精品解析：广西壮族自治区河池市部分学校2024-2025学年高三下学期4月联考数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求得答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 若，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算进行计算. 【详解】由，得， 所以，则. 故选：A. 3. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列公比为，利用等比数列通项公式与求和公式，解出基本量代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由， 解得，所以，解得， 所以. 故选：B. 4. 已知，动点满足，动点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹是双曲线的右支，利用题设的建立等量关系即可求得点轨迹方程，从而得解. 【详解】已知，为动点， 根据双曲线的定义可得，由于， 所以点的轨迹是双曲线的右支，且， 即，则， 则点的轨迹方程为，， 设，由可得， 整理得点轨迹方程为， 所以. 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性与临界值比较的值，从而得解. 【详解】因为，即， ，即， 所以. 故选：D. 6. 某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ） A. 32个 B. 28个 C. 27个 D. 24个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，“幸运数”的后三位数字的和为6，故可以分成七类进行计数，利用分类加法计数原理即得. 【详解】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类： ①“006”组合，有种，②“015”组合，有种，③“024”组合，有种， ④“033”组合，有种，⑤“114”组合，有种，⑥“123”组合，有种， ⑦“222”组合，有1种. 由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有个. 故选：B. 7. 函数（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后再分类讨论单调递增和单调递减，借助导数研究其单调性.再构造函数，得到单调性，求出范围即可. 详解】由.若单调递增，则恒成立，即. 设，，又函数在时函数值趋近于0，不满足条件； 若单调递减，则恒成立，即， 当时，函数在时函数值趋向于，不满足条件，所以， 令，则，所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减，所以，即， 所以，即，解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 某超市随机抽取了当天100名顾客的消费金额作为样本，并分组如下：，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 若该超市当天总共有600名顾客，则消费金额在（单位：元）内的顾客约有180人 B. 若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是145元 C. 若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是100.8元 D. 现从样本的第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图性质求出a再计算消费金额在内的顾客判断A，应用频率分布直方图求平均数及中位数判断B，C，应用分层抽样及古典概型计算判断D. 【详解】因为，所以， 对于A，所以消费金额在内的顾客约有人，A选项错误； 对于B，样本中消费金额的平均数是元，B选项正确； 对于C，设消费金额中位数是，前二组的频率和为，前三组的频率和为， 所以在第三组，所以，所以元，C选项错误； 对于D，第1组频率，第2组频率分别为，所以从样本的第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，第1组抽2人，第2组抽4人， 所以从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是，D选项正确. 故选：BD. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的周期 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用周期函数定义可得A正确，经验证，所以的图象不关于直线对称，即B错误；利用换元法构造函数可得函数在区间上单调递减，即C正确；由选项C中的单调性可得，即D正确. 【详解】因为， 所以是函数的周期，故A正确； 因为，， 所以，故B错误； 设，所以， 所以，当时，可得， 则， 又，所以函数在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性，可得函数在区间上单调递减，故C正确； 当时，可得，则， 又由，在上单调递减， 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减， 由复合函数的单调性，可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则平面平面 B. 若，则与所成角的取值范围为 C. 若，则平面 D. 若，则线段长度的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由的取值确定动点所在线段，A项先证明线面垂直，再证面面垂直即可；BD项建系，利用向量方法分别求解线线角与长度可得；C项由线线平行得线面平行，再得面面平行，由此线面平行得证. 【详解】A项，如图，取线段的中点Q，连接AQ、DE. ，， 若，则， 则三点共线，即点P在线段AQ（不包含点）上运动； 由分别是线段的中点，则与全等， 则，， 所以. 