专题03 计数原理（12大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（内蒙古专用）

专题03 计数原理 题型概览 题型01分步加法计数原理 题型02分类乘法计数原理 题型03特殊元素优先排序 题型04相邻问题 题型05 不相邻问题 题型06 平均分组问题 题型07 相同元素的隔板法 题型08 其它排序 题型09 二项式定理 题型10 二项式系数 题型11 项的系数 题型12 二项式定理的应用 ( 题型01 ) 分布加法计数原理 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）现有6幅不同的风景画，2幅不同的人物画，3幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．11种 B．18种 C．30种 D．36种 【答案】A 【分析】根据组合的定义计算. 【详解】共有幅画，所以共有种不同的选法. 故选：A. 2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（   ） A．18 B．15 C．16 D．21 【答案】A 【分析】分两类，中间为3或中间为4两种情况. 【详解】当中间数为3时，有（个）； 当中间数为4时，有（个）． 故共有（个）． 故选：A 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有 种. 【答案】15 【分析】利用分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有5+5+5=15种. 故答案为：. 4．（23-24高二下·内蒙古包头·期中）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 【答案】345 【分析】由题可分两类，甲组选出1名男同学1名女同学，乙组中选出2名男同学；乙组选出1名男同学1名女同学，甲组中选出2名男同学，分别计算然后求和即得. 【详解】由题可知分为两类： 一类甲组选出1名男同学1名女同学，乙组中选出2名男同学共有种选法； 一类乙组选出1名男同学1名女同学，甲组中选出2名男同学共有种选法， 所以选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有345种选法， 故答案为：345. ( 题型02 ) 分类乘法计数原理 1．（23-24高二下·内蒙古·期中）已知某社区门口有8个停车位，甲、乙各开一辆汽车同时到该社区办事，则两辆车不同的停放方法有（    ） A．15种 B．56种 C．28种 D．64种 【答案】B 【分析】利用分步计数原理，甲车停放的方法有8种，乙车停放的方法有7种，则两辆车不同的停放方法有种. 【详解】由已知，甲车停放的方法有8种，乙车停放的方法有7种， 由分步计数原理可得两辆车不同的停放方法有种. 故选：B 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】B 【分析】甲、乙2名同学先选相同的书，然后再从剩下的4本书中选2本，分给甲、乙2名同学即可. 【详解】由题意得甲、乙2名同学先选相同的书，有种选法， 然后从剩下的4本书中选2本，分给甲、乙2名同学，有种选， 所以由分步乘法原理可知共有种选法. 故选：B 3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】由题意每位同学都有7种选择，利用分步计数原理即可求解. 【详解】由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有种选择方案. 故选：D. 4．（23-24高二·甘肃金昌·期中）现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．24种 B．30种 C．36种 D．48种 【答案】D 【分析】按涂色顺序进行分四步，根据分步乘法计数原理可得解. 【详解】按涂色顺序进行分四步： 涂①部分时，有4种涂法； 涂②部分时，有3种涂法； 涂③部分时，有2种涂法； 涂④部分时，有2种涂法． 由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有4×3×2×2＝48种． 故选：D. 【点睛】本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题. ( 题型03 ) 特殊元素优先排序 1．（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【答案】B 【分析】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解. 【详解】当甲被选中时，不同的选派方案有种； 甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种. 故选：B. 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C 3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有 种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有 种不同的派驻方式．(用数字填写答案) 【答案】 15； 72. 【分析】在7个名额中间的6个空位中插入2个隔板即可得空一；先将3女分到3个乡村，再将4男分成3组，将有甲的一组分到A乡村，然后再分配剩余2组即可得空二. 【详解】第一空，隔板法，将7个名额排成一排，在除去两端的6个空位中选择2个空位插入隔板， 共有种分配方式； 第二空，先将3女分配到3个乡村，有种， 再将4男分成3组，有种，将有男性甲的一组分配到A乡村有1种， 然后将剩余两组分配到其他两个乡村，有种分法， 所以共有种分配方式. 故答案为：15；72. 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）从这7个数字中取出4个数字，分别求解下列问题．（应写出必要的排列数或者组合数，结果用数字表示） (1)有多少个没有重复数字的排列？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位数？ 【答案】(1)840 (2)720 【分析】（1）根据排列数公式即可求解； （2）分两类，第一类：若选到数字，第二类：若选不到数字，再结合分步计数原理及排列数公式即可求解. 【详解】（1）问题等价于从个不同元素中选出个元素的排列问题， 故有（种）无重复数字的排列． （2）分两类： 第一类：若选到数字，不排在首位，则有种排法，其他个位置由其余个数字选出个排列即可，有种排法， 故有（个）四位数． 第二类：若选不到数字，从个数字中选个进行排列即可，故有（个）． 综上知，有（个）无重复数字的四位数． 4．（23-24高二下·天津·期中）从A，B，C等7人中选5人排成一排． (1)若A必须在内，有多少种排法? (2)若A，B都在内，且A，B之间只有一人，有多少种排法? (3)若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法? 【答案】(1)1800 (2)360 (3)144 【分析】（1）A必须在内，则在其余6人中选出4人，再与A全排列即可. （2）先选出其余的三人，再将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑，再将另外两人一起排列即可. （3）先在其他4人中选出2人，再将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，排好后，安排C插空（且不与A、B相邻）即可. 【详解】（1）根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有种排法. （2）先选出其余的三人，将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑， 再将另外两人一起排列， 所以一共有360种排法． （3）根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法， 将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法， 排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况， 所以共有种不同的排法． ( 题型04 ) 相邻问题 1．（23-24高二下·内蒙古·期中）在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A．30 B．36 C．60 D．72 【答案】C 【分析】记事件位男生连着出场，事件女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为，再利用排列组合可求出答案． 【详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为， 记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为， 事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种， 因此，出场顺序的排法种数 种，故选C． 【点睛】本题考查排列组合综合问题，题中两个事件出现了重叠，可以利用容斥原理 来等价处理，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题． 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（    ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 【答案】CD 【分析】利用捆绑法可计算出A、B选项中的排法种数，利用特殊位置法可计算出C选项中的排法种数，利用插空法可计算出D选项中的排法种数，综合可得出结果. 【详解】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法，A选项错误； B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法种数，B选项错误； C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有种不同的排法种数，C选项正确； D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的个空中，此时，共有种不同的排法种数，D选项正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查排列组合问题，考查了捆绑法、插空法以及特殊位置法，考查计算能力，属于中等题. 3．（23-24高二下·内蒙古乌兰察布·期中）公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则种植方法共有 种． 【答案】240. 【分析】把两棵银杏树看出一个元素，求得有2中不同的排法，再把四棵桂花树和两棵银杏树的整体的5个不用的元素，进行全排列，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，把两棵银杏树看出一个元素，共有种不同的排法， 则四棵桂花树和两棵银杏树的整体，共有5个不用的元素，共有中不同的排列， 所以两棵银杏树必须相邻，共有种不同的排法， 故答案为240种． 【点睛】本题主要考查了排列的实际应用问题，其中解答中认真审题，把两棵银杏树看出一个整体，合理排列求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）“五一”劳动节前夕，某公司召开了劳模表彰大会，来自A，B，C三个车间的6位劳模坐在公司特意放置的前排6个座位上.其中A车间1人，B车间2人，C车间3人. (1)若每个车间的劳模派一代表介绍经验，有多少种不同的选法； (2)若同车间的人坐在一起，有多少种不同的坐法； (3)若C车间的人不坐在一起，有多少种不同的坐法； (4)劳模们上台领奖后仍回到前排6个座位就坐，发现只有2人坐在原位上，问有多少种不同的坐法. 【答案】(1)6 (2)72 (3)144 (4)135 【分析】（1）分成三步，每步从各车间选1人，由分步乘法计数原理易得； （2）利用“相邻问题捆绑法”即可列式求得； （3）利用“不相邻问题插空法” 即可列式求得； （4）分步完成，第一步确定坐在原位的两人；第二步考虑运用间接法，即从4人全排的方法数中，去掉另外4人中有人坐在自己座位上的所有情况，即得方法数，最后由乘法原理即可求得. 【详解】（1）从车间1人选1人有1种方法，从车间2人中选1人有种方法，从车间3人中选1人有选法， 由分步乘法计数原理可得，每个车间的劳模派一代表介绍经验的选法有种选法； （2）依题意，把车间2人看成整体坐在一起，有种方法，把车间3人看成整体坐在一起，有种方法，最后把三个“整体在“三个座位”上全排， 由分步乘法计数原理可得，同车间的人坐在一起的选法有种； （3）用“插空法”，先把车间的3人排好，再把车间的3人在排好的3人留下的4个空位上进行插空，共有选法种； （4）第一步，从6个人中选定2人坐在自己的座位有种方法， 第二步用间接法：余下的4人中不考虑座位情况，有种， 其中若只有1人坐在自己的座位，有种方法， 若只有2人坐在自己的座位，有种方法， 若有3人坐在自己的座位，有且只有1种方法， 故余下的4个人都不坐在自己的座位的方法有种， 由分步乘法计数原理，只有2人坐在原位上的方法有种. ( 题型0 5 ) 不相邻问题 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在某次高峰论坛中，有2名科学家，2名企业家，3名国际负责人要进行主题演讲交流.若3名国际负责人的演讲顺序不相邻且2名企业家不在第一个演讲，则不同的演讲顺序共有（    ） A．1152种 B．1040种 C．864种 D．288种 【答案】A 【分析】分类讨论当第一个演讲安排科学家、国际负责人时，结合插空法和分类、分布计数原理计算即可求解. 【详解】因为2名企业家不在第一个演讲，所以第一个演讲可安排科学家或国际负责人. 当第一个演讲安排科学家时，则有种方法， 剩下的1名科学家和2名企业家全排列，有4个空， 将3名国际负责人插入4个空中，共有种方法， 此时共有种方法； 当第一个演讲安排国际负责人时，则有种方法， 而2名科学家和2名企业家全排列，有5个空， 将2名国际负责人插入到除了第2个空外的4个空中，共有种方法， 此时共有种方法， 所以共有种方法. 故选：A 2．（23-24高二下·河北·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有（ ） A．400种 B．396种 C．380种 D．324种 【答案】B 【分析】分两步进行，圆环的3个区域和中间的6个区域，其中中间的6个区域种植鲜花可分为3类. 【详解】圆环的3个区域种植绿色植物共有种.如图.中间的6个区域种植鲜花可分为3类： 第一类，均种相同植物，有种； 第二类，种2种不同植物，有种； 第三类，种的植物各不相同，有种. 故由乘法原理和加法原理得到不同的栽种方案共有种. 故选：B 3（多选）．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（   ）（选项中排列数的计算结果均正确） A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种 B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种 C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种 D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种 【答案】BCD 【分析】利用相邻与不相邻、有位置限制及定序的排列问题，列式计算判断即可. 【详解】对于A，3个女生必须相邻，则不同的排法有种，A错误； 对于B，3个女生中有且只有2个女生相邻，先排4个男生有种，3个女生取2个女生排在一起， 与另1个女生插入4个男生排列形成的5个间隙中，有，不同排法有种，B正确； 对于C，女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有种，C正确； 对于D，3个女生按从左到右的顺序排列，不同的排法有种，D正确. 故选：BCD 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和3个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这3个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有 种.（用数字作答） 【答案】72 【分析】利用插空法来解决不相邻问题即可. 【详解】先将3个视频进行排序，再将2篇文章进行插空，则共有种排法. 故答案为：72. ( 题型0 6 ) 平均分组问题 1．（2024·辽宁大连·一模）将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（    ） A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 【答案】B 【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数. 【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有种分法， 故不同的分配方法共有种， 故选：B. 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（    ） A．140 B．150 C．200 D．220 【答案】B 【分析】分成两种情况，分别对每种情况单独讨论即可. 【详解】当按照进行分配时，则有种不同方案， 当按照进行分配时，则有种不同方案， 故共有不同的方案， 故选:B 3．（24-25高三上·河南新乡·期中）将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解. 【详解】依题意可得分组的本数分配只有种，即，，， 则不同的分组方法数为. 故选：C 4．（24-25高三上·江西·阶段练习）现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（   ） A．420 B．660 C．720 D．1200 【答案】B 【分析】选择南昌的人数分为人和人进行分类讨论，按照分步乘法计数原理，根据平均分配和部分平均分配的方法进行计算. 【详解】当有2人选择去南昌时，剩余4人的分配方式为，选法种数为：， 当有3人选择去南昌时，剩余3人的分配方式为，选法种数为：， ∴至少有2人选择南昌的选法种数为. 故选：B. ( 题型0 7 ) 相同元素隔板法 1．（23-24高二下·江苏苏州·期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【答案】B 【分析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法” 【详解】解：“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”， 故有， 故选：B. 2．（多选）（23-24高二下·山东菏泽·期中）现有个小球和个盒子，下面的结论正确的是（    ） A．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，每个盒子都不空，则共有种放法 B．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 C．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 D．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种 【答案】BC 【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，每个盒子都不空， 只需在个相同的小球中间形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种，A错； 对于B选项，若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况，然后在个相同的小球中间形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种，B对； 对于C选项，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况， 然后将这个不同的小球分为三组， 每组小球的个数分别为、、或、、或、、，然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以，不同的放法种数为种，C对； 对于D选项，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有两个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况， 然后将这个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为、或、或、， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中， 所以，不同的放法种数为种，D错. 故选：BC. 3．（23-24高二下·河北保定·期中）现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 . 【答案】 【分析】分只有一个班分到名额，恰有两个班分到名额和三个班都分到了名额三种情况求出总的情况，然后利用古典概型求概率的方法能求出恰有两个班分到三好学生名额的概率． 