3.6 函数的应用-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

３．６　函数的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P４６ [知识点一]　常见的函数模型 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 名称 解析式 条件 一次函 数模型 y＝kx＋b k≠０ 反比例 函数模型 y＝ k x＋b k≠０ 二次函 数模型 一般式:y＝ax２＋bx＋c顶点式: y＝ax＋b２a æ è ç ö ø ÷ ２ ＋４ac－b ２ ４a a≠０ 幂函数 模型 y＝ax n＋b a≠０, n≠１ 分段函 数模型 这个模型实则是以上两 种或多种模型的综合, 应用也十分广泛 [知识点二]　函数模型解决实际问题的基本思路 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)在一次函数模型中,系数k的取值会影响函数的 性质． (　　) (２)在幂函数模型的解析式中,a的正负会影响函数 的单调性． (　　) 答案:(１)√　(２)√ ２．某自行车存车处在某一天总共存放车辆４０００辆 次,存车费:电动自行车０．３元/辆,普通自行车０．２ 元/辆．若该天普通自行车存车x辆次,存车费总收 入为y元,则y与x 的函数关系式 (　　) A．y＝０．２x(０≤x≤４０００) B．y＝０．５x(０≤x≤４０００) C．y＝－０．１x＋１２００(０≤x≤４０００) D．y＝０．１x＋１２００(０≤x≤４０００) 答案:C ３．已知某停车场规定:停车时间在３小时内,车主需 交费５元,若停车超过３小时,每多停１小时,车主 要多交３元,不足１小时按１小时计算．一辆汽车在该 停车场停了７小时２０分钟,在离开时车主应交的停车 费为 (　　) A．１６元 B．１８元 C．２０元 D．２２元 解析:C　[由已知得７小时２０分钟按８小时计算, 所以停车费为５＋(８－３)×３＝２０元．故选C．] ４．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套) 之间的函数关系式y＝６x＋３００００,而出厂价格为 每套１２元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒 (　　) A．２０００套 B．３０００套 C．４０００套 D．５０００套 解析:D　[因利润z＝１２x－(６x＋３００００),所以z＝６x －３００００, 由z≥０解得x≥５０００,故至少日生产文具盒 ５０００套．故选 D．] ５．某物体一天内的温度 T 是时间t 的函数关系式 T(t)＝t３－３t＋６０,时间单位是h,温度单位为℃, t＝０时表示中午１２∶００,则上午８∶００时的温度 为　　　　℃． 答案:８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P４６ 一次函数、二次函数模型 [例１]　商场销售进价为３０元的商品,在销售中发现 商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下 关系: 销售单 价x(元) ３０ ４０ ４５ ５０ 日销售 量y(件) ６０ ３０ １５ ０ (１)在坐标系中,根据表中提供的数据描出实数 (x,y)对应的点,并确定x与y 的一个函数关系式 y＝f(x); (２)设经营此商品的日销售利润为P 元,根据上述 关系式写出P 关于x 的函数关系式,并指出销售 单价x为多少时,才能获得最大日销售利润． [解析]　(１)在平面直角坐标系中画出各点,如图． 这些点近似地分布在一条直线上,猜想y与x 之间 的关系为一次函数关系, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰 职教高考总复习　数学 设f (x)＝kx＋b(k≠０,且 k,b 为 常 数 ), 则 ６０＝３０k＋b ３０＝４０k＋b{ , 解得 k＝－３ b＝１５０{ , ∴f(x)＝－３x＋１５０,经检验,点(４５,１５),点(５０, ０)也在此直线上．∴y与x 之间的函数解析式为y ＝－３x＋１５０(３０≤x≤５０)． (２)由题意,得P＝(x－３０)(－３x＋１５０)＝－３x２＋ ２４０x－４５００＝－３(x－４０)２＋３００(３０≤x≤５０)． ∴当x＝４０时,P 有最大值３００．