1.3 充要条件与常用逻辑用语-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

４．(２０２３􀅰全国高一)已知集合A＝{x|a－１＜x＜２a ＋１},B＝{x|０＜x≤３},U＝R． (１)若a＝１２ ,求A∪B;A∩(∁UB)． (２)若A∩B＝∅,求实数a的取值范围． 解 析:(１)若 a ＝ １２ 时 A ＝ x|－１２＜x＜２{ },B＝{x|０＜x≤３}, ∴A∪B＝ x|－１２＜x≤３{ },由∁UB＝{x|x≤０或 x＞３},所以A∩(∁UB)＝ x|－ １ ２＜x≤０{ } (２)由A∩B＝∅知 当A＝∅时,a－１≥２a＋１,∴a≤－２,当A≠∅时 ２a＋１＞a－１, a－１≥３,{ 或 ２a＋１＞a－１, ２a＋１≤０,{ ∴a≥４或－２＜a≤－１２ , 综上:a的取值范围是 a|a≤－１２ 或a≥４{ }． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．３　充要条件与常用逻辑用语 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P９ [知识点一]　命题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．命题:能够判断真假的语句叫命题． ２．真命题与假命题: (１)真命题:当命题给出的判断正确或符合客观实际 时,称该命题为真命题． (２)假命题:当命题给出的判断不正确或不符合客观 实际时,称该命题为假命题． [注]　没有真假意义的语句都不是命题．如:感叹 句、疑问句、祈使句等． ３．四种命题及其关系: (１)四种命题间的相互关系: (２)四种命题的真假关系: ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真 假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假 性没有关系 [知识点二]　常用的两个量词 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．全称量词: (１)全称量词:是指在陈述中所述事物的全体,常用的 全称量词有:“所有”“一切”“每一个”“任何”“任 意”等,用符号∀表示． (２)全称命题:含有全称量词的命题叫作全称命题． ２．存在量词: (１)存在量词:是指在陈述中所述事物的个体或一部 分．常用的存在量词有:“存在”“有些”“有一个” “至少有一个”等,用符号∃表示． (２)特称命题:含有存在量词的命题叫作特称命题． [知识点三]　逻辑联结词与真值表 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．简单命题:不含有逻辑联结词的命题叫作简单 命题． ２．复合命题:一些命题可用联结词“且”“或”“非”把它 们联结起来构成一个新命题,则这个新的命题就叫 作复合命题．一般地,设p、q是两个命题,则 (１)“p且q”构成一个新命题,记作p∧q． (２)“p或q”构成一个新命题,记作p∨q． (３)命题p的非(或否定)构成一个新命题,记作􀱑p． ３．复合命题的真值表: p∧q的真值表可归纳为都真为真,有假为假． p∨q的真值表可归纳为:都假为假,有真为真． 􀱑p的真值表可归纳为:p与􀱑p不能同假,其中一个 为真,一个为假． [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)“x－３＞０”是命题． (　　) (２)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则􀱑q”． (　　) (３)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆 否命题中至少有一个为真． (　　) (４)当q是p 的必要条件时,p是q的充分条件． (　　) (５)q不是p的必要条件时,“p⇒/q”成立． (　　) (６)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词． (　　) (７)∃x０∈M,p(x０)与∀x∈M,􀱑p(x)的真假性相 反． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)√　(４)√　(５)√　 (６)√　(７)√ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一章　集合与常用逻辑用语 ２．命题“若x２＞y２,则x＞y”的逆否命题是 (　　 ) A．若x＜y,则x２＜y２　B．若x≤y,则x２≤y２ C．若x＞y,则x２＞y２ D．若x≥y,则x２≥y２ 解析:B　[逆否命题的条件和结论是原命题结论的 否定和条件的否定,所以“若x２＞y２,则x＞y”的逆 否命题是“若x≤y,则x２≤y２”．] ３．对于任意两个集合A,B,“x∈A∩B”是“x∈A”的 (　　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:A　[∵(A∩B)⊆A,∴x∈A∩B⇒x∈A, ∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．] ４．“x＝１”是“(x－１)２＝０”的 (　　 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:C　[将x＝１代入方程(x－１)２＝０中,显然 方程成立;解方程(x－１)２＝０,可得x＝１;故“x＝１”为 方程“(x－１)２＝０”的充要条件．故选C．] ５．有下列几个命题: ①“若x３＞８,则|x|＞２”的否命题;　②“若x＋y＝ ０,则x,y互为相反数”的逆命题; ③“若|x|＜４,则－４＜x＜４”的逆否命题． 其中真命题的序号是　　　　． 答案:②③ ６．命题“∃x０∈R,log２x０＋２＜０”的否定是 　　　　　　　　　　　　． 答案:∀x∈R,log２x＋２≥０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１０ 命题及其关系 [例１]　(１)命题真假的判断 ①下面的命题中是真命题的是 (　　 ) A．y＝sin２x的最小正周期为２π B．若方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的两根同号, 　则ca＞０ C．如果M⊆N,那么M∪N＝M D．在△ABC中,若AB →􀅰BC → ＞０,则B 为锐角 ②能说明“若a＞b,则１a＜ １ b ”为假命题的一组a,b的 值依次为　　　　． (２)四种命题的关系 ①命题“已知a＞１,若x＞０,则ax＞１”的否命题为 (　　 ) A．已知０＜a＜１,若x＞０,则ax＞１ B．已知a＞１,若x≤０,则ax＞１ C．已知a＞１,若x≤０,则ax≤１ D．已知０＜a＜１,若x≤０,则ax≤１ ②(２０２４􀅰济南模拟)原命题“a,b为两个实数,若a ＋b≥２,则a,b中至少有一个不小于１”,下列说法 错误的是 (　　 ) A．原命题是真命题 B．逆命题为:a,b为两个实数,若a,b中至少有一 个不小于１,则a＋b≥２,为假命题 C．否命题为:a,b为两个实数,若a＋b＜２,则a,b 都大于等于１,为假命题 D．逆否命题为:a,b为两个实数,若a,b都小于１, 则a＋b＜２,为真命题 [解析]　(１)①B　[y＝sin２x＝１－cos２x２ ,T＝２π２ ＝π．所以 A 是假命题;若方程ax２＋bx＋c＝０(a≠ ０)的两根同号,则x１x２＝ c a ＞０ ,所以 B是真命题; 当 M⊆N 时,M∪N＝N,故 C是假命题;当AB →􀅰 BC → ＞０时,向量AB → 与BC → 的夹角为锐角,而B 可为 钝角,故 D是假命题．故选B．] ②[解析]　ⅰ若a＞b＞０,则１a＜ １ b 成立; ⅱ若a＞０＞b,则１a＞０ ,１ b＜０ ,所以１ a＜ １ b 不成立; ⅲ若０＞a＞b,则１a＜ １ b＜０ 成立． 综上,只需选取符合“a＞０＞b”的一组a,b,就能说 明原命题是假命题． 例如,a＝１,b＝－１;a＝２,b＝－１等． [答案]　１,－１(答案不唯一) [解析]　①C　[根据原命题与否命题的关系,得原 命题的否命题为“已知a＞１,若x≤０,则ax≤１”．] ②C　[原命题的逆否命题是“a,b为两个实数,若 a,b都小于１,则a＋b＜２”,显然是真命题,故原命 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 职教高考总复习　数学 题也是真命题,所以 A,D 正确;B正确,例如:当a ＝２,b＝－１时,a＋b＜２．原命题的逆命题是假命 题,所以原命题的否命题也是假命题;C错误,原命 题的否命题为“a,b为两个实数,若a＋b＜２,则a,b 都小于１”．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．写一个命题的其他三种命题时的注意事项 (１)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为 “若p,则q”形式． (２)若命题有大前提,需保留大前提． (３)注意一些常见词语及其否定表示: 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 ２．判断命题真假的两种方法 (１)直接判断:判断一个命题是真命题,需经过严格 的推理证明;而要说明它是假命题,只需举一反 例即可． (２)间接判断(等价转化):由于原命题与其逆否命题为 等价命题,如果原命题的真假不易直接判断,那么 可以利用这种等价性间接地判断命题的真假． １．转化与化归的数学思想很重要,比如要证明命题 p:“若a≥１e ,则a􀅰ex≥x”,我们可以证明命题 (　　 ) A．若a􀅰ex＜x,则a＜１e B．若a􀅰ex≤x,则a＜１e C．若a􀅰ex＜x,则a≤１e D．若a＜１e ,则a􀅰ex＜x 解析:A　[由题意可知,应证明命题p 的逆否命 题,即“若a􀅰ex＜x,则a＜１e ”．] ２．已知命题“若x＞１,则２x＜３x”,则在它的逆命题、 否命题、逆否命题中,正确命题的个数是 (　　 ) A．０ B．１ C．２ D．