3.4 函数的奇偶性-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

３．４　函数的奇偶性 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P３８ [知识点]　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．函数的奇偶性: 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的 定义域内任意一个x, 都有f(－x)＝f(x), 那么函数 f(x)是偶 函数 关于y轴 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的 定义域内任意一个x, 都有f(－x)＝ －f (x),那么函数f(x)是 奇函数 关于原点 对称 ２．奇偶性与单调性: 一般地,若函数f(x)为奇函数,则f(x)在关于原 点对称的两个区间[a,b]和[－b,－a]上具有相同 的单调性;若函数f(x)为偶函数,则f(x)在关于 原点对称的两个区间[a,b]和[－b,－a]上具有相 反的单调性． ３．奇偶性的推广: 一般地,对于定义域内任意x, (１)若f(a－x)＝２b－f(a＋x),则f(x)的图象关于 点(a,b)对称．当a＝b＝０时,即为奇函数的定义． (２)若f(a－x)＝f(a＋x),则f(x)的图象关于直线 x＝a对称,当a＝０时,即为偶函数的定义． [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)对于函数y＝f(x),若存在 x,使 f(－x)＝ －f(x),则函数y＝f(x)一定是奇函数． (　　) (２)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数． (　　) (３)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是 奇函数,就是偶函数． (　　) (４)函数f(x)＝x２,x∈[０,＋∞)是偶函数． (　　) (５)“a＋b＝０”是“函数f(x)在区间[a,b](a≠b)上具 有奇偶性”的必要条件． (　　) (６)若函数f(x)是奇函数,则必有f(０)＝０． (　　) (７)已知函数y＝f(x)是定义在 R上的偶函数,若在 (－∞,０)上是减函数,则在(０,＋∞)上是增函数． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)√　 (６)×　(７)√ ２．下列函数为奇函数的是 (　　 ) A．y＝|x| B．y＝３－x C．y＝１x３ D．y＝－x２＋１４ 解析:C　[A、D 两项,函数均为偶函数,B 项中函 数为非奇非偶函数,而 C 项中函数为奇函 数．故 选C．] ３．若函数y＝f(x),x∈[－２,a]是偶函数,则a的值 为 (　　 ) A．－２ B．２ C．０ D．不能确定 解析:B　[因为偶函数的定义域关于原点对称,所 以－２＋a＝０,所以a＝２．故选B．] ４．下列图象表示的函数是奇函数的是 　, 是偶函数的是　　　　．(填序号) 解析:(１)(３)关于y 轴对称是偶函数,(２)(４)关于 原点对称是奇函数． 答案:(２)(４)　(１)(３) ５．已知函数f(x)为 R 上的偶函数,且当x＜０时, f(x)＝x(x－１),则当x＞０时,f(x)＝　　　　． 解析:当x＞０时,－x＜０,则f(－x)＝－x(－x－ １)＝x(x＋１),因为函数f(x)为 R上的偶函数,故 f(x)＝f(－x)＝x(x＋１)． 答案:x(x＋１) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 职教高考总复习　数学 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P３９ 函数奇偶性的判断 [例１]　判断下列函数的奇偶性． (１)f(x)＝x３＋x; (２)f(x)＝ １－x２＋ x２－１． [解析]　(１)函数的定义域为R,关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)３＋(－x)＝－(x３＋x)＝ －f(x),因此函数f(x)是奇函数． (２)由 １－x２≥０ x２－１≥０{ ,得x ２＝１,即x＝±１．