06 巧构基本函数模型,妙解圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题-《中学生数理化》高考数学2025年3月刊

2025-04-10
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中学生数理化高中版编辑部
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资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高三
章节 -
类型 教案-讲义
知识点 -
使用场景 高考复习
学年 2025-2026
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 PDF
文件大小 613 KB
发布时间 2025-04-10
更新时间 2025-04-10
作者 中学生数理化高中版编辑部
品牌系列 中学生数理化·高考数学
审核时间 2025-04-10
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来源 学科网

内容正文:

􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹 因为坐标原点 O 到直线l 的距离d= |m| 1+k2 ,所以S△AOB = 1 2|AB| ·d = 1 2× 24(1+k2) 3+4k2 × |m| 1+k2 = 1 2× 24m2 3+4k2 = 3。 所以△AOB 的面积为定值。 ②假设椭圆上存在点 P,使得四边形 OAPB 为平行四边形,则OP→=OA→+OB→。 设P(x0,y0),则 x0=x1+x2=- 8km 3+4k2 , y0=y1+y2= 6m 3+4k2 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 由 x20 4+ y20 3=1 ,即 16k 2m2 (3+4k2)2 + 12m2 (3+4k2)2 =1,得4m2=3+4k2,与2m2=3+4k2 矛盾。 所以椭圆上不存在点 P,使得四边形 OAPB 为平行四边形。 点评:解决圆锥曲线中涉及定值关系的 证明问题的关键是将定值关系的几何性质加 以合理化归与转化,结合代数形式中的数量 变形或平面几何要素的综合应用等来巧妙转 化。证明时,往往是合理引入变量,利用所要 证明的定值加以展开,综合数学运算、逻辑推 理及变量之间的关系来判断并证明定值。 其实,在证明圆锥曲线中的相关应用问 题时,关键是在熟悉圆锥曲线的定义、标准方 程及几何性质,结合相关的平面解析几何知 识与其他相关知识的前提下,挖掘问题创设 的基本应用场景,合理加以本源回归,常把几 何量用坐标表示,建立某个变量的函数,用代 数方法,通过相关的代数运算并结合逻辑推 理来分析与证明,当然有时也会采用反证法 来处理与证明。 (责任编辑 王福华) ■江苏省南通市通州湾中学 于海霞 圆锥曲线中的综合应用问题,主要涉及 基本要素、关系式或代数式等的最值(或取 值范围)问题,一直是高考数学试卷命题中 的一个重点题型,也是考查数学“四基”与 “四能”的一个重要场景,具有较好的选拔性 与区分度,备受各方关注。特别地,巧妙构 造基本函数模型,利用二次函数、复合函数 的图像与性质,以及函数与导数的综合应用 等,能快捷地处理圆锥曲线中的最值(或取 值范围)问题。 一、二次函数模型 例 1 已知双曲线 M:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)的离心率为 5 2 ,F1、F2 分别为其左、 右焦点,P(x0,y0)为双曲线 M 在第一象限 内一点,设∠F1PF2 的平分线PQ 交y 轴于 点Q,当PF2⊥F1F2 时,|PF2|= 1 2 。 (1)求双曲线 M 的方程; (2)若y0≥1,此时直线F1Q 交双曲线 M 于A,B 两点,求△F2AB 面积的最大值。 解析:(1)由题意得e2= c2 a2 = a2+b2 a2 = 5 4 ,所以a2=4b2。 当PF2⊥F1F2 时,将x=c 代入双曲线 方程得|PF2|= b2 a= a 4= 1 2 ,所以a=2,所以 b2= a2 4=1 。 所以双曲线 M 的方程为 x2 4-y 2=1。 (2)设PQ 与x 轴交于点N,如图1所示。 图1 由(1)可得,F1(- 5,0), F2(5,0)。 所以|PF1|= (x0+5)2+y20 = (x0+5) 2 + 1 4x 2 0-1 = 5 2x0 +2。 61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年3月 又因 为2a=4,所 以|PF2|=|PF1| -2a= 5 2x0-2 。 因为 PQ 为∠F1PF2 的平分线,所以 |PF1| |PF2| = |F1N| |F2N| ,所 以 xN = 4 x0 ,所 以 N 4x0 ,0 。 所以直线 PQ 的方程为y= y0 x0- 4 x0 · x- 4 x0 ,令x=0,得Q 0,-1y0 。 所以直线F1Q 的方程为y= 1 y0 - 5 (x+ 5),即y= 1 - 5y0 (x+ 5)。 联 立 y= 1 - 5y0 (x+ 5), x2 4-y 2=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 消 去 x 得 (5y20-4)y2+10y0y+1=0,易得Δ>0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2= -10y0 5y20-4 ,y1y2= 1 5y20-4 。 又因为y0≥1,所以 y1+y2<0, y1y2>0。 所以S△F2AB=S△F2BF1-S△F2AF1= 1 2|F1F2| · |y1-y2| = 1 2 ·25· (y1+y2)2-4y1y2 =45· 5y20+1 5y20-4 。 令5y20-4=t≥1,则 S△F2AB =4 5· t+5 t =45 · 5 1t+ 1 10 2 - 1 20≤4 30 , 当且仅当t=1时取等号。 所以△F2AB 面积的最大值为4 30。 点评:涉及此类二次函数模型的构建,是 处理圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题时 最为常用的一种技巧方法。借助二次函数模 型的构建,利用变量的取值范围或限制条件, 结合二次函数的图像与性质等,合理确定对 应的最值,实现圆锥曲线中最值(或取值范 围)问题的突破与求解。 二、复合函数模型 例 2 在平面直角坐标系xOy 中,已 知双曲线E: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦 点为F,离心率为2,且过点P(2,3)。 (1)求双曲线E 的方程; (2)设过原点O 的直线l1 在第一、三象 限内分别交双曲线E 于A、C 两点,过原点O 的直线l2 在第二、四象限内分别交双曲线E 于B、D 两点,若直线AD 过双曲线的右焦点 F,求四边形ABCD 面积的最小值。 解析:(1)因为双曲线E 过点P(2,3), 所以 4 a2 - 9 b2 =1。 联立 e= c a=2 , 4 a2 - 9 b2 =1, a2+b2=c2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b= 3, c=2。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以双曲线E 的方程为x2-y 2 3=1 。 (2)由双曲线的对称性知四边形ABCD 为平行四边形,所以S四边形ABCD=4S△OAD。 由题意知,直线AD 的斜率不为零,设直 线AD 的方程为x=my+2m≠± 3 3 。 联立 x=my+2, x2-y 2 3=1 , 消去x 得(3m2-1)· y2+12my+9=0,Δ=36(m2+1)>0。 设A(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2= -12m 3m2-1 ,y1y2= 9 3m2-1 。 因为点A,D 均在双曲线右支上,所以 x1+x2=m(y1+y2)+4= -4 3m2-1 >0,x1x2 =m2y1y2+2m(y1+y2)+4= -3m2-4 3m2-1 > 0,解得0≤m2< 1 3 。 所以S△OAD= 1 2×|OF|×|y1-y2| 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年3月 = (y1+y2)2-4y1y2 = -12m 3m2-1 2 -4× 9 3m2-1 = 6 m2+1 1-3m2 0≤m 2< 1 3 。 令 m2+1=t1≤t< 23 3 ,则m2=t2- 1,所以S△OAD= 6t 4-3t2 = 6 4 t-3t 1≤t< 23 3 。 令函数f(t)= 4 t-3t ,结合函数y= 4 t 与y=-3t的复合,可知函数f(t) 在区间 1, 23 3 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 上单调递减,所以当t=1,即m=0 时,(S△OAD)min=6。 所以四边形ABCD 面积的最小值为24。 点评:借助复合函数模型的构建,通过各 自基本初等函数的单调性来确定复合函数的 单调性,进而得以确定函数的最值,实现圆锥 曲线中最值(或取值范围)问题的突破与求解。 三、复杂函数模型 例 3 已知抛物线 E:y2=2px(p> 0),Q 14 ,m 为抛物线E 上一点,且点Q 到 抛物线E 的准线的距离等于其到坐标原点O 的距离。 (1)求抛物线E 的方程; (2)设AB 为圆(x+2)2+y2=4的一条 不垂直于y 轴的直径,分别延长AO,BO 交 抛物线E 于C,D 两点,求四边形ABCD 面 积的最小值。 解析:(1)设抛物线的焦点为F p2 ,0 , 由题意知|QO|=|QF|,故p2=2× 1 4 ,解得 p=1,故抛物线E 的方程为y2=2x。 (2)由题意知,直线AC 的斜率存在且不 为0,设直线 AC 的方程为y=kx,A(x1, y1),C(x2,y2)。 联立 y=kx, (x+2)2+y2=4, 消去y 得(k2+ 1)x2+4x=0,由x1≠0,得x1=- 4 k2+1 。 联立 y=kx, y2=2x, 消去y 得k2x2-2x=0, 由x2≠0,得x2= 2 k2 。 所以|AC|= k2+1|x2 -x1|= 2(3k2+1) k2 k2+1 。 由AC⊥BD,用- 1 k 代替k,得|BD|= 2 3 k2 +1 1 k2 1 k2 +1 = 2(k2+3)|k| k2+1 。 故 S四边形ABCD = 1 2|AC| ·|BD|= 2(3k2+1)(k2+3) |k|(k2+1) = 6k2+ 6 k2 +20 |k|+ 1 |k| 。 令|k|+ 1 |k|=t (t≥2),则S四边形ABCD= 6t2+8 t =6t+ 8 t 。 设函数f(t)=6t+ 8 t (t≥2),求导得 f'(t)=6- 8 t2 = 6t2-8 t2 >0,故函数f(t)单调 递增。 故当t=2,即|k|=1时,S四边形ABCD 取得 最小值16。 点评:借助复合函数模型的构建,通过对 函数进行求导,结合变量的取值范围,通过单 调性的判断,进而得以确定函数的极值(或最 值),为圆锥曲线中最值(或取值范围)问题的 突破与求解创造条件。 其实,在解决圆锥曲线中的综合应用问 题时,通过基本函数的构造,利用函数法来分 析与求解圆锥曲线中的最值(或取值范围)问 题,就是合理构建关于变量的目标函数,以各 种基本函数模型来创设,或通过函数的图像 与性质,或利用函数的单调性,或结合函数与 导数的综合应用等,将问题转化为求函数的 最值(或值域),解决问题时要注意自变量的 取值范围。 (责任编辑 王福华) 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年3月

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