３ 解析:B　[原命题:若x＞１,则２x＜３x,则它的逆命 题:若２x＜３x,则x＞１为假命题;否命题:若x≤１, 则２x≥３x 为假命题;逆否命题:若２x≥３x,则x≤１, 为真命题．其中真命题的个数是１．故选B．] 充分条件、必要条件的判断 [例２]　(１)(２０２４􀅰烟台模拟)已知a,b都是实数,那 么“b＞a＞０”是“１a＞ １ b ”的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (２)已知p:x＝２,q:x－２＝ ２－x,则p是q的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　(１)若１a ＞ １ b ,则１ a－ １ b＝ b－a ab ＞０． 当 ０＜a＜b时,１a ＞ １ b 成 立;当a＞０,b＜０ 时,满 足 １ a＞ １ b ,但０＜a＜b不成立．故“b＞a＞０”是“１a＞ １ b ” 的充分不必要条件,故选 A． (２)当x－２＝ ２－x时,两边平方可得(x－２)２＝ ２－x,即(x－２)(x－１)＝０,解得x１＝２,x２＝１．当 x＝１时,－１＝ １,不成立,故舍去,则x＝２,所以p 是q 的充要条件,故选C． [答案]　(１)A　(２)C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 充分条件、必要条件的两种判断方法 (１)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断． (２)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间的包 含关系进行判断． [提醒]　判断充要条件需注意三点: (１)要分清条件与结论分别是什么． (２)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (３)直接判断比较困难时,可举出反例说明． ３．已知a∈R,若集合 M＝{０,a},N＝{０,１,２},则“a ＝１”是“M⊆N”的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一章　集合与常用逻辑用语 解析:A　[当a＝１时,集合 M＝{１,０},N＝{０,１, ２},可得 M⊆N,满足充分性,若 M⊆N,则a＝１或 a＝２,不满足必要性,所以“a＝１”是“M⊆N”的充 分不必要条件,故选 A．] ４．(２０２０􀅰春招,２)已知a∈R,若集合 M＝{１,a},N＝ {－１,０,１},则“a＝０”是“M⊆N”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:A　[当a＝０时,M＝{１,０},可解 M⊆N,当 M⊆N 时, a＝０或－１,故选 A．] 全称命题与特称命题 [例３]　(１)(２０２３􀅰西安模拟)命题“∀x＞０,xx－１＞ ０”的否定是 (　　 ) A．∃x＜０,xx－１≤０ B．∃x＞０,０≤x≤１ C．∀x＞０,xx－１≤０ D．∀x＜０,０≤x≤１ (２)下列命题中的假命题是 (　　 ) A．∀x∈R,ex＞０ B．∀x∈N,x２＞０ C．∃x０∈R,lnx０＜１ D．∃x０∈N∗ ,sin π ２x０＝１ [解析]　(１)B　[因为 xx－１＞０ ,所以x＜０或x＞ １,所以 xx－１＞０ 的否定是０≤x≤１,所以命题的否 定是∃x＞０,０≤x≤１,故选B．] (２)B　[对于B．当x＝０时,x２＝０,因此B中命题是假 命题．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)全称命题与特称命题的否定: ①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量 词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行 改写; ②否定结论:对原命题的结论进行否定． (２)全称命题与特称命题真假的判断方法: 命题 名称 真假 判断方法一 判断 方法二 全称 命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称 命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 [提醒]　因为命题p与􀱑p的真假性相反,因此 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容 易正面判断时,可先判断其否定的真假． ５．(２０２１􀅰春招,１６)已知命题p:甲、乙、丙三名同学 都是共青团员,则􀱑p为 (　　) A．甲、乙、丙三名同学都不是共青团员 B．甲、乙、丙三名同学中至少有一名不是共青团员 C．甲、乙、丙三名同学中至少有两名不是共青团员 D．甲、乙、丙三名同学中至多有一名不是共青团员 解析:B　[“都是”的否定是“不都是”即“至少有一 个不是”,故选B．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１２ [基础题组练] １．命题“若x,y都是偶数,则x＋y也是偶数”的逆否 命题是 (　　 ) A．若x＋y不是偶数,则x,y都不是偶数 B．若x＋y是偶数,则x,y不都是偶数 C．