2.1 一元二次方程(配方法与一元二次方程)-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

思 维 导 图 ２．１　一元二次方程(配方法与一元二次方程) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１３ [知识点一]　一元二次方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 概念:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是二次的整式方程叫作一元二次方程,它的一般形 式为ax２＋bx＋c＝０(a≠０),其中,a称为方程的二 次项系数,b称为一次项系数,c称为常数项． [知识点二]　一元二次方程的解法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．配方法: (１)配方法解题步骤: ①ax２＋bx＝－c􀆺移常数项． ②x２＋bax＝－ c a 􀆺达标(二次项系数化１)． ③x２ ＋bax＋ b ２a æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ －ca ＋ b ２a æ è ç ö ø ÷ ２ 􀆺 搭配常 数项． ④ x＋b２a æ è ç ö ø ÷ ２ ＝b ２－４ac ４a２ 􀆺配方得到完全平方式． ⑤开方转化成一次方程求解,或直接利用实数平 方的性质求解,具体如下: 当判别式 Δ＝b２－４ac＞０时,方程有两个不相等 的实数根,即x＝－b± b ２－４ac ２a ; 当判别式 Δ＝b２－４ac＝０时,方程有两个相等的 实数根,即x＝－b２a ; 当判别式Δ＝b２－４ac＜０时,方程无实数根． 总之,当Δ＝b２－４ac≥０时,一元二次方程的求根 公式为x＝－b± b ２－４ac ２a ． [注意]　解一元二次方程“ax２＋bx＋c＝０(a≠ ０)”进行配方时,要注意保持同解变形:可将等式 两边同时除以系数a,即将二次项系数化为１(等 式右边仍然为零)．配方法适用于全部一元二次方 程的求解． 例如:x２＋６x－１６＝０的一元二次方程的转化解 题步骤: x２＋６x－１６＝０移项→x２＋６x＝１６, 两边加(６/２)２ 使左边配成x２＋２bx＋b２ 的形式→ x２＋６x＋３２＝１６＋９, 左边写成平方形式→(x＋３)２＝２５,降次→x＋３＝ ±５,即x＋３＝５或x＋３＝－５, 解一次方程→x１＝２,x２＝－８． 像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解 一元二次方程的方法,叫配方法． 可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方 程转化为两个一元一次方程来解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 (２)配方法解一元二次方程的一般步骤总结: ①先将已知方程化为一般形式; ②化二次项系数为１; ③常数项移到右边; ④方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使 左边配成一个完全平方式; ⑤变形为(x＋p)２＝q的形式,如果q≥０,方程的 根是x＝－p±;如果q＜０,方程 q无实根． 用配方法解一元二次方程,移项时需注意改变 符号． ２．求根公式法: 求根公式:x＝－b± b ２－４ac ２a (Δ＝b２－４ac≥０)． ３．因式分解法: ①提取公因式法;②公式法(平方差公式和完全平 方公式);③十字相乘法． ４．利用根与系数的关系:设一元二次方程ax２＋bx＋c ＝０(a≠０)的两个实数根分别为x１,x２,则x１＋x２ ＝－ba ,x１􀅰x２＝ c a． 常用变形: ①x２１＋x２２＝(x１＋x２)２－２x１x２; ②(x１－x２)２＝(x１＋x２)２－４x１x２． [基础自测] １．方程x２－３＝０的根是 (　　 ) A．３ B．－ ３ C．± ３ D．３ 解析:C　[∵x２－３＝０,∴x２＝３,∴x＝± ３,故 选C．] ２．一元二次方程x２－６x－１１＝０配方后是 (　　) A．(x－３)２＝２ B．(x－３)２＝２０ C．(x＋３)２＝２ D．(x＋３)２＝２０ 解析:B　[x２－６x－１１＝０,∴x２－６x＝１１,∴x２－ ６x＋９＝１１＋９,∴(x－３)２＝２０,故选B．] ３．若一元二次方程x２＝m有解,则m的取值为 (　　 ) A．正数 B．非负数 C．一切实数 D．零 解析:B　[当m≥０时,一元二次方程x２＝m 有解． 故选B．] ４．用直接降次的方法解方程(２x－１)２＝x２,做法正确 的是 (　　 ) A．２x－１＝x B．２x－１＝－x C．２x－１＝±x D．２x－１＝±x２ 解析:C　[一元二次方程(２x－１)２＝x２,表示两个 式子的平方相等,因而这两个数相等或互为相反数, 据此即可把方程转化为两个一元一次方程,即开方得 ２x－１＝±x,故选C．] ５．若x２＋６x＋m２ 是一个完全平方式,则m 的值是 (　　 ) A．３ B．－３ C．±３ D．以上都不对 解析:C　[x２＋６x＋m２＝x２＋６x＋９,∴m２＝９, m＝±３．] ６．把方程x２－３＝２x用配方法化为(x＋m)２＝n的形 式,则m＝　　　,n＝　　　． 解析:∵x２－３＝２x,∴x２－２x＝３,则x２－２x＋１＝ ３＋１,即(x－１)２＝４,∴m＝－１,n＝４． 答案:－１,４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１４ 配方法解一元二次方程 [例１]　(１)解方程x２＋６x＋４＝０． (２)请用配方法解方程:－２x２＋５x＋３＝０． (１)[解]　移项:把常数项移到方程的右边, 得x２＋６x＝－４; 配方:两边都加９,使得左边配成x２＋２bx＋b２ 的形 式,得x２＋６x＋９＝５; 变形:把左边写成完全平方形式,得(x＋３)２＝５; 降次:运用平方根的定义把方程转化为两个一元一 次方程,得x＋３＝± ５;求解:解两个一元一次方程, 得x１＝５－３,x２＝－５－３． (２)[解析]　 移 项 得,－２x２＋５x＝－３;达 标 得 x２－５２x＝ ３ ２ ;配 方 得 x２ － ５２x＋ ５ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ３２ ＋ ５ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ,即 x－５４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４９１６ ; 开方得x－５４＝± ７ ４ ,即x＝５±７４ ; 解得x１＝ ５－７ ４ ＝－ １ ２ ,x２＝ ５＋７ ４ ＝３． 所以原方程有两个实数根:x１＝－ １ ２ ,x２＝３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　用配方法解一元二次方程时,达标是指将二 次项系数化为１;搭配常数项进行配方时,是指在 等式两边同时加上一次项系数一半的平方．另外, 若对二次三项式“－２x２＋５x＋３”进行配方,则结 果为: －２x２＋５x＋３＝－２x－５４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋４９８ ,不能将系数 －２略去,应注意它们的区别． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第二章　方程与不等式 １．用配方法解一元二次方程３x２－６x＋４＝０,配方后 得到的方程是 (　　) A．(x－１)２＝１３ B． (x－３)２＝１３ C．(x－１)２＝－１３ D． (x－３)２＝－１３ 解析:C　[∵３x２－６x＋４＝０,∴x２－２x＝－４３ , ∴x２－２x＋１＝－１３ ,即(x－１)２＝－１３． 故选C．] 用求根公式法解一元二次方程 [例２]　请用求根公式法解方程:２x２－７x＋３＝０． [解析]　 由 题 意 得a＝２,b＝－７,c＝３,则 Δ＝ (－７)２－４×２×３＝２５＞０,所以方程有两个不相等的 实数根． 