由平面，， 得平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故A正确； B项，， 若，则， 则三点共线，即点P在线段AC（不包含点）上运动； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由， 则 又， 所以， ， 因为，则，， ，因为与所成角锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故B错误； C项， 如图，过作，交于，则为中点. 延长至，使，连接. 取的中点，连接，交于，则为中点，连接. 由，且， 得四边形为平行四边形，则， 由，则，则四点共面. 由，所以， 平面，平面， 则平面，同理，平面， 又平面，平面，， 故平面平面. 若，由，可得， ，， 则三点共线，即点P在线段MN（不包含点）上运动； 又平面， 故平面，故C正确； D项，如图，连接. 若，由，可得， ，， 与C项同理可得，点P在线段NG上运动. 连接，同选项B建系， 则有， 则， ，所以， 则， 故当时，线段长度的最小值为，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛，应用向量加减法的几何意义（平行四边形法则与三角形法则）确定动点的轨迹是解决此类题型的关键所在. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知为第一象限角，，则＝_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的平方关系、两角差的余弦展开式计算可得答案. 【详解】因为为第一象限角，，所以， 所以. 故答案为：. 12. 已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，故可得，结合基本不等式可求. 【详解】因为，故，故，故， 所以，即， 若，则，故中必有两个点相同，这与题设矛盾， 故，故， 由基本不等式有，即， 故答案为：. 13. 已知定义在的函数满足对任意的正数，都有，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由抽象关系式赋值求解，赋式可得，由此可求解的关系，再将分解质因数转化为，再次赋值可得. 【详解】对任意的正数，都有， 令可得，解得； 再令，可得，故， 由，则可得， 即； 再令，可得，进而有， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值. （2）根据面积可求，再根据余弦定理可求. 【小问1详解】 由正弦定理与，得. 所以即. 因为，所以，又，所以， 又，所以 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即，解得. 由余弦定理，得，所以. 15. 已知函数，其中，. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求导代入得到斜率，再写出点斜式方程即可； （2）等价转化为在上必存在变号零点，再设新函数求导研究即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 所以的图象在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 当时，，定义域为， 所以， 因为在区间上存在极值， 所以在上必存在变号零点， 令，则在上必存在变号零点， 因为，所以，解得， 当时，，且在上单调递增， 又，故存在，使得， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为. 16. 在平面图形AEBCD（如图1）中，已知，，，，将沿着AB折起到的位置，使得，连接DP，得到四棱锥，如图2所示. （1）求证：； （2）求平面ADP与平面CDP夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定、性质，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，平面ADP与平面CDP的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 四棱锥中，取的中点，连接， 由，，得，则， ，又，于是四边形为平行四边形，，， 由，得，则，，而， 平面，于是平面，又平面， 则，又，平面， 因此平面，而平面，所以. 【小问2详解】 在平面内过点作，由（1）知平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 则， 所以平面ADP与平面CDP夹角的余弦值是. 17. 已知椭圆经过点的左､右焦点分别为，且. （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于点､，且线段的中点恰好为，求直线的方程； （3）若斜率为且不经过点的直线与交于不同两点，直线的斜率成等差数列，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据及椭圆过点求解即可； （2）利用中点弦的相关知识求解即可； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由判别式大于零，得，再由直线的斜率成等差数列，可得，入，求解即可. 【小问1详解】 解：设，则， ， 所以，即， 因为点在上，所以， 由解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 解：设，则， 且， 两式相减得，即， 因为线段的中点为，所以， 所以，即直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 解：设，直线的方程为， 联立，消去得， 由， 整理得， 所以. 因为直线的斜率成等差数列，所以， 即，整理得， 因为不经过点，所以， 所以，代入，得， 所以的取值范围是. 18. 某市教育局举办的校园足球比赛，其中小学生足球淘汰赛阶段的比赛规则如下：①常规时间分上、下半场，每个半场各30分钟，在常规时间内进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；②如果在常规时间内两队战平，则双方各派3名队员进行3轮点球决战，进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；③如果点球大战依然战平，则将进行抽签决定哪支球队进入下一轮，现有甲、乙两队进行淘汰赛阶段的比赛． （1）假设在常规时间内甲队获胜的概率为，战平的概率为；在点球大战中甲队获胜以及战平的概率均为；在抽签环节，两队进入下一轮机会均等．