第七讲 三角形、平行四边形和梯形（导图+知识精讲+易错点拨+16大考点讲练+易错压轴练+难度分层练）-2024-2025学年四年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版）

2024-2025学年四年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版） 第七讲 三角形、平行四边形和梯形 【导图+知识精讲+易错点拨+16大考点讲练+难度分层练 共68题】 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识点梳理01：三角形 3 知识点梳理02：平行四边形 4 知识点梳理03：梯形的认识 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错点知识点01：三角形 4 易错知识点02：平行四边形 5 易错知识点03：梯形 5 考点讲练 明确目标 5 考点一：三角形的概念及表示方法 5 考点二：三角形的高及画法 6 考点三：三角形的稳定性及应用 6 考点四：三角形三边关系 7 考点五：三角形的内角和 8 考点六：三角形的分类 8 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 8 考点八：画三角形 9 考点九：平行四边形的概念及特点 10 考点十：平行四边形的不稳定性及应用 10 考点十一：平行四边形的高及画法 11 考点十二：画平行四边形 11 考点十三：梯形的概念及特点 12 考点十四：梯形的高及画法 13 考点十五：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 14 考点十六：画梯形 14 分层训练 拔尖冲刺 15 基础夯实优选题专练 15 培优优选题专练 17 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 知识点梳理02：平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。一个平行四边形有无数条高。 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性，即形状和大小容易受外力作用而改变。这种特性使得平行四边形在电动伸缩门、铁拉门、伸降机等物体上有广泛的应用。 平行四边形的分类：根据角度的不同，平行四边形可以分为矩形、菱形、正方形等。 知识点梳理03：梯形的认识 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。 2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直 3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。 易错点知识点01：三角形 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 易错知识点02：平行四边形 平行四边形的特性： 易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。 解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。 平行四边形的高： 易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。 解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。 易错知识点03：梯形 梯形的定义： 易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。 解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。 梯形的腰和底： 易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。 解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。 直角梯形： 易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。 解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。 考点一：三角形的概念及表示方法 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）下面图形中各有多少个三角形？ ( )个              ( )个            ( )个 【精练题01】（24-25四年级下·江苏·课后作业）用三根同样长的小棒摆成一个三角形（如图），你能说说为什么这个三角形的高一定比小棒短吗？ 【精练题02】（23-24四年级下·江苏·课后作业）数一数，填一填。 共有( )个三角形     共有( )个三角形     共有( )个三角形 考点二：三角形的高及画法 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）画出下面图形指定底边上的高。 【精练题01】（24-25四年级下·全国·课后作业）从三角形的一个顶点到对边的( )线段是三角形的高。每条底边有( )条对应的高。三角形一共有( )条高。 【精练题02】（24-25四年级下·全国·课后作业）在用三根9厘米长的小棒摆成的三角形中（如图），三角形的高( )9厘米。（填“＞”“＜”或“＝”） 考点三：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）给一块空地围上篱笆，（    ）的围法更牢固些。 A． B． C． 【精练题01】（23-24四年级下·江苏·课后作业）学校门口的指示牌歪了，如图1，你能想办法对指示牌进行加固吗？请在图2中画出简单示意图，并说明这样操作的理由。 理由：（    ）。 【精练题02】（22-23四年级下·山西临汾·期末）再剪一根吸管，像下图那样用线穿起来拉一拉，结果怎样？你知道这是为什么吗？ 考点四：三角形三边关系 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）一个三角形的边长都是整厘米数，其中的两条边长分别是5厘米和6厘米，那么这个三角形的周长最长是（    ）厘米。 A．21 B．22 C．13 D．11 【精练题01】（24-25四年级下·全国·单元测试）有4根小棒，它们的长度分别是3厘米、7厘米、10厘米、13厘米。小宇从这4根小棒中选了3根，首尾相接地摆出一个三角形。这个三角形的周长是( )厘米。 【精练题02】（24-25四年级下·全国·课后作业）有5根小棒，长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米。最多留下几根小棒可以使留下的小棒任意3根都无法拼成三角形？分别是哪几根？ 考点五：三角形的内角和 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是( )°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是( )°。 【精练题01】（24-25四年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一个底角是73度，这个等腰三角形的顶角是多少度？ 【精练题02】（24-25四年级下·全国·课后作业）一个三角形，其中两个内角的和小于90°，这是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 考点六：三角形的分类 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）分成一个钝角三角形和一个锐角三角形。（按要求在下面的三角形中画一条线段） 【精练题01】（24-25四年级下·全国·课后作业）等腰三角形的一个底角是75°，则顶角是( )°，它也是一个( )角三角形。 【精练题02】（24-25四年级下·全国·课后作业）三角形的三个角分别是∠1，∠2，∠3，如果∠1＝∠2＝45°，那么∠3＝( )°。按角分，这是一个( )三角形；按边分，这是一个( )三角形。 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是28厘米。这个等腰梯形的上底长多少厘米？一条腰长多少厘米？ 【精练题01】（24-25四年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一个内角是68°，它的另外两个内角可能是（    ）。 A．68°和112° B．68°和44° C．56°和56° D．68°和44°或56°和56° 【精练题02】（24-25四年级下·全国·单元测试）一个等腰三角形，它的一个底角的度数是顶角度数的2倍。这个等腰三角形的底角是( )°，顶角是( )°。 考点八：画三角形 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）下图中每个小方格的边长为1厘米，请回答下列问题。 （1）图中所画三角形的底是（    ）厘米，高是（    ）厘米。 （2）以图中3厘米长的线段为底，画一个高是4厘米的三角形，这样的三角形一共可以画（    ）个。 （3）在方格纸上任意找三个网格交点，顺次连接起来，一定能连成一个三角形吗？请说明理由。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏·单元测试）如图，假设每个小方格的边长都是1厘米，请根据要求画图形。 （1）画一个底是5厘米，高是4厘米的等腰三角形。 （2）画一个底是5厘米，高是4厘米的平行四边形。 （3）画一个上底是3厘米、下底是5厘米、高是4厘米的直角梯形。 【精练题02】（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）在方格纸上分别画一个底是4厘米、高是2厘米的三角形和一个底是2厘米、高是4厘米的三角形，并标出底和相应的高。（每个小正方形的边长表示1厘米） 考点九：平行四边形的概念及特点 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）一块平行四边形的菜地，其中较长的一边靠墙，这块菜地相邻的两边长分别是9米和7米，如果用篱笆把它围起来，至少需要( )米长的篱笆。 【精练题01】（24-25四年级下·全国·课后作业）当一个四边形的两组对边分别平行且相等，这个四边形一定是（    ）。 A．长方形 B．平行四边形 C．正方形 【精练题02】（24-25四年级下·全国·单元测试）在下面的图形中表示四边形之间的关系。（填选项） A．四边形   B．正方形   C．长方形   D．平行四边形   E.梯形 考点十：平行四边形的不稳定性及应用 【精讲题】（23-24四年级下·广西防城港·期末）给一块菜地围上篱笆，最牢固的围法是（    ）。 A． B． C． 【精练题01】（22-23四年级下·江苏扬州·期末）小明的凳子脚松动了，下面几种加固方法，你觉得（    ）最稳固。 A． B． C． D． 【精练题02】（21-22四年级下·江苏宿迁·期末）平行四边形具有( )的特性，把平行四边形的框架拉成长方形框架后，框架的( )没变，( )变了。 考点十一：平行四边形的高及画法 【精讲题】（2025四年级下·全国·专题练习）图中，平行四边形（    ）的底相等，高也相等。 A．①和② B．①和③ C．①和④ 【精练题02】（2025四年级下·全国·专题练习）画出每个图形底边上的高，再量一量。 高（    ）厘米    高（    ）厘米 【精练题02】（23-24四年级下·江苏·课后作业）画出每个图形底边上的高。 考点十二：画平行四边形 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）在下面的方格纸上分别画一个底是4厘米、高是3厘米的三角形和平行四边形。（每个小正方形的边长均是1厘米） 【精练题01】（23-24四年级下·江苏·课后作业）在下面的方格纸上画三个图形：①上底是4厘米、下底是7厘米、高是5厘米的直角梯形；②高是3厘米的等腰梯形；③底和高都是5厘米的平行四边形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【精练题02】（23-24四年级下·江苏·课后作业）在下面的方格纸中按要求画出平行四边形。 （1）底是3厘米、高是2厘米。       （2）底和高都是4厘米。 考点十三：梯形的概念及特点 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）把下面的梯形分成形状、大小相同的四部分，在图中画一画。 【精练题01】（2025四年级下·全国·专题练习）在下面的方格纸上画两个梯形（其中一个是等腰梯形），并标出它们的上底、下底和腰。 【精练题02】（2025四年级下·全国·专题练习）下面几种图形中，不是轴对称图形的是（    ）。 A．长方形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．等腰三角形 考点十四：梯形的高及画法 【精讲题】（23-24四年级下·江苏·单元测试）画出下列图形底边上的高。 【精练题01】（23-24四年级下·江苏·期末）画出下面各图形底边上的高。 【精练题02】（21-22四年级下·江苏淮安·期末）画出下面梯形的高。 考点十五：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）一个等腰梯形，上底长3厘米，下底长5厘米，一条腰长4厘米。这个等腰梯形的周长是（    ）厘米。 A．15 B．17 C．16 D．12 【精练题01】（24-25四年级下·全国·单元测试）一个等腰梯形的一条腰长7厘米，它的下底长12厘米，上底是下底的一半，周长是( )厘米。 【精练题02】（24-25四年级下·全国·单元测试）一个直角梯形的上底是5厘米，一条腰长是12厘米，将上底延长4厘米后，就变成一个正方形。这个直角梯形的周长是多少厘米？ 考点十六：画梯形 【精讲题】（23-24四年级下·广西防城港·期末）在方格纸上画一个底6厘米、高4厘米的三角形，再画一个高3厘米的等腰梯形。（每个小方格表示1平方厘米） 【精练题01】（23-24四年级下·江苏淮安·期末）看清要求，仔细操作。 （1）画一个底是3厘米，高是2厘米的平行四边形，再把这个平行四边形向右平移4格。 （2）画一个上底和高都是2厘米，下底是3厘米的直角梯形。 （3）把图①绕O点逆时针旋转90°。 （4）画出图②的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏徐州·期末）以图中的10个交点为顶点，画出最大的等腰梯形。 基础夯实优选题专练 1．（24-25四年级下·全国·单元测试）如图中自行车的三角架运用了三角形（    ）的特点。 A．具有稳定性 B．有三条边 C．易变形 D．以上均正确 2．（24-25四年级下·全国·单元测试）一个平行四边形相邻的两条边长分别是9厘米和6厘米，它的高不可能是（    ）厘米。 A．5 B．7 C．8 D．10 3．（24-25四年级下·全国·课后作业）如图，学校的大门可以伸缩，是利用平行四边形（    ）的特性制作的。 A．稳定性 B．容易变形 C．对边相等 4．（24-25四年级下·全国·单元测试）三角形的高有( )条，平行四边形的高有( )条。 5．（24-25四年级下·全国·单元测试）一个平行四边形的底是7厘米，高是4厘米，将它拉成一个长方形后，高比原来增加1厘米，则原来平行四边形的周长是( )厘米。 6．（24-25四年级下·全国·课后作业）一个三角形中的一个内角是40°，另一个内角是70°，第三个内角是( )°。 7．（24-25四年级下·全国·单元测试）如下图，∠1＝122°，∠2，∠3分别是多少度？ 8．（2025四年级下·全国·专题练习）从小强家到体育馆有几条路线？哪条路线最近？ 9． （2025四年级下·全国·专题练习）一个等腰三角形，一条腰长15厘米，底比腰长4厘米。这个三角形的周长是多少厘米？ 10．（2025四年级下·全国·专题练习）画出下面图形底边上的高，再量一量、填一填。 培优优选题专练 11．（24-25四年级下·全国·单元测试）一个三角形中每个角都不小于60°，这是一个（    ）三角形。 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．直角或钝角 12．（24-25四年级下·全国·单元测试）一个锐角三角形中，任意两个角的和（    ）90°。 A．小于 B．大于 C．等于 D．都有可能 13．（24-25四年级下·全国·课后作业）如图，梯形的两条腰的长度分别是5厘米和6厘米，这个梯形的高是（    ）。 A．5厘米 B．6厘米 C．11厘米 D．无法确定 14．（24-25四年级下·全国·课后作业）下面的三角形被乐乐遮住了一部分，它们分别是什么三角形？ ( )三角形    ( )三角形    ( )三角形 15．（24-25四年级下·全国·单元测试）把一根144厘米长的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是( )厘米；如果用这根铁丝围成一个腰长是60厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长是( )厘米。 16．（24-25四年级下·全国·单元测试）乐乐在画纸上画了一个三角形，量得其中两个角的度数是75°和65°。乐乐所画的三角形的第三个角是( )°，按角分，这个三角形是( )三角形。 17．（24-25四年级下·全国·单元测试）把一个正方形的一条边缩短6分米，它就变成了一个梯形。已知这个梯形的下底是上底的3倍，这个梯形的上底、下底和高各是多少分米？ 18．（24-25四年级下·全国·课后作业）在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角，其中∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍。这个三角形按角分是什么三角形？ 19．（24-25四年级下·全国·单元测试）一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，这个等腰三角形的周长是多少厘米？ 20．（24-25四年级下·全国·单元测试）如下图所示的是由三个等边三角形组成的图形，一只小蚂蚁从A出发经过C到达B，与从A出发经过D，F，E到达B，哪条路线更近？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版） 第七讲 三角形、平行四边形和梯形 【导图+知识精讲+易错点拨+16大考点讲练+难度分层练 共68题】 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识点梳理01：三角形 3 知识点梳理02：平行四边形 4 知识点梳理03：梯形的认识 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错点知识点01：三角形 4 易错知识点02：平行四边形 5 易错知识点03：梯形 5 考点讲练 明确目标 5 考点一：三角形的概念及表示方法 5 考点二：三角形的高及画法 7 考点三：三角形的稳定性及应用 9 考点四：三角形三边关系 10 考点五：三角形的内角和 12 考点六：三角形的分类 13 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 14 考点八：画三角形 16 考点九：平行四边形的概念及特点 19 考点十：平行四边形的不稳定性及应用 20 考点十一：平行四边形的高及画法 22 考点十二：画平行四边形 23 考点十三：梯形的概念及特点 26 考点十四：梯形的高及画法 28 考点十五：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 29 考点十六：画梯形 30 分层训练 拔尖冲刺 32 基础夯实优选题专练 32 培优优选题专练 36 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 知识点梳理02：平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。一个平行四边形有无数条高。 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性，即形状和大小容易受外力作用而改变。这种特性使得平行四边形在电动伸缩门、铁拉门、伸降机等物体上有广泛的应用。 平行四边形的分类：根据角度的不同，平行四边形可以分为矩形、菱形、正方形等。 知识点梳理03：梯形的认识 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。 2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直 3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。 易错点知识点01：三角形 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 易错知识点02：平行四边形 平行四边形的特性： 易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。 解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。 平行四边形的高： 易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。 解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。 易错知识点03：梯形 梯形的定义： 易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。 解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。 梯形的腰和底： 易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。 解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。 直角梯形： 易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。 解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。 考点一：三角形的概念及表示方法 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）下面图形中各有多少个三角形？ ( )个              ( )个            ( )个 【答案】 8 5 20 【思路点拨】第一个图形中，单独的三角形有4个，两个三角形组成的三角形有4个，则一共有（4＋4）个三角形；第二个图形中单独的三角形有4个，四个三角形组成的大三角形有1个，则一共有（4＋1）个三角形；第三个图形中，单独的小三角形有4个，两个三角形组成的三角形有3个，三个三角形组成的有2个，四个三角形组成1个大三角形，一个三角形和另一个图形组成的三角形有4个，两个三角形和两个其他图形组成的三角形有3个，三个三角形和三个其他图形组成的三角形有2个，大三角形有1个，一共有（4＋3＋2＋1＋4＋3＋2＋1）个三角形。 【规范解答】4＋4＝8（个） 4＋1＝5（个） 4＋3＋2＋1＋4＋3＋2＋1＝20（个） 【精练题01】（24-25四年级下·江苏·课后作业）用三根同样长的小棒摆成一个三角形（如图），你能说说为什么这个三角形的高一定比小棒短吗？ 【答案】因为从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段的长度最短，所以这个三角形的高一定比小棒短 【思路点拨】从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，也就是可以把小棒BC看作一条直线，两根小棒相交的位置看作一个点A，由点A分别向直线画垂直线段AD、斜线AB和斜线AC；根据垂直线段的性质可知，从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。 【规范解答】根据解析可知，从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段的长度最短，所以这个三角形的高一定比小棒短。 【精练题02】（23-24四年级下·江苏·课后作业）数一数，填一填。 共有( )个三角形     共有( )个三角形     共有( )个三角形 【答案】 6 11 6 【思路点拨】第1个图，单独的1个△有3个，由2个△组成的大△有2个，由3个△组成的大△有1个，把1与2以及3相加，即为△的总个数。 第2个图，单独的1个△有6个，由2个△组成的大△有2个，由3个△组成的大△有2个，由6个△组成的大△有1个，再把所有△的个数相加即可。 第3个图，单独的1个△有4个，由2个△组成的大△有2个，再把4与2相加即可。 【规范解答】1＋2＋3 ＝3＋3 ＝6（个） 1＋2＋2＋6 ＝3＋2＋6 ＝5＋6 ＝11（个） 4＋2＝6（个） 考点二：三角形的高及画法 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）画出下面图形指定底边上的高。 【答案】见详解 【思路点拨】过三角形指定底边的对角顶点向指定底边作垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形指定底边上的高（钝角三角形对角边上的高在其反方向延长线上）。 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高。 梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的一条高；注意作高通常用虚线，并标出垂足。 【规范解答】据分析作图如下： （答案不唯一） 【精练题01】（24-25四年级下·全国·课后作业）从三角形的一个顶点到对边的( )线段是三角形的高。每条底边有( )条对应的高。三角形一共有( )条高。 【答案】 垂直 1 3 【思路点拨】三角形高是对确定的底而言，同一三角形所选底不同，高亦不同。经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）或者对边的延长线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高（钝角三角形钝角边上的高在其反方向延长线上）；直角三角形一条直角边就是以另一直角边为底的高。 【规范解答】如图： 从三角形的一个顶点到对边的（垂直）线段是三角形的高。每条底边有（1）条对应的高。三角形一共有（3）条高。 【精练题02】（24-25四年级下·全国·课后作业）在用三根9厘米长的小棒摆成的三角形中（如图），三角形的高( )9厘米。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【思路点拨】从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段长度最短，三角形的顶点是底边外的一点，两条边是顶点到底边的线段，高是顶点到底边的垂直线段，则高一定小于两条边的长度，据此填空即可。 【规范解答】在用三根9厘米长的小棒摆成的三角形中（如图），三角形的高＜9厘米。 考点三：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）给一块空地围上篱笆，（    ）的围法更牢固些。 A． B． C． 【答案】C 【思路点拨】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，解答此题即可。 【规范解答】 A．，围成的图形为四边形，而四边形有容易变形的特点； B．，围成的图形为四边形，而四边形有容易变形的特点； C．，围成的图形为三角形，三角形具有稳定性； 故答案为：C 【精练题01】（23-24四年级下·江苏·课后作业）学校门口的指示牌歪了，如图1，你能想办法对指示牌进行加固吗？请在图2中画出简单示意图，并说明这样操作的理由。 理由：（    ）。 【答案】 见详解 【思路点拨】根据三角形具有稳定性的特点，可在指示牌里加装木条等材料进行加固，使其构成三角形具有稳定性，在图2中画出简单示意图，并写出理由即可。 【规范解答】画图： 理由：根据三角形具有稳定性的特点，能够更好的加固指示牌。 【精练题02】（22-23四年级下·山西临汾·期末）再剪一根吸管，像下图那样用线穿起来拉一拉，结果怎样？你知道这是为什么吗？ 【答案】拉不动了；因为三角形具有稳定性。 【思路点拨】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。据此解答。 【规范解答】因为三角形具有稳定性，所以再剪一根吸管，用线穿起来拉一拉，就拉不动了。 考点四：三角形三边关系 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）一个三角形的边长都是整厘米数，其中的两条边长分别是5厘米和6厘米，那么这个三角形的周长最长是（    ）厘米。 A．21 B．22 C．13 D．11 【答案】A 【思路点拨】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。由题意得，一个三角形的两条边长分别是5厘米和6厘米，直接将两条边的长度相加或相减得到第三条边的长度范围。这个三角形的边长都是整厘米数，据此找出这个三角形第三条边的可能长度。要使这个三角形的周长最长，那么第三条边的长度要最长。直接将三条边的长度全部加起来即可算出这个三角形的周长。 【规范解答】两边之差＜第三条边＜两边之和 6－5＜第三条边＜6＋5 1＜第三条边＜11 因为这个三角形的边长都是整厘米数，所以第三条边最长是10厘米。 5＋6＋10 ＝11＋10 ＝21（厘米），即这个三角形的周长最长是21厘米。 故答案为：A 【精练题01】（24-25四年级下·全国·单元测试）有4根小棒，它们的长度分别是3厘米、7厘米、10厘米、13厘米。小宇从这4根小棒中选了3根，首尾相接地摆出一个三角形。这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】30 【思路点拨】从4根小棒里面选出3根，可以是①3厘米、7厘米、10厘米；②3厘米、7厘米、13厘米，③7厘米、10厘米、13厘米，④3厘米、10厘米、13厘米。根据三角形的三边关系：任意两边之和必须大于第三条边。来判断选出的三根小棒能否摆成一个三角形。再将能围成三角形的三根小棒长度相加，求出三角形的周长。 【规范解答】①3＋7＝10，3＋10＞7，7＋10＞3 3厘米、7厘米、10厘米不能围成三角形。 ②3＋7＜13，3＋13＞7，7＋13＞3 3厘米、7厘米、13厘米不能围成三角形。 ③7＋10＞13，10＋13＞7，7＋13＞10 7厘米、10厘米、13厘米能围成三角形。 ④3＋10＝13，3＋13＞10，10＋13＞3 3厘米、10厘米、13厘米不能围成三角形。 7＋10＋13＝30（厘米） 这个三角形的周长是30厘米。 【精练题02】（24-25四年级下·全国·课后作业）有5根小棒，长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米。最多留下几根小棒可以使留下的小棒任意3根都无法拼成三角形？分别是哪几根？ 【答案】最多留下4根；它们分别是1厘米、2厘米、3厘米、5厘米。 【思路点拨】三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，因此要使三根小棒不能拼成三角形，那么任意两根小棒的长度之和必须等于或小于第三根小棒。要使留下来的小棒尽可能的多，我们可以采取的策略为优先选择长度较小的小棒，然后再有序的一一列举出来进行验证，由此即可得到正确答案。 【规范解答】①若保留5根小棒：1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米 3厘米、4厘米、5厘米可以构成三角形，不符合题意； ②若保留4根小棒：1厘米、2厘米、3厘米、4厘米 2厘米、3厘米、4厘米可以构成三角形，不符合题意； ③若保留4根小棒：1厘米、2厘米、3厘米、5厘米 1＋2＝3，1＋2＜5，1＋3＜5，2＋3＝5，无法构成三角形，符合题意； ④若保留4根小棒：1厘米、2厘米、4厘米、5厘米 2厘米、4厘米、5厘米可以构成三角形，不符合题意； ⑤若保留4根小棒：1厘米、3厘米、4厘米、5厘米 3厘米、4厘米、5厘米可以构成三角形，不符合题意； ⑥若保留4根小棒：2厘米、3厘米、4厘米、5厘米 3厘米、4厘米、5厘米可以构成三角形，不符合题意； 综上可知最多留下4根小棒，它们分别是1厘米、2厘米、3厘米、5厘米。 答：最多留下4根小棒，它们分别是1厘米、2厘米、3厘米、5厘米。 考点五：三角形的内角和 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是( )°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是( )°。 【答案】 62 30 【思路点拨】三角形的内角和为180°。在直角三角形中，直角的度数为90°。180°－90°＝90°，那么另外两个锐角的度数之和为90°。由题意得，直角三角形的一个锐角是28°，那么直接用90°减去28°即可算出另一个锐角的度数；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么这两个锐角的度数之和就是较小的那个锐角的度数的3倍，那么直接用90°除以3即可算出较小的锐角的度数。 【规范解答】90°－28°＝62° 90°÷（1＋2）＝90°÷3＝30° 在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是62°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是30°。 【精练题01】（24-25四年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一个底角是73度，这个等腰三角形的顶角是多少度？ 【答案】34度 【思路点拨】三角形的内角和是180度，等腰三角形底角相等，一个底角的73度，另一个也是73度，顶角的度数＝180度－73度－73度,据此解题。 【规范解答】180－73－73 ＝107－73 ＝34（度） 答：这个等腰三角形的顶角是34度。 【精练题02】（24-25四年级下·全国·课后作业）一个三角形，其中两个内角的和小于90°，这是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】C 【思路点拨】三角形内角和180°，用180°减去两个内角的和，就是第3个角的度数，这两个内角的和小于90°（180°－90°＝90°），那么另外一个内角一定大于90°；根据有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形，可知这是一个钝角三角形。 【规范解答】一个三角形，其中两个内角的和小于90°，则另一个角大于90°，这是一个钝角三角形。 故答案为：C 考点六：三角形的分类 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）分成一个钝角三角形和一个锐角三角形。（按要求在下面的三角形中画一条线段） 【答案】见详解 【思路点拨】钝角三角形是有一个角大于90°的三角形，锐角三角形是三个角都小于90°的三角形。从三角形的一个顶点向对边（非相邻顶点）画一条线段，使得分割出的两个三角形分别满足钝角三角形和锐角三角形的条件即可。 【规范解答】作图如下： 【精练题01】（24-25四年级下·全国·课后作业）等腰三角形的一个底角是75°，则顶角是( )°，它也是一个( )角三角形。 【答案】 30 锐 【思路点拨】等腰三角形的两个底角相等，根据三角形内角和的性质，即一个三角形的三个内角的和等于180°，用180°减去两个底角的度数即为顶角度数；如果三角形的所有角都小于90°，那么这个三角形就是锐角三角形。 【规范解答】180°－75°×2 ＝180°－150° ＝30° 所以顶角是30°。 30°＜75°＜90° 三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 【精练题02】（24-25四年级下·全国·课后作业）三角形的三个角分别是∠1，∠2，∠3，如果∠1＝∠2＝45°，那么∠3＝( )°。按角分，这是一个( )三角形；按边分，这是一个( )三角形。 【答案】 90 直角 等腰 【思路点拨】三角形的内角和为180°。由题意得，∠1＝∠2＝45°，那么直接用180°减去∠1再减去∠2的度数即可算出∠3的度数；有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。两条边相等的三角形叫作等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等。据此解答。 【规范解答】∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－45°－45°＝135°－45°＝90°，即∠3是直角，这个三角形按角分是直角三角形；∠1＝∠2，两个底角相等，那么两条边也相等，所以这个三角形按边分是一个等腰三角形。 三角形的三个角分别是∠1，∠2，∠3，如果∠1＝∠2＝45°，那么∠3＝90°。按角分，这是一个直角三角形；按边分，这是一个等腰三角形。 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是28厘米。这个等腰梯形的上底长多少厘米？一条腰长多少厘米？ 【答案】6厘米；5厘米 【思路点拨】如下图，等腰梯形的周长也就是一个等腰三角形的周长加等腰三角形两条底边的长度。用等腰梯形的周长减去一个等腰三角形的周长，即是两条等腰三角形的底边长，再除以2，即可求出等腰三角形的底边长，等腰梯形上底的长度等于等腰三角形底边的长度，据此求出等腰梯形的上底；等腰梯形的腰长与等腰三角形的腰长相等，用等腰三角形的周长减去等边长，再除以2，即可求出它们的腰长。据此作答。 【规范解答】上底：（28－16）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 腰：（16－6）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 答：这个等腰梯形的上底长6厘米，一条腰长5厘米。 【精练题01】（24-25四年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一个内角是68°，它的另外两个内角可能是（    ）。 A．68°和112° B．68°和44° C．56°和56° D．68°和44°或56°和56° 【答案】D 【思路点拨】等腰三角形的两个底角相等，本题可根据三角形的内角和为180°求解。由于68°角可能是顶角，也可能是底角，因此要分类讨论。 【规范解答】当68°是底角时，顶角为180°－68°×2＝180°－136°＝44°， 当68°是顶角时，底角为（180°－68°）÷2＝112°÷2＝56°， 故这个等腰三角形的另外两个内角可能是68°和44°或56°和56°。 故答案为：D 【精练题02】（24-25四年级下·全国·单元测试）一个等腰三角形，它的一个底角的度数是顶角度数的2倍。这个等腰三角形的底角是( )°，顶角是( )°。 【答案】 72 36 【思路点拨】等腰三角形的两底角相等，根据题意，把三角形的顶角看作1，则三角形的内角和是顶角的（1＋2＋2）倍；再根据三角形的内角和是180°可求出顶角的度数，然后乘2得出底角的度数即可。 【规范解答】顶角的度数：180°÷（1＋2＋2） ＝180°÷5 ＝36° 底角：36°×2＝72° 因此，这个等腰三角形的底角是72°，顶角是36°。 考点八：画三角形 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）下图中每个小方格的边长为1厘米，请回答下列问题。 （1）图中所画三角形的底是（    ）厘米，高是（    ）厘米。 （2）以图中3厘米长的线段为底，画一个高是4厘米的三角形，这样的三角形一共可以画（    ）个。 （3）在方格纸上任意找三个网格交点，顺次连接起来，一定能连成一个三角形吗？请说明理由。 【答案】（1）4；5 （2）无数；见详解 （3）不一定；理由：当三个点在一条直线上时不能连成一个三角形。（答案不唯一） 【思路点拨】（1）图中每个小方格的边长为1厘米，底画了4格，高画了5格，据此判断底和高是多少厘米。 （2）从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底，据此画出底是3厘米高是4厘米的三角形即可，底和高一样的三角形有无数个。 （3）三角形是由3条线段首尾依次连接而成的封闭图形，如果三个网格交点在同一条直线上，则不能连成三角形，据此解答即可。 【规范解答】（1）图中所画三角形的底是4厘米，高是5厘米。 （2）以图中3厘米长的线段为底，画一个高是4厘米的三角形，这样的三角形一共可以画无数个。 如图：（三角形画法不唯一） （3）如图：   答：不一定，当三个点在一条直线上时不能连成一个三角形。（答案不唯一） 【精练题01】（23-24四年级下·江苏·单元测试）如图，假设每个小方格的边长都是1厘米，请根据要求画图形。 （1）画一个底是5厘米，高是4厘米的等腰三角形。 （2）画一个底是5厘米，高是4厘米的平行四边形。 （3）画一个上底是3厘米、下底是5厘米、高是4厘米的直角梯形。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 【思路点拨】（1）等腰三角形腰长相等，从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底，据此画出该等腰三角形即可。 （2）根据平行四边形的特征：平行四边形的对边平行且相等，从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，据此画出该平行四边形即可。 （3）根据梯形的含义：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，直角梯形有两个角是直角，据此画出该梯形即可。 【规范解答】 （1）（2）（3）如图：（画法不唯一） 【精练题02】（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）在方格纸上分别画一个底是4厘米、高是2厘米的三角形和一个底是2厘米、高是4厘米的三角形，并标出底和相应的高。（每个小正方形的边长表示1厘米） 【答案】见详解 【思路点拨】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底。由题意得，要画一个底是4厘米、高是2厘米的三角形，其中4厘米的底已知，那么只需要画一条长2厘米且与已知的底垂直的线段，然后连接这条线段的端点（不是垂足的那个端点）和已知的底的两个端点即可；同理，要画一个底是2厘米、高是4厘米的三角形，其中2厘米的底已知，那么只需要画一条长4厘米且与已知的底垂直的线段，然后连接这条线段的端点（不是垂足的那个端点）和已知的底的两个端点即可。 【规范解答】 考点九：平行四边形的概念及特点 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）一块平行四边形的菜地，其中较长的一边靠墙，这块菜地相邻的两边长分别是9米和7米，如果用篱笆把它围起来，至少需要( )米长的篱笆。 【答案】23 【思路点拨】平行四边形的对边相等，相邻两边长分别为9米和7米，因此四条边中两条为9米，两条为7米。题目明确指出较长边（9米）靠墙，因此该边无需篱笆。需围另外三条边，即一条9米的对边和两条7米的邻边。列式计算求和即可。 【规范解答】根据分析可知： 9＋7＋7＝23（米） 如果用篱笆把它围起来，至少需要23米长的篱笆。 【精练题01】（24-25四年级下·全国·课后作业）当一个四边形的两组对边分别平行且相等，这个四边形一定是（    ）。 A．长方形 B．平行四边形 C．正方形 【答案】B 【思路点拨】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。同时，平行四边形的性质包含两组对边分别相等 。所以当一个四边形两组对边分别平行且相等时，满足平行四边形的定义和性质，它一定是平行四边形。 长方形属于特殊的平行四边形，它除了两组对边分别平行且相等外，还要求四个角都是直角，题中仅表明两组对边分别平行且相等，未提及角的情况，所以不一定是长方形。 正方形是特殊的长方形，也是特殊的平行四边形，它不仅要求两组对边分别平行且相等，还要求四条边都相等，四个角都是直角 ，题中条件不满足正方形的判定，所以不一定是正方形。 【规范解答】当一个四边形的两组对边分别平行且相等，这个四边形一定是平行四边形。 故答案为：B 【精练题02】（24-25四年级下·全国·单元测试）在下面的图形中表示四边形之间的关系。（填选项） A．四边形   B．正方形   C．长方形   D．平行四边形   E.梯形 【答案】见详解 【思路点拨】四边形包括平行四边形、梯形、长方形、正方形；长方形和正方形都属于平行四边形，正方形又是特殊的长方形，梯形不是特殊的平行四边形，平行四边形也不是特殊的梯形。据此解答。 【规范解答】根据分析得： 考点十：平行四边形的不稳定性及应用 【精讲题】（23-24四年级下·广西防城港·期末）给一块菜地围上篱笆，最牢固的围法是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路点拨】三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。 【规范解答】 A．有正方形，正方形具有不稳定性。 B．有平行四边形，平行四边形具有不稳定性。 C．有三角形，三角形具有稳定性。 一块菜地围上篱笆，最牢固的围法是。 