3.5 二次函数(二次函数的图象与性质)-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

职教高考总复习 数学 (3)解不等式f(t-1)十f(t)<0. .-1<<<1.-x<0,1->0 (1)解:由于f(x)是定义在(一1,1)上的奇函数, (1+)(1+)>0. 则有 ##0)-0.# 0#解得6-0, #()-# '.f(x)-f(x) o,即f(x.)f(x)...f(x)为 (一1,1)上的增函数. 1+0{ (3)解析:·'/f(t-1)十f(t)<0. ./(-1)<-f(t). 2.a=1.:.画数解析式为f(x)= ·.f(x)是(一1,1)上的奇函数,.,f(一t)一-f(t) '.f(-1)<f(-t). (-1<-1<1 'f(x)为(-1,1)上的增函数,. -1<-1<1· (2)证明 任取x,x(-1,1),且x<x。. -1<-1 f(x)一f(x。) 解得 1十2 1+:{ <_.不等的解集为(1<). (x-x)(1-x。) (1+x)(1+x) 3.5 二次函数(二次函数的图象与性质 &盘点 学生用书 P42 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一] 二次函数的概念 [基础自测] 1.定义;形如y=ax}十bx十c(a,b,c是常数,且a关0) 1.函数y-- ( ) 的函数叫作二次函数,其中,a为二次项系数,6为 A.(1,2) 一次项系数,c为常数项. B.(1,-2) C.(-1,2) 2.解析式: D.(-1,-2) (1)一般式:y=axr②+bx十c(a关0); 答案:C 2.若函数f(x)=ax{}十bx十c满足f(4)=f(1),那么 (2)顶点式:三a(x一h)}十(a去0).其中顶点为(h. ( - ): A.f(2)>f(3) (3)交点式:y=a(x一x)(x一x。)(a子0),其中抛物 B./(3)二f(2) 线与x轴的交点为(x,0),(x。,0). C.f(3)-f(2) [知识点二] 二次函数的图象和性质 D. f(3)与f(2)大小不能确定 /(x)=a.r*+hb f(x)-ax2+bx 答案:C 解析式 +c(>0) 十(a) 3.函数f(x)一x{}+bx十c的对称轴是直线x-1,则 ( ) A./(0)-/(3) 图象 B.f(0)>/(3) C.f(0)f(3) D.无法比较 解析:C[抛物线开口向上,对称轴为直线x=1, 定义域 B 则f(0)一 [,) 值域 (-。o4ac-21 f(2).因为函数在区间[1,十)上单调递增 所以f(2)f(3),即f(0)</f(3).故选C.] 在(一-]上单 在(一~上单 4.抛物线y一2x-x十1的对称轴和顶点坐标分别是 ##:在一) 单调性 :在{一) ##_.()# B.-.(.)# 单调递增 上单调递减 C.-.(#1)# 对称 D.-() 对称性 函数的图象关于直线x一一 ·46. 第三章 函数 [#2^-+1-2(-+1)- 解析:B 6.(1)二次函数y=2x{}-mx十n图象的顶点坐标为 (1,-2),则m- #(1{}+,以物钱的对称轴为直线一 (2)已知二次函数y=x^}+(m-2)x-2n,当m 时,函数图象的顶点在y轴上;当= ##点坐标为(1).故选B.# 时,函数图象的顶点在x轴上;当 时,函数图象经过原点 5.已知函数y=x}十bx十c在区间(-o,1)上是单调递 (3)函数y=一3(x十2)②十5的图象的开口向 ( ,对称轴为 减函数,则实数6的取值范围是 ) ,顶点坐标为 当一 时,函数取最 A.6-2 B.6-2 值y=_ 当 C.6-2 D.6<-2 时,v随着x的增大而减小。 答案:(1)4,0;(2)2,-2,0;(3)下,x=-2. (-2,5),-2,大,5,大于-2. 2 学生用书 P43 提升·学科素养 《 直击考向 通法悟道 点一二次函数的三种解析式形式. 点二二次函数的图象性质 [例1] 已知二次函数的图象过点(一1,一22). [例2] 如图,若a<0,b>0,c<0,则抛物线y-ar} ( 十bx十c的大致图象为 (0.一8),(2,8),求此二次函数的表达式. ) 71 [解析]设该二次函数为y=ax{}十bx十c(a:0). 