因此函数的 定义域为{－１,１},关于原点对称． 又f(１)＝f(－１)＝－f(－１)＝０,所以f(x)既是 奇函数又是偶函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 函数奇偶性判断的方法 (１)定义法: (２)图象法: １．判断下列函数的奇偶性． (１)函数f(x)＝２x ２＋２x x＋１ 是 (　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 (２)f(x)＝x２(x２＋２); (３)f(x)＝|x＋１|－|x－１|; 解析:(１)D　[因为f(x)＝２x ２＋２x x＋１ ,所以x＋１≠ ０,即x≠－１,故f(x)的定义域为{x|x≠－１},显 然f(x)的定义域不关于原点对称,故f(x)既不是 奇函数又不是偶函数．故选 D．] (２)∵x∈R,∴－x∈R． 又∵f(－x)＝(－x)２[(－x)２＋２]＝x２(x２＋２)＝ f(x),∴f(x)为偶函数． (３)∵x∈R,∴－x∈R．又∵f(－x)＝|－x＋１|－|－ x－１|＝|x－１|－|x＋１|＝－(|x＋１|－|x－１|) ＝－f(x), ∴f(x)为奇函数． 奇、偶函数的图象问题 [例２]　已知奇函数f(x)的定义域为[－５,５],且在 区间[０,５]上的图象如图所示． (１)画出f(x)在区间[－５,０]上的图象; (２)写出使f(x)＜０的x的取值集合． [解析]　(１)因为函数f(x)是奇函数,所以y＝ f(x)在[－５,５]上的图象关 于 原 点 对 称．由y＝ f(x)在[０,５]上的图象,可知它在[－５,０]上的图 象,如图所示． (２)由图象知,使函数值f(x)＜０的x 的取值集 合为 (－２,０)∪(２,５)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有 关的值域、定义域、不等式问题时,应根据奇偶函数 图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象,根 据图象特征求解问题． ２．若偶函数f(x)在区间[１,２０２２]上的最大值为 ２０２２,则函数f(x)在区间[－２０２２,－１]上有 (　　 ) A．最小值－２０２２ B．最小值２０２２ C．最大值－２０２２ D．最大值２０２２ 解析:D　[因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图像 关于x＝０,即y轴对称,也就是说自变量相反的两 个数函 数 值 一 样,所 以 f(x)有 最 大 值 ２０２２．故 选 D．] 利用奇偶性求解析式 [例３]　已知f(x)是定义域为 R的偶函数,当x＞０ 时,f(x)＝x２＋x,求当x＜０时,f(x)的解析式． [解析]　设x＜０,则－x＞０． ∴f(－x)＝(－x)２－x＝x２－x． 又∵f(x)是定义域为R的偶函数, ∴f(－x)＝f(x)＝x２－x,∴当x＜０时,f(x)＝x２ －x． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第三章　函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　已知区间[a,b]上的解析式,求[－b,－a]上的 解析式: (１)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x 就应 在哪个区间上设． (２)要利用已知区间的解析式进行代入． (３)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x),从而 解出f(x)． ３．已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数,且当x＞０ 时,f(x)＝２x－x２,求y＝f(x)的解析式． 解析:设x＜０,则－x＞０,因为f(x)是奇函数,所 以当x＜０时, f(x)＝－f(－x)＝－[２(－x)－(－x)２]＝２x ＋x２． 因为y＝f(x)是 R 上的奇函数,所以f(０)＝０． 所以 f(x)＝ x２＋２x,x≤０ ２x－x２,x＞０{ ． 　　　函数的奇偶性和单调性的综合应用 [例４]　(１)(利用奇偶性求函数值)已知f(x)＝x５＋ ax３＋bx－８,若f(－３)＝１０,则 f(３)＝ (　　 ) A．２６　　B．１８　　C．１０　　D．－２６ (２)(利 用 奇 偶 性 求 参 数 值)若 函 数 f(x)＝ (x＋１)(x＋a) x 为奇函数,则a＝　　　　． (３)已知函数y＝f(x)在定义域[－１,１]上是奇函 数,又是减函数,若f(１－a２)＋f(１－a)＜０,求实 数a的取值范围． [解析]　(１)D　[法一　由f(x)＝x５＋ax３＋bx －８, 得f(x)＋８＝x５＋ax３＋bx． 令G(x)＝x５＋ax３＋bx＝f(x)＋８,∵G(－x)＝ (－x)５＋a(－x)３＋b(－x)＝－(x５＋ax３＋bx)＝ －G(x), ∴G(x)是奇函数,∴G(－３)＝－G(３),即f(－３) ＋８＝－f(３)－８．又f(－３)＝１０, ∴f(３)＝－f(－３)－１６＝－１０－１６＝－２６． 法二　由已知条件,得 f(－３)＝(－３)５＋a(－３)３＋b(－３)－８① f(３)＝３５＋a􀅰３３＋b􀅰３－８②{ , ①＋②得f(３)＋f(－３)＝－１６,又f(－３)＝１０, ∴f(３)＝－２６．] (２)[解析]　 ∵f(x)是 奇 函 数,∴f(－x)＝ －f(x),即 (－x＋１)(－x＋a) －x ＝－ (x＋１)(x＋a) x ,显 然x≠０,整理得x２－(a＋１)x＋a＝x２＋(a＋１)x＋ a,故a＋１＝０,解得a＝－１． (３)[解析]　由f(１－a２)＋f(１－a)＜０,得f(１－ a２)＜－f(１－a)． ∵y＝f(x)在[－１,１]上是奇函数,∴－f(１－a)＝ f(a－１),∴f(１－a２)＜f(a－１)． 又f(x)在[－１,１]上单调递减, ∴ －１≤１－a２≤１ －１≤１－a≤１ －１≤a－１≤１ １－a２＞a－１ ì î í ï ï ï ï ,解得 ０≤a２≤２ ０≤a≤２ －２＜a＜１ ì î í ïï ï ,∴０≤a＜１． ∴a的取值范围是[０,１)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知 不等式转化为f(x１)＞f(x２)或f(x１)＜f(x２)的形 式,再利用单调性脱掉“f”求解． ２．在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数 的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即 可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响． ４．定义在[－２,２]上的偶函数f(x)在区间[０,２]上单调 递减,若f(１－m)＜f(m),求实数m的取值范围． 解析:∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)＝f(|x|)． ∴f(１－m)＝f(|１－m|),f(m)＝f(|m|)． ∴原不等式等价于 －２≤１－m≤２ －２≤m≤２ |１－m|＞|m| ì î í ïï ï , 解 得 －１≤ m ＜ １２．∴ 实 数 m 的 取 值 范 围 是 －１,１２[ ö ø ÷． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P４０ [基础题组练] １．函数f(x)＝|x|＋１是 (　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案:B ２．f(x)＝x３＋１x 的图象关于 (　　 ) A．原点对称 B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称 答案:A ３．(多选)若奇函数f(x)在[１,３]上为增函数,且有最 小值０,则它在[－３,－１]上 (　　 ) A．是减函数 B．是增函数 C．有最大值０ D．有最小值０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 职教高考总复习　数学 解析:BC　[由于奇函数的图象关于原点成中心对 称,故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调 性,且 一 侧 的 最 小 值 对 应 另 一 侧 的 最 大 值,故 选BC．] ４．已知函数f(x)＝x２＋(２－m)x＋m２＋１２为偶函 数,则m 的值是 (　　 ) A．４ B．３ C．