故答案为：C 【精练题01】（22-23四年级下·江苏扬州·期末）小明的凳子脚松动了，下面几种加固方法，你觉得（    ）最稳固。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，据此可知，利用三角形的稳定性在板凳腿与板凳面之间加一根斜木条固定，形成一个三角形，比较稳固。 【规范解答】 A．，加固后形成的是一个四边形，不具有稳定性。 B．，加固后形成的是一个四边形，不具有稳定性。 C．，加固后形，成两个三角形，具有稳定性。 D．，加固后形成的是两个四边形，不具有稳定性。 故答案为：C 【精练题02】（21-22四年级下·江苏宿迁·期末）平行四边形具有( )的特性，把平行四边形的框架拉成长方形框架后，框架的( )没变，( )变了。 【答案】 不稳定性 周长 面积 【思路点拨】因为平行四边形具有不稳定性，易变形，所以可以把将一个平行四边形拉成长方形，因为四条边的长度不变，可知周长不变；底边不变，高变长，可知面积变大，如下图，据此即可解答。 【规范解答】根据分析可知，平行四边形具有不稳定性的特性，把平行四边形的框架拉成长方形框架后，框架的周长没变，面积变了。 考点十一：平行四边形的高及画法 【精讲题】（2025四年级下·全国·专题练习）图中，平行四边形（    ）的底相等，高也相等。 A．①和② B．①和③ C．①和④ 【答案】A 【思路点拨】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高，垂足所在的边叫作平行四边形的底。据此解答。 【规范解答】假设图中的每个小正方形的边长都是1。由图可知，①号平行四边形的底是3，高是4。②号平行四边形的底是3，高是4。③号平行四边形的底是3，高是5。④号平行四边形的底是4，高是4。所以平行四边形①和②的底相等，高也相等。 故答案为：A 【精练题02】（2025四年级下·全国·专题练习）画出每个图形底边上的高，再量一量。 高（    ）厘米    高（    ）厘米 【答案】作图见详解；3；2.7 【思路点拨】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高，垂足所在的边叫作平行四边形的底。 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，这条对边叫做梯形的底。 测量线段的长度时，线段的左端对准尺子的0刻度线，右端所对的刻度就是线段的长度。 【规范解答】如图： （以实际测量为准） 【精练题02】（23-24四年级下·江苏·课后作业）画出每个图形底边上的高。 【答案】见详解 【思路点拨】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。据此画图即可。 【规范解答】作图如下： 考点十二：画平行四边形 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）在下面的方格纸上分别画一个底是4厘米、高是3厘米的三角形和平行四边形。（每个小正方形的边长均是1厘米） 【答案】见详解 【思路点拨】根据题意，三角形的画法： 在方格纸上选择一条水平线作为三角形的底边，长度为4格（即4厘米）。然后从底边上的任意一点向上数3格（3厘米）做标记，再将该标记点与底边两端连起来，即可得到一个底为4厘米、高为3厘米的三角形。  平行四边形的画法： 同样先画一条水平底边，长度4格。然后在底边的左右两端，各向上数3格做出两个顶点。最后将这两个顶点连接，并分别与底边的左右端连线，即可得到一个底为4厘米、高为3厘米的平行四边形。 【规范解答】根据分析画图如下： （画法不唯一） 【精练题01】（23-24四年级下·江苏·课后作业）在下面的方格纸上画三个图形：①上底是4厘米、下底是7厘米、高是5厘米的直角梯形；②高是3厘米的等腰梯形；③底和高都是5厘米的平行四边形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【答案】见详解 【思路点拨】①直角梯形的特征：梯形两腰既不相等也不平行，两底平行，但不相等，一个腰上的两角都是直角。 先在方格纸上画一条长7厘米的线段，然后把三角尺的直角的顶点与线段的一个端点重合，一条直角边与线段重合，沿着另一条直角边画垂线（垂线长度为5厘米），接着再以同样的方法，三角尺的一条直角边与5厘米长的垂线重合，三角尺直角顶点与垂线另一个端点重合，沿着三角尺的另一条直角边画一条长4厘米的线段（梯形的上底），然后连接上底和下底的另一端，即可画出直角梯形。 ②等腰梯形的特征：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 根据等腰梯形的特征，等腰梯形为一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形，首先画一条下底为4厘米长的线段，在线段的上方高3厘米的位置，居中画一条上底为2厘米的线段，再用两条线段分别连接上下两个线段的端点，画出等腰梯形即可。 ③平行四边形的特征：平行四边形的两组对边平行且相等。 先在方格纸上画一条长5厘米的线段，从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。据此画出高为5厘米的平行四边形即可。 【规范解答】作图如下： （画法不唯一） 【精练题02】（23-24四年级下·江苏·课后作业）在下面的方格纸中按要求画出平行四边形。 （1）底是3厘米、高是2厘米。       （2）底和高都是4厘米。 【答案】见详解 【思路点拨】确定起始点：首先，选择一个方格子的交点作为平行四边形的一个顶点，记作点A。 绘制底边：从点A出发，向右水平绘制一条直线，确保这条直线的长度是3个方格子，这条线段的终点，记作点B。 确定另一个顶点：从点A向右数一个格子，由此点向上垂直绘制一条直线，确保这条直线的长度是2个方格子（即平行四边形的高）。这条线段的终点，记作点C。将点A与点C连接起来。 绘制对边：从点C出发，向右水平绘制一条直线，确保这条直线的长度是3个方格子，这条线段的终点，记作点D。 连接顶点：最后，使用直尺，将点B与点D连接起来。 这样，你就得到了一个底是3厘米、高是2厘米的平行四边形ABCD。同理画出底高都是4厘米的平行四边形即可。 【规范解答】 （图形不唯一） 考点十三：梯形的概念及特点 【精讲题】（24-25四年级下·全国·单元测试）把下面的梯形分成形状、大小相同的四部分，在图中画一画。 【答案】见详解 【思路点拨】如图所示，这个梯形一共有24个方格，要分成大小相同的四部分，说明每部分是6个方格。据此分一分即可。 【规范解答】具体分法如下所示： （答案不唯一） 【精练题01】（2025四年级下·全国·专题练习）在下面的方格纸上画两个梯形（其中一个是等腰梯形），并标出它们的上底、下底和腰。 【答案】见详解 【思路点拨】等腰梯形的定义，有两条腰相等的梯形是等腰梯形。先在方格上以一条竖线为对称轴，画两条平行线段，线段长度要不同，再把平行线段的两个对应端点连接起来即为一个等腰梯形。梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的一条高。长的一条底边叫下底，短的一条底边叫上底。不平行的一组对边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 【规范解答】根据分析作图如下： 【精练题02】（2025四年级下·全国·专题练习）下面几种图形中，不是轴对称图形的是（    ）。 A．长方形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．等腰三角形 【答案】C 【思路点拨】根据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴，据此即可解答。 【规范解答】根据分析可知： A．长方形有2条对称轴，是轴对称图形。 B．等腰梯形有1条对称轴，是轴对称图形。 C．平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形。 D．等腰三角形有1条对称轴，是轴对称图形。 故答案为：C 考点十四：梯形的高及画法 【精讲题】（23-24四年级下·江苏·单元测试）画出下列图形底边上的高。 【答案】图见详解 【思路点拨】从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，高一般用虚线表示，并画上垂足符号；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，高一般用虚线表示，并画上垂足符号；从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底，据此作图即可。 【规范解答】 如图：（平行四边形和梯形高画法不唯一） 【精练题01】（23-24四年级下·江苏·期末）画出下面各图形底边上的高。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高； （2）在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高； （3）梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的一条高。注意作高用虚线，并标出垂足。 【规范解答】据分析作图如下： 【精练题02】（21-22四年级下·江苏淮安·期末）画出下面梯形的高。 