ４ ＋２２×３３＝１１２． (２) ５x －２３y １ ２ －１４x －１y １ ２æ è ç ö ø ÷ －５６x １ ３y－ １ ６æ è ç ö ø ÷ ＝５× (－４)× －６５ æ è ç ö ø ÷ ×x － ２ ３( ) －(－１)－ １ ３ ×y １ ２－ １ ２－ － １ ６( ) ＝２４x０y １ ６ ＝２４y １ ６ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 职教高考总复习　数学