故销售单价为４０ 元时,日销售利润最大． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位． 利用二次函数求最值时应注意: (１)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可 利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等 方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、 用料最省等最值问题． (２)判断:取得最值时的自变量与实际意义是否相符． １．用一根长为l的铁丝制作一个如 图所示的框架,上半部分为半圆 形,下半部分为矩形,若AB＝２x, 此框架的面积为y,求y与x 之间 的函数关系式,并求出其定义域． 解:由题意得２x＋２|AD|＋πx＝l,解得|AD|＝l２ － π２x－x ,所 以 此 框 架 的 面 积 y＝ １２πx ２ ＋ l ２－ π ２x－x æ è ç ö ø ÷􀅰２x＝－ ２＋π２ æ è ç ö ø ÷x２＋lx．因为l２－ π ２x－x＞０ ,x＞０,所以０＜x＜ l２＋π． 所以y 与x 之间的函数关系式为y＝－ ２＋π２ æ è ç ö ø ÷x２＋lx,定义 域为 ０,l２＋π æ è ç ö ø ÷． 分段函数模型 [例２]　 某种商品在近 ３０ 天内每件的销售价格 P(元)和时间t(天)的函数关系为 P＝ t＋２０,０＜t＜２５ －t＋１００,２５≤t≤３０{ ．(t∈N ∗ ) 设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关 系为Q＝４０－t(０＜t≤３０,t∈N∗ ),求这种商品的 日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大是第 几天? [解析]　设日销售金额为y(元),则y＝PQ,所以 y＝ －t２＋２０t＋８００,０＜t＜２５ t２－１４０t＋４０００,２５≤t≤３０{ ．(t∈N ∗ ) ①当０＜t＜２５且t∈N∗ 时,y＝－(t－１０)２＋９００, 所以当t＝１０时,ymax＝９００． ②当２５≤t≤３０且t∈N∗ 时,y＝(t－７０)２－９００,所 以当t＝２５ 时,ymax＝１１２５．结 合 ①② 得ymax＝ １１２５． 因此,这种商品日销售额的最大值为１１２５元,且在 第２５天时日销售金额达到最大． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　分段函数的注意点:建立分段函数模型的关键 是确定分段的各边界点,即明确自变量的取值区间, 对每一区间进行分类讨论,从而写出函数的解析式． ２．某车间生产一种仪器的固定成本为１００００元,每 生产一台该仪器需要增加投入１００元,已知总收入 满足函数关系式 H(x)＝ ４００x－x２,０≤x≤２００,x∈N, ４００００,x＞２００,x∈N,{ 其中x是仪器的月产量． (１)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示); (２)当月产量为何值时,车间所获利润最大? 最大利润 为多少元? (总收入＝总成本＋利润) 解析:(１)设 每 月 产 量 为 x 台,则 总 成 本 为 t＝１００００＋１００x．又f(x)＝H(x)－t, ∴f(x)＝ －x２＋３００x－１００００,０≤x≤２００,x∈N ３００００－１００x,x＞２００,x∈N{ ． (２)当 ０≤x≤２００ 时,f(x)＝ － (x－１５０)２ ＋ １２５００,所以当x＝１５０时,有最大值１２５００; 当x＞２００时,f(x)＝３００００－１００x是减函数, f(x)＜３００００－１００×２００＜１２５００． 所以 当 x＝１５０ 时,f(x)取 最 大 值,最 大 值 为 １２５００． 所以每月生产１５０台仪器时,利润最大,最大利润 为１２５００元． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第三章　函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P４８ [基础题组练] １．