精品解析：福建省南平市高级中学2024-2025学年高三下学期毕业班调研考试数学试题

2024－2025学年（下）高中毕业班调研考试 数学科目 考生注意： 1. 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法表示集合，解不等式化简集合，再求出交集. 【详解】依题意，，或， 所以. 故选：B 2. 若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 3. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先由已知等式化简得到，且，利用基本不等式将其化成关于的不等式，解之即得. 【详解】由可得，即，故， 由，可得， 当且仅当时取等号，即当时， 取得最小值为8. 故选：D. 4. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直得，再利用向量夹角的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 又，所以，得到， 所以，得到， 所以. 故选：D 5. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则的一个充分不必要条件可以是（ ） A. 与内所有的直线都垂直 B. ，， C. 与内无数条直线垂直 D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】A项由线面垂直定义可知；BC项在长方体中举反例可知；D项由推证可得充分性，必要性显然不成立. 【详解】A项，由直线与平面垂直的定义可知与内所有的直线都垂直是的充要条件，选项A错； B项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件， 如图长方体中， 设平面为平面，设平面为平面，直线为， 则，满足，，， 但，不与平面垂直，故不能推出， 故条件“，，”也不是的充分不必要条件，选项B错； C项，如图长方体中， 设平面为平面，直线为， 则直线与平面内无数条与垂直的直线都垂直，但，不与平面垂直， 故由与内无数条直线垂直不能推出，所以不是的充分不必要条件，选项C错； D项，由，，得，又因为，所以； 反之，由推不出，，， 所以，，是的一个充分不必要条件，选项D正确. 故选：D. 6. 若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在内有两个不同的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的伸缩和平移变化得到，再根据条件得到，即可求出结果. 【详解】由函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的， 得到函数的图象， 因为，所以， 由，可得， 所以，得到， 所以， 故选：D. 7. 设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 8. 已知正方体的边长为1，现有一个动平面，且平面，当平面截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为，周长为，则（ ） A. 不为定值，为定值 B. 为定值，不为定值 C. 与均为定值 D. 与均不为定值 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时为六边形.如图所示，可计算出周长为定值，计算正三角形的面积和截而为正六边形时的截面面积通过比较即可得答案. 【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，与面平行的面且截面是六边形时满足条件，如图所示， 正方体边长为1，即 设，则， ， 同理可得六边形其他相邻两边的和均为， 六边形的周长为定值， 正三角形的面积为. 当均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大， 此时,截面面积为， 截面从平移到的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故可得周长为定值，面积不为定值. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组样本量为10的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，则（ ） A. 这组数据的平均数为49 B. 这组数据的标准差为8 C. 这组数据的第20百分位数为42 D. 这组数据的极差为25 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平均数公式判断A选项；利用方差公式计算方差判断B选项；利用百分位数的计算规则计算可判断C选项；最大值减最小值为极差可判断D. 【详解】平均数为，故A错误； 方差为，则标准差，故B正确； ，则第20百分位数为，故C正确； 极差为，故D错误. 故选：BC 10. 下列命题正确的是（ ） A. “是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件 B. 若为第一象限角，则 C. 在中，若，则为锐角三角形 D. 已知，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用象限角的定义判断即可；B选项利用二倍角公式化简即可判断；C选项利用同角三角函数基本关系式中的商数关系及两角的和差公式即可判断；D选项利用二倍角公式，将转化为用正切表示，解方程即可判断. 【详解】对于A，若是第二象限角或第三象限角，则， 若，则取，，此时不是第二象限角或第三象限角， 则是的充分不必要条件，故A选项正确； 对于B，因为为第一象限角，所以，，所以 ,故B选项错误； 对于C，在中，若，则，只能是锐角， 所以，， 所以，所以， 所以， 所以，所以也是锐角，所以是锐角三角形，故C选项正确； 对于D，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 存在，使得为奇函数 C. 当时，，使得 D. 当时，的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由对称性的概念可判断，对于B，通过可判断，对于C，由，得到，结合正弦单调性可判断，对于D，由，比较大小即可判断. 【详解】对于A，故A正确； 对于B，，所以不可能为奇函数，故B错误； 对于C，当时，，当时，， 因为， 所以， 所以， 所以， 故C错误； 对于D，时，， 由于， 所以，故D错误； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆柱、圆锥表面积公式计算得解. 【详解】依题意，圆柱的底面圆半径为，母线长为，表面积， 圆锥底面圆半径为，母线长为，表面积， 由，得，所以. 故答案为： 13. 若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题. 【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 14. 现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作，即，则______，数列的通项公式______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第个处理器发射的类信号数量记作，易得当时，第个处理器发射的类信号数量为，从而可求出数列的通项，由题意可得当时，，根据递推公式即可求出，再利用构造法即可求出数列的通项. 【详解】设第个处理器发射的类信号数量记作， 则， 由题意，当时，第个处理器发射的类信号数量为， 即当时，， 当时，， 则， 故当时，， 可得， 又， 所以数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，上式不成立， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为正项数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：构造数列是恒为的常数列，结合可得出数列的通项公式； 解法二：利用累加法结合可求得数列的通项公式； （2）利用并项求和法结合分组求和法可求得. 【小问1详解】 解法一（构造常数列）：由，且， 可得， 故数列是恒为的常数列，所以， 又因为数列为正项数列，所以. 解法二（累加法）：由题意得：且， 有，，，， 将以上各式相加，得， 将代入上式即得，且当时也成立，所以， 又因为数列为正项数列，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，令，其前项和为， 对任意的，，则， 又因为， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取的中点，连接，， 又是的中点，则且， 由是的中点，底面为矩形，则， 故，，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造三角形的中位线，得到线线平行，根据线线平行，可证线面平行. （2）方法1：建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦； 方法2：根据二面角的平面角的概念，作出平面与平面所成的角，再利用三角形的边角关系，求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面为矩形，可得， 平面平面，平面平面，，平面PAB， 所以平面，则，， 可以以，，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， 所以， 设平面EFD的一个法向量为， 则，令，则， 依题意，可得平面PAB的一个法向量为， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：（2）底面为矩形，，平面平面， 平面平面，平面，所以平面PAB. 