若x＋y是偶数,则x,y都不是偶数 D．若x＋y不是偶数,则x,y不都是偶数 答案:D ２．若a∈R,则“a＝１”是“|a|＝１”的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 解析:A　[由a＝１可得|a|＝１成立,由|a|＝１ 得,a＝１或a＝－１,即|a|＝１得不到a＝１,所以“a ＝１”是“|a|＝１”的充分不必要条件．故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰 职教高考总复习　数学 ３．向量a＝(m,１),b＝(１,m),则“m＝１”是“a∥b”的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案:A ４．设x∈R,则“x２－５x＜０”是“|x－１|＜１”的(　　 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:B　[由x２－５x＜０可得０＜x＜５．由|x－１| ＜１可得０＜x＜２．由于区间(０,２)是(０,５)的真子 集,故“x２－５x＜０”是“|x－１|＜１”的必要而不充 分条件．] ５．已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n” 是“m∥α”的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:A　[由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒ m∥α,但m∥α⇒/m∥n．] ６．(２０２３􀅰春招３)已知命题p:４≥３,命题q:∀x∈R, ２x＞０,则下列结论正确的是 (　　) A．p,q都是真命题 B．p是真命题,q是假命题 C．p,q都是假命题 D．p是假命题,q是真命题 解析:A　[命题p:４≥３为真命题;q:对照指数函 数图像可判定,q也是真命题．] ７．命题“已知在△ABC中,若角C＝９０°,则角A,B 都 是锐角”的否命题为　　　　　　　　　　　　 　　． 解析:否命题同时否定条件和结论． 答案:已知在△ABC中,若角C≠９０°,则角A,B 不都 是锐角 ８．命题“若a＞－３,则a＞－６”以及它的逆命题、否命 题、逆否命题中假命题的个数为　　　　． 解析:原命题是真命题,所以原命题的逆否命题也 是真命题;原命题的逆命题是“若a＞－６,则a＞－３”, 此命题是假命题,所以原命题的否命题也是假命 题．综上可知,假命题有２个． 答案:２ ９．若“x２－x－６＞０”是“x＞a”的必要不充分条件,则 a的最小值为　　　　． 解析:由x２－x－６＞０,解得x＜－２或x＞３． 因为“x２－x－６＞０”是“x＞a”的必要不充分条件, 所以{x|x＞a}是{x|x＜－２,或x＞３}的真子集, 即a≥３,故a的最小值为３． 答案:３ １０．已知命题A“∃x∈R,x２＋(a－１)x＋１＜０”． (１)写出命题A 的否定; (２)若命题A 是假命题,求出实数a的取值范围． 解:(１)命题A的否定:∀x∈R,x２＋(a－１)x＋１≥０． (２)∵∃x∈R,x２＋(a－１)x＋１＜０,为假命题,∴ ∀x∈R,x２＋(a－１)x＋１≥０,即Δ＝(a－１)２－４ ≤０,解得－１≤a≤３． [综合题组练] １．命题“∀x∈[１,３],x２－a≤０”为真命题的一个充分 不必要条件是 (　　 ) A．a≥９ B．a≤９ C．a≥１０ D．a≤１０ 解析:C　[命题“∀x∈[１,３],x２－a≤０”⇔“∀x∈ [１,３],x２≤a”⇔９≤a．则a≥１０ 是 命 题“∀x∈ [１,３],x２－a≤０”为真命题的一个充分不必要条 件．故选C．] ２．设U 为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C, B⊆∁UC”是“A∩B＝⌀”的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:A　[由A⊆C,B⊆∁UC,易知A∩B＝⌀,但 A∩B＝⌀时未必有A⊆C,B⊆∁UC,如图所示． 所以“存在集合C 使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B ＝⌀”的充分不必要条件．] ３．若命题p 的否定是“∀x∈(０,＋∞),x＞x＋１”, 则命题p可写为 　． 解析:因为p 是􀱑p 的否定,所以只需将全称量词 变为存在量词,再对结论否定即可． 答案:∃x０∈(０,＋∞), x０≤x０＋１ ４．设p:P＝{x|x２－８x－２０≤０},q:非空集合S＝{x| １－m≤x≤１＋m},且p是q的充分不必要条件．求 实数m 的取值范围． 解:由题知P＝{x|－２≤x≤１０}． ∵p是q 的充分不必要条件． ∴p⇒q且q⇒/p,即P⫋S． ∴ １－m≤－２ １＋m＞１０{ ,或 １－m＜－２ １＋m≥１０{ , ∴m≥９,又因为S为非空集合, 所以１－m≤１＋m,解得m≥０, 综上,实数m 的取值范围是[９,＋∞)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一章　集合与常用逻辑用语