一 辆 匀 速 行 驶 的 汽 车 ９０ min 行 驶 的 路 程 为 １８０km,则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t (h)之间的函数关系式是 (　　 ) A．y＝２t B．y＝１２０t C．y＝２t(t≥０) D．y＝１２０t(t≥０) 答案:D ２．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售 量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可 知,营销人员没有销售量时的收入是 (　　 ) A．３１０元 B．３００元 C．３９０元 D．２８０元 答案:B ３．下面是一幅统计图,根据此图得到的以下说法中, 正确的个数是 (　　 ) (１)这几年生活水平逐年得到提高; (２)生活费收入指数增长最快的一年是２０１４年; (３)生活价格指数上涨速度最快的一年是２０１５年; (４)虽然２０１６年生活费收入增长缓慢,但生活价格 指数也略有降低,因而生活水平有较大的改善． A．１ B．２ C．３ D．４ 答案:C ４．一个矩形的周长是２０,矩形的长y关于宽x(默认 y＞x)的函数解析式 (　　) A．y＝１０－x(０＜x＜５) B．y＝１０－２x(０＜x＜１０) C．y＝２０－x(０＜x＜５) D．y＝２０－２x(０＜x＜１０) 解析:A　[由题意可知２y＋２x＝２０,即y＝１０－x, 又１０－x＞x,所以０＜x＜５,故选 A．] ５．一定范围内,某种产品的购买量y与单价x 之间满 足一 次 函 数 关 系．如 果 购 买 １０００ 吨,则 每 吨 ８００元,购买２０００吨,则每吨７００元,那么一客户 购买４００吨,其价格为每吨 (　　 ) A．８２０元 B．８４０元 C．８６０元 D．８８０元 解析:C　[设y＝kx＋b,则 １０００＝８００k＋b,且 ２０００＝７００k＋b,解得k＝－１０,b＝９０００,则y＝ －１０x＋９０００．解４００＝－１０x＋９０００,得x＝８６０． 故选C．] ６．某商人将彩电先按原价提高４０％,然后在广告上写上 “大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了 ２７０元,则每台彩电的原价为　　　　元． 解析:设彩电的原价为a元,∴a(１＋０．４)􀅰８０％－ a＝２７０,∴０．１２a＝２７０,解得a＝２２５０． ∴每台彩电的原价为２２５０元． 答案:２２５０ ７．已知函数关系式f(x)＝ x２,x≤０ ２x－１,x＞０{ ,若f(x)≥１,则 x的取值范围是　　　 ． 解析:因为在每段定义域对应的解析式上都有可能 使得f(x)≥１成立,所以将原不等式转化为 x＞０ ２x－１≥１{ ,或 x≤０ x２≥１{ ,从而得x≥１或x≤－１,即 (－∞,－１]∪[１,＋∞)． 答案:(－∞,－１]∪[１,＋∞) ８．国内快递重量在１０００克以内的包裹邮资标准如 下表: 运送距离 x(km) ０＜x≤５００５００＜x≤１０００１０００＜x≤１５００１５００＜x≤２０００ 􀆺 邮资y(元) ５．００ ６．００ ７．００ ８．００ 􀆺 如果某人从北京快递９００克的包裹到距北京１３００km 的某地,它应付的邮资是　　 　 ． 解析:邮资y与运送距离x 的函数关系式 y＝ ５．００,０＜x≤５００ ６．００,５００＜x≤１０００ ７．００,１０００＜x≤１５００ ８．００,１５００＜x≤２０００ ì î í ï ïï ï ï , 所以１３００∈(１０００,１５００],所以应付的邮资是y＝ ７．００元,故答案为:７．００元． 答案:７．００元 ９．如图所示,用一根长度为１８ 米的原材料制作一个矩形 窗户 边 框 (即 矩 形 ABFE 和矩形DCFE,窗户边框粗 细忽略不计),原材料刚好全部用完,设窗户边框 AB 的长度为x 米,窗户的总面积为S平方米． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 职教高考总复习　数学 (１)求S与x 之间的函数关系式; (２)若窗户边框AB 的长度不小于２米,且小于BC 的长度,求S的最大值和最小值． 解析:(１)由题意可得S＝x􀅰１８－３x２ ＝－ ３ ２x ２＋９x (０＜x＜６),即S与x 之间的函数关系式是 S＝－３２x ２＋９x(０＜x＜６)． (２)由题意可得２≤x＜１８－３x２ ,解得２≤x＜３．６, ∵S＝－３２x ２＋９x＝－３２ (x－３)２＋１３．５,２≤x＜ ３．６,∴当x＝３时,S 取得最大值,最大值为１３．５, 当x＝２时,S 取得最小值,最小值为１２,∴S 的最 大值是１３．５,最小值是１２． [综合题组练] １．小婷经营一花店,每天的房租、水电等固定成本为 １００元,每束花的进价为６元,若日均销售量Q(束) 与销售单价x(元)的函数关系式为Q＝１００－５x,则当 该店每天获利最大时,每束花应定价为 (　　 ) A．１５元 B．１３元 C．１１元 D．１０元 解析:B　[设每天获利y元,则y＝(１００－５x)(x－ ６)－１００＝－５(x－１３)２＋１４５, 由x＞０,Q＝１００－５x≥０,得０＜x≤２０, 故当x＝１３时,每天获利最大．故选B．] ２．已知函数f(x)＝ x３＋１,x≤１ ２ x ,x＞１ ì î í ïï ï ,若对任意的实数x 都存在x１∈R,使得f(x)≤f(x１)成立,则x１＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 解析:A　[函数f(x)＝ x３＋１,x≤１ ２ x ,x＞１ ì î í ïï ï , 可得x＞１时,f(x)递减,可得f(x)∈(０,２); x≤１时,f(x)＝x３＋１递增,可得f(x)≤２, 且x＝１时,f(x)取得最大值２, 由对任意的实数x 都存在x１∈R,使得f(x)≤ f(x１)成立,可得x１＝１．故选 A．] ３．李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店,其月利润 (单位:元)分别为L甲 ＝－５x２＋９００x－１６０００,L乙 ＝ ３００x－２０００(其中x为销售辆数),若某月两家连锁店 共销售了１１０辆,则能获得的最大利润为　　　　元． 解析:依题意,可设甲这一家销售了x辆电动车,则 乙这家 销 售 了 (１１０－x)辆 电 动 车,总 利 润 S＝ －５x２＋９００x－１６０００＋３００(１１０－x)－２０００＝ －５x２＋６００x＋１５０００＝－５(x－６０)２＋３３０００(０≤ x≤１１０), 所以当x＝６０时,S取得最大值,且Smax＝３３０００． 答案:３３０００ ４．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的 交通状况．在一般情况下,大桥上的车流速度v(单 位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函 数．当桥上的车流密度达到２００辆/千米时,造成堵 塞,此时车流速度为０;当车流密度不超过２０辆/千 米时,车流速度为６０千米/时．研究表明,当２０≤x ≤２００时,车流速 度v 是 车 流 密 度x 的 一 次 函 数．求 (１)当２０≤x≤２００时,函数v(x)的表达式; (２)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通 过桥上某观点的车辆数,单位:辆/时)f(x)＝ xv(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到１ 辆/时) 解析:(１)由题意,当０≤x≤２０时,v(x)＝６０;当２０ ≤x≤２００时,设v(x)＝ax＋b． 再由已知得 ２００a＋b＝０ ２０a＋b＝６０{ ,解得 a＝－１３ b＝２００３ ì î í ï ï ï ï ． 故函数v(x)的表达式为 v(x)＝ ６０,０≤x≤２０ １ ３ (２００－x),２０≤x≤２００ ì î í ïï ï , (２)依题意并由(１)可得 f(x)＝ ６０x,０≤x≤２０ １ ３x (２００－x),２０≤x≤２００ ì î í ïï ï , 当０≤x≤２０时,f(x)为增函数,故当x＝２０时,其 最大值为６０×２０＝１２００; 当２０≤x≤２００时,f(x)＝１３x (２００－x)＝－１３ (x －１００)２＋１００００３ , 所以,当x＝１００时,f(x)在区间[２０,２００]上取得 最大值１００００ ３ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第三章　函数