内容正文:
因为坐标原点 O 到直线l
的距离d=
|m|
1+k2
,所以S△AOB =
1
2|AB|
·d
=
1
2×
24(1+k2)
3+4k2
×
|m|
1+k2
=
1
2×
24m2
3+4k2
=
3。
所以△AOB
的面积为定值。
②假设椭圆上存在点 P,使得四边形
OAPB
为平行四边形,则OP→=OA→+OB→。
设P(x0,y0),则
x0=x1+x2=-
8km
3+4k2
,
y0=y1+y2=
6m
3+4k2
。
由
x20
4+
y20
3=1
,即 16k
2m2
(3+4k2)2
+
12m2
(3+4k2)2
=1,得4m2=3+4k2,与2m2=3+4k2
矛盾。
所以椭圆上不存在点 P,使得四边形
OAPB
为平行四边形。
点评:解决圆锥曲线中涉及定值关系的
证明问题的关键是将定值关系的几何性质加
以合理化归与转化,结合代数形式中的数量
变形或平面几何要素的综合应用等来巧妙转
化。证明时,往往是合理引入变量,利用所要
证明的定值加以展开,综合数学运算、逻辑推
理及变量之间的关系来判断并证明定值。
其实,在证明圆锥曲线中的相关应用问
题时,关键是在熟悉圆锥曲线的定义、标准方
程及几何性质,结合相关的平面解析几何知
识与其他相关知识的前提下,挖掘问题创设
的基本应用场景,合理加以本源回归,常把几
何量用坐标表示,建立某个变量的函数,用代
数方法,通过相关的代数运算并结合逻辑推
理来分析与证明,当然有时也会采用反证法
来处理与证明。 (责任编辑 王福华)
■江苏省南通市通州湾中学 于海霞
圆锥曲线中的综合应用问题,主要涉及
基本要素、关系式或代数式等的最值(或取
值范围)问题,一直是高考数学试卷命题中
的一个重点题型,也是考查数学“四基”与
“四能”的一个重要场景,具有较好的选拔性
与区分度,备受各方关注。特别地,巧妙构
造基本函数模型,利用二次函数、复合函数
的图像与性质,以及函数与导数的综合应用
等,能快捷地处理圆锥曲线中的最值(或取
值范围)问题。
一、二次函数模型
例 1 已知双曲线 M:x
2
a2
-y
2
b2
=1(a>
0,b>0)的离心率为
5
2
,F1、F2 分别为其左、
右焦点,P(x0,y0)为双曲线 M 在第一象限
内一点,设∠F1PF2 的平分线PQ 交y 轴于
点Q,当PF2⊥F1F2 时,|PF2|=
1
2
。
(1)求双曲线 M 的方程;
(2)若y0≥1,此时直线F1Q 交双曲线
M 于A,B 两点,求△F2AB 面积的最大值。
解析:(1)由题意得e2=
c2
a2
=
a2+b2
a2
=
5
4
,所以a2=4b2。
当PF2⊥F1F2 时,将x=c
代入双曲线
方程得|PF2|=
b2
a=
a
4=
1
2
,所以a=2,所以
b2=
a2
4=1
。
所以双曲线 M
的方程为
x2
4-y
2=1。
(2)设PQ
与x
轴交于点N,如图1所示。
图1
由(1)可得,F1(- 5,0),
F2(5,0)。
所以|PF1|= (x0+5)2+y20
= (x0+5)
2
+
1
4x
2
0-1
=
5
2x0
+2。
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2025年3月
又因 为2a=4,所 以|PF2|=|PF1|
-2a=
5
2x0-2
。
因为 PQ
为∠F1PF2 的平分线,所以
|PF1|
|PF2|
=
|F1N|
|F2N|
,所 以 xN =
4
x0
,所 以
N 4x0
,0 。
所以直线 PQ
的方程为y=
y0
x0-
4
x0
·
x-
4
x0 ,令x=0,得Q 0,-1y0 。
所以直线F1Q
的方程为y=
1
y0
- 5
(x+
5),即y=
1
- 5y0
(x+ 5)。
联 立
y=
1
- 5y0
(x+ 5),
x2
4-y
2=1,
消 去 x 得
(5y20-4)y2+10y0y+1=0,易得Δ>0。
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=
-10y0
5y20-4
,y1y2=
1
5y20-4
。
又因为y0≥1,所以
y1+y2<0,
y1y2>0。
所以S△F2AB=S△F2BF1-S△F2AF1=
1
2|F1F2|
·
|y1-y2|
=
1
2
·25· (y1+y2)2-4y1y2
=45·
5y20+1
5y20-4
。
令5y20-4=t≥1,则 S△F2AB =4 5·
t+5
t =45
· 5 1t+
1
10
2
-
1
20≤4 30
,
当且仅当t=1时取等号。
所以△F2AB
面积的最大值为4 30。
点评:涉及此类二次函数模型的构建,是
处理圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题时
最为常用的一种技巧方法。借助二次函数模
型的构建,利用变量的取值范围或限制条件,
结合二次函数的图像与性质等,合理确定对
应的最值,实现圆锥曲线中最值(或取值范
围)问题的突破与求解。
二、复合函数模型
例 2 在平面直角坐标系xOy 中,已
知双曲线E:
x2
a2
-y
2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦
点为F,离心率为2,且过点P(2,3)。
(1)求双曲线E 的方程;
(2)设过原点O 的直线l1 在第一、三象
限内分别交双曲线E 于A、C 两点,过原点O
的直线l2 在第二、四象限内分别交双曲线E
于B、D 两点,若直线AD 过双曲线的右焦点
F,求四边形ABCD 面积的最小值。
解析:(1)因为双曲线E
过点P(2,3),
所以
4
a2
-
9
b2
=1。
联立
e=
c
a=2
,
4
a2
-
9
b2
=1,
a2+b2=c2,
解得
a=1,
b= 3,
c=2。
所以双曲线E 的方程为x2-y
2
3=1
。
(2)由双曲线的对称性知四边形ABCD
为平行四边形,所以S四边形ABCD=4S△OAD。
由题意知,直线AD 的斜率不为零,设直
线AD
的方程为x=my+2m≠±
3
3 。
联立
x=my+2,
x2-y
2
3=1
, 消去x 得(3m2-1)·
y2+12my+9=0,Δ=36(m2+1)>0。
设A(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=
-12m
3m2-1
,y1y2=
9
3m2-1
。
因为点A,D 均在双曲线右支上,所以
x1+x2=m(y1+y2)+4=
-4
3m2-1
>0,x1x2
=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=
-3m2-4
3m2-1
>
0,解得0≤m2<
1
3
。
所以S△OAD=
1
2×|OF|×|y1-y2|
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2025年3月
= (y1+y2)2-4y1y2
=
-12m
3m2-1
2
-4×
9
3m2-1
=
6 m2+1
1-3m2 0≤m
2<
1
3 。
令 m2+1=t1≤t<
23
3 ,则m2=t2-
1,所以S△OAD=
6t
4-3t2
=
6
4
t-3t
1≤t<
23
3 。
令函数f(t)=
4
t-3t
,结合函数y=
4
t
与y=-3t的复合,可知函数f(t)
在区间
1,
23
3
上单调递减,所以当t=1,即m=0
时,(S△OAD)min=6。
所以四边形ABCD 面积的最小值为24。
点评:借助复合函数模型的构建,通过各
自基本初等函数的单调性来确定复合函数的
单调性,进而得以确定函数的最值,实现圆锥
曲线中最值(或取值范围)问题的突破与求解。
三、复杂函数模型
例 3 已知抛物线 E:y2=2px(p>
0),Q 14
,m 为抛物线E 上一点,且点Q 到
抛物线E 的准线的距离等于其到坐标原点O
的距离。
(1)求抛物线E 的方程;
(2)设AB 为圆(x+2)2+y2=4的一条
不垂直于y 轴的直径,分别延长AO,BO 交
抛物线E 于C,D 两点,求四边形ABCD 面
积的最小值。
解析:(1)设抛物线的焦点为F p2
,0 ,
由题意知|QO|=|QF|,故p2=2×
1
4
,解得
p=1,故抛物线E 的方程为y2=2x。
(2)由题意知,直线AC 的斜率存在且不
为0,设直线 AC 的方程为y=kx,A(x1,
y1),C(x2,y2)。
联立
y=kx,
(x+2)2+y2=4, 消去y 得(k2+
1)x2+4x=0,由x1≠0,得x1=-
4
k2+1
。
联立
y=kx,
y2=2x, 消去y 得k2x2-2x=0,
由x2≠0,得x2=
2
k2
。
所以|AC|= k2+1|x2 -x1|=
2(3k2+1)
k2 k2+1
。
由AC⊥BD,用-
1
k
代替k,得|BD|=
2
3
k2
+1
1
k2
1
k2
+1
=
2(k2+3)|k|
k2+1
。
故 S四边形ABCD =
1
2|AC|
·|BD|=
2(3k2+1)(k2+3)
|k|(k2+1)
=
6k2+
6
k2
+20
|k|+
1
|k|
。
令|k|+
1
|k|=t
(t≥2),则S四边形ABCD=
6t2+8
t =6t+
8
t
。
设函数f(t)=6t+
8
t
(t≥2),求导得
f'(t)=6-
8
t2
=
6t2-8
t2
>0,故函数f(t)单调
递增。
故当t=2,即|k|=1时,S四边形ABCD 取得
最小值16。
点评:借助复合函数模型的构建,通过对
函数进行求导,结合变量的取值范围,通过单
调性的判断,进而得以确定函数的极值(或最
值),为圆锥曲线中最值(或取值范围)问题的
突破与求解创造条件。
其实,在解决圆锥曲线中的综合应用问
题时,通过基本函数的构造,利用函数法来分
析与求解圆锥曲线中的最值(或取值范围)问
题,就是合理构建关于变量的目标函数,以各
种基本函数模型来创设,或通过函数的图像
与性质,或利用函数的单调性,或结合函数与
导数的综合应用等,将问题转化为求函数的
最值(或值域),解决问题时要注意自变量的
取值范围。
(责任编辑 王福华)
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