【答案】见详解 【思路点拨】从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，这条对边叫做梯形的底。据此作图。 【规范解答】 考点十五：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【精讲题】（24-25四年级下·全国·课后作业）一个等腰梯形，上底长3厘米，下底长5厘米，一条腰长4厘米。这个等腰梯形的周长是（    ）厘米。 A．15 B．17 C．16 D．12 【答案】C 【思路点拨】等腰梯形的两条腰的长度相等，根据梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰，列式解答即可得到答案。 【规范解答】3＋5＋4×2 ＝3＋5＋8 ＝8＋8 ＝16（厘米） 一个等腰梯形，上底长3厘米，下底长5厘米，一条腰长4厘米。这个等腰梯形的周长是16厘米。 故答案为：C 【精练题01】（24-25四年级下·全国·单元测试）一个等腰梯形的一条腰长7厘米，它的下底长12厘米，上底是下底的一半，周长是( )厘米。 【答案】32 【思路点拨】等腰三角形两腰相等，则另一条腰长也是7厘米。上底是下底的一半，则上底长12÷2＝6厘米，把等腰梯形的4条边，相加即可得周长。 【规范解答】上底长：12÷2＝6（厘米） 6＋12＋7×2 ＝6＋12＋14 ＝18＋14 ＝32（厘米） 一个等腰梯形的一条腰长7厘米，它的下底长12厘米，上底是下底的一半，周长是（32）厘米。 【精练题02】（24-25四年级下·全国·单元测试）一个直角梯形的上底是5厘米，一条腰长是12厘米，将上底延长4厘米后，就变成一个正方形。这个直角梯形的周长是多少厘米？ 【答案】35厘米 【思路点拨】上底是5厘米，将上底延长4厘米后，就变成一个正方形，说明下底长是5＋4＝9厘米，高是5＋4＝9厘米。将梯形的四条边相加，可得它的周长。 【规范解答】高、下底：5＋4＝9（厘米） 5＋9＋9＋12 ＝14＋9＋12 ＝23＋12 ＝35（厘米） 答：这个直角梯形的周长是35厘米。 考点十六：画梯形 【精讲题】（23-24四年级下·广西防城港·期末）在方格纸上画一个底6厘米、高4厘米的三角形，再画一个高3厘米的等腰梯形。（每个小方格表示1平方厘米） 【答案】见详解 【思路点拨】小方格的面积是1平方厘米，小方格的边长是1厘米；先画一条长6个格子边长的线段，在线段上方4个格子地方取一点，把这个点分别与线段的两个端点用线段连接起来即可得到一个底为6厘米、高为4厘米的三角形，从这点作对边的垂线段即为底为6厘米边上的高；先在方格上以一条竖线为对称轴，画两条平行线段，线段长度不同，两条线段相距3个格子，再把平行线段的两个对应端点连接起来即为一个等腰梯形，从上底上一点作下底的垂线，这点到垂足的线段即为梯形的高。 【规范解答】 【精练题01】（23-24四年级下·江苏淮安·期末）看清要求，仔细操作。 （1）画一个底是3厘米，高是2厘米的平行四边形，再把这个平行四边形向右平移4格。 （2）画一个上底和高都是2厘米，下底是3厘米的直角梯形。 （3）把图①绕O点逆时针旋转90°。 （4）画出图②的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解（平行四边形、梯形画法不唯一） 【思路点拨】（1）平行四边形的定义：平行四边形，是在平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；根据平行四边形的概念，画出这个底是3厘米，高是2厘米的平行四边形；作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点，确定平移方向和平移距离，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，连接对应点； （2）梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，直角梯形有2个直角； （3）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可； （4）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形；据此作图。 【规范解答】（1）（2）（3）（4）如图： （平行四边形、梯形画法不唯一） 【精练题02】（23-24四年级下·江苏徐州·期末）以图中的10个交点为顶点，画出最大的等腰梯形。 【答案】见详解 【思路点拨】一组对边相等且不平行，另一组对边平行的四边形是等腰梯形。因为是最大的等腰梯形，则要选择最长的边为梯形的上下底，并以交点为顶点的等腰梯形。 【规范解答】最大的等腰梯形是一个上底占3个顶点，下底占5个顶点，两条腰相等的梯形。如图： 基础夯实优选题专练 1．（24-25四年级下·全国·单元测试）如图中自行车的三角架运用了三角形（    ）的特点。 A．具有稳定性 B．有三条边 C．易变形 D．以上均正确 【答案】A 【思路点拨】三角形具有稳定性，在生活中，三角形的稳定性有着非常广泛的应用，如篮球架上篮板的支架是三角形的，电线杆的支架是三角形的等等；据此解答即可。 【规范解答】据分析可得： 如图中自行车的三角架运用了三角形具有稳定性的特点。 故答案为：A 2．（24-25四年级下·全国·单元测试）一个平行四边形相邻的两条边长分别是9厘米和6厘米，它的高不可能是（    ）厘米。 A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【思路点拨】在平行四边形一条边长为邻边的直角三角形中，直角边的长度一定小于斜边的长度，斜边的长度是9厘米或6厘米，结合给出的选项完成解答。 【规范解答】根据三角形的三边关系，如果高是两条9厘米的边之间的距离，那么高小于6厘米，如果高是两条6厘米的边之间的距离那么高小于9，所以它的高不可能是10厘米。 故答案为：D 3．（24-25四年级下·全国·课后作业）如图，学校的大门可以伸缩，是利用平行四边形（    ）的特性制作的。 A．稳定性 B．容易变形 C．对边相等 【答案】B 【思路点拨】根据四边形具有不稳定性，容易变形的特点，解答此题即可。 【规范解答】如图，学校的大门可以伸缩，是利用平行四边形容易变形的特性制作的。 故答案为：B 4．（24-25四年级下·全国·单元测试）三角形的高有( )条，平行四边形的高有( )条。 【答案】 3/三 无数 【思路点拨】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，三角形有3个顶点，可以画3条高；从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高，平行四边形有无数条高。据此解答。 【规范解答】三角形的高有3条，平行四边形的高有无数条。 5．（24-25四年级下·全国·单元测试）一个平行四边形的底是7厘米，高是4厘米，将它拉成一个长方形后，高比原来增加1厘米，则原来平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】24 【思路点拨】平行四边形拉成长方形后，高比原来增加1厘米，也就是长方形的宽是4＋1＝5（厘米），即平行四边形另一条边是5厘米，四条边加起来即为平行四边形的周长。 【规范解答】4＋1＝5（厘米） 7×2＋5×2 ＝14＋10 ＝24（厘米） 一个平行四边形的底是7厘米，高是4厘米，将它拉成一个长方形后，高比原来增加1厘米，则原来平行四边形的周长是24厘米。 6．（24-25四年级下·全国·课后作业）一个三角形中的一个内角是40°，另一个内角是70°，第三个内角是( )°。 【答案】70 【思路点拨】三角形的两个内角的度数已知，依据三角形的内角和是180°，即可求出第三个内角的度数。 【规范解答】180°－40°－70° ＝140°－70° ＝70° 所以一个三角形中的一个内角是40°，另一个内角是70°，第三个内角是70°。 7．（24-25四年级下·全国·单元测试）如下图，∠1＝122°，∠2，∠3分别是多少度？ 【答案】∠2＝58°；∠3＝32° 【思路点拨】根据题意，∠1＋∠2＝180°，所以用180°减去∠1的度数就可以得到∠2的度数；看图可知，∠2＋∠3＋90°＝180°，所以∠3＝180°－90°－∠2；据此解答。 【规范解答】∠2＝180°－122°＝58° ∠3＝180°－90°－58°＝32° 答：∠2是58°，∠3是32°。 8．（2025四年级下·全国·专题练习）从小强家到体育馆有几条路线？哪条路线最近？ 【答案】5条；见详解 【思路点拨】通过对相关路线的梳理，得出从小强家到体育馆的路线有：①小强家→书城→体育馆；②小强家→图书馆→体育馆；③小强家→少年宫→图书馆→体育馆；④小强家→少年宫→图书馆→学校→体育馆；⑤小强家→图书馆→学校→体育馆，共 5 条 ； 根据 “两点之间线段最短” 的原理，在这些路线中，第②条路线 “小强家→图书馆→体育馆” 是直接连接小强家与体育馆的路线，没有多余的转折，相较于其他路线，所经过的路程更短，所以它是最近的路线。 【规范解答】答：从小强家到体育馆有5条路线，从家经过图书馆再到体育馆这条路线最近。 9．（2025四年级下·全国·专题练习）一个等腰三角形，一条腰长15厘米，底比腰长4厘米。这个三角形的周长是多少厘米？ 【答案】49厘米 【思路点拨】等腰三角形两腰相等，三角形三条边长之和就是三角形的周长；一个等腰三角形，一条腰长15厘米，底比腰长4厘米，底＝腰长＋4，然后将三条边加一起即可。 【规范解答】15＋4＝19（厘米） 19＋15＋15 ＝34＋15 ＝49（厘米） 答：这个三角形的周长是49厘米。 10．（2025四年级下·全国·专题练习）画出下面图形底边上的高，再量一量、填一填。 【答案】图见详解； 15；22；25 【思路点拨】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高； 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高；再用直尺量出高的长度。 梯形的高，过梯形上底的一个顶点向下底作垂线，顶点和垂足之间的线段就是梯形形的一条高；据此利用刻度尺进行测量解答即可。 【规范解答】 培优优选题专练 11．（24-25四年级下·全国·单元测试）一个三角形中每个角都不小于60°，这是一个（    ）三角形。 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．直角或钝角 【答案】C 【思路点拨】由题意“一个三角形的三个内角都不小于60°”可知：如果三个内角都大于或等于60°，则内角和大于或等于180°，当其内角和大于180°时，这与三角形的内角和是180°相矛盾，所以该三角形的三个内角都等于60°，则这个三角形一定是锐角三角形。以此答题即可。 【规范解答】由分析知： 一个三角形的三个内角都不小于60°，即都等于60°，这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：B 12．（24-25四年级下·全国·单元测试）一个锐角三角形中，任意两个角的和（    ）90°。 A．小于 B．大于 C．等于 D．都有可能 【答案】B 【思路点拨】根据题意，明确锐角三角形的定义：三个角都是锐角（每个角都小于90°）。 内角和定理：三角形内角和为180°。若两个角的和为90°，则第三个角为90°，不符合锐角三角形条件。 若两个角的和小于90°，则第三个角大于90°，成为钝角三角形，矛盾。在锐角三角形中，任意两个角的和必须大于90°，才能保证第三个角也是锐角。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： A．任意两个角的和小于90°，则第三个角大于90°，成为钝角三角形，矛盾。不符合题意。 B．任意两个角的和大于90°，则第三个角小于90°，成为锐角三角形，符合题意。 C．若两个角的和为90°，则第三个角为90°，不符合锐角三角形条件。不符合题意。 D．都有可能，不符合题意。   故答案为：B 13．（24-25四年级下·全国·课后作业）如图，梯形的两条腰的长度分别是5厘米和6厘米，这个梯形的高是（    ）。 A．5厘米 B．6厘米 C．11厘米 D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】梯形的高是指梯形上下底之间的垂直距离。从图中可以看出这个梯形是直角梯形，直角梯形的高就是与上下底垂直的那条腰。已知梯形两条腰的长度分别是5厘米和6厘米，因为垂直于上下底的腰就是高，所以5厘米的腰是与上下底垂直的，那么这个梯形的高就是5厘米。 【规范解答】根据分析： 如图，梯形的两条腰的长度分别是5厘米和6厘米，这个梯形的高是5厘米。 故答案为：A 14．（24-25四年级下·全国·课后作业）下面的三角形被乐乐遮住了一部分，它们分别是什么三角形？ ( )三角形    ( )三角形    ( )三角形 【答案】 直角 钝角 锐角 【思路点拨】（1）露出的一个角有直角标，即该三角形有一个角是直角，该三角形为直角三角形。 （2）露出的一个角是钝角，即该三角形有一个角是钝角，该三角形为钝角三角形。 （3）露出的三个角是锐角，即该三角形是锐角三角形。 【规范解答】 15．（24-25四年级下·全国·单元测试）把一根144厘米长的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是( )厘米；如果用这根铁丝围成一个腰长是60厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长是( )厘米。 【答案】 48 24 【思路点拨】等边三角形的三条边长度相等。已知铁丝长144厘米，即围成的等边三角形的周长是144厘米。因为等边三角形三条边相等，用周长除以3计算出等边三角形的边长。已知铁丝长144厘米，也就是等腰三角形的周长是144厘米，腰长是60厘米。根据等腰三角形周长＝腰长＋腰长＋底边长，可得底边长＝周长－腰长－腰长，据此列式解答。 【规范解答】144÷3＝48（厘米） 144－60－60 ＝144－120 ＝24（厘米） 把一根144厘米长的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是48厘米；如果用这根铁丝围成一个腰长是60厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长是24厘米。 16．（24-25四年级下·全国·单元测试）乐乐在画纸上画了一个三角形，量得其中两个角的度数是75°和65°。乐乐所画的三角形的第三个角是( )°，按角分，这个三角形是( )三角形。 【答案】 40 锐角 【思路点拨】根据题意，明确三角形的内角和是180°，乐乐所画的三角形的第三个角是用180°－75°－65°＝40°；三个角均为锐角（75°、65°、40°均小于90°），因此是锐角三角形。 【规范解答】根据分析可知： 180°－75°－65°＝105°－65°＝40° 75°、65°、40°均小于90°。 乐乐在画纸上画了一个三角形，量得其中两个角的度数是75°和65°。乐乐所画的三角形的第三个角是40°，按角分，这个三角形是锐角三角形。 17．（24-25四年级下·全国·单元测试）把一个正方形的一条边缩短6分米，它就变成了一个梯形。已知这个梯形的下底是上底的3倍，这个梯形的上底、下底和高各是多少分米？ 【答案】上底3分米；下底9分米；高9分米。 【思路点拨】如图所示，把上底看作1份，下底就是这样的3份。6分米就对应这样的2份，据此可以求出1份是几分米，也就是上底的长度。再用上底的长度乘3就是下底的长度。正方形的四条边相等，四个角都是直角。所以梯形的高和下底长度相等。据此解答。 【规范解答】6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（分米）   3×3＝9（分米） 答：这个梯形的上底是3分米，下底是9分米，高是9分米。 18．（24-25四年级下·全国·课后作业）在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角，其中∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍。这个三角形按角分是什么三角形？ 【答案】直角 【思路点拨】已知∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍，把∠1的度数看作1份，则∠2的度数是2份，∠3的度数是3份。那么三个角的度数总共是1＋2＋3＝6份。可求出∠1的度数为180°÷（3＋2＋1）＝30°，最大角∠3的度数为30°×3＝90°，根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可知这个三角形按角分是直角三角形。 【规范解答】∠1＝180°÷（3＋2＋1） ＝180°÷6 ＝30° ∠2＝30°×2＝60° ∠3＝30°×3＝90° 答：这个三角形按角分是直角三角形。 19．（24-25四年级下·全国·单元测试）一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，这个等腰三角形的周长是多少厘米？ 【答案】17厘米 【思路点拨】根据三角形两边之和大于第三边的性质，首先判断这个等腰三角形的两条边长3厘米和7厘米，那条是腰，因为如果3厘米是腰，3＋3＝6＜7，不满足“任意两边之和大于第三边”，无法构成三角形，所以可知7厘米为腰，这个等腰三角形的三条边长是3厘米、7厘米、7厘米，把三条边相加就是它的周长，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 3＋3＝6＜7 这个等腰三角形的三条边长是3厘米、7厘米、7厘米。 7＋7＋3 ＝14＋3 ＝17（厘米） 答：这个等腰三角形的周长是17厘米。 20．（24-25四年级下·全国·单元测试）如下图所示的是由三个等边三角形组成的图形，一只小蚂蚁从A出发经过C到达B，与从A出发经过D，F，E到达B，哪条路线更近？ 【答案】两条路线一样近 【思路点拨】三个三角形都是等边三角形，大三角形的边长是35＋15＝50（厘米），中三角形的边长是35厘米，小三角形的边长是15厘米，等边三角形的三条边都相等，第一条路线的长度就是大三角形的两条边长，第二条路线的长度就是中、小三角形的两条边长之和，据此计算比较即可解答。 【规范解答】路线A→C→B：35＋15＝50（厘米） 50×2＝100（厘米） 路线：A→D→F→E→B： 35×2＋15×2 ＝70＋30 ＝100（厘米） 100厘米＝100厘米 答：两条路线一样近。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$