1 由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得 (-22-a-b十c -8-c ,解得a--2,b-12,c--8. 8-4a+2b+c 所以,所求的二次函数为v=-2x*十12x-8. 通性通法 (1)一般式,y=ar*+bx+c(a字0) (2)顶点式:y三a(x十h)}十(a子0),其中顶点坐标 C 是(一,): D. 解析:B [若a0,b>0,c0,则该二次函数开口 (3)交点式:y=a(x一x)(x一x)(a去0).其中 o0,与y轴的交点位于:轴 X..x。是二次函数图象与x轴交点的横坐标. 向下,对称轴x=一 2d 在求二次函数的表达式时,可以根据题目所 下方,符合条件的图象只有选项B.故选B.] 提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这 通性通法 三种表达形式中的某一形式来解题 (1)当a>o时,函数y=ax2十bx十c图象开口向上; 顶点坐标为 跟踪训练 64ac-6*) -2.4a) 1,对称轴为直线x 1.已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线 时,y随着x的增大而减小;当 y=x十1上,并且图象经过点(3,一1),求二次函数 2 的解析式. 时,y随着x的增大而增大;当x=- _- 解析:.二次函数的最大值为2,而最大值一定是 2 其项点的纵坐标. 时,函数取最小值4ac-^{} 4a- '.项点的纵坐标为2 (2)当a<0时,函数y三ax^{}十bx十c图象开口向下; 又顶点在直线y-x十1上, (-4ac-*). 顶点坐标为 所以,2-x十1,.x-1..顶点坐标是(1,2) ,对称轴为直线x一 2'4a 设该二次函数的解析式为y一a(x-1){}+2 1 ;当<一 .二次函数的图象经过点(3,一1). 2 ,_- 代入解得a--3. 4 2a 时,函数取最大值y-4ac-6 4a .47. 职教高考总复习 数学 跟踪训练 (){#} 一2x(1-) 2.二次函数y=x^{}十ax十a-2的图象与x轴的两个 (-)} 交点间的距离是2,求实数。的值 解析:设二次函数y-x}十a.x十a-2的图象与工轴 ③+x=(+x)(x-x+x)=(x+x) 的两个交点为A(x,0),B(x。,0),则由题意得,x [(x.十x)-3xx] x。是方程x^{}十ax十a-2-0的两个实数根,可得 #(-)×[(-){#-)3×(-)1-215. $.+x。=-a,x。=a-2.因此由lAB|= (x-x)-2得,(+x)-4x=4, (2)[解析]设方程的另一个根为x,则2x 即(-a)-4(a-2)-4,化简得a^{}-4a+4-0,即$ (-2)②一0,解得a-2. 点一元二次方程中根与系数的关系 [例3](1)若x和x。分别是一元二次方程2x十 5.x-3-0的两根. 通性通法 ①求x-的值; 利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下 等式变形: ③求:十x{}的值. r{+x^{}=(x.+x)}-2xx。 (2)已知方程5x^{}十kx-6-0的一个根是2,求它 11+x 的另一个根及的值 x1 x:x。 (1)[解析]·x 和工。分别是一元二次方程2r{} (x.-x。)②-(r.十x。)*-4r。 +5x-3-0的两根. lr.-x:-(x.+x)-4x。 5. .十:=一 3 2.rx=- 2 跟踪训练 ①:lx-l=r{}+-2x=(x+ 4-)4(-)-+6 3.已知a、③是方程xc*十2x-5-0的两个实数根,则 a十a{十2a的值为 -._ 解析:由于a、③是方程x{十2x一5-0的实数根, '+2a-5-0,a--5,.+2a-5 1+1+}(1+)-2x '+a{+2a-a+2a+a{-5-5-0 ##对 对 (x.x。) 突破·高效演练 学生用书 P44 高效提能 [基础题组练] 解析:A [二次函数y=x*-2x十3图象的对称轴 1.已知函数f(x)=4x-mx十5在区间[-2,+) 方程为x二一 上是增函数,在区间(-,一2]上是减函数,则m ) 4.不等式y=ar^-x-c0的解集为x-2< A.16 B.-16 C.8 D.-8 1.则函数;的图象为 答案:B 2.设x-R,则“-5x+6<0”是“|x-2<1”的 ## ) A.充分而不必要条件 C B.