【详解】将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型： 第一种是只有一个班分到名额，有3种情况； 第二种是恰好有两个班分到名额，由隔板法得有种情况， 第三种是三个班都分到了名额，由隔板法得有种情况， 则恰有两个班分到三好学生名额的概率为． 故答案为：． 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）． 【答案】 【分析】由题意可知，只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，结合隔板法可得结果. 【详解】将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本， 只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可， 所以，不同的分法种数为种. 故答案为：. ( 题型0 8 ) 其它排序 1．7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的排法． 【答案】840 【分析】利用排列求出不同的排法总数. 【详解】对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列， 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有种不同的方法． 故答案为：840. 2．有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（    ） A．243 B．125 C．60 D．120 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】每名学生都有种选择方法， 所以不同的报名方法的种数为. 故选：A 3．如图,某手链由10颗较小的珠子(每颗珠子相同)和11颗较大的珠子(每颗珠子均不相同)串成,若10颗小珠子必须相邻,大珠子的位置任意,则该手链不同的串法有（    ） A．种 B．种 C．种 D． 种 【答案】B 【分析】相邻问题利用捆绑法解决即可. 【详解】将10颗小珠子看成一个整体,不同的串法有种. 故选:B. 4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选. 5．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹在1，5这两个奇数之间，这样的五位数有 个. 【答案】8 【分析】依据特殊元素优先原则分步去完成即可. 【详解】先把1，2，4，5当作一个小集团与3排列共有种排法， 再排小集团内部共有种排法， 所以满足条件的五位数共有（个）. 故答案为：8 6．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 ． 【答案】51 【详解】从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有种； 取出1个偶数和2个不同奇数的取法有种． 从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有如下9种不同取法： ；，，；；，，，． 因此，符合题设要求的不同取法有种． 7．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 8．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【答案】10 【分析】在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯即可得解. 【详解】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法，所以满足条件的关灯方案有10种． 9．30030能被 个不同正偶数整除． 【答案】32 【分析】根据题意，先把30030分解成质因数，再结合计数原理即可求解. 【详解】先把30030分解成质因数的形式：； 依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积， 所有的偶因数为个． 故答案为：32. ( 题型0 9 ) 二项式定理 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期中）已知，则等于 . 【答案】180 【分析】根据二项式定理可知，是的系数，根据二项展开式的通项公式进行运算即可得出. 【详解】解：因为， 所以是的系数， 二项展开式的通项公式为：， 当时，， 即. 故答案为：180. 【点睛】本题考查二项式定理的运用：求指定项的系数和以及二项式展开式的通项公式，属于基础题. 3．（24-25高三上·天津滨海新·期中）的展开式中的含x的项是 ． 【答案】 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】， 令，得：， 所以含x的项是， 故答案为： 4．（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式定理的通项公式，利用项的指数为即为常数项. 【详解】由的展开式的通项为， 令，，则， 即在的展开式中，常数项为， 故答案为：. ( 题型 10 ) 二项式定理的系数 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 【答案】C 【分析】由二项式系数的和的公式求解即可. 【详解】依题意，偶数项的二项式系数之和为：，得， 则二项展开式共有9项，展开式的二项式系数最大的项就是第5项， 故选：C 2．（多选）（2024·全国·模拟预测）在二项式的展开式中，下列说法中正确的是（    ） A．常数项是 B．各项系数和是64 C．第4项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和是32 【答案】ACD 【分析】写出展开式的通项公式，判断A，C项的正误，通过赋值，判断B，D两项正误. 【详解】通项公式， 令，可得，所以常数项为，所以A正确； 令，已知各项系数和是，所以B错误； 第4项二项式系数最大，所以C正确； 奇数项二项式系数和为，所以D正确． 故选：ACD． 3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）的二项展开式中，二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为 ． 【答案】或 【分析】写出二项式系数最大的项，即可求出，结合的范围计算可得. 【详解】在的二项展开式中，二项式系数最大的一项为， 依题意可得，即，所以， 又，所以或. 故答案为：或. 4．（23-24高二下·天津河北·期中）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32. (1)求的值； (2)求展开式中含项的系数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过即可求出的值； （2）写出二项展开式的通项并整理，然后令的次数为即可求出，进而可得项的系数. 【详解】（1）由二项式系数之和为得， 所以； （2）由（1）可得二项式为， 其展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中含项的系数为. ( 题型 11 ) 项的系数 1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，结合第项为常数项，求出，再利用通项求出有理项的项数. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以时，有，解得， 则展开式的通项为（且）， 由，令，，则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取， 所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为. 故选：C. 2．（多选）（23-24高二下·内蒙古·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令求出，即可求出，从而判断A；利用赋值法判断B；写出展开式的通项，即可判断C；令，则，设，求导，再利用赋值法计算即可判断D. 【详解】令，得，解得，故A正确； 所以， 令，得， 令，得， 所以，故B正确； 展开式的第项（且）， 所以，故C错误； 令，则， 设， 则， 令，得， 又， 所以 ，故D正确. 故选：ABD 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值 【答案】/ 【分析】依据二项展开式分别求得的值，进而求得的值. 【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为， 设第项的系数最大，则， 即，解之得， 求得或6，此时，， 故答案为： 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）回答下面两题 (1)二项式展开式中所有二项式系数和为32，求其二项展开式中x的系数； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据二项式系数和公式求，再根据通项公式求指定项系数； （2）首先赋值，求，再分别赋值和，运算后即可求解. 【详解】（1）由题意得，∴ 展开式通项公式为， 令，解得 故， 故其二项展开式中x的系数为-250 （2）中， 令得，， 令得①， 令得②， ①+②得，，解得， 故. ( 题型 12 ) 二项式定理的应用 1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（    ） A．44 B．32 C．35 D．29 【答案】A 【分析】首先根据二项式定理求，再计算除以7的余数，再结合选项，即可求解. 【详解】， ， 所以除以7的余数是，除以7的余数是2， 选项中44除以7的余数是2，32除以7的余数是4，35除以7的余数是0，29除以7的余数是1. 故选：A 2．（23-24高二下·江苏南通·期中）今天是星期二，经过天后是星期（    ） A．三 B．四 C．五 D．六 【答案】A 【分析】由，根据二项式定理计算即可求解. 【详解】一个星期的周期是7， 则 ， 即除以7余数是1， 即今天是星期二，经过天后是星期三． 故选：A 3．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，则除以10的余数为（    ） A．0 B．1 C．8 D．9 【答案】A 【分析】逆用二项式定理,可得，再利用二项式定理展开，即可得除以10的余数. 【详解】由可得， ， 则得，， 即. 故m除以10的余数为0. 故选：A. 4．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若能被64整除，则正整数的最小值为 . 【答案】55 【分析】利用表达式，构造二项式定理，结合整除，求解的值即可． 【详解】 若能被64整除，则需能被64整除，所以正整数的最小值为55． 故答案为：55． 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）从4名男生和6名女生中选出3名学生，则恰有1名男生和2名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出从4名男生和6名女生中选出3名学生的方法数和恰有1名男生和2名女生的方法数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】因为从4名男生和6名女生中选出3名学生有种方法， 选出的3名学生中恰有1名男生和2名女生有种方法， 所以所求概率为. 故选：A 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）核糖核酸是存在于生物细胞及部分病毒、类病毒中的携带遗传信息的物质.参与形成的碱基有4种，分别用表示.在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一分子由20个碱基组成，则不同的分子的种数为（    ） A．24 B．80 C． D．20 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理， 可得不同的分子的种数为． 故选：C. 3．（23-24高二下·江苏盐城·期中）若，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】由组合数的性质有，再由可求解. 【详解】由组合数的性质知，， 因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 4．（23-24高二下·云南昆明·期中）若的展开式中项的系数是，则实数的值为（    ） A．1或 B．1或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，再写出展开式的通项，即可得到展开式中的系数，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为， 又二项式展开式的通项为（且）， 所以展开式中的系数为， 所以，解得或. 故选：C． 5．（23-24高二下·山东·阶段练习）下列有关排列数、组合数的等式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于AC，根据组合数的公式即可判断；对于B，根据排列数的公式即可判断；对于D，根据二项式系数的性质即可判断. 【详解】对于A，， ， 故，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，根据组合数的概念知，，故C正确； 对于D，由二项式定理知，， 所以，故D不正确； 故选：D. 6．（多选）（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）若，且，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法可求，据此可求的值. 【详解】因为， 令可得， 即， 令可得， ∵， ∴， ∴，整理得，解得或． 故选：BC. 7．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（    ） A．所有不同的分派方案共种 B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方案共60种 D．若每个社团至少有1个学生选，且学生不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 【答案】CD 【分析】对于A，根据分步乘法计数原理计数可知A不正确；对于B，C，按照先分组再分配的方法计数可知B不正确；C正确；对于D，由间接法求解可知D正确. 【详解】对于A，每名学生都有4种安排方案，故共有种不同的分派方案，故A不正确； 对于B，先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有种； 第二类，一组2人，一组2人，一组1人，有种，故共有种分组方法， 再将分好的三组分配到三个社团，共有种分派方案，故B不正确； 对于C，分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A，另外4人有种，第二类，甲社团分2人，共有种， 根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案，故C正确； 对于D，若每个社团至少派1名学生，则有种，其中学生A，B安排到同一社团时，有种， 故若每个社团至少派1名学生，且学生A，B不安排到同一社团时， 共有种不同分派方案，故D正确. 故选：CD. 8．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（    ） A． B． C．展开式中的系数为 D．展开式中常数项为 【答案】ACD 【分析】根据二项式系数的和的性质求出，即可判断AB；求出展开式的通项，令的指数等于即可判断C；令的指数等于即可判断D. 【详解】由题意，解得，故 A正确；B错误； 二项展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中的系数为，故C正确； 令，则， 所以展开式中常数项为，故D错误. 故选：ACD. 9．（多选）（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知，则下列描述不正确的是（    ） A． B．除以所得的余数是 C． D． 【答案】ACD 【分析】令求出，令求出，令可得，即可求出A、D，又，利用二项式展开式，即可判断B，对令即可判断C. 【详解】， 令，可得， 再令，可得， 所以，故A错误； 由于，即的展开式中各项系数和， 令可得， ，故C错误． 由题意， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被整除，除以所得的余数是，故B正确． 又， 令可得， 又， 所以，故D错误. 故选：ACD． 10．（多选）（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（    ） A． B．第20行中，第11个数最大 C．记第行的第个数为，则 D．第34行中，第15个数与第16个数的比为 【答案】BCD 【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【详解】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由可得， ，故A错误； 对于B，第20行有21项，中间一项最大为，是第11个数，故B正确； 对于C，第行的第个数为，， ，故C正确； 对于D，第34行中，第15个数与第16个数的比为 ，故D正确. 故选：BCD. 11．（23-24高二下·内蒙古·期中）某校开设美术、篮球、足球和象棋兴趣班，其中美术兴趣班有4个，篮球兴趣班有5个，足球兴趣班有2个，象棋兴趣班有3个.已知该校的学生小明报名参加其中的两种兴趣班，且至少参加了一种球类的兴趣班，则小明参加兴趣班的不同方案有 种. 【答案】59 【分析】小明至少参加了一种球类的兴趣班，分为小明参加了两种球类的兴趣班和小明参加了一种球类的兴趣班两种情况，根据分类加法计数原理计算即可. 【详解】第一种情况：小明参加了足球兴趣班和篮球兴趣班，共有种方案. 第二种情况：小明只参加了一种球类兴趣班， 则小明参加的另一种兴趣班为美术或象棋中的一种， 共有种方案. 故小明参加兴趣班的不同方案有种. 故答案为：59. 12．（23-24高二下·内蒙古·期中）在的展开式中，含的项的系数是 . 【答案】84 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可． 【详解】的展开式的第项， 令，得，则. 故答案为：84． 13．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为 ①展开式中奇数项的二项式系数和为256 ②展开式中第6项的系数最大 ③展开式中存在常数项 ④展开式中含项的系数为45 【答案】②③④ 【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，由展开式的各项系数之和为1024可得，则二项式为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系数的对称性判断①②；根据通项判断③④即可. 【详解】对①，由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知， 又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，又，所以， 所以二项式为， 则二项式系数和为，则奇数项的二项式系数和为，故①错误； 对②，由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大， 即第6项的二项式系数最大，因为与的系数均为1， 则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故②正确； 对③，若展开式中存在常数项，由通项可得，解得，故③正确； 对④，由通项可得，解得，所以系数为，故④正确. 故答案为：②③④. 14．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1)255 (2)228 【分析】（1）分别令和代入已知式后可得结论； （2）由二项展开式通项公式求得后可得． 【详解】（1）令得，令得， 所以； （2）展开式通项公式为， 因此，， 所以． 15．（23-24高二下·广东清远·期中）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求： (1)展开式中所有二项式系数的和； (2)展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）写出展开式的通项，即可得到第五项的二项式系数与第三项的系数，从而得到方程，根据组合数的性质求出，再根据二项式系数和为计算可得； （2）写出展开式的通项，令求出，再代入计算可得. 【详解】（1）二项式展开式的通项为（且）， 所以第五项的二项式系数，第三项的系数为， 依题意可得，即，所以， 则， 所以展开式中所有二项式系数的和为. （2）由（1）可得二项式展开式的通项为（且）， 令，又且，则或或， 所以有理项有，，. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 计数原理 题型概览 题型01分步加法计数原理 题型02分类乘法计数原理 题型03特殊元素优先排序 题型04相邻问题 题型05 不相邻问题 题型06 平均分组问题 题型07 相同元素的隔板法 题型08 其它排序 题型09 二项式定理 题型10 二项式系数 题型11 项的系数 题型12 二项式定理的应用 ( 题型01 ) 分布加法计数原理 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）现有6幅不同的风景画，2幅不同的人物画，3幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．11种 B．18种 C．30种 D．36种 2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（   ） A．18 B．15 C．16 D．21 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有 种. 4．（23-24高二下·内蒙古包头·期中）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 ( 题型02 ) 分类乘法计数原理 1．（23-24高二下·内蒙古·期中）已知某社区门口有8个停车位，甲、乙各开一辆汽车同时到该社区办事，则两辆车不同的停放方法有（    ） A．15种 B．56种 C．28种 D．64种 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．（23-24高二·甘肃金昌·期中）现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．24种 B．30种 C．36种 D．48种 ( 题型03 ) 特殊元素优先排序 1．（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C 3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有 种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有 种不同的派驻方式．(用数字填写答案) 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）从这7个数字中取出4个数字，分别求解下列问题．（应写出必要的排列数或者组合数，结果用数字表示） (1)有多少个没有重复数字的排列？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位数？ 4．（23-24高二下·天津·期中）从A，B，C等7人中选5人排成一排． (1)若A必须在内，有多少种排法? (2)若A，B都在内，且A，B之间只有一人，有多少种排法? (3)若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法? ( 题型04 ) 相邻问题 1．（23-24高二下·内蒙古·期中）在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A．30 B．36 C．60 D．72 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（    ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 3．（23-24高二下·内蒙古乌兰察布·期中）公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则种植方法共有 种． 4．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）“五一”劳动节前夕，某公司召开了劳模表彰大会，来自A，B，C三个车间的6位劳模坐在公司特意放置的前排6个座位上.其中A车间1人，B车间2人，C车间3人. (1)若每个车间的劳模派一代表介绍经验，有多少种不同的选法； (2)若同车间的人坐在一起，有多少种不同的坐法； (3)若C车间的人不坐在一起，有多少种不同的坐法； (4)劳模们上台领奖后仍回到前排6个座位就坐，发现只有2人坐在原位上，问有多少种不同的坐法. ( 题型0 5 ) 不相邻问题 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在某次高峰论坛中，有2名科学家，2名企业家，3名国际负责人要进行主题演讲交流.若3名国际负责人的演讲顺序不相邻且2名企业家不在第一个演讲，则不同的演讲顺序共有（    ） A．1152种 B．1040种 C．864种 D．288种 2．（23-24高二下·河北·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有（ ） A．400种 B．396种 C．380种 D．324种 3（多选）．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（   ）（选项中排列数的计算结果均正确） A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种 B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种 C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种 D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和3个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这3个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有 种.（用数字作答） ( 题型0 6 ) 平均分组问题 1．（2024·辽宁大连·一模）将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（    ） A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（    ） A．140 B．150 C．200 D．220 3．（24-25高三上·河南新乡·期中）将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西·阶段练习）现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（   ） A．420 B．660 C．720 D．1200 ( 题型0 7 ) 相同元素隔板法 1．（23-24高二下·江苏苏州·期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 2．（多选）（23-24高二下·山东菏泽·期中）现有个小球和个盒子，下面的结论正确的是（    ） A．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，每个盒子都不空，则共有种放法 B．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 C．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 D．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种 3．（23-24高二下·河北保定·期中）现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 . 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）． ( 题型0 8 ) 其它排序 1．7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的排法． 2．有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（    ） A．243 B．125 C．60 D．120 3．如图,某手链由10颗较小的珠子(每颗珠子相同)和11颗较大的珠子(每颗珠子均不相同)串成,若10颗小珠子必须相邻,大珠子的位置任意,则该手链不同的串法有（    ） A．种 B．种 C．种 D． 种 4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹在1，5这两个奇数之间，这样的五位数有 个. 6．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 ． 7．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 8．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 9．30030能被 个不同正偶数整除． ( 题型0 9 ) 二项式定理 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期中）已知，则等于 . 3．（24-25高三上·天津滨海新·期中）的展开式中的含x的项是 ． 4．（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） ( 题型 10 ) 二项式定理的系数 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第4项和第5项 2．（多选）（2024·全国·模拟预测）在二项式的展开式中，下列说法中正确的是（    ） A．常数项是 B．各项系数和是64 C．第4项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和是32 3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）的二项展开式中，二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为 ． 4．（23-24高二下·天津河北·期中）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32. (1)求的值； (2)求展开式中含项的系数. ( 题型 11 ) 项的系数 1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 2．（多选）（23-24高二下·内蒙古·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）回答下面两题 (1)二项式展开式中所有二项式系数和为32，求其二项展开式中x的系数； (2)已知，求的值. ( 题型 12 ) 二项式定理的应用 1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（    ） A．44 B．32 C．35 D．29 2．（23-24高二下·江苏南通·期中）今天是星期二，经过天后是星期（    ） A．三 B．四 C．五 D．六 3．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，则除以10的余数为（    ） A．0 B．1 C．8 D．9 4．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若能被64整除，则正整数的最小值为 . 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）从4名男生和6名女生中选出3名学生，则恰有1名男生和2名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）核糖核酸是存在于生物细胞及部分病毒、类病毒中的携带遗传信息的物质.参与形成的碱基有4种，分别用表示.在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一分子由20个碱基组成，则不同的分子的种数为（    ） A．24 B．80 C． D．20 3．（23-24高二下·江苏盐城·期中）若，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 4．（23-24高二下·云南昆明·期中）若的展开式中项的系数是，则实数的值为（    ） A．1或 B．1或 C．或 D．或 5．（23-24高二下·山东·阶段练习）下列有关排列数、组合数的等式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）若，且，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（    ） A．所有不同的分派方案共种 B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方案共60种 D．若每个社团至少有1个学生选，且学生不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 8．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（    ） A． B． C．展开式中的系数为 D．展开式中常数项为 9．（多选）（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知，则下列描述不正确的是（    ） A． B．除以所得的余数是 C． D． 10．（多选）（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（    ） A． B．第20行中，第11个数最大 C．记第行的第个数为，则 D．第34行中，第15个数与第16个数的比为 11．（23-24高二下·内蒙古·期中）某校开设美术、篮球、足球和象棋兴趣班，其中美术兴趣班有4个，篮球兴趣班有5个，足球兴趣班有2个，象棋兴趣班有3个.已知该校的学生小明报名参加其中的两种兴趣班，且至少参加了一种球类的兴趣班，则小明参加兴趣班的不同方案有 种. 12．（23-24高二下·内蒙古·期中）在的展开式中，含的项的系数是 . 13．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为 ①展开式中奇数项的二项式系数和为256 ②展开式中第6项的系数最大 ③展开式中存在常数项 ④展开式中含项的系数为45 14．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知． (1)求； (2)求． 15．（23-24高二下·广东清远·期中）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求： (1)展开式中所有二项式系数的和； (2)展开式中所有的有理项． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$