２ D．１ 解析:C　[因为函数f(x)＝x２＋(２－m)x＋m２＋ １２为偶函数,所以f(x)＝f(－x),即x２＋(２－m) x＋m２＋１２＝(－x)２－(２－m)x＋m２＋１２, 即４－２m＝０,所以m＝２．故选C．] ５．设偶函数f(x)的定义域为 R,当x∈[０,＋∞)时, f(x)是增函数,则f(－２),f(π),f(－３)的大小关 系是 (　　 ) A．f(π)＞f(－３)＞f(－２) B．f(π)＞f(－２)＞f(－３) C．f(π)＜f(－３)＜f(－２) D．f(π)＜f(－２)＜f(－３) 解析:A　[因为当x∈[０,＋∞)时,f(x)是增函 数,所以有f(２)＜f(３)＜f(π)．又f(x)是 R上的 偶函数,故f(－２)＝f(２),f(－３)＝f(３),从而有 f(－２)＜f(－３)＜f(π)．故选 A．] ６．若函数f(x)＝１－ a２x－１ 的图象关于原点对称,则 实数a等于 (　　) A．－２ B．－１ C．１ D．２ 解析:A　[由已知得,函数f(x)为奇函数,所以 f(１)＋f(－１)＝０,即１－ a２－１＋１－ a １ ２－１ ＝０,１－a ＋１＋２a＝０,解得a＝－２．故选 A．] ７．(２０２３􀅰贵阳模拟)若函数f(x)是定义在R上的奇 函数,当x≥０时,f(x)＝log２(x＋２)－１,则f(－６) ＝ (　　 ) A．２ B．４ C．－２ D．－４ 解析:C　[根据题意得f(－６)＝－f(６)＝１－log２ (６＋２)＝１－３＝－２．故选C．] ８．若f(x)是偶函数,其定义域为 R且在[０,＋∞)上 是减函数,则f －３４ æ è ç ö ø ÷与f(a２－a＋１)的大小关系 是　　　　． 解析:显然a２－a＋１≥３４． 又∵f(x)在[０,＋∞)上 是减函数, ∴f(a２－a＋１)≤f ３４ æ è ç ö ø ÷．又f(x)是偶函数, ∴f －３４ æ è ç ö ø ÷＝f ３４ æ è ç ö ø ÷,∴f(a２－a＋１)≤f －３４ æ è ç ö ø ÷． 答案:f(a２－a＋１)≤f －３４ æ è ç ö ø ÷ ９．(２０２１􀅰春招,２６)已知f(x)是定义在 R上的奇函 数,当x≥０时,f(x)＝ax２－２x,且f(４)＝８．求 (１)实数a的值; (２)该函数的解析式． 解:(１)当x≥０时,f(４)＝８,∴f(４)＝１６a－８＝８, 即１６a＝１６,a＝１． (２)由(１)知x≥０时,f(x)＝x２－２x,设x＜０,则－ x＞０,所以f(－x)＝(－x)２－２(－x)＝x２＋２x,又 因f(x)是 奇 函 数,所 以 －f(x)＝f(－x)＝x２ ＋２x, ∴f(x)＝－x２－２x(x＜０),由以上可知该函数的 解析式为f(x)＝ －x２－２x　(x＜０) x２－２x　(x≥０){ ． [综合题组练] １．已知函数y＝f(x)＋x 是偶函数,且f(２)＝１,则 f(－２)＝ (　　 ) A．２ B．３ C．４ D．５ 解析:D　[∵y＝f(x)＋x 是偶函数,∴f(－x)＋ (－x)＝f(x)＋x,∴f(－x)＝f(x)＋２x,令x＝２, 则f(－２)＝f(２)＋４＝５,故选 D．] ２．已知定义域为(－１,１)的奇函数f(x)是减函数,且 f(a－３)＋f(９－a２)＜０,则实数a的取值范围是 (　　 ) A．(２ ２,３) B．(３,１０) C．(２ ２,４) D．(－２,３) 解析:A　[由f(a－３)＋f(９－a２)＜０得f(a－３) ＜－f(９－a２)．又由奇函数性质得f(a－３)＜ f(a２－９)．因为f(x)是定义域为(－１,１)的减函数,所 以 －１＜a－３＜１ －１＜a２－９＜１ a－３＞a２－９ ì î í ïï ï ,解得２ ２＜a＜３．故选 A．] ３．已知函数f(x)＝ax３－２x的图象过点(－１,４),则 f(１)＝　　　　． 解析:由f(－x)＝a(－x)３－２(－x)＝－ax３＋２x ＝－(ax３－２x)＝－f(x)且定义域为R,所以f(x)为 奇函数,故f(１)＝－f(－１)＝－４．故答案为－４． 答案:－４ ４．已 知 函 数 f(x)是 定 义 域 为 R 的 奇 函 数,且 f(－１)＝２,则f(０)＋f(１)＝　　． 解析:∵f(x)为 R上的奇函数,∴f(０)＝０,f(１) ＝－f(－１)＝－２,∴f(０)＋f(１)＝０－２＝－２． 答案:－２ ５．函数f(x)＝ax＋b１＋x２ 是定义在(－１,１)上的奇函数, 且f １２ æ è ç ö ø ÷＝２５． (１)确定函数f(x)的解析式; (２)用定义证明f(x)在(－１,１)上是增函数; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第三章　函数 (３)解不等式f(t－１)＋f(t)＜０． (１)解:由于f(x)是定义在(－１,１)上的奇函数, 则有 f(０)＝０,即０＋b１＋０２ ＝０,解得b＝０,∵f １２ æ è ç ö ø ÷＝２５ , ∴ １ ２a １＋１４ ＝２５ ,∴a＝１．∴函数解析式为f(x)＝ x １＋x２ (－１＜x＜１)． (２)证明　任取x１,x２∈(－１,１),且x１＜x２, f (x１ ) － f (x２ ) ＝ x１ １＋x２１ － x２ １＋x２２ ＝ (x１－x２)(１－x１x２) (１＋x２１)(１＋x２２) , ∵－１＜x１＜x２＜１,∴x１－x２＜０,１－x１x２＞０, (１＋x２１)(１＋x２２)＞０, ∴f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２)．∴f(x)为 (－１,１)上的增函数． (３)解析:∵f(t－１)＋f(t)＜０, ∴f(t－１)＜－f(t)． ∵f(x)是(－１,１)上的奇函数,∴f(－t)＝－f(t), ∴f(t－１)＜f(－t)． ∵f(x)为(－１,１)上的增函数,∴ －１＜t－１＜１ －１＜－t＜１ t－１＜－t ì î í ïï ï , 解得 ０＜t＜１２．∴ 不等式的解集为 t|０＜t＜１２{ }． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．５　二次函数(二次函数的图象与性质) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P４２ [知识点一]　二次函数的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:形如y＝ax２＋bx＋c(a,b,c是常数,且a≠０) 的函数叫作二次函数．其中,a为二次项系数,b为 一次项系数,c为常数项． ２．解析式: (１)一般式:y＝ax２＋bx＋c(a≠０); (２)顶点式:y＝a(x－h)２＋k(a≠０),其中顶点为(h, k); (３)交点式:y＝a(x－x１)(x－x２)(a≠０),其中抛物 线与x轴的交点为(x１,０),(x２,０)． [知识点二]　二次函数的图象和性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解析式 f(x)＝ax２＋bx ＋c(a＞０) f(x)＝ax２＋bx ＋c(a＜０) 图象 定义域 R R 值域 ４ac－b ２ ４a ,＋∞[ ) －∞,４ac－b ２ ４a( ] 单调性 在 －∞,－b２a( ] 上单调 递减;在 －b２a ,＋∞[ ) 上 单调递增 在 －∞,－b２a( ] 上单调 递增;在 －b２a ,＋∞[ ) 上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－b２a 对称 [基础自测] １．函数y＝－１２ (x＋１)２＋２的顶点坐标是 (　　 ) A．(１,２) B．(１,－２) C．(－１,２) D．(－１,－２) 答案:C ２．若函数f(x)＝ax２＋bx＋c满足f(４)＝f(１),那么 (　　 ) A．f(２)＞f(３) B．f(３)＞f(２) C．f(３)＝f(２) D．f(３)与f(２)大小不能确定 答案:C ３．函数f(x)＝x２＋bx＋c的对称轴是直线x＝１,则 (　　) A．f(０)＝f(３) B．f(０)＞f(３) C．f(０)＜f(３) D．无法比较 解析:C　[抛物线开口向上,对称轴为直线x＝１, 则f(０)＝ f(２)．因为函数在区间[１,＋∞)上单调递增, 所以f(２)＜f(３),即f(０)＜f(３)．故选C．] ４．抛物线y＝２x２－x＋１的对称轴和顶点坐标分别是 (　　 ) A．x＝１２ ,１ ２ ,７ ８ æ è ç ö ø ÷ B．x＝１４ ,１ ４ ,７ ８ æ è ç ö ø ÷ C．x＝１２ ,１ ２ ,７ ４ æ è ç ö ø ÷ D．x＝１４ ,１ ４ ,７ ４ æ è ç ö ø ÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 职教高考总复习　数学