1.1 集合及其关系-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

思 维 导 图 １．１　集合及其关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１ [知识点一]　元素与集合的相关概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写的 拉丁字母a,b,c．．．表示． ２．集合:一些元素组成的总体,简称集,常用大写拉丁 字母A,B,C．．．表示． ３．集合相等:构成两个集合的元素是一样的． ４．集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性． [知识点二]　元素与集合的关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．属于:如果a是集合A 的元素,就说a属于集合A, 记作a∈A． ２．不属于:如果a不是集合A 中的元素,就说a不属 于集合A,记作a∉A． [知识点三]　常见的数集及表示符号 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 数集 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N∗ 或N＋ Z Q R [知识点四]　集合的表示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号 “{}”括起来表示集合的方法叫作列举法． ２．描述法: (１)定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方 法称为描述法． (２)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的 一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． [知识点五]　集合间的基本关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．一般地,对于两个集合A、B,如果集合A 中任意一 个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合 有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A⊆ B(或B⊇A), 读作“A 含于B”(或“B 包含A”)． ２．如 果 集 合 A 是 集 合 B 的 子 集 (A ⊆B),且 集合B 是集合A 的子集(B⊆A),此时,集合A 与 集合B 中的元素是一样的,因此集合A 与集合B 相等,记作A＝B． ３．如果A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,我们称集合A 是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A)． ４．不含任何元素的集合叫作空集,记作⌀． ５．空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真 子集． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)某公司的优秀员工可以组成集合． (　　) (２)分别由元素０,１,２和２,０,１组成的两个集合是相 等的． (　　) (３)由－１,１,１组成的集合中有３个元素． (　　) (４)空集中只有元素０,而无其余元素． (　　) (５)任何一个集合都有子集． (　　) (６)若A＝B,则A⊆B． (　　) (７)空集是任何集合的真子集． (　　) 答案:(１)×　(２)√　(３)×　(４)×　(５)√　 (６)√　(７)× ２．用“∈”或“∉”填空: １ ２　　N ;－３　　Z;２　　Q;０　　N∗ ; ５　　R． 解析:因为１ ２ 不是自然数,所以１ ２∉N ;－３是整数, 所以－３∈Z;因为 ２不是有理数,所以 ２∉Q;０不 是非零自然数,所以０∉N∗ ;因为 ５是实数,所以 ５ ∈R． 答案:∉　∈　∉　∉　∈ ３．集合{０,１}的子集有 (　　 ) A．１个　　B．２个　　C．３个　　D．４个 解析:D　[集合{０,１}的子集为⌀,{０},{１}, {０,１}．] ４．已知集合 A＝{x|－１－x＜０},则下列各式正确 的是 (　　 ) A．０⊆A B．{０}∈A C．⌀∈A D．{０}⊆A 解析:D　[集合A＝{x|－１－x＜０}＝{x|x＞－ １},所以０∈A,{０}⊆A,D正确．] ５．能正确表示集合M＝{x|x∈R且０≤x≤１}和集合 N＝{x∈R|x２＝x}关系的 Venn图是 (　　 ) 解析:B　[N＝{x∈R|x２＝x}＝{０,１},M＝{x|x ∈R且０≤x≤１},∴N⫋M．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P２ 集合的概念及其表示 [例１]　(１)(集合的确定性)下面给出的四类对象 中,能组成集合的是 (　　) A．高一某班个子较高的同学 B．比较著名的科学家 C．无限接近于４的实数 D．到一个定点的距离等于定长的点的全体 (２)已知a∈R,b∈R,若集合 a,ba ,１{ }＝{a２,a＋b, ０},则b２０２２－a２０２２的值为 (　　 ) A．－２　　B．－１　　C．１　　D．２ [解析]　(１)D　[选项 A,B,C所描述的对象没有 一个明确的标准,故不能构成一个集合, 选项 D的标准唯一,故能组成集合．故选 D．] (２)B　[∵ a,ba ,１{ }＝{a２,a＋b,０},∴ba ＝０,则b ＝０; ∴{a,０,１}＝{a２,a,０},∴a２＝１且a≠１,∴a＝－ １,∴b２０２２－a２０２２＝０－１＝－１．故选B．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 与集合中的元素有关问题的求解策略 (１)确定集合的元素是什么,即集合是(数轴)数集、 (平面直角坐标系)点集还是其他类型的集合． (２)看这些元素满足什么限制条件． (３)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的 个数,要注意检验集合是否满足元素的互异性． １．(１)(集合的确定性)下列四组对象中能构成集合 的是 (　　 ) A．某市第一中学高一学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 (２)(集合的确定性)下列说法正确的是 (　　) A．２０２１年上半年发生的大事能构成一个集合 B．小于１００的整数构成的集合是无限集 C．空集中含有元素０ D．自然数集中不含有元素０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 职教高考总复习　数学 (３)(集合的互异性)若－１∈{２,a２－a－１,a２＋１}, 则a＝ (　　) A．－１ B．０ C．１ D．０或１ 解析:(１)D　(２)B (３)B　[①若a２－a－１＝－１,则a２－a＝０,解得a ＝０或a＝１,a＝１时,{２,a２－a－１,a２＋１}＝{２,－ １,２},舍去,∴a＝０; ②若a２＋１＝－１,则a２＝－２,a无实数解;由①② 知:a＝０．故选B．] 元素与集合的关系 [例２]　给出下列６个关系:① ２２ ∈R ,② ３∈Q, ③０∉N,④ ４∈N,⑤π∈Q,⑥|－２|∉Z． 其中正确命题的个数为 (　　 ) A．４ B．３ C．２ D．１ [解析]　C　[R,Q,N,Z分别表示实数集、有理数 集、自然数集、整数集,所以①④正确,因为０是自 然数,３,π都是无理数,所以②③⑤⑥不正确．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　首先确定集合的元素是什么,即集合是数集还 是点集或其他,再明确集合元素满足的限制条件是 什么． ２．用符号“∈”或“∉”填空． 若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则 点(０,０)　　　　A,(１,１) 　A, (－１,１)　　　　A． 解析:第一、三象限的角平分线上的点的集合可以 用直线y＝x表示,显然(０,０),(１,１)都在直线y＝ x上,(－１,１)不在直线上．∴(０,０)∈A,(１,１)∈A, (－１,１)∉A． 答案:∈ ∈ ∉ 集合间关系的判断 [例３]　(１)下列各式中,正确的个数是 (　　 ) ①{０}∈{０,１,２}　②{０,１,２}⊆{２,１,０} ③⌀⊆{０,１,２}　④⌀＝{０}　⑤{０,１}＝{(０,１)} ⑥０＝{０} A．１ B．２ C．３ D．４ (２)指出下列各组集合之间的关系: ①A＝{－１,１},B＝{(－１,－１),(－１,１),(１,－１), (１,１)};②A＝{x|x 是等边三角形},B＝{x|x 是 等腰三角形};③M＝{x|x＝２n－１,n∈N∗},N＝{x| x＝２n＋１,n∈N∗}． [解析]　(１)B　[对于①,是集合与集合的关系,应 为{０}⫋{０,１,２};对于②,实际为同一集合,任何一 个集合是它本身的子集;对于③,空集是任何集合 的子集;对于④,{０}是含有单元素０的集合,空集 不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子 集,所以⌀⫋{０};对于⑤,{０,１}是含有两个元素０ 与１的集合,而{(０,１)}是以有序数对(０,１)为元素的 单元素集合,所以{０,１}与{(０,１)}不相等;对于⑥,０与 {０}是“属于与否”的关系,所以０∈{０}．故②③是正确 的,应选B．] (２)①集合A 的代表元素是数,集合B 的代表元素 是有序实数对,故A 与B 之间无包含关系． ②等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是 两边相等的三角形,故A⫋B． ③方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合,但 由于n∈N∗ ,因此集合 M 含有元素“１”,而集合 N 不含元素“１”,故N⫋M． 方法二　由列举法知M＝{１,３,５,７,．．．}, N＝{３,５,７,９,．．．},所以N⫋M． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)判断集合间的关系,要注意先对集合进行化简,再 进行判断,并且在描述关系时,要尽量精确． (２)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件 转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端 点的取舍),进而转化为参数所满足的关系,常用数 轴、Venn图等来直观解决这类问题． ３．(１)若集合M＝{x|x２－１＝０},T＝{－１,０,１},则 M 与 T 的关系是 (　　 ) A．M⫋T B．M⊆T C．M＝T D．M ∈T (２)用 Venn图表示下列集合之间的关系:A＝{x|x 是平行四边形},B＝{x|x 是菱形},C＝{x|x 是矩 形},D＝{x|x是正方形}． 解析:(１)A　[因为 M＝{x|x２－１＝０}＝{－１,１}, 又T＝{－１,０,１},所以 M⫋T．] (２)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合 之间的关系,再画 Venn图．如图所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一章　集合与常用逻辑用语 子集、真子集的个数问题 [例４]　(１)已知集合A＝{x∈R|x２－３x＋２＝０},B ＝{x∈N|０＜x＜５},则满足条件A⫋C⫋B 的集合 C 的个数为 (　　 ) A．１ B．２ C．３ D．４ (２)已知集合A＝{x∈R|x２＝a},使集合A 的子集 个数为２个的a的值为 (　　 ) A．－２ B．４ C．０ D．以上答案都不是 [解析]　(１)由x２－３x＋２＝０,得x＝１或x＝２,所 以A＝{１,２}．由题意知B＝{１,２,３,４},所以满足 条件的C 可为{１,２,３},{１,２,４}． (２)由题意知,集合A 中只有１个元素,必有x２＝a 只有一个解;若方程x２＝a只有一个解,必有a＝０． [答案]　(１)B　(２)C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真 子集,应时刻关注对空集的讨论;任何集合都是自身 的子集;含有n个元素的集合,共有２n 个子集,有２n －１个真子集,２n－１个非空子集． ４．(１)已知集合 M＝{x∈Z|１≤x≤m},若集合 M 有 ４个子集,则实数m＝ (　　 ) A．１ B．２ C．３ D．４ (２)若集合A⫋{１,２,３},且A 中至少含有一个奇 数,则这样的集合有　　　　个． 解析:(１)根据题意,集合M 有４个子集,则M 中有 ２个元素,又由 M＝{x∈Z|１≤x≤m},其元素为大 于等于１而小于等于m 的全部整数,则m＝２． (２)若A 中含有一个奇数,则 A 可能为{１},{３}, {１,２},{３,２};若A 中含有两个奇数,则A＝{１,３}． 答案:(１)B　(２)５ 根据集合之间的关系求参数 [例５]　已知集合A＝{－１,２},B＝{x|ax－２＝０}, 若B⊆A,则实数a的取值所组成的集合是(　　 ) A．{－１,２} B．{－２,１} C．{－２,０,１} D．{－１,０,２} [解析]　C　[∵B⊆A,当a＝０时,B＝∅,满足条 件,当a≠０时,B＝{－１}或{２},即－a－２＝０或２a －２＝０,解得a＝－２或a＝１．综上可得,实数a的 取值所组成的集合是{０,－２,１}．故选C．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 根据集合间的关系求参数的策略 (１)注意对集合是否为空集进行分类讨论 因为⌀⊆A 对任意集合A 都成立． (２)借助 Venn图和数轴使抽象问题直观化．列出关 于参数的等式或不等式(组)． (３)注意检验区间端点值． ５．设集合A＝{x|x２－８x＋１５＝０},B＝{x|ax－１＝ ０}． (１)若a＝１５ ,试判定集合A 与B 的关系; (２)若B⊆A,求实数a的取值集合． 解析:(１)由x２－８x＋１５＝０得x＝３或x＝５,故A ＝{３,５},当a＝１５ 时, 由ax－１＝０得x＝５．所以B＝{５},所以B⫋A． (２)当B＝⌀时,满足B⊆A,此时a＝０;当B≠⌀,a ≠０时,集合B＝ １a{ }, 由B⊆A 得１a＝３ 或１ a＝５ ,所以a＝１３ 或a＝１５． 综上所述,实数a的取值集合为 ０,１３ ,１ ５{ }． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P４ [基础题组练] １．下列对象能构成集合的是 (　　) A．高一年级全体较胖的学生 B．高一(２)班的高个子学生 C．比较大的自然数 D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 答案:D ２．集合A＝{１,２,３,５},当x∈A 时,若x－１∉A 且x ＋１∉A,则称x为A 的一个“孤立元素”,则A 中孤 立元素的个数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 答案:A ３．已知集合A＝{１,２},B＝{x|x２－(a＋１)x＋a＝０, a∈R},若A＝B,则a＝ (　　) A．１ B．２ C．－１ D．－２ 答案:B ４．已知集合A＝{－１,０,１},则含有元素０的A 的子 集的个数为 (　　 ) A．２ B．４ C．６ D．８ 解析:B　[根据题意,含有元素０的 A 的子集为 {０},{０,１},{０,－１},{－１,０,１},共４个．] ５．设A＝{x|２＜x＜３},B＝{x|x＜m},若A⊆B,则 m 的取值范围是 (　　 ) A．m＞３ B．m≥３ C．m＜３ D．m≤３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 职教高考总复习　数学 解析:B　[因为A＝{x|２＜x＜３},B＝{x|x＜m}, A⊆B,将集合A,B 表示在数轴上,如图所示,所以 m≥３．] ６．已知集合A＝{x|x－３＞０},B＝{x|２x－５≥０},则 这两个集合的关系是　　　　． 解析:A＝{x|x－３＞０}＝{x|x＞３},B＝{x|２x－５ ≥０}＝ x x≥５２{ }．结合数轴知A⫋B． 答案:A⫋B ７．设集合A＝{１,３,a},B＝{１,a２－a＋１},且B⊆A, 则a的值为　　　　． 解析:∵A＝{１,３,a},B＝{１,a２－a＋１},且B⊆A, ∴a２－a＋１∈A,∴a２－a＋１＝３或a２－a＋１＝a． 由a２－a＋１＝３,得a＝２或a＝－１; 由a２－a＋１＝a,得a＝１．经检验,a＝１时集合A, B 不满足集合中元素的互异性,舍去．故a＝－１或 a＝２． 答案:－１或２ ８．已知A＝{x|－３＜x＜５},B＝{x|x＞a},A⊆B,则 实数a的取值范围是　　　　． 解析:在数轴上画出集合A． 又因为A⊆B,所以a＜－３,当a＝－３时也满足题 意,所以a≤－３． 答案:{a|a≤－３} ９．已知M＝{２,a,b},N＝{２a,２,b２},且 M＝N,试求 a与b的值． 解:根据集合中元素的互异性, 有 a＝２a b＝b２{ ,或 a＝b２ b＝２a{ ,解 得 a＝０ b＝１{ ,或 a＝０ b＝０{ , 或 a＝１４ b＝１２ ì î í ï ï ïï ． 再根据集合中元素的互异性,得 a＝０ b＝１{ ,或 a＝１４ b＝１２ ì î í ï ï ïï ． １０．已知A＝{x|x２－３x＋２＝０},B＝{x|ax－２＝０},且B ⊆A,求由实数a的值组成的集合C． 解:由x２－３x＋２＝０,得x＝１或x＝２．所以A＝{１, ２}． 因为B⊆A,所以对B 分类讨论如下:①若B＝⌀, 即方程ax－２＝０无解,此时a＝０; ②若B≠⌀,则B＝{１}或B＝{２}． 当B＝{１}时,有a－２＝０,即a＝２; 当B＝{２}时,有２a－２＝０,即a＝１．综上可知,符 合题意的实数a所组成的集合C＝{０,１,２}． [综合题组练] １．已知集合{x|x２＋ax＝０}＝{０,１},则实数a的值为 (　　 ) A．－１ B．０ C．１ D．２ 解析:A　[由x２＋ax＝０,得x(x＋a)＝０,所以x＝０ 或x＝－a．所以由已知条件可得－a＝１,所以a＝ －１．] ２．已知集合A＝{x|x２－２x≤０},B＝{x|x≤a},若A⊆ B,则实数a的取值范围是 (　　 ) A．a≥２ B．a＞２ C．a＜０ D．a≤０ 解析:A　[∵A＝{x|０≤x≤２},B＝{x|x≤a},∴ 为使A⊆B,a须满足a≥２．] ３．集合M＝{x|x＝３n,n∈N},集合 N＝{x|x＝３n, n∈N},则集合M 与集合N 的关系为 (　　 ) A．M⫋N B．N⫋M C．M＝N D．M⊈N 且N⊈M 解析:D　[因为１∈M,１∉N,所以 M⊈N,因为 ０∈N,０∉M,所 以 N ⊈M．综 上 知,M ⊈N 且 N⊈M．] ４．已知集合 M＝ x x＝kπ４＋ π ４ ,k∈Z{ },集合 N＝ x x＝kπ８－ π ４ ,k∈Z{ },则 (　　 ) A．M⫋N B．N⫋M C．M＝N D．以上都不对 解析:A　[∵kπ４＋ π ４＝ ２(k＋１) ８ π ,k∈Z, kπ ８－ π ４＝ k－２ ８ π ,k∈Z, ∴任取x∈M,有x∈N,且π８∈N ,但π ８∉M , ∴M⫋N．] ５．已知集合A＝{x|ax－６＝０},B＝{x|２x２－３x＝ ０},且A⊆B,则a＝　　　　　． 解析:B＝{x|２x２－３x＝０}＝ ０,３２{ },当A＝∅时, A⊆B 成立,此时a＝０,当A≠∅时,A＝{x|ax－６ ＝０}＝ ６a{ },因为A⊆B,所以 ６ a＝ ３ ２ ,得a＝４,综 上a＝０或a＝４,故答案为０或４． 答案:０或４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一章　集合与常用逻辑用语