延长，交于点，连接， 过点作，垂足为点，连接. 平面，平面， ，，平面，平面， 平面ADH，， 为二面角的平面角， ，，，， ，，， 在中，，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，左、右顶点分别为，且上存在点，使得直线与的斜率之积为． （1）求的方程． （2）过点作直线交于两点（与均不重合），过原点作直线的平行线交于，两点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，结合斜率坐标公式列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出弦长，再求出即可得解. 【小问1详解】 抛物线的焦点，依题意，， 设，则，而， 由直线与的斜率之积为，得， 则，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 显然直线不垂直于轴，设其方程为，则平行线的方程为， 由消去得，设， 则， ， 由消去得，解得， 则，因此， 所以存在常数，使得恒成立，. 18. 已知函数，. （1）求函数的图象经过的所有的定点坐标，并写出函数的一条以上述一个定点为切点的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：. 【答案】（1）（或） （2）当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增. （3）当时，. 令， 则 令，，则在上单调递增. 又因为，， 所以存在，使得，即，即. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以. 所以也即. 【解析】 【分析】（1）分析可知定点的坐标为和，求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分类讨论的符号，和两根大小，利用导数判断原函数单调性； （3）分析可知原不等式等价于，构建函数，利用导数结合最值分析证明. 【小问1详解】 因为，，其他函数值均与a有关， 所以的图象经过的所有定点的坐标为和， 又因为， 若以为切点，则切线斜率为，切线方程为； 若以为切点，则切线斜率为，切线为； 所以切线方程为（或）. 【小问2详解】 因为， ①当时，恒成立， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； ②当时，由，得或. 当，即时，恒成立，则在上单调递增， 当时，即时，当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，即时， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 19. 奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有个国家队被分成个小组，每个小组支球队循环比赛，共打场，每场比赛中，胜､平､负分别积分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜､平､负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. （1）假设球队参与的前场取得胜负的成绩，具体比赛结果为与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.此时，各积3分，积0分，求球队最终晋级的概率. （2）假设该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.设小组赛阶段球队的积分之和为，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2） . 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，求出可能取值及相应的概率公式，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 在剩下的三场比赛中： 若与比赛平局，则积分各加1分，都高于的积分，淘汰； 若与比赛平局，则与比赛的结果无论如何，都有两队的积分高于淘汰； 若与比赛平局，则同理可得一定会淘汰. 综上，若要出线，则剩下的三场比赛不可能出现平局， 若与比赛，胜，与比赛，胜，与比赛，胜，则出线，争夺第二名，出线的概率为. 若与比赛，胜，与比赛，胜，与比赛，胜，则出线，争夺第二名，出线的概率为. 其他情况，均淘汰. 故球队最终出线的概率为. 【小问2详解】 前三场比赛中球队的积分之和为， 剩下的三场比赛为与比赛，与比赛，与比赛，其中与比赛的结果与球队的积分之和无关. 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 的分布列为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年（下）高中毕业班调研考试 数学科目 考生注意： 1. 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 8 4. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则的一个充分不必要条件可以是（ ） A. 与内所有的直线都垂直 B. ，， C. 与内无数条直线垂直 D. ，， 6. 若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在内有两个不同的解，则（ ） A. B. C. D. 7. 设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的边长为1，现有一个动平面，且平面，当平面截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为，周长为，则（ ） A. 不为定值，为定值 B. 为定值，不为定值 C. 与均为定值 D. 与均不为定值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组样本量为10的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，则（ ） A. 这组数据的平均数为49 B. 这组数据的标准差为8 C. 这组数据的第20百分位数为42 D. 这组数据的极差为25 10. 下列命题正确的是（ ） A. “是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件 B. 若为第一象限角，则 C. 在中，若，则为锐角三角形 D. 已知，且，则 11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 存在，使得为奇函数 C. 当时，，使得 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积相等，则______． 13. 若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 14. 现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作，即，则______，数列的通项公式______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为正项数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，左、右顶点分别为，且上存在点，使得直线与的斜率之积为． （1）求的方程． （2）过点作直线交于两点（与均不重合），过原点作直线的平行线交于，两点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数，. （1）求函数的图象经过的所有的定点坐标，并写出函数的一条以上述一个定点为切点的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：. 19. 奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有个国家队被分成个小组，每个小组支球队循环比赛，共打场，每场比赛中，胜､平､负分别积分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜､平､负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. （1）假设球队参与的前场取得胜负的成绩，具体比赛结果为与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.此时，各积3分，积0分，求球队最终晋级的概率. （2）假设该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.设小组赛阶段球队的积分之和为，求的分布列及期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $