2.3 一元一次不等式(组)与含绝对值的不等式-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

２．３　一元一次不等式(组)与含绝对值的不等式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P２０ [知识点一]　区间及有关概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．一般区间的表示:设a,b∈R,且a＜b,规定如下: 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b}闭区间 [a,b] {x|a＜x＜b}开区间 (a,b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a,b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a,b] ２．特殊区间的表示: 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞,＋∞) [a,＋∞) (a,＋∞) (－∞,a] (－∞,a) [知识点二]　一元一次不等式及其解法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:只含有一个未知数,并且未知数的次数是１ 且系数不等零的不等式叫一元一次不等式,其一般 形式为ax＞b或ax＜b． ２．一元一次不等式的解法步骤,即包含先去分母、去 括号、再移项、 合并同类项、化系数为１等五个步骤． [知识点三]　一元一次不等式组及其解法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一元一次不等式组解集的四种情况(a＜b) x＞a x＞b{ 解集:(b,＋∞),口诀:同大取大． x＜a x＜b{ 解集:(－∞,a),口诀:同小取小． x＞a x＜b{ 解集:(a,b),口诀:大小小大中间找． x＜a x＞b{ 解集:⌀,口诀:大大小小找不到． [知识点四]　含绝对值的不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．绝对值的意义:|a|＝ a,(a＞０) ０,(a＝０) －a,(a＜０) ì î í ï ï ï ï ２．实数a的绝对值|a|的几何意义:在数轴上表示对 应实数a的点到原点的距离． ３．若m＞０,|x|≤m⇔－m≤x≤m;|x|≥m⇔x≤－ m 或x≥m． ４．含绝对值不等式的解法: (１)若c＞０,|ax＋b|＜c⇔－c＜ax＋b＜c;|ax＋b|＞ c⇔ax＋b＜－c或ax＋b＞c． (２)若c＜０,|ax＋b|＜c⇔x∈Ø;|ax＋b|＞c⇔x ∈R． [基础自测] １．不等式３x＋２＜２x＋３的解集在数轴上表示正确 的是 (　　) 答案:D ２．不等式x２－ x－１ ３ ≤１ 的解集是 (　　) A．x≤４ B．x≥４ C．x≤－１ D．x≥－１ 答案:A ３．关于x的不等式４x＋a５ ≥１ 的解集如图所示,则a 的值是 (　　) A．９ B．－９ C．５ D．－５ 解析:A　[去分母得:４x＋a≥５,移项得:４x≥５－ a,系数化为１得:x≥５－a４ ,根据数轴图知解集为 x≥－１,∴５－a４ ＝－１ ,∴a＝９．故选 A．] ４．如果关于x 的不等式(a＋１)x＞a＋１的解集为 x＜１,那么a的取值范围是 (　　) A．a＞０ B．a＜０ C．a＞－１ D．a＜－１ 答案:D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 职教高考总复习　数学 ５．下列说法正确的是 (　　 ) A．不等式组 x＞３ x＞５{ 的解是５＜x＜３,即解集为:(５,３) B． x＞－２ x＜－３{ 的解是－３＜x＜－２,即解集为: 　(－２,－３) C． x≥２ x≤２{ 的解是x＝２,即解集为:{２} D． x＜－３ x＞－３{ 的解是x≠－３,即解集为:{x|x≠－３} 解析:C　[不 等 式 组 x＞３ x＞５{ 的 解 集 是 (５,＋∞); x＞－２ x＜－３{ 无 解; x≥２ x≤２{ 的 解 集 是 {x|x ＝２}; x＜－３ x＞－３{ 无解．故选C．] ６．解下列不等式: (１)|２x－１|＜３; (２)|３－２x|＞５; (３)２＜|x－１|＜３． 解析:(１)由|２x－１|＜３,得－３＜２x－１＜３,即－２ ＜２x＜４,故不等式的解集为{x|－１＜x＜２}． (２)由|３－２x|＞５,得|２x－３|＞５,即２x－３＜－５ 或２x－３＞５,所以x＜－１或x＞４, 所以不等式的解集为:{x|x＜－１或x＞４}． (３)法一:原不等式等价于 |x－１|＞２ |x－１|＜３{ , 即 x－１＜－２或x－１＞２ －３＜x－１＜３{ , x＜－１或x＞３ －２＜x＜４{ , 所以,不等式的解集为:(－２,－１)∪(３,４)． 法二:原不等式等价于２＜x－１＜３或２＜１－x＜ ３,即３＜x＜４或－２＜x＜－１, 所以,不等式的解集为:(－２,－１)∪(３,４)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P２１ 用区间表示数集 [例１]　把下列数集用区间表示: (１){x|x≥－２};(２){x|x＜０};(３){x|－１＜x＜ １,或２≤x＜６}． [解析]　(１){x|x≥－２}用区间表示为[－２,＋∞); (２){x|x＜０}用区间表示为(－∞,０); (３){x|－１＜x＜１,或２≤x＜６}用区间表示为 (－１,１)∪[２,６)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　熟悉记牢区间的表达方式． １．已知区间[－２a,３a＋５],则a的取值范围为　　 　　． 解析:由题意可知３a＋５＞－２a,解得a＞－１．故a 的取值范围是(－１,＋∞)． 不等式(组)的解法 [例２]　(１)不等式２x－１＞１２x 的解是　　　　． (２)一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所 示,则下列符合条件的不等式组为 (　　 ) A． x＞２ x≤－１{ B． x＜２ x＞－１{ C． x＜２ x≥－１{ D． x＜２ x≤－１{ (１)[解析]　去分母得,４x－２＞x, 移项得,４x－x＞２,合并同类项得,３x＞２, 系数化为１得,x＞２３． [答案]　x＞２３． (２)C　[由题图示可看出,从－１出发向右画出的 折线且表示－１的点是实心圆,表示x≥－１; 从２出发向左画出的折线且表示２的点是空心圆, 表示x＜２,所以这个不等式组的解集为－１≤x＜ ２,即: x＜２ x≥－１{ ．故选C．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第二章　方程与不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．解一元一次不等式,熟知解一元一次不等式的步 骤:先去分母,去括号,再移项,合并同类项,化系 数为１,是解答此题的关键． ２．考查了不等式的解集,不等式的解集在数轴上表 示出来的方法:“＞”空心圆点向右画折线,“≥”实 心圆点向右画折线,“＜”空心圆点向左画折线, “≤”实心圆点向左画折线,熟知实心圆点与空心 圆点的区别是解答此题的关键． ３．用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:一是 定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可．定 边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含 于解集为实心点,不含于解集即为空心点;二是定 方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”． ２．不等式组 x－１＞０① ４－２x≥０②{ 的解集在数轴上表示为 (　　 ) 解析:C　[ x－１＞① ４－２x≥０②{ , 由①得x＞１; 由②得x≤２, 故此不等式组的解集为:{x|１＜x≤２}． 在数轴上表示为: 故选C．] 　　　确定不等式(组)中字母的取值范围 [例３]　若关于x的不等式组 ２x＞３x－３ ３x－a＞５{ 有实数解, 则a的取值范围是　　 　． [解析]　 ２x＞３x－３① ３x－a＞５②{ ,由①得,x＜３,由②得, x＞５＋a３ , ∵此不等式组有实数解,∴５＋a３ ＜３ , 解得a＜４． [答案]　a＜４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　由不等式的性质求出每个不等式的解集,然后 根据不等式的解集得出关于a的不等式;要熟知解 一元一次不等式(组)的过程,注意逆向思维． ３．若关于x的不等式 ４＋x ３ ＞ x＋２ ２ x＋a ２ ＜０ ì î í ï ï ï ï 的解集为(－∞,２), 则a的取值范围是　　　　 　． 解: ４＋x ３ ＞ x＋２ ２ ① x＋a ２ ＜０② ì î í ï ï ï ï , 解不等式①得x＜２,解不等式②得x＜－a,∵不等 式组的解集是(－∞,２),∴－a≥２,∴a≤－２． 答案:a≤－２ 解含绝对值的不等式 [例４]　已知|x－１|＜a(a＞０)的解集是(－１,c),则 a＋c的值等于　　　　． [解析]　由|x－１|＜a(a＞０),得－a＜x－１＜a, 所以 有 １－a＜x＜１＋a,因 为 不 等 式 的 解 集 为 (－１,c),所以１－a＝－１,１＋a＝c,解得a＝２,c＝３, 所以a＋c的值为５． [答案]　５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．解含绝对值不等式,首先根据|x|≤m 或|x|≥m 去绝对值符号(或|ax＋b|＜c,|ax＋b|＞c) ２．再根据一元一次不等式(组)的解法求解． ４．不等式|２x－３|≤１的解集是 (　　) A．{x|１＜x＜２} B．{x|x＞２或x＜１} C．{x|x≥２或x≤１} D．{x|１≤x≤２} 答案:D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 职教高考总复习　数学 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P２２ [基础题组练] １．若|－x|＝－x,则实数x满足 (　　) A．x＞０ B．x＜０ C．x≤０ D．x≥０ 答案:C ２．不等式组中的两个不等式的解在数轴上表示如图 所示,则此不等式组可是 (　　 ) A． x≥０ x≥１{ B． x≤０ x≤１{ C． x≥０ x≤１{ D． x≤０ x≥１{ 答案:A ３．若不等式组 x＞３ x＞a{ 的解集是x＞a,则a的取值范 围是 (　　 ) A．a＜３ B．a＝３ C．a＞３ D．a≥３ 解析:D　[由于不等式组 x＞３ x＞a{ 的解集是x＞a,依 据不等 式 组 的 解 集“大 大 取 大”的 确 定 方 法 可 知 a≥３,故选 D．] ４．不等式|x＋２|＜－６的解集是 (　　) A．{x|x＜４} B．{x|x＜－４} C．⌀ D．R 答案:C ５．不等式|３x－４|＜２的解集为 (　　) A．{x|x＞２} B．x|２３＜x＜２{ } C．x|x＜２３{ } D．x|x＜２３ ,或x＞２{ } 答案:B ６．已知不等式|x－４|＜m(m＞０)的解集是(－２,n), 则m＋n的值为　　　　． 答案:１６ ７．不等式２＜|x|≤５的解集是　　　　． 答案:{x|－５≤x＜－２,或２＜x≤５} ８．不等式２|x|－５＞３的解集为　　　　． 答案:{x|x＜－４,或x＞４} ９．不等式|４－５x|＜１１(x∈Z)的解集是　　　　． 答案:{－１,０,１,２} １０．解不等式:|２x－１|＞３x． 解:原不等式可化为 ２x－１≥０ ２x－１＞３x{ ,或 ２x－１＜０ １－２x＞３x{ , 解不等式组,得x∈ －∞,１５ æ è ç ö ø ÷． [综合题组练] １．设集合A＝{x||x－１|＜２},则下列各式正确的是 (　　) A．１∉A B．{１}∈A C．１∈A D．１⊆A 答案:C ２．不等式|２x－５|＜m 的解集是空集,则m 的取值范 围是 (　　) A．m≥０ B．m≤０ C．m＞０ D．m＜０ 答案:B ３．已知不等式|２x＋a|＞b(b＞０)的解集为{x|x＞３ 或x＜－２},则a＝ 　, b＝　　　　． 答案:－１,５ ４．若不等式|x＋m|≤n＋１的解集是{x|－１≤x≤ １},则m＋n的值为　　　　． 解析:因为|x＋m|≤n＋１, 所以－１－n≤x＋m≤n＋１,即－１－n－m≤x≤ n＋１－m,又不等式|x＋m|≤n＋１的解集是{x|－ １≤x≤１},所以 －１－n－m＝－１ n＋１－m＝１{ , 解得m＝n＝０,所以m＋n＝０． 答案:０ ５．解关于x不等式:ax－b＞３－２x(a,b∈R)． 解:原不等式可以化为(a＋２)x＞b＋３,所以 (１)当a＞－２时,a＋２＞０,不等式的解为x＞b＋３a＋２． (２)当a＜－２时,a＋２＜０,不等式的解为x＜b＋３a＋２． (３)当a＝－２时,a＋２＝０,这时原不等式转化为 ０＞b＋３． ①如果b＜－３,则不等式的解为全体实数; ②如果b≥－３,则不等式无解． 综 上 所 述,当 a＞ －２ 时,原 不 等 式 的 解 集 是 x x＞b＋３a＋２}{ ; 当a＜－２时,原不等式的解集是 x x＜b＋３a＋２}{ ; 当a＝－２且b＜－３时,原不等式的解集是R; 当a＝－２且b≥－３时,原不等式的解集是∅． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第二章　方程与不等式