第11讲 简单的图案设计（2个知识清单+2类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第11讲 简单的图案设计 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01分析图案的形成过程........................................................................................................................................................2 题型02利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案............................................................................................................5 分层练习........................................................................................................................................................................................10 夯实基础........................................................................................................................................................................................10 能力提升.......................................................................................................................................................................................26 知识点1．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 知识点2．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 题型01 分析图案的形成过程 1．（八年级·全国·单元测试）经过平移、旋转或轴对称的变换后，不能得到如图所示的图形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A.经过平移可得到图形； B.经过平移和旋转可得到图形； C. 经过平移、旋转或轴对称的变换后，都不能得到图形； D.经过旋转可得到图形. 故选C. 2．（八年级下·湖北十堰·期末）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（    ） A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π 【答案】B 【分析】首先发现A，B两种卡片阴影部分的面积和为边长为2的正方形的面积，然后确定2021张卡片中A，B组成正方形1010个，第2021个图形是A，由此列式计算即可． 【详解】解：2021÷2＝1010…1， 所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：4×1010＋A的阴影面积， 是：4440＋4﹣π＝4044﹣π． 故选：B． 【点睛】本题考查图形的变化规律，得出A、B面积和是正方形是解题关键． 3．（八年级下·贵州遵义·期末）如图，第、、、…中分别有“小正方形”个、个、个、个…，则第幅图中有“小正方形” 个． 【答案】109 【分析】仔细观察图形的变化规律，利用规律解答即可. 【详解】解：观察发现： 第（1）个图中有1×2-1=1个小正方形； 第（2）个图中有2×3-1=5个小正方形； 第（3）个图中有3×4-1=11个小正方形； 第（4）个图中有4×5-1=19个小正方形； … 第（10）个图中有10×11-1=109个小正方形； 故答案为109. 【点睛】此题考查图形的变化规律，利用图形之间的联系，得出数字的运算规律解决问题. 4．（河北石家庄·二模）如图由长为a，宽为b的矩形、（2m+1）个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和若干个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等． （1）当m＝1时，a＝　 　，b＝　 　； （2）当a＝24时，求b的值； （3）a的值能否等于30？请通过计算说明理由； （4）直接写出a与b的数量关系．    【答案】（1）9，7；（2）22；（3）不能等于30，见解析；（4） 【分析】（1）长为，宽为的矩形，当=1时，（2+1）=3，得3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等，进而求解； （2）结合（1）并观察图形的变化规律可得=5+4，b=5+2，进而求解； （3）不能等于30，根据=5+4当=30，可求5+4=30，进而得的值即可判断； （4）结合（1）（2）可得． 【详解】（1）长为，宽为的矩形， 当=1时，（2+1）=3， 3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成， 其中小圆的直径与小矩形的宽相等， ∴=3+3+1+1+1=9 =3+1+1+1+1=7 故答案为9，7； （2）结合（1）并观察图形的变化规律可知： =5+4，b=5+2 ∴当=24时，5=20， ∴=22； （3）不能等于30，理由如下： ∵=5+4 若=30，则5+4=30，= ∵是正整数， ∴不能等于30； （4）结合（1）（2）可知： ， 所以与的数量关系为：． 【点睛】此题主要考查图形类变化规律，解题关键是理解题意，找出关系式. 题型02利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 5．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）用四个相同的等腰直角三角形，不可能组成的图形是（   ） A．长方形 B．三角形 C．直角梯形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查图形设计，根据长方形、等腰直角三角形、平行四边形性质设计图形即可得到答案，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、用四个相同的等腰直角三角形可以组成长方形，如图所示：    B、用四个相同的等腰直角三角形可以组成三角形，如图所示：    C、用四个相同的等腰直角三角形不可以组成梯形，符合题意； D、用四个相同的等腰直角三角形可以组成平行四边形，如图所示：    故选：C． 6．（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是(      )　　      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据轴对称和中心对称的定义和性质逐个判断即可．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①这两条线段组成中心对称图形，因此①正确，对称中心如下图所示：    ②这两条线段不能组成轴对称图形，无法找到这样的直线，使得一边沿着这条直线翻折后与另一边重合，因此②错误； ③这两条线段组成中心对称图形，可以找到这样的两条对称轴，使得其中一条线段经过2次轴对称后与另一天重合，两条对称轴如下图所示：    故正确的有：①③ 故选C． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，能快速寻找对称中心和对称轴是解题的关键．事实上，任意一次旋转变换都可以通过两次轴对称变换来实现． 7．（北京海淀·模拟预测）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，    ∴． 故答案为：． 8．（北京门头沟·一模）图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖），可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程 . 【答案】先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转，再将旋转后的图形向左平移5个单位． 【分析】变换图形2，可先旋转，然后平移与图2拼成一个矩形． 【详解】先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位可以与图1拼成一个矩形． 故答案为先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位． 【点睛】本题考查了平移和旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 9．（23-24八年级下·河南郑州·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； (2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查轴对称和中心对称图形的定义． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【详解】（1）（1）特征1：都是轴对称图形； 特征2：都是中心对称图形； 故答案为：是轴对称图形；是中心对称图形； （2）满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 10．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用下面的图形进行图案设计，并说明设计的含义． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是利用平移、对称及旋转设计图案，根据图形旋转、对称及平移的性质设计出图案即可． 【详解】解：如图所示，即为所设计． 夯实基础 一、单选题 1．下列四张扑克牌中,属于中心对称图形的是 (    ) A．红桃7 B．方块4 C．梅花6 D．黑桃5 【答案】B 【详解】A选项：红桃7不是中心对称的图形； B选项：方块4是中心对称的图形； C选项：梅花6不是中心对称的图形； D选项：黑桃5不是中心对称的图形； 故选B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 【详解】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意； ②是中心对称图形，故本选项符合题意； ③不是中心对称图形，故本选项不合题意； ④是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，熟悉掌握概念是解题的关键 3．下列图形中不是由平移设计的是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】根据平移设计图案的定义即可依次判断． 【详解】A、B、C均是平移设计，D为旋转设计， 故选D． 【点睛】此题主要考查平移设计图案，解题的关键是熟知平移设计图案的特点． 4．下面四个图案中,不能由基本图案(图中阴影部分)旋转得到的是 (    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】寻找基本图形，旋转中心，旋转角，旋转次数，逐一判断. 【详解】A.可由一个基本花瓣绕其中心经过7次旋转，每次旋转45度得到； B. 可由一个基本菱形绕其中心经过5次旋转，每次旋转 60度得到； C. 可由一个基本花瓣绕其中心旋转180度得到； D. 不能由基本图案旋转得到； 故选D. 【点睛】此题主要考查旋转设计图案. 5．如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处(    )    A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】观察图形，发现原图是后单位图形平移得到，据此即可求解． 【详解】解：由图可知，此图案由如图的图形平移而成，   ∴空白处应该为：   故选B． 【点睛】本题考查了图案设计，平移的性质，观察得出单位图形是解题的关键． 6．如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是(      )　　      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据轴对称和中心对称的定义和性质逐个判断即可．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①这两条线段组成中心对称图形，因此①正确，对称中心如下图所示：    ②这两条线段不能组成轴对称图形，无法找到这样的直线，使得一边沿着这条直线翻折后与另一边重合，因此②错误； ③这两条线段组成中心对称图形，可以找到这样的两条对称轴，使得其中一条线段经过2次轴对称后与另一天重合，两条对称轴如下图所示：    故正确的有：①③ 故选C． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，能快速寻找对称中心和对称轴是解题的关键．事实上，任意一次旋转变换都可以通过两次轴对称变换来实现． 7．下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案． 解：A、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误； B、图形的大小没有发生变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项正确； C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误； D、图形的大小发生变化，不属于平移得到，故此选项错误． 故选B． 点评：本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．注意结合图形解题的思想． 8．如图，是四家银行行标，不可以先设计出一半来通过对折来完成的是(    )           A．①③ B．②④ C．② D．④ 【答案】D 【详解】根据轴对称图形的定义可以判断④不是轴对称图形；①②③是轴对称图形. 故选D. 二、填空题 9．在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形,该正方形的序号是 . 【答案】② 【分析】由图可知，把②涂黑后得到图形，绕中心点旋转180°可与原图重合，为中心对称图形. 【详解】如图，把②涂黑后得到图形，绕中心点旋转180°可与原图重合，为中心对称图形. 【点睛】此题主要考查旋转得到中心对称图形. 10．下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号) (1)可以平移但不能旋转的是 ； (2)可以旋转但不能平移的是 ； (3)既可以平移，也可以旋转的是 ． 【答案】 ①④ ②⑤ ③ 【详解】试题分析：①可以看作由左边图案向右平移得到的； ②可以看作一个菱形绕一个顶点旋转得到的； ③既可以看作一个圆向右平移得到的，也可以看作两个圆组成的图案旋转得到的； ④可以看作上面基本图案向下平移得到的； ⑤可以看作上面图案绕中心旋转得到的． 故可以平移但不能旋转的是①④； 可以旋转但不能平移的是②⑤； 既可以平移，也可以旋转的是③． 故答案为（1）①④，（2）②⑤，（3）③ 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： ． 【答案】△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF 【详解】 由图可知，把△ABC绕点O逆时针旋转90°可得到△DEF. 12．如图：为五个等圆的圆心，且在一条直线上，请在图中画一条直线，将这五个圆分成面积相等的两个部分，并说明这条直线经过的两点是 ． 【答案】D与 【分析】平分5个圆，那么每份应是2.5，由过平行四边形中心的任意直线都能平分平行四边形的面积，应先作出平行四边形的中心，再把第5个圆平分即可． 【详解】点D恰好是平行四边形的中心， 则这里过D和O3即可． 故答案为：D和O3． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图以及平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 13．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 cm. 【答案】4 【分析】过A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，利用三个角为直角的四边形为矩形得到AECF为矩形，利用矩形得四个角为直角得到∠EAF为直角，利用等式的性质得到∠DAF=∠BAE，再由一对直角相等，AB=AD，利用AAS得到三角形ABE与三角形ADF全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=AF，可得出AECF为正方形，三角形ABE面积与三角形AFD面积相等，进而得到四边形ABCD面积等于正方形AECF面积，求出正方形的边长即为AE的长，在等腰直角三角形ACE中，利用勾股定理即可求出AC的长． 【详解】解：过A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F ∵∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°， ∴四边形AECF为矩形， ∴∠EAF=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°， ∴∠DAF=∠BAE， 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE=AF，S△ABE=S△ADF， ∴四边形AECF是正方形， ∴S四边形ABCD=S正方形AECF=24cm2， ∴AE=2cm， ∵△AEC为等腰直角三角形， ∴AC=AE=4cm． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 14．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为 ． 【答案】（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3） 【详解】如图所示： （此时不是四边形，舍去）， 故答案为 三、解答题 15．欣赏图的图案，并分析这个图案形成的过程． 【答案】见解析 【分析】根据图案中的“基本图案”通过平移和旋转两种方式来进行分析解答． 【详解】解：图中的图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“爬虫”（形状、大小完全相同）．在图中，同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到；相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转角度为120°，旋转中心为“爬虫”头上、腿上或脚趾上一点． 【点睛】此题考查了学生的观察能力，同时能够灵活运用平移旋转的组合进行一定的图案设计的能力． 16．如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影． (1)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形； (2)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形 【答案】(1)利用中心对称图形的定义分析得出答案，见解析． (2)利用中心对称图形的定义分析得出答案，见解析． 【分析】中心对称图形是指绕着中心点旋转图形两部分完全重合，根据题目中的图形先作出对称中心，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，中心对称图形是指绕着中心点旋转 上半部的左侧与下半部分的右侧，上半部的右侧与下半部分的左侧重合，中心点在如图所示的位置， （2）解：如图所示，旋转180°后上半部的左侧与下半部分的右侧，上半部的右侧与下半部分的左侧重合，中心点在如图所示的位置， 【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键． 17．利用下面的图形进行图案设计，并说明设计的含义． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是利用平移、对称及旋转设计图案，根据图形旋转、对称及平移的性质设计出图案即可． 【详解】解：如图所示，即为所设计． 18．按下面的步骤，可以得到一个很别致的图案： （1）准备一张正三角形纸片； （2）把纸片任意撕成两部分（如图①､图②）； （3）以图①中原正三角形的一边为对称轴，画出与图①成轴对称的图形（如图③），并将新画出的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到图④（图②保持不动）； （4）把图④平移到图②的右边，得到图⑤； （5）对图⑤进行适当的修饰，便得到一个别致的图案⑥． 仿照上述步骤具体做一做，并将你的设计与同伴交流． 【答案】答案见解析 【分析】本题为开放性试题，答案不唯一．读懂题意，根据平移，旋转、轴对称图形的性质、特点可以将正三角形改为矩形模仿步骤作出图形即可． 【详解】按下面的步骤，可以得到一个很别致的图案： （1）准备一张矩形纸片； （2）把纸片任意撕成两部分（如图①､图②）； （3）以图②中原矩形的一边为对称轴，画出与图②成轴对称的图形（如图③），并将新画出的图形以矩形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到图④（图①保持不动）； （4）把图④平移到图①的左边，得到图⑤； （5）对图⑤进行适当的修饰，便得到一个别致的图案⑥． 【点睛】本题考查复杂作图．掌握平移，旋转、轴对称图形的性质、特点以及读懂题意是解答本题的关键． 19．如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形． 【答案】见解析 【详解】解析：运用基本图 ，按照轴对称和中心对称的特点以及画图规律直接绘制图形即可． 答案：解：如下图所示，答案不唯一． 易错：容易把三角形画成重叠的． 错因：没有看清题目要求． 满分备考：由“基本图形”经过旋转、轴对称、平移等可以得到美丽而丰富的图案，而图案涉及的关键是确定基本图形，制定图形变换的具体操作程序．注意应用几种常见的图形变换． 20．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3）、B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．    （1）在图1中画一个△QAB，使点Q的横、纵坐标之和等于点A的横坐标； （2）在图2中画一个△PAB，使点P、B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍； （3）在图2中的线段AB上确定点N，连结线段PN，使S△PAN＝S△PBN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意作出符合条件的点Q即可． （2）构建题意作出符合条件的点P即可． （3）作出线段AB的中点N即可． 【详解】解：（1）如图1中，△ABQ，△ABQ′即为所求．    （2）如图2中，△ABP，△ABP′即为所求． （3）如图2中，点N即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 能力提升 一、单选题 21．如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将图沿着它自己的右边缘翻折，则圆在正方形图形的右上角，然后绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，则圆在正方形的左下角，利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】 先将图沿着它自己的右边缘翻折，得到，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形为． 故选：A 【点睛】本题考查了利用旋转设计图案：由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换一些复合图案． 22．2015年第 39 个国际博物馆日，河北博物院开放“蔚县剪纸”等三个展厅，通过现场操作等 多种形式，让市民体验传统技艺，某市民将一个正方形彩纸依次按如图 1，如图 2 所示的方式对折，然后沿图 3 中的虚线裁剪，则将图 3 的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一种方法是找一张正方形的纸按图1，图2中方式依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将纸片打开铺平所得的图案，另一种方法是看折的方式及剪的位置，找出与选项中的哪些选项不同，即可得出正确答案． 【详解】在两次对折的时，不难发现是又折成了一个正方形， 第一次剪的是在两次对折的交点处，剪一扇形，会出现半圆，所以A，C肯定错误， 第二次剪的是折成的小正方形的上面的一个圆形，会出现4个小圆，所以B肯定错误， 故选D． 【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行动手操作，可以直观的得到答案． 二、填空题 23．点A、B、C在数轴上对应的数分别为1、3、5，点P在数轴上对应的数是﹣2，点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，…，则P1P2016的长度为 ． 【答案】6． 【详解】解:点P关于点A的对称点P1表示的数是4； 点P1关于点B的对称点P2表示的数是2； 点P2关于点C的对称点P3表示的数是8； 点P3关于点A的对称点P4表示的数是-6； 点P4关于点B的对称点P5表示的数是12； 点P5关于点C的对称点P6表示的数是-2； 点P6关于点A的对称点P7表示的数是4； … 2016÷6=336， ∴P2016表示的数为-2， ∴P1P2016=6， 故答案为6． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、数轴，找出点P对应点的变化规律是解题的关键． 24．如图，请画出一个图形经过两次轴对称变换之后得到的图形，其中图①中的两条对称轴是平行的，图②中的两条对称轴是垂直的．仔细观察上面的两个图形经过两次轴对称变换之后得到的图形．图①中的图形除经过两次轴对称变换得到之外，还可以通过我们学过的 变换得到，图②中的图形还可以通过 变换得到． 【答案】 平移 旋转 【分析】根据轴对称是沿某条直线翻折得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，可得答案． 【详解】如图： ， 图①中的图形除经过两次轴对称变换得到之外，还可以通过我们学过的 平移变换得到，图②中的图形还可以通过 旋转变换得到， 故答案为平移，旋转． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 三、解答题 25．利用下面的图形进行图案设计，并说明设计的含义． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是利用平移、对称及旋转设计图案，根据图形旋转、对称及平移的性质设计出图案即可． 【详解】解：如图所示，即为所设计． 26．如图，4×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点.在下列各图中画出四边形ABCD，使点D也为格点，且四边形ABCD分别符合下列条件:   （1）是中心对称图形(画在图1中)     （2）是轴对称图形(画在图2中)     （3）既是轴对称图形，又是中心对称图形(画在图3中) 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析； 【分析】（1）以AB、BC为邻边作平行四边形即可； （2）作点B关于直线AC的对称点D，然后连接AD、CD即可； （3）以AB、BC为邻边作菱形即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图： 【点睛】本题考查了轴对称和中心对称作图．根据已知条件准确构造符合条件的图形是解答本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 简单的图案设计 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01分析图案的形成过程........................................................................................................................................................2 题型02利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案............................................................................................................5 分层练习........................................................................................................................................................................................10 夯实基础........................................................................................................................................................................................10 能力提升.......................................................................................................................................................................................26 知识点1．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 知识点2．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 题型01 分析图案的形成过程 1．（八年级·全国·单元测试）经过平移、旋转或轴对称的变换后，不能得到如图所示的图形的是(　　) A． B． C． D． 2．（八年级下·湖北十堰·期末）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（    ） A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π 3．（八年级下·贵州遵义·期末）如图，第、、、…中分别有“小正方形”个、个、个、个…，则第幅图中有“小正方形” 个． 4．（河北石家庄·二模）如图由长为a，宽为b的矩形、（2m+1）个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和若干个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等． （1）当m＝1时，a＝　 　，b＝　 　； （2）当a＝24时，求b的值； （3）a的值能否等于30？请通过计算说明理由； （4）直接写出a与b的数量关系．    题型02利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 5．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）用四个相同的等腰直角三角形，不可能组成的图形是（   ） A．长方形 B．三角形 C．直角梯形 D．平行四边形 6．（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是(      )　　      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．（北京海淀·模拟预测）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 8．（北京门头沟·一模）图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖），可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程 . 9．（23-24八年级下·河南郑州·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； (2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 10．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用下面的图形进行图案设计，并说明设计的含义． 夯实基础 一、单选题 1．下列四张扑克牌中,属于中心对称图形的是 (    ) A．红桃7 B．方块4 C．梅花6 D．黑桃5 2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．下列图形中不是由平移设计的是（    ） A． B．C． D． 4．下面四个图案中,不能由基本图案(图中阴影部分)旋转得到的是 (    ) A． B． C． D． 5．如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处(    )    A．A B．B C．C D．D 6．如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是(      )　　      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，是四家银行行标，不可以先设计出一半来通过对折来完成的是(    )           A．①③ B．②④ C．② D．④ 二、填空题 9．在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形,该正方形的序号是 . 10．下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号) (1)可以平移但不能旋转的是 ； (2)可以旋转但不能平移的是 ； (3)既可以平移，也可以旋转的是 ． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： ． 12．如图：为五个等圆的圆心，且在一条直线上，请在图中画一条直线，将这五个圆分成面积相等的两个部分，并说明这条直线经过的两点是 ． 13．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 cm. 14．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为 ． 三、解答题 15．欣赏图的图案，并分析这个图案形成的过程． 16．如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影． (1)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形； (2)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形 17．利用下面的图形进行图案设计，并说明设计的含义． 18．按下面的步骤，可以得到一个很别致的图案： （1）准备一张正三角形纸片； （2）把纸片任意撕成两部分（如图①､图②）； （3）以图①中原正三角形的一边为对称轴，画出与图①成轴对称的图形（如图③），并将新画出的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到图④（图②保持不动）； （4）把图④平移到图②的右边，得到图⑤； （5）对图⑤进行适当的修饰，便得到一个别致的图案⑥． 仿照上述步骤具体做一做，并将你的设计与同伴交流． 19．如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形． 20．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3）、B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．    （1）在图1中画一个△QAB，使点Q的横、纵坐标之和等于点A的横坐标； （2）在图2中画一个△PAB，使点P、B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍； （3）在图2中的线段AB上确定点N，连结线段PN，使S△PAN＝S△PBN． 能力提升 一、单选题 21．如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形是（    ） A． B． C． D． 22．2015年第 39 个国际博物馆日，河北博物院开放“蔚县剪纸”等三个展厅，通过现场操作等 多种形式，让市民体验传统技艺，某市民将一个正方形彩纸依次按如图 1，如图 2 所示的方式对折，然后沿图 3 中的虚线裁剪，则将图 3 的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 23．点A、B、C在数轴上对应的数分别为1、3、5，点P在数轴上对应的数是﹣2，点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，…，则P1P2016的长度为 ． 24．如图，请画出一个图形经过两次轴对称变换之后得到的图形，其中图①中的两条对称轴是平行的，图②中的两条对称轴是垂直的．仔细观察上面的两个图形经过两次轴对称变换之后得到的图形．图①中的图形除经过两次轴对称变换得到之外，还可以通过我们学过的 变换得到，图②中的图形还可以通过 变换得到． 三、解答题 25．利用下面的图形进行图案设计，并说明设计的含义． 26．如图，4×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点.在下列各图中画出四边形ABCD，使点D也为格点，且四边形ABCD分别符合下列条件:   （1）是中心对称图形(画在图1中)     （2）是轴对称图形(画在图2中)     （3）既是轴对称图形，又是中心对称图形(画在图3中) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$