必要而不充分条件 答案:B C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数y=-ax十1与y=ax*在同一坐标系中的图 答案:A 象大致是图中的 ) 3.二次函数-x②-2x十3图象的对称轴方程为 ###### ( A.-1 B.-2 C.--1 D.:--2 .48. 第三章 函数 解析:A [当a>o时,y=一ax十1在x,y轴上截 '.(+2)*+b(x+2)+2-(ax*+b.x+2)=2x+ 距分别是l→o,1,而y=ax{}开口向上,顶点为原 4.即4ax+4a+2b-2x+4. (4a-2 ## 点且对称轴为y轴,排除B; 由恒等式性质得 14a+26-4' 6-1 当a<o时,y=-ax十1在x,y轴上截距分别是 <0.1,而y一ax^{*}开口向下,顶点为原点且对称轴 为y轴,排除C、D,故选A.] [综合题组练] 6.函数f(x)=x②}十bx+4的图象总在x轴上方,则/ 1.关于x的方程x{}十(a^{}-1)x十a-2-0的一个根 比1大,另一个根比1小,则 的取值范围是 ( ) A.-1<a<1 解析:因为函数f(x)一x^{}十bx十4的图象总在 B. al>1 C.-2<a<1 轴上方,.',△-^}-16<0,解得-4<b 4 D.a<-2或a>1 故答案为(一4,4). 解析:C [设 f(x)=x}+(a^②-1)x十a-2.由 答案:(-4,4) f(1)<0→a^}+a-2<0,解得-2<a 1.所以应 7.(2023·全国高三专题练习)二次函数=ax+b 选C.] 十c(a0)的图象如图所示,确定下列各式的正负; 2.函数f(x)一一r*十2的大致图象为 , , 0,ac 0.a-b十c #711:4# C 解析:D[函数f(一x)一-x{}+2 =f(x),所以 f(x)为偶函数,故A错误; 因为/(1)=-1+2-1,故B错误; o.c>0.i.b>0,ac<0. 当x-5时,f(5)=-5}+2-70,故C错误.故 选D.] 设y-f(x)=ar}+br十c,则a-b+c=f(-1) 0. 3.函数y-2x-x的递增区间是 故答案为二;<;< 解析:由题意得2x-r>0,即0<x<2; 答案:<< 又因y-2x-x^{}的对称轴为x-1,所以y=2x$ 8.二次函数y=f(x)满足f(3十x)=f(3一x),且f(x) 工*在[0,1]上单调递增,故根据复合函数单调性, -0有两个实根x、x。,x.十x。等于 得函数y-2x-x的递增区间为[0,1] 解析:·'二次函数y=f(x)满足f(3十x)=f(3 答案:[0,1] x). 4.若二次函数满足f(x十1)一f(x)=2x且f(0)=1 '.二次函数y一f(x)的对称轴为x一3 (1)求f(x)的解析式 ·.二次函数f(x)与x轴的两个交点关于x一3对 (2)若在区间[-1,1]上不等式/(x)>2x十n恒成 称,即两个交点的中点为3. 立,求实数n的取值范围. 根据中点坐标公式得到f(x)一0的两个实数根之 解析:(1)设f(x)=ax^}十bx十c(a亡0),由f(0) 和为x+x。-2X3-6. -1. 故本题答案为6. 得c-1,f(x)=ar*+bx+1. 答案:6 “:f(x十1)-f(x)-2x. 9.(1)已知函数f(x-3)=x-4x十6,求f(x)的解析 /2-2 .2ax+a+b-2x...{ 式。 ..:/=1 (a+b-0'(--1' (2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)一2,f(x十 .f(x)-r-x十1. 2)-f(x)一2x十4,求f(x)的解析式 (2)由题意,^{}-x+1>2x+n在[-1,1]上恒成 解析:(1)令1-x-3,则x-t+3. 立,即x*-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立。 因为f(x-3)-x-4x+6. 令(2)#-3-x+1--(-3)--,共 所以ft)-(t+3)-4( +3)+6-r*+2t+3$ 故f(x)-r+2r十3. (2)设所求的二次函数为f(x)=ar”十bx十c(a+0). '.g(x)在区间[-1,1]上是减函数: ·f(o)-2,'.c-2,则f(x)-ar*+bx+2. '.g(x)=g(1)=1-3+1-m>0..m<-1 又.f(x+2)-f(x)=2x+4. .19·