3.3 函数的单调性-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

３．３　函数的单调性 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P３４ [知识点一]　增函数与减函数的定义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆ I:如果∀x１,x２∈D,当x１＜x２ 时 都有f(x１)＜f(x２) 都有f(x１)＞f(x２) 结论 那么就称函数f(x) 在 区 间 D 上 是 增 函数 那么就称函数 f(x)在区间 D 上是 减函数 图示 [知识点二]　函数的单调性与单调区间 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如果函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数, 那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间D 叫作y＝f(x)的单调区间． [知识点三]　基本初等函数的单调区间如下表所示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 正比例函数(y＝kx, k≠０)与一次函数(y ＝kx＋b,k≠０) k＞０ R 无 k＜０ 无 R 反 比 例 函 数 (y＝ k x ,k≠０) k＞０ 无 (－∞,０)和 (０,＋∞) k＜０ (－∞,０)和(０,＋∞) 无 二次函数(y＝ax２＋ bx＋c,a≠０) a＞０ －b２a ,＋∞[ ) －∞,－b２a( ] a＜０ －∞,－b２a( ] － b ２a ,＋∞[ ) [知识点四]　复合函数的单调性判断: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 同增异减 [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)因为f(－１)＜f(２),所以函数f(x)在[－１,２]上 是增函数． (　　) (２)若f(x)为R上的减函数,则f(０)＞f(１)．(　　) (３)若函数f(x)在区间(１,２]和(２,３)上均为增函数, 则函数f(x)在区间(１,３)上为增函数． (　　) (４)若函数f(x)在(－∞,０)和(０,＋∞)上单调递减,则 f(x)在(－∞,０)∪(０,＋∞)上单调递减． (　　) (５)对于函数f(x),x∈D,若对任意x１,x２∈D,且x１≠ x２ 有(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＞０,则函数f(x)在区 间D上是增函数． (　　) (６)函数y＝１x 的单调递减区间是(－∞,０)∪(０,＋∞)． (　　) (７)对于函数y＝f(x),若f(１)＜f(３),则f(x)为增 函数． (　　) (８)函数y＝f(x)在[１,＋∞)上是增函数,则函数的 单调递增区间是[１,＋∞)． (　　) 答案:(１)×　(２)√　(３)×　(４)×　(５)√ (６)×　此单调区间不能用“∪”连接,故单调递减 区间为(－∞,０)和(０,＋∞)． (７)×　应对任意的x１＜x２,f(x１)＜f(x２)成立才 可以． (８)×　若f(x)＝x,在[１,＋∞)上为增函数,但 y＝f(x)的单调递增区间是(－∞,＋∞)． ２．下列函数中,在区间(０,＋∞)内单调递减的是 (　　 ) A．y＝１x－x B．y＝x ２－x C．y＝lnx－x D．y＝ex 解析:A　[易知 A 中y＝１x－x 在(０,＋∞)内是减 函数,B,C 中 函 数y＝x２－x 与y＝lnx－x 在 (０,＋∞)内不单调,D中y＝ex 在(０,＋∞)内是增 函数．故选 A．] ３．函数f(x)＝２x 的单调递减区间是 (　　 ) A．(－∞,０),(０,＋∞) B．(０,＋∞) C．(－∞,０)∪(０,＋∞) D．(－∞,０) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 职教高考总复习　数学 解析:A　[因为函数f(x)＝２x 是反比例函数,函数 图像 为 一 三 象 限 双 曲 线,定 义 域 为 (－∞,０)∪ (０,＋∞),函数在(－∞,０)和(０,＋∞)上单调递 减,故 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 (－ ∞,０)和 (０, ＋∞)．故选 A．] ４．设定义在[－１,７]上的函数y＝f(x)的图象如 图所示,则函数y＝f(x)的增区间为　　　　． 解析:由题图可知函数的单调递增区间为[－１,１] 和[５,７]． 答案:[－１,１],[５,７] ５．函数y＝４x－x２＋３,x∈[０,３]的单调递增区间是 　　　　　,最小值是　　　　,最大值是　　　　． 解析:因为y＝４x－x２＋３＝－(x－２)２＋７, 所以函数y＝４x－x２＋３,x∈[０,３]的单调递增区 间是[０,２]．当x＝２时,ymax＝７;当x＝０时, ymin＝３． 答案:[０,２]　３　７ ６．函数f(x)＝(２a－１)x－３是 R上的减函数,则a 的取值范围是　　　　． 解析:因为函数f(x)＝(２a－１)x－３是 R上的减 函数,所以２a－１＜０,解得a＜１２． 答案:－∞,１２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P３５ 函数单调性的判定与证明 [例１]　用定义证明:函数f(x)＝x＋１x 在(－１,０) 上是减函数． 证明:设－１＜x１＜x２＜０, 则有f(x１)－f(x２)＝ x１＋ １ x１ æ è ç ö ø ÷－ x２＋ １ x２ æ è ç ö ø ÷＝(x１－ x２)＋ １ x１ －１x２ æ è ç ö ø ÷＝ (x１－x２)􀅰(x１x２－１) x１x２ , 由于－１＜x１＜x２＜０,０＜x１x２＜１,x１x２－１＜０,又 x１x２＞０,x１－x２＜０, 则f(x１)－f(x２)＞０,即f(x１)＞f(x２),所以函数 在(－１,０)上为减函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用定义证明函数单调性的４个步骤 １．用定义证明,函数y＝ ２xx＋１ 在(－１,＋∞)上为增 函数． 解:设x１＞x２＞－１, y１－y２＝ ２x１ x１＋１ － ２x２ x２＋１ ＝ ２(x１－x２) (x１＋１)(x２＋１) ＞０, ∴y１＞y２,∴函数y＝ ２x x＋１ 在(－１,＋∞)上为增 函数． 利用图象确定函数的单调区间 [例２]　如图为函数y＝f(x),x∈[－４,７]的图象, 指出它的单调区间． [解析]　函数的单调递增区间为[－１．５,３),[５,６), 单调减区间为[－４,－１．５),[３,５),[６,７]． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求函数单调区间的方法: (１)利用基本初等函数的单调性,其中分段函数的单 调区间要根据函数的自变量的取值范围分段 求解; (２)利用函数的图象． ２．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯 一,函数的单调区间之间要用“,”“和”连接,不能 用“∪”连接． ２．画出函数y＝－x２＋２|x|＋３的图象,并指出函数 的单调区间． 解析:y＝－x２＋２|x|＋３＝ －x２＋２x＋３＝－(x－１)２＋４(x≥０) －x２－２x＋３＝－(x＋１)２＋４(x＜０){ 函数图象如图所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第三章　函数 函数在(－∞,－１],[０,１]上是增函数; 函数在[－１,０],[１,＋∞)上是减函数． 所以函数的单调增区间是(－∞,－１]和[０,１],单 调减区间是[－１,０]和[１,＋∞)． 函数单调性的应用 [例３]　已知函数f(x)的定义域为[－２,２],且f(x) 在区间[－２,２]上是减函数,且f(１－m)＞f(m), 求实数m 的取值范围． [解]　因为f(x)在区间[－２,２]上单调递减,所以 当－２≤x１＜x２≤２时,总有f(x１)＞f(x２)成立,反 之也成立,即若f(x１)＞f(x２),则－２≤x１＜x２≤ ２．因为f(１－m)＞f(m), 所以 －２≤m≤２ －２≤１－m≤２, １－m＜m ì î í ïï ï 解得１ ２＜m≤２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法 (１)确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求 参数． (２)依据常见函数的单调性,如一次函数、反比例函 数、二次函数的单调性求解． (３)要注意:“函数f(x)的增区间是(a,b)”与“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递增”是不同的,后者 意味着区间(a,b)是函数f(x)的增区间的一个 子集． ３．若函数f(x)＝(m－１)x＋b在R上是增函数,则f(m) 与f(１)的大小关系是 (　　 ) A．f(m)＜f(１) B．f(m)＞f(１) C．f(m)≤f(１) D．f(m)≥f(１) 解析:B　[由题意得m－１＞０,即m＞１,而f(x)在R 上是增函数,则f(m)＞f(１),故选B．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P３６ [基础题组练] １．函数y＝f(x)的图象如图所示,其增区间是 (　　 ) A．[０,１] B．[－４,－３]∪[１,４] C．[－３,１] D．[－３,４] 答案:C ２．(２０２１􀅰春招,３)已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是减 函数,则下列关系正确的是 (　　) A．f(１)＜f(０)＜f(－１) B．f(０)＜f(－１)＜f(１) C．f(－１)＜f(０)＜f(１) D．f(０)＜f(１)＜f(－１) 答案:A ３．已知f(x)＝(３a－１)x＋b在(－∞,＋∞)上是增 函数,则a的取值范围是 (　　 ) A．－∞,１３ æ è ç ö ø ÷ B．１３ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ C．－∞,１３ æ è ç ] D．１３,＋∞[ ö ø ÷ 答案:B ４．