根据求 根 公 式 得x＝－b± b ２－４ac ２a ＝ ７± ２５ ２×２ ＝ ７±５ ４ ,解得x１＝ １ ２ ,x２＝３． 所以原方程有两个实数根:x１＝ １ ２ ,x２＝３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　本题主要考查用求根公式法解一元二次方 程:判断Δ,代入求根公式 x＝－b± b ２－４ac ２a ,求解,结论． 求根公式法主要适用于判别式Δ＝b２－４ac≥０的 一元二次方程的求解;在求判别式Δ＝b２－４ac的 数值时,应注意将符号和数字同时代入系数a,b, c,如本题中一次项系数b的值为－７,而不是７． ２．请用公式法解一元二次方程:x２－４x－１＝０． 解析:由 题 意 得a＝１,b＝－４,c＝－１,则 Δ＝ (－４)２－４×１×(－１)＝２０＞０,所以方程有两个不 相 等 的 实 数 根．根 据 求 根 公 式 得 x ＝ －b± b２－４ac ２a ＝ ４± ２０ ２×１ ＝２± ５ ,解得x１＝２－ ５,x２＝２＋ ５．所以原方程有两个实数根:x１＝２－ ５,x２＝２＋ ５． 因式方解法解一元二次方程 [例３]　请用因式分解法解方程:①x２－４x＝０;②x２ －４＝０;③－６x２＋５x＋６＝０． [解析]　①用“提取公因式法”进行因式分解: x(x－４)＝０,解得x１＝０,x２＝４; ②用“公式(平方差公式)法”进行因式分解: (x＋２)(x－２)＝０,解得x１＝－２,x２＝２; ③用“十字相乘法”进行因式分解:原方程可化为 ６x２－５x－６＝０,即(３x＋２)(２x－３)＝０,解得x１＝ －２３ ,x２＝ ３ ２． 图解如下: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　本题主要考查用因式分解法解一元二次方程, 注意选择恰当的因式分解方法:提取公因式法、公式 法、十字相乘法．在选择用“十字相乘法”进行因式分 解时,应记住口诀“竖分常数交叉验,横写因式不能 乱”;“十字”左边相乘等于二次项,右边相乘等于 常数项,交叉相乘再相加等于一次项．该方法的关 键是把二次项系数a分解成两个因数a１,a２ 的积 a１􀅰a２,把常数项c分解成两个因数c１,c２ 的积c１ 􀅰c２,并使a１c２＋a２c１ 恰好是一次项的系数b,即 可以写成:ax２＋bx＋c＝(a１x＋c１)(a２x＋c２)．因 此,一元二次方程就可以化成(a１x＋c１)(a２x＋ c２)＝０ 的 形 式,从 而 进 一 步 转 化 为 一 次 方 程 求解． 　　“公式法”包括“平方差公式和完全平方公式” 两种方法;“十字相乘法”进行因式分解时关键是 要把二次项系数a和常数项c各分解成两个因数 的乘积,使得交叉相乘之后的和恰好等于一次项 的系数b．因式分解时要横向书写． ３．请用因式分解法解一元二次方程:①x(x＋１)－ ２(x＋１)＝０;②x２－６x＋９＝０;③２x２－５x－３＝０． 解析:①提取公因式法:(x＋１)(x－２)＝０, x１＝－１,x２＝２;②完全平方公式法:(x－３)２＝０, x１＝x２＝３;③十字相乘法:(２x＋１)(x－３)＝０, x１＝－ １ ２ ,x２＝３． 　一元二次方程根与系数的关系 [例４]　若m、n是方程x２－x－２０２２＝０的两根,则 m２＋m＋２n的值为 (　　 ) A．２０２５ B．２０２４ C．２０２３ D．２０２２ [解析]　B　[∵m,n 是方程x２－x－２０２２＝０的 两个实数根,∴m＋n＝１,m２－m－２０２２＝０,∴m２ －m＝２０２２,∴m２＋m＋２n＝(m２－m)＋２(m＋n) ＝２０２２＋２×１＝２０２４,故选B．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 职教高考总复习　数学 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　本题主要考查一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理)、根的判别式以及常用变形:x１＋x２＝ －ba ,x１􀅰x２＝ c a ;Δ＝b２－４ac＞０;x２１＋x２２＝ (x１＋x２)２－２x１x２,(x１－x２)２＝(x１＋x２)２－４x１x２． 注意“x１＋x２＝－ b a ”,不要误认为“x１＋x２＝ －b２a ”或“x１＋x２＝ b a ”．另外,在求出 m１＝－１, m２＝５,应注意检验方程是否存在实数根． ４．已知方程５x２＋mx－６＝０的一个根是２,求它的另 一个根及m 的值． 解析:由题意得,x１＝２,设该方程的另一个实数根 为x２,则由x１􀅰x２＝－ ６ ５ 得,２x２＝－ ６ ５ ,解得x２＝ －３５ ,将x＝２代入原方程得,５×２２＋２m－６＝０, 解得m＝－７．所以该方程的另一个根为x２＝－ ３ ５ , 实数m＝－７． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１６ [基础题组练] １．一元二次方程y２－y－３４＝０ 配方后可化为 (　　 ) A．y＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１ B．y－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１ C．y＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３４ D．y－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３４ 答案:B ２．用配方法解下列方程,其中应在方程的左右两边同 时加上４的是 (　　 ) A．x２－２x＝５ B．x２＋４x＝５ C．x２＋２x＝５ D．２x２－４x＝５ 答案:B ３．用配方法解下列方程时,配方正确的是 (　　 ) A．方程x２－６x－５＝０,可化为(x－３)２＝４ B．方程y２－２y－２０２０＝０,可化为(y－１)２＝２０２０ C．方程a２＋８a＋９＝０,可化为(a＋４)２＝２５ D．方程２x２－６x－７＝０,可化为 x－３２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２３４ 答案:D ４．一元二次方程式x２－８x＝４８可表示成(x－a)２＝ ４８＋b的形式,其中a,b为整数,求a＋b之值为 (　　 ) A．２０ B．１２ C．－１２ D．－２０ 解析:A　[x２－８x＝４８表示成(x－a)２＝４８＋b的 形式为 (x－４)２ ＝６４,∴a＝４,b＝１６,∴a＋b＝２０,故 选 A．] ５．若一元二次方程x２＋bx＋５＝０配方后为(x－２)２ －k＝０,则b、k的值分别是 (　　 ) A．０、５ B．０、１ C．－４、－１ D．－４、５ 解析:C　[∵(x－２)２－k＝０,∴x２－４x＋４－k ＝０, ∵一元二次方程x２＋bx＋５＝０配方后为(x－２)２ ＝k, ∴b＝－４,４－k＝５,∴k＝－１, ∴b,k的值分别为－４、－１;故选C．] ６．一元二次方程(x＋６)２＝１６可转化为两个一元一次方 程,其中一个一元一次方程是x＋６＝４,则另一个一元 一次方程是　　　　　　 　． 解析:∵(x＋６)２＝１６,∴x＋６＝４或x＋６＝－４, ∴另一个一元一次方程是x＋６＝－４． 答案:x＋６＝－４ ７．小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入 其中时,会得到一个新的实数a２－２b＋３．若将实数 对(x,－２x)放入其中,得到－１,则x＝　　　　 　 　． 解析:根据题意得x２－２×(－２x)＋３＝－１, 整理得x２＋４x＋４＝０,(x＋２)２＝０,所以x１＝x２＝ －２． 答案:－２ ８．当a＝　　 时,多项式a２＋２a＋１８有最小值,这个 最小值为　　． 解析:对原式进行配方,则原式＝(a＋１)２＋１７ ∵(a＋１)２≥０, ∴当a＝－１时,原式有最小值为１７． 答案:－１　１７ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第二章　方程与不等式 ９．设x１,x２ 是关于x 的方程x２－３x＋k＝０的两个 根,且x１＝２x２,则k＝　　　　． 解析:根据题意,知x１＋x２＝３x２＝３,则x２＝１,将 其代入关于x 的方程x２－３x＋k＝０,得１２－３×１ ＋k＝０．解得k＝２．故答案为２． 答案:２ １０．若a,b,c是△ABC 的三边长,且满足a２＋b２＋c２ －６a－８b－１０c＋５０＝０． (１)求a,b,c的值; (２)请判断△ABC的形状． 解析:(１)∵a２＋b２＋c２－６a－８b－１０c＋５０＝０, ∴(a２－６a＋９)＋(b２－８b＋１６)＋(c２－１０c＋２５) ＝０． ∴(a－３)２＋(b－４)２＋(c－５)２＝０． ∵(a－３)２≥０,(b－４)２≥０,(c－５)２≥０, ∴a－３＝０,b－４＝０,c－５＝０,∴a＝３,b＝４, c＝５． (２)∵５２＝３２＋４２,∴c２＝a２＋b２,∴△ABC 是直角 三角形． [综合题组练] １．对于任意的实数x,代数式x２－５x＋１０的值是 一个 (　　 ) A．非负数 B．正数 C．整数 D．不能确定的数 解析:B　[∵x２ －５x＋１０＝x２ －５x＋ ５２ æ è ç ö ø ÷ ２ － ５ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１０＝ x－５２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１５４ ,故选B．] ２．用配方法解下列方程时,配方错误的是 (　　 ) A．x２＋２x－９９＝０化为(x＋１)２＝１００ B．２x２－７x－４＝０化为 x－７４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝８１１６ C．x２＋８x＋９＝０化为(x＋４)２＝２５ D．３x２－４x－２＝０化为 x－２３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１０９ 解析:C　[在 A 中,x２＋２x－９９＝０,移项得x２＋ ２x＝９９,配方得(x＋１)２＝１００,所以 A 正确;在 B 中,２x２－７x－４＝０可化为x２－７２x＝２ ,配方得 x－７４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝８１１６ ,所以B正确;在C中,x２＋８x＋９＝ ０,移项得x２＋８x＝－９,配方得(x＋４)２＝７,所以C 错误;在 D中,３x２－４x－２＝０可化为x２－４３x＝ ２ ３ ,配方得 x－２３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１０９ ,所以 D正确．故选C．] ３．若方程x２－２x＋(k＋１)＝０有两个正根,则实数k 的取值范围是　　　　． 解 析: 由 Δ＝(－２)２－４×１×(k＋１)≥０ x１＋x２＝２＞０ x１􀅰x２＝k＋１＞０ ì î í ï ï ï ï , 得 k≤０ k＞－１{ ,解得－１＜k≤０． 答案:{k|－１＜k≤０} ４．若方程x２＋２x＋(k＋１)＝０有两个不相等的负根, 则实数k的取值范围是　　　　． 解 析: 由 Δ＝(２)２－４×１×(k＋１)＞０ x１＋x２＝－２＜０ x１􀅰x２＝k＋１＞０ ì î í ï ï ï ï , 得 k＜０ k＞－１{ ,解得－１＜k＜０． 答案:{k|－１＜k＜０} ５．已知关于x的一元二次方程mx２＋(m＋２)x＋m４ ＝０的两实数根为x１,x２． (１)求m 的取值范围; (２)若y＝mx１ ＋mx２ ＋１０,则当m 为何值时,y取得最 大值? 并求出此时的最大值． 解析:(１)根据题意得m≠０且Δ＝(m＋２)２－４m􀅰 m ４≥０ ,解得m≥－１且m≠０,即m 的取值范围为 m≥－１且m≠０; (２)根据根与系数的关系得x１＋x２＝－ m＋２ m , x１x２＝ １ ４ ,y＝m １x１ ＋１x２ æ è ç ö ø ÷＋１０＝m􀅰 x１＋x２ x１x２ ＋１０ ＝m􀅰 －m＋２m １ ４ ＋２＝－４m＋２,∵m≥－１, ∴当m＝－１时, y有最大值,最大值为６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 职教高考总复习　数学