已知在甲队进入下一轮的条件下，求他们是通过抽签进入下一轮的概率； （2）点球大战中，当领先的一方提前获得比赛的胜利，则剩下的队员不再出场进行点球比赛（如甲方3∶1领先时，乙队的最后一名队员不必再出场比赛）．假设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，点球大战每一轮由甲队先踢． （ⅰ）记两队点球决战一共出场的球员人数为，求的分布列与数学期望； （ⅱ）求甲队在点球大战中获胜的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的概率公式可求概率； （2）（ⅰ）由题设可得可取，就的每一种取值分析相应的进球情况或比分情况，故可求相应的概率，从而可得分布列和数学期望；（ⅱ）结合（ⅰ）中结果可求甲队在点球大战中获胜的概率． 【小问1详解】 设为“甲进入下一轮”，为“甲乙两队抽签”， 则，， 故. 【小问2详解】 （ⅰ）可取， 当时，共进行2轮点球， 若甲赢，则2轮点球甲均进球，而乙点球均未进； 若乙赢，则2轮点球乙均进球，而甲点球均未进； 故， 当时，共进行2轮点球，且第3轮甲踢点球结束比赛， 若甲赢，则3轮点球甲踢进2个球，而乙均未进，或者甲踢进3个点球，而乙踢进一个点球； 若乙赢，则前两轮乙踢进2个球，而甲踢进1个球，第3轮甲未进或前两轮乙踢进1个球，而甲均未踢进， 故 ， 当时，则前5次点球中甲乙的比分为， 故 ， 故的分布列如下： . （ⅱ）设为：“甲队在点球大战中获胜”， 由（ⅰ）可得： . 【点睛】思路点睛：在离散型随机变量的分布列的计算过程中，如果随机变量相应取值的概率比较难计算，则可以利用对立事件来计算相应的概率，另外如果随机变量相应取值对应的情况比较复杂，则需对所有情况作详细的分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 4 B. C. D. 3. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，动点满足，动点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ） A. 32个 B. 28个 C. 27个 D. 24个 7. 函数（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 某超市随机抽取了当天100名顾客的消费金额作为样本，并分组如下：，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 若该超市当天总共有600名顾客，则消费金额在（单位：元）内顾客约有180人 B. 若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是145元 C. 若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是100.8元 D. 现从样本的第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的周期 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 当时， 10. 已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则平面平面 B. 若，则与所成角取值范围为 C. 若，则平面 D. 若，则线段长度最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知为第一象限角，，则＝_______． 12. 已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是______． 13. 已知定义在的函数满足对任意的正数，都有，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 15. 已知函数，其中，. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，若函数在区间上存在极值，求取值范围. 16. 在平面图形AEBCD（如图1）中，已知，，，，将沿着AB折起到的位置，使得，连接DP，得到四棱锥，如图2所示. （1）求证：； （2）求平面ADP与平面CDP夹角的余弦值. 17. 已知椭圆经过点左､右焦点分别为，且. （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于点､，且线段的中点恰好为，求直线的方程； （3）若斜率为且不经过点的直线与交于不同两点，直线的斜率成等差数列，求的取值范围. 18. 某市教育局举办的校园足球比赛，其中小学生足球淘汰赛阶段的比赛规则如下：①常规时间分上、下半场，每个半场各30分钟，在常规时间内进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；②如果在常规时间内两队战平，则双方各派3名队员进行3轮点球决战，进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；③如果点球大战依然战平，则将进行抽签决定哪支球队进入下一轮，现有甲、乙两队进行淘汰赛阶段的比赛． （1）假设在常规时间内甲队获胜的概率为，战平的概率为；在点球大战中甲队获胜以及战平的概率均为；在抽签环节，两队进入下一轮机会均等．已知在甲队进入下一轮的条件下，求他们是通过抽签进入下一轮的概率； （2）点球大战中，当领先的一方提前获得比赛的胜利，则剩下的队员不再出场进行点球比赛（如甲方3∶1领先时，乙队的最后一名队员不必再出场比赛）．假设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，点球大战每一轮由甲队先踢． （ⅰ）记两队点球决战一共出场的球员人数为，求的分布列与数学期望； （ⅱ）求甲队在点球大战中获胜的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $