2.2 不等式的性质-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

２．２　不等式的性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１７ [知识点一]　实数大小的基本性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．a－b＞０⇔a＞b;２．a－b＝０⇔a＝b; ３．a－b＜０⇔a＜b． [知识点二]　不等式的基本性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．传递性:如果a＞b,b＞c,那么a＞c． ２．加法法则:如果a＞b,那么a＋c＞b＋c． ３．乘法法则:如果a＞b,c＞０,那么ac＞bc．如果a＞b, c＜０,那么ac＜bc． [知识点三]　不等式性质的相关推论 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．移项法则:a＋b＞c⇒a＞c－b． ２．不等式相加法则:a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d． ３．不等式相乘法则:a＞b＞０,c＞d＞０⇒ac＞bd． ４．乘方法则:a＞b＞０⇒an＞bn(n≥２,n∈N∗ ) [知识点四]　几个常用重要不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．a２ ≥０,(a∈R)． ２．(a－b)２ ≥０,当且仅当a＝b时等号成立． ３．a２＋b２ ≥２ab,当且仅当a＝b时等号成立． 思考: １．若a＞b,c＞d,那么a＋c＞b＋d 成立吗? a－c ＞b－d呢? 提示:a＋c＞b＋d成立,a－c＞b－d 不一定成立, 但a－d＞b－c成立． ２．若a＞b,c＞d,那么ac＞bd成立吗? 提示:不一定,但当a＞b＞０,c＞d＞０ 时,一定 成立． [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)a＝b是ac＝ b c 成立的充要条件． (　　) (２)a＞b⇒ac２＞bc２． (　　) (３)若a＋c＞b＋d,则a＞b,c＞d． (　　) (４)同向不等式相加与相乘的条件是一致的． (　　) (５)设a,b∈R,且a＞b,则a３＞b３． (　　) (６)若ab＞１ ,则a＞b． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)√　 (６)× ２．已知a,b,c满足c＜b＜a,且ac＜０,那么下列选项 中一定成立的是 (　　 ) A．ab＞ac B．c(b－a)＜０ C．cb２＜ab２ D．ac(a－c)＞０ 解析:A　[因为c＜b＜a,且ac＜０,所以a＞０,c＜ ０,b的符号不确定,b－a＜０,a－c＞０,b－c＞０,据 此判断 A 成立,B,D不成立,C不一定成立．] ３．若a＞b＞０,c＜d＜０,则下列结论正确的是(　　 ) A．ac－ b d＞０ B． a c－ b d＜０ C．ad＞ b c D． a d＜ b c 解析:D　[因为c＜d＜０,所以０＜－d＜－c, 又０＜b＜a,所以－bd＜－ac,即bd＞ac, 又因为cd＞０,所以bdcd＞ ac cd ,即b c＞ a d． ] ４．若 － π２ ＜α＜β＜ π ２ ,则 α－β 的 取 值 范 围 是　　　　． 解析:由－π２＜α＜ π ２ ,－π２＜－β＜ π ２ ,α＜β, 得－π＜α－β＜０． 答案:(－π,０) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１８ 不等式性质的应用 [例１](特值法)设a,b∈R,则“a＞b”是“a|a|＞b|b|” 的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 [解析]　当b＜０时, 显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|; 当b＝０时,显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|; 当b＞０时,由a＞b有|a|＞|b|, 所以a＞b⇔a|a|＞b|b|． 综上可知a＞b⇔a|a|＞b|b|,故选C． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　解决此类问题常用两种方法:一是直接使用不 等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误 答案． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第二章　方程与不等式 １．(一题多解)已知a＞０＞b,则下列不等式一定成立 的是 (　　 ) A．a２＜－ab B．|a|＜|b| C．１a＞ １ b D． １ ２ æ è ç ö ø ÷ a ＞ １２ æ è ç ö ø ÷ b 解析:C　[通解:当a＝１,b＝－１时,满足a＞０＞ b,此时a２＝－ab,|a|＝|b|, １２ æ è ç ö ø ÷ a ＜ １２ æ è ç ö ø ÷ b ,所以 A,B,D不一定成立,因为a＞０＞b,所以b－a＜０, ab＜０,所以１a－ １ b＝ b－a ab ＞０ ,所以１ a＞ １ b 一定成 立,故选C． 优解:因为a＞０＞b,所以１a＞０＞ １ b ,所以１ a＞ １ b 一 定成立．故选C．] 数(式)的大小比较 [例２]　已知a＞b,e＞f,c＞０,求证:f－ac＜e－bc． [证明]　(１)因为a＞b,c＞０,所以ac＞bc,即－ac ＜－bc．又e＞f,即f＜e,所以f－ac＜e－bc． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (１)作差法比较的步骤:作差 →变形 →定号 → 结论． (２)变形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④分 母或分子有理化;⑤分类讨论． ２．已知x＞１,a＝x３－１,b＝x２－x,则 (　　 ) A．a＞b＞０ B．b＞a＞０ C．a＞b＞１ D．b＞a＞１ 解析:A　[利用作差法比较大小．因为x＞１,所以 a－b＝x３－x２＋x－１＝x２(x－１)＋(x－１)＝(x－ １)(x２＋１)＞０,b＝x(x－１)＞０,所以a＞b＞０．故 选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１８ [基础题组练] １．若f(x)＝３x２－x＋１,g(x)＝２x２＋x－１,则f(x), g(x)的大小关系是 (　　 ) A．f(x)＝g(x) B．f(x)＞g(x) C．f(x)＜g(x) D．随x的值变化而变化 答案:B ２．已知a,b∈R,若a＞b,１a＜ １ b 同时成立,则 (　　 ) A．ab＞０ B．ab＜０ C．a＋b＞０ D．a＋b＜０ 答案:A ３．若m＜０,n＞０且m＋n＜０,则下列不等式中成立 的是 (　　 ) A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m 答案:D ４．已知a,b为非零实数,且a＜b,下列不等式一定成 立的是 (　　 ) A．a２＜b２ B．ab２＞a２b C．１ ab２ ＜ １ a２b D．ba＜ a b 解析:C　[若a＜b＜０,则a２＞b２,故 A 错;若０＜a ＜b,则ba＞ a b ,故 D错;若ab＜０,即a＜０,b＞０,则 a２b＞０＞ab２,１ a２b ＞０＞ １ ab２ ,故 B 错;C 正确．所以 选C．] ５．设a,b∈R,则 “a＞２ 且b＞１”是 “a＋b＞３ 且 ab＞２”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析:A　[若a＞２且b＞１,则由不等式的同向可 加性可得a＋b＞２＋１＝３,由不等式的同向同正可 乘性可得ab＞２×１＝２．即“a＞２且b＞１”是“a＋b ＞３且ab＞２”的充分条件．反之,若“a＋b＞３且ab ＞２”,则“a＞２且b＞１”不一定成立,如a＝６,b＝ １ ２． 所以“a＞２且b＞１”是“a＋b＞３且ab＞２”的充 分不必要条件．故选 A．] ６．已知下列四个条件:①b＞０＞a,②０＞a＞b,③a＞０ ＞b,④a＞b＞０,能推出１a＜ １ b 成立的有 (　　 ) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 解析:C　[由不等式的倒数性质易知条件①,②,④ 都能推出１ a＜ １ b． 由a＞０＞b得１a＞ １ b ,故能推出 １ a＜ １ b 成立的条件有３个．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 职教高考总复习　数学 ７．已知－２＜x＜２,１＜y＜３,则x－２y的取值范围是 (　　 ) A．(－８,０) B．(－８,２) C．(－４,２) D．(－１０,－２) 解析:A　[因为１＜y＜３,所以－６＜－２y＜－２,又 因为－２＜x＜２,所以－８＜x－２y＜０．故选 A．] ８．(多选)设b＞a＞０,c∈R,则下列不等式中正确 的是 (　　 ) A．a １ ２ ＜b １ ２ B．１a－c＞ １ b－c C．a＋２b＋２＞ a b D．ac ２＜bc２ 解析:ABC　[因为y＝x １ ２ 在(０,＋∞)上是增函数, 所以a １ ２ ＜b １ ２ ．因为y＝１x－c 在(０,＋∞)上是减函 数,所以１ a－c＞ １ b－c． 因为a＋２ b＋２－ a b ＝ ２(b－a) (b＋２)b＞ ０,所以a＋２b＋２＞ a b． 当c＝０时,ac２＝bc２,所以D不成 立．故选 ABC．] ９．若a１＜a２,b１＜b２,则a１b１＋a２b２ 与a１b２＋a２b１ 的大 小关系是　　　　． 解析:作差可得(a１b１＋a２b２)－(a１b２＋a２b１)＝ (a１－a２)􀅰(b１－b２),因为a１＜a２,b１＜b２, 所以(a１－a２)(b１－b２)＞０,即a１b１＋a２b２＞a１b２ ＋a２b１． 答案:a１b１＋a２b２＞a１b２＋a２b１ １０．设a＞b,有下列不等式:①a c２ ＞b c２ ;②１a ＜ １ b ; ③|a|＞|b|;④a|c|≥b|c|,其中一定成立的有 　　　　．(填正确的序号) 解析:对于①,１ c２ ＞０,故①成立; 对于②,a＞０,b＜０时不成立; 对于③,取a＝１,b＝－２时不成立; 对于④,|c|≥０,故④成立． 答案:①④ [综合题组练] １．已知条件甲:a＞０,条件乙:a＞b且１a＞ １ b ,则甲是 乙的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:B　[由a＞０不能推出a＞b且１a＞ １ b ,故甲 不是乙的充分条件．若a＞b且１a＞ １ b ,即a＞b且 b－a ab ＞０ ,则ab＜０,所以a＞０,b＜０．所以由a＞b 且１ a＞ １ b 能推出a＞０．故甲是乙的必要条件．所以 甲是乙的必要不充分条件．] ２．已知１＜a＜４,２＜b＜８,则２a＋b的取值范围是 (　　 ) A．１＜２a＋b＜４ B．２＜２a＋b＜８ C．４＜２a＋b＜１６ D．４＜２a＋b＜８ 解析:C　[由１＜a＜４可得２＜２a＜８,而２＜b＜８, 故４＜２a＋b＜１６,故选C．] ３．若角α,β满足－ π ２＜α＜β＜π ,则α－β的取值范 围是 (　　 ) A．－３π２ ,３π ２ æ è ç ö ø ÷ B．－３π２ ,０æ è ç ö ø ÷ C．０,３π２ æ è ç ö ø ÷ D．－π２ ,０æ è ç ö ø ÷ 解析:B　[∵－π２＜α＜π ,－π２＜β＜π ,∴－π＜－β＜ π ２ ,∴－３π２＜α－β＜ ３π ２． 又α＜β,∴α－β＜０,从而－ ３π ２ ＜α－β＜０．] ４．若bc－ad≥０,bd＞０,求证:a＋bb ≤ c＋d d ． 证明:∵bc－ad≥０,∴bc≥ad,∴bc＋bd≥ad＋bd, 即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd＞０,两边同除以bd得a＋bb ≤ c＋d d ． ５．a＜b＜０,求证:ba＜ a b． 证明:由于b a－ a b＝ b２－a２ ab ＝ (b＋a)(b－a) ab , ∵a＜b＜０,∴b＋a＜０,b－a＞０,ab＞０, ∴ (b＋a)(b－a) ab ＜０ ,故b a＜ a b． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第二章　方程与不等式