1.2 集合之间的运算-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

１．２　集合之间的运算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P６ [知识点一]　并集 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．文字语言:由所有属于集合A或属于集合B的元素组 成的集合,称为集合A与B的并集． ２．符号语言:A∪B＝{x|x∈A,或x∈B}． ３．图形语言:如图所示． [知识点二]　交集 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．文字语言:由属于集合A 且属于集合B 的所有元 素组成的集合,称为A 与B 的交集． ２．符号语言:A∩B＝{x|x∈A,且x∈B}． ３．图形语言:如图所示． [知识点三]　并集与交集的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．A∩A＝A,A∪A＝A,A∩⌀＝⌀,A∪⌀＝A． ２．若A⊆B,则A∩B＝A,A∪B＝B． ３．A∩B ⊆A,A∩B ⊆B,A ⊆A∪B,A∩B ⊆A∪B． [知识点四]　补集 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及 的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记 作U． ２．对于一个集合A,由全集U 中不属于集合A 的所 有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补 集,简称 为 集 合 A 的 补 集,记 作 ∁UA,即 ∁UA ＝{x|x∈U 且x∉A}． ３．补集与全集的性质: (１)∁UU＝⌀;(２)∁U⌀＝U; (３)∁U(∁UA)＝A;(４)A∪∁UA ＝U;(５)A∩∁UA＝⌀． [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)并集定义中的“或”就是“交”． (　　) (２)A∪B 表示由集合A 或集合B 中元素共同组成． (　　) (３)A∩B 是由属于A 且属于B 的所有元素组成的集 合． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)√ ２．已知集合 M＝{－１,０,１},N＝{０,１,２},则 M∪N ＝ (　　 ) A．{－１,０,１} B．{－１,０,１,２} C．{－１,０,２} D．{０,１} 解析:B　[M∪N 表示属于M 或属于N 的元素组 成的集合,故 M∪N＝{－１,０,１,２}．] ３．设集合A＝{１,２},则满足A∪B＝{１,２,３}的集合 B 的个数是 (　　 ) A．１ B．３ C．４ D．８ 解析:C　[因为A＝{１,２},A∪B＝{１,２,３}．所以 B＝{３}或{１,３}或{２,３}或{１,２,３},故选C．] ４．已知集合U＝{２,３,４},A＝{４,３},B＝⌀,则∁UA ＝　　　,∁UB＝　　　． 答案:{２}　U 或{２,３,４} ５．设U＝{三角形},A＝{锐角三角形},则∁UA＝　 　　　　． 答案:{非锐角三角形}或{直角三角形、钝角三角形} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P 集合的并、交、补运算 [例１]　(１)(２０２０􀅰春招,１)已知全集U＝{a,b,c,d}, 集合M＝{a,c},则∁UM 等于 (　　) A．⌀ B．{a,c} C．{b,d} D．{a,b,c,d} (２)如图,阴影部分表示的集合为 (　　 ) A．A∩(∁UB) B．B∩(∁UA) C．B∪(∁UA) D．A∪(∁UB) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 职教高考总复习　数学 [解析]　(１)C　[∵M＝{a,c},∴a,c不再是∁UM 中元素,故∁UM＝{b,d},所以选C．] (２)B　 [在 B 中 且 不 在 A 中 的 区 域 表 示 为 B∩(∁UA)．故选B．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求集合交集、并集或补集的步骤 １．(１)设集合A＝{x|x＞－１},B＝{x|－２＜x＜２}, A∪B 等于 (　　 ) A．{x|x＞－２} B．{x|x＞－１} C．{x|－２＜x＜－１} D．{x|－１＜x＜２} (２)若将(１)中A 改为A＝{x|x＞a},求A∪B． 解析:(１)A　[画出数轴,故A∪B＝{x|x＞－２}．] (２)如图所示, 当a＜－２时,A∪B＝A; 当－２≤a＜２时,A∪B＝{x|x＞－２}; 当a≥２时,A∪B＝{x|－２＜x＜２,或x＞a．}． ２．设U＝R,A＝{x|a≤x≤b},∁UA＝{x|x＞４或x ＜３},求a,b的值． 解析:∵A＝{x|a≤x≤b},∴∁UA＝{x|x＞b 或x＜a}． 又∁UA＝{x|x＞４或x＜３},∴a＝３,b＝４． 知集合的运算结果求参数 [例２]　(１)已知集合A＝{x|x２－ax≤０,a＞０},B＝ {０,１,２,３},若A∩B 有３个真子集,则a的取值范 围是 (　　 ) A．(１,２] B．[１,２) C．(０,２] D．(０,１)∪(１,２] (２)设U＝R,集合A＝{x|x２＋３x＋２＝０},B＝{x| x２＋(m＋１)x＋m＝０},若(∁UA)∩B＝⌀,则m＝ 　　　　． [解析]　(１)B　[因为集合 A＝{x|０≤x≤a,a＞ ０},B＝{０,１,２,３},若A∩B 有３个真子集,则A∩ B＝{０,１},所以１≤a＜２．所以a的取值范围是[１, ２)．] (２)[解析]　A＝{－２,－１},由(∁UA)∩B＝⌀, 得B⊆A． x２＋(m＋１)x＋m＝０可化为(x＋１)(x＋m)＝０, 当m＝１时,B＝{－１},符合题意; 当m≠１时,B＝{－１,－m},为使B⊆A 成立,须有 －m＝－２,即m＝２．综上知m＝１或２． [答案]　１或２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知集合的运算结果求参数问题的两个关键点 (１)分析运算结果并进行恰当转换． 如举例说明例２－２中,由(∁UA)∩B＝⌀,知B ⊆A． (２)化简集合为求参数创造有利条件． 如举例说明例２(２)中,A＝{－２,－１}．当m＝１ 时,B＝{－１};当m≠１时,B＝{－１,－m}． ３．已知U＝R,A＝{x|x２＋px＋１２＝０},B＝{x|x２－ ５x＋q＝０},若(∁UA)∩B＝{２},(∁UB)∩A＝ {４},求A∪B． 解析:由(∁UA)∩B＝{２},∴２∈B 且２∉A． 由A∩(∁UB)＝{４},∴４∈A 且４∉B． 分别代入得 ４２＋４p＋１２＝０ ２２－５×２＋q＝０{ , ∴p＝－７,q＝６,∴A＝{３,４},B＝{２,３}, ∴A∪B＝{２,３,４}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P８ [基础题组练] １．设全集U＝{－２,－１,０,１,２,３},集合A＝{－１,１,２}, 集合B＝{x|(x－１)(x－３)＝０},则∁U(A∪B)＝ (　　 ) A．{０,１} B．{０,３} C．{－２,０} D．{－２,３} 解析:C　[由题意得B＝{１,３},所以A∪B＝{－１, １,２,３},∁U(A∪B)＝{－２,０}．故选C．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一章　集合与常用逻辑用语 ２．(２０２３􀅰山东春考)已知集合 M＝{a,b,c},N＝{b, c,d,e},则M∩N 等于 (　　 ) A．{b,c} B．{b,c,d} C．{b,c,e} D．{a,b,c,d,e} 答案:A ３．已知集合P＝{x|x２－２x－８＞０},Q＝{x|x≥a}, P∪Q＝R,则a的取值范围是 (　　 ) A．(－２,＋∞) B．(４,＋∞) C．(－∞,－２] D．(－∞,４] 答案:C ４．(２０２１􀅰春招,１)已知集合U＝{０,１,２,３,４},集合 M＝{１,２,３},N＝{２,４},则M∩(∁UN)等于 (　　) A．{２} B．{１,３} C．{０,１,３} D．{０,１,２,３} 解析:B　[由题可知,∁UN＝{０,１,３},又因 M＝ {１,２,３},所以 M∩∁UN＝{１,３},故选B．] ５．已知集合A＝{０,１,２,３,４,５},B＝{x|x＝２n,n∈ N∗ },则A∩B＝ (　　 ) A．{０,２,４} B．{２,４} C．{１,３,５} D．{１,２,３,４,５} 解析:B　[因为集合A＝{０,１,２,３,４,５},B＝{x|x ＝２n,n∈N∗ },所以A∩B＝{２,４},故选B．] ６．已知全集U＝{１,２,３,４,５},集合A＝{１,３,４},B＝ {３,５},则A∩B＝　　　,∁UA＝　　　． 解析:因为全集U＝{１,２,３,４,５},集合 A＝{１,３, ４},B＝{３,５},所以A∩B＝{３},则∁UA＝ {２,５}． 答案:{３}　{２,５} ７．设 集 合 U ＝ {(x,y)|x,y ∈ R},M ＝ (x,y)y－３x－２＝１{ },N＝{(x,y)|y≠x＋１},则 (∁UM)∩(∁UN)＝　　　　． 解析:M＝ (x,y)y－３x－２＝}{ ＝ {(x,y)|y＝x＋１,且x≠２},如 图所示,集合U 表示坐标平面 内的所有点,M 表示直线y＝x ＋１上除去(２,３)的所有点,而 N 表示坐标平面内 除去直线y＝x＋１之后的所有点,从而 M∪N 表 示坐标平面内除(２,３)外的所有点．所以(∁UM) ∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{(２,３)}． 答案:{(２,３)} ８．集合A＝{０,２,a},B＝{１,a２},若A∪B＝{０,１,２, ４,１６},则a的值为　　　　． 解析:因为 A＝{０,２,a},B＝{１,a２},若 A∪B＝ {０,１,２,４,１６},则 a２＝１６ a＝４{ ,所以a＝４． 答案:４ ９．已知集合A＝{x|x＞１,或x＜－３},B＝{x|a－２ ≤x≤２a－１},设全集U＝R． (１)求∁UA; (２)若(∁UA)∩B＝∅,求实数a的取值范围． 解:(１)因为A＝{x|x＞１或x＜－３},所以∁UA＝ {x|－３≤x≤１}; (２)由于(∁UA)∩B＝∅,∁UA＝{x|－３≤x≤１}, 当B＝∅时,即a－２＞２a－１时,即a＜－１时,显 然满足题意;当B≠∅时,即a≥－１时,则a－２＞１ 或２a－１＜－３,解得a＞３;综上,实数a的取值范 围是(－∞,－１)∪(３,＋∞)． [综合题组练] １．(多选题)已知A＝{x|２x２－ax＋b＝０},B＝{x| ６x２＋(a＋２)x＋５＋b＝０},且 A∩B＝ １２{ },则 A∪B中的元素是 (　　 ) A．－４ B．１ C．１３ D． １ ２ 解析:ACD　[由已知得１２－ １ ２a＋b＝０① ;１ ２a＋b ＝－１５２② 则A＝ －４,１２{ },B＝ １ ３ ,１ ２{ },A∪B＝ －４,１３ ,１ ２{ },故选 ACD．] ２．(多选题)(补集)已知集合A＝{x∈Z|x２－x－２≥０}, 则∁ZA 中的元素是 (　　 ) A．０ B．２ C．１ D．－２ 解析:AC　[由集合A＝{x∈Z|x２－x－２≥０}, 解得:A＝{x∈Z|x≥２,或x≤－１}, ∴∁ZA＝{０,１},故答案选 AC．] ３．已知集合A＝{x|x－a≤０},B＝{１,２,３},若A∩B ≠⌀,则a的取值范围为　　　　． 解析:集合A＝{x|x≤a},集合B＝ {１,２,３},若A∩B≠⌀,则１,２,３这 三个元素至少有一个在集合A 中,若 ２或３在集合A 中,则１一定在集合A 中,因此只 要保证１∈A 即可,所以a≥１． 答案:[１,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 职教高考总复习　数学 ４．(２０２３􀅰全国高一)已知集合A＝{x|a－１＜x＜２a ＋１},B＝{x|０＜x≤３},U＝R． (１)若a＝１２ ,求A∪B;A∩(∁UB)． (２)若A∩B＝∅,求实数a的取值范围． 解 析:(１)若 a ＝ １２ 时 A ＝ x|－１２＜x＜２{ },B＝{x|０＜x≤３}, ∴A∪B＝ x|－１２＜x≤３{ },由∁UB＝{x|x≤０或 x＞３},所以A∩(∁UB)＝ x|－ １ ２＜x≤０{ } (２)由A∩B＝∅知 当A＝∅时,a－１≥２a＋１,∴a≤－２,当A≠∅时 ２a＋１＞a－１, a－１≥３,{ 或 ２a＋１＞a－１, ２a＋１≤０,{ ∴a≥４或－２＜a≤－１２ , 综上:a的取值范围是 a|a≤－１２ 或a≥４{ }． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．３　充要条件与常用逻辑用语 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P９ [知识点一]　命题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．命题:能够判断真假的语句叫命题． ２．真命题与假命题: (１)真命题:当命题给出的判断正确或符合客观实际 时,称该命题为真命题． (２)假命题:当命题给出的判断不正确或不符合客观 实际时,称该命题为假命题． [注]　没有真假意义的语句都不是命题．如:感叹 句、疑问句、祈使句等． ３．四种命题及其关系: (１)四种命题间的相互关系: (２)四种命题的真假关系: ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真 假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假 性没有关系 [知识点二]　常用的两个量词 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．全称量词: (１)全称量词:是指在陈述中所述事物的全体,常用的 全称量词有:“所有”“一切”“每一个”“任何”“任 意”等,用符号∀表示． (２)全称命题:含有全称量词的命题叫作全称命题． ２．存在量词: (１)存在量词:是指在陈述中所述事物的个体或一部 分．常用的存在量词有:“存在”“有些”“有一个” “至少有一个”等,用符号∃表示． (２)特称命题:含有存在量词的命题叫作特称命题． [知识点三]　逻辑联结词与真值表 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．简单命题:不含有逻辑联结词的命题叫作简单 命题． ２．复合命题:一些命题可用联结词“且”“或”“非”把它 们联结起来构成一个新命题,则这个新的命题就叫 作复合命题．一般地,设p、q是两个命题,则 (１)“p且q”构成一个新命题,记作p∧q． (２)“p或q”构成一个新命题,记作p∨q． (３)命题p的非(或否定)构成一个新命题,记作􀱑p． ３．复合命题的真值表: p∧q的真值表可归纳为都真为真,有假为假． p∨q的真值表可归纳为:都假为假,有真为真． 􀱑p的真值表可归纳为:p与􀱑p不能同假,其中一个 为真,一个为假． [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)“x－３＞０”是命题． (　　) (２)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则􀱑q”． (　　) (３)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆 否命题中至少有一个为真． (　　) (４)当q是p 的必要条件时,p是q的充分条件． (　　) (５)q不是p的必要条件时,“p⇒/q”成立． (　　) (６)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词． (　　) (７)∃x０∈M,p(x０)与∀x∈M,􀱑p(x)的真假性相 反． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)√　(４)√　(５)√　 (６)√　(７)√ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一章　集合与常用逻辑用语