07 圆锥曲线场景创设，存在性问题妙应用-《中学生数理化》高考数学2025年3月刊

■陕西省定边县定边中学 张 伟 探索性综合应用问题,既是一类古老的 题型,也是一类创新应用的题型,是命题考核 中的一棵常青树,也是备受各方关注的一类 综合应用问题。而基于圆锥曲线的场景创 设,借助平面解析几何中有关点、直线、参数 等基本要素的存在性来设置与应用,结合直 线与圆锥曲线的位置关系,综合相关的知识, 利用对应要素的存在性探究来分析与求解, 成为全面考查数学基础知识、数学思想方法 及数学关键能力的重要载体,常考常新,创新 新颖。 一、点的存在性问题 基于圆锥曲线问题场景创设,借助点的 存在性的探究,来设置与之相关的综合应用 问题,包括与点有关的直线、角、三角形、线段 长度等。 例 1 (江苏省南京市、盐城市2024届 高三年级第一次模拟考试数学试卷)已知椭 圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),右顶点为A,直线l:x=4与x 轴交 于点M,且|AM|=a|AF|。 (1)求椭圆C 的方程。 (2)若B 为直线l上的动点,过B 作椭 圆C 的两条切线,分别交y 轴于点P,Q。 ①证明:直线BP,BF,BQ 的斜率成等 差数列。 ②已知☉N 经过B,P,Q 三点,试问:是 否存在点B,使得∠PNQ=90°? 若存在,求 |BM|;若不存在,请说明理由。 解析:(1)由右焦点为F(1,0),得c=1。 因为|AM|=a|AF|,所以|4-a|= a(a-1)。 若a≥4,则a-4=a(a-1),得a2- 2a+4=0,无解; 若a<4,则4-a=a(a-1),得a2=4, 所以b2=a2-c2=3。 因此椭圆C 的方程为 x2 4+ y2 3=1 。 (2)设B(4,t),易知过B 且与椭圆C 相 切的直线的斜率存在,设该直线的方程为 y-t=k(x-4)。 联立 y-t=k(x-4), x2 4+ y2 3=1 , 消 去 y 得(3+ 4k2)x2+8k(t-4k)x+4(t-4k)2-12=0。 由Δ=64k2(t-4k)2-4(3+4k2)[4(t- 4k)2-12]=0,得12k2-8tk+t2-3=0。 设两条切线BP,BQ 的斜率分别为k1, k2,则k1+k2= 8t 12= 2t 3 ,k1k2= t2-3 12 。 ①设直线BF 的斜率为k3,则k3= t 4-1 = t 3 。 因为k1+k2=2k3,所以直线 BP,BF, BQ 的斜率成等差数列。 ②存在。理由如下: 在y-t=k1(x-4)中,令x=0,得yP= t-4k1,所以P(0,t-4k1)。 同理,得Q(0,t-4k2),所以PQ 的中垂 线的方程为y=t-2(k1+k2)。 易得BP 的中点为(2,t-2k1),所以BP 的中垂线的方程为y=- 1 k1 (x-2)+t- 2k1。 联 立 y=t-2(k1+k2), y=- 1 k1 (x-2)+t-2k1, 解 得 N(2k1k2+2,t-2(k1+k2))。 所以 NP→=(-2k1k2-2,2k2-2k1), NQ→=(-2k1k2-2,2k1-2k2)。 要使∠PNQ=90°,则 NP→·NQ→=0,即 4(k1k2+1)2-4(k1-k2)2=0,整理得|k1k2 +1|=|k1-k2|。 91 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年3月 因为|k1-k2|= (k1+k2)2-4k1k2 = 2t 3 2 -4× t2-3 12 = t2+9 3 , 所 以 t2-3 12 +1 = t2+9 3 ,解得t2=7,t=± 7, 因此|BM|= 7。 故存在符合题意的点B,使得∠PNQ= 90°,此时|BM|= 7。 点评:解决此类圆锥曲线场景下点的存 在性探索问题时,借助点的坐标的设置,结合 题设条件,通过构建合理的关系式来运算与 推理。其实,该问题中,对于点的 存 在 性 探 究,既可以利用∠PNQ=90°,转化为数量积 NP→·NQ→=0,通过点的坐标及数量积的坐 标公式来求解;也可以利用圆心角∠PNQ= 90°,转化为圆周角问题,进而分别利用斜率 的夹角公式及数量积的夹角公式来求解;还 可以在转化为圆周角的基础上,利用等面积 法,通过面积公式的转化与应用来求解。技 巧方法多样,殊途同归。 二、直线的存在性问题 基于圆锥曲线问题场景创设,借助直线 的存在性的探究,来设置与之相关的综合应 用问题,包括与直线有关的点、位置关系、距 离,以及三角形的面积或周长等。 例 2 (2024年黑龙江省哈尔滨市九 中高三(上)期中数学试卷)已知A(-2,0), B(2,0),直线AM,BM 相交于点M,且它们 的斜率之积是3。 (1)求点 M 的轨迹C 的方程。 (2)试问:过点 N(2,3)能否作一条直线 m 与轨迹C 交于P,Q 两点,且N 是线段PQ 的中点? 若能,求出直线m 的方程;若不能, 请说明理由。 解析:(1)设 M(x,y),x≠±2。 所以kAM·kBM= y-0 x+2 ·y-0 x-2=3 ,整理 得3x2-y2=12(x≠±2),即点 M 的轨迹C 的方程为 x2 4- y2 12=1 (x≠±2)。 (2)不能。理由如下: 若能作出直线 m,则直线 m 的斜率存 在,设斜率为k,P(x1,y1),Q(x2,y2)。 所 以 x21 4- y21 12=1 , x22 4- y22 12=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 两 式 相 减 得 (x1-x2)(x1+x2) 4 - (y1-y2)(y1+y2) 12 = 0,整理得 y1-y2 x1-x2 =3× x1+x2 y1+y2 。 因为N 是线段PQ 的中点,所以y1-y2 x1-x2 =3× 4 6=2 ,即k=2,故直线 m 的方程为 y-3=2(x-2),即2x-y-1=0。 将直线m 的方程代入曲线C 的方程得 x2-4x+13=0,Δ=(-4)2-4×13<0,此 时直线m 与曲线C 不相交。 故不能作出符合题意的直线m。 点评:解决此类圆锥曲线场景下直线的 存在性探索问题时,经常借助“肯定顺推法” 来处理。解题时,假设满足条件的直线存在, 由此利用待定系数法设出对应的直线方程, 利用直线与圆锥曲线方程的联立,结合解方 程组、韦达定理或“点差法”等来分析与推理, 由此进一步剖析直线的存在性问题。 三、参数的存在性问题 基于圆锥曲线问题场景创设,借助参数 的存在性的探究,来设置与之相关的综合应 用问题,包括与参数有关的关系式、直线方 程、曲线方程、比例值等。 例 3 (2024年陕西省宝鸡市高考数 学三模试卷)已知椭圆 E: x2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的焦距为4,离心率为 2 2 。 (1)求椭圆E 的方程。 (2)设直线y=k(x+1)与椭圆E 交于A, B 两点,试问:是否存在k,使得OA→⊥OB→? 若 存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。 解析:(1)由题意得 2c=4, c a= 2 2 , 所以c= 2,a=22,所以b= a2-c2=2。 02 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年3月