18.2.1 矩形同步分层训练2024-2025学年人教版初中数学八年级下册

18.2.1 矩形2024-2025学年人教版初中数学八年级下册同步分层训练 一、选择题 1．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（　　） A．甲量得窗框的一组邻边相等 B．乙量得窗框两组对边分别相等 C．丙量得窗框的对角线长相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 2．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（　　） A． B． C． D． 3．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边相等 D．对角相等 4．已知矩形的周长为56，对角线交点到短边的距离比到长边的距离大4，则该矩形的面积为（ ） A．45 B．90 C．140 D．180 5．如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如右图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为(　　) A． B． C． D． 8．如图， 对折矩形纸片 ， 使 与 重合， 得到折痕 ， 把纸片展平