(２０２０􀅰春招,３)已知函数f(x)的定义域是 R,若 对于 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 x１,x２,总 有 f(x２)－f(x１) x２－x１ ＞０成立,则函数f(x)一定是 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 解析:C　[由题意可知x１≠x２,因为 f(x２)－f(x１) x２－x１ ＞０⇒(x２－x１)(f(x２)－f(x１))＞０⇒在 R上,当 x１＜x２ 时都有f(x１)＜f(x２)成立,所以选C．] ５．函数f(x)＝x２＋x－２(x∈[０,２])的值域是 (　　 ) A．[－２,４] B．－９４ ,４[ ] C．－９４ ,＋∞[ öø÷ D．－ ７ ４ ,４[ ] 解析:A　[函数f(x)＝x２＋x－２的对称轴为x＝ －１２ ,故函数f(x)＝x２＋x－２在[０,２]上单调递 增,又f(０)＝－２,f(２)＝４,所以函数f(x)＝x２＋ x－２(x∈[０,２])的值域是[－２,４],故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 职教高考总复习　数学 ６．若函数f(x)＝x２－２ax＋３在(２,＋∞)上是增函 数,则实数a的取值范围是　　　 ． 解析:由已知可得函数f(x)＝x２－２ax＋３的图 象为开口向上的抛物线,对称轴方程为x＝a, 又函数在(２,＋∞)上是增函数,故可得a≤２, 综上所述,答案是(－∞,２]． 答案:(－∞,２] ７．已知函数y＝f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,且 f(２x－３)＞f(５x－６),求实数x 的取值范围为 　　　　． 解析:因为函数y＝f(x)在(－∞,＋∞)上是增函 数,且f(２x－３)＞f(５x－６), 所以２x－３＞５x－６,解得x＜１, 即实数x的取值范围为(－∞,１)． 答案:(－∞,１) ８．若函数f(x)＝|２x＋a|的单调递增区间是[３,＋∞), 则a＝　　　　． 解析:f(x)＝ ２x＋a,x≥－a２ －２x－a,x＜－a２ ì î í ï ï ïï ,∴f(x)的单调 递增区间是 －a２ ,＋∞[ öø÷,∴－ a ２＝３ ,即a＝－６． 答案:－６ ９．设a为实数,已知函数y＝f(x)在定义域R上是减 函数,且f(a＋１)＞f(２a),求a的取值范围． 解:因为函数y＝f(x)在定义域 R上是减函数,且 f(a＋１)＞f(２a),所以a＋１＜２a,解得a＞１,所以 a的取值范围(１,＋∞)． [综合题组练] １．(多选)如图是定义在区间[－５,５]上的函数y＝ f(x),则下列关于函数f(x)的说法正确的是 (　　 ) A．函数在区间[－５,－３]上单调递增 B．函数在区间[１,４]上单调递增 C．函数在区间[－３,１]∪[４,５]上单调递减 D．函数在区间[－５,５]上没有单调性 解析:ABD　[由题图可知,f(x)在区间[－３,１], [４,５]上单调递减,单调区间不可以用并集“∪”连 接,故不选C．] ２．函数y＝|x|(１－x)在区间A 上是增函数,那么区 间A 可能是 (　　 ) A．(－∞,０) B．０,１２[ ] C．[０,＋∞) D．１２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 解析:B　[y＝|x|(１－x)＝ x(１－x),x≥０ －x(１－x),x＜０{ ＝ －x２＋x,x≥０ x２－x,x＜０{ ＝ － x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１４ ,x≥０, x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ －１４ ,x＜０． ì î í ï ï ï ï 画出函 数的图象如图所示． 由图易知原函数在 ０,１２[ ] 上单调递增．故选B．] ３．(２０２３􀅰春招,７)若函数f(x)＝(m－２)x＋４在 (－∞,＋∞)上是减函数,则实数m 的取值范围是 (　　) A．(－∞,０) B．(－∞,２) C．(０,＋∞) D．(２,＋∞) 解析:B　[∵f(x)为减函数,∴m－２＜０,即m＜２, 故选B]． ４．若函数f(x)＝ax＋１在R上递减,则函数g(x)＝ a(x２－４x＋３)的增区间是　　 　 ． 解析:因为函数f(x)＝ax＋１在 R上递减,所以a ＜０,所以g(x)＝a(x２－４x＋３)＝a[(x－２)２－１] 的增区间是(－∞,２)． 答案:(－∞,２) ５．已知f(x)＝ xx－a (x≠a)． (１)若a＝－２,证明:f(x)在(－∞,－２)上单调 递增; (２)若a＞０且f(x)在(１,＋∞)上单调递减,求a 的取值范围． 解:(１)证明:当a＝－２时,f(x)＝ xx＋２． 设x１＜x２＜－２, 则 f (x１ ) － f (x２ ) ＝ x１ x１＋２ － x２ x２＋２ ＝ ２(x１－x２) (x１＋２)(x２＋２) ． 因为(x１＋２)(x２＋２)＞０,x１－x２＜０, 所以f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２), 所以f(x)在(－∞,－２)上单调递增． (２)设１＜x１＜x２, 则f(x１)－f(x２)＝ x１ x１－a － x２ x２－a ＝ a(x２－x１) (x１－a)(x２－a) ． 因为a＞０,x２－x１＞０, 所以要使f(x１)－f(x２)＞０, 只需(x１－a)(x２－a)＞０恒成立,所以a≤１． 综上所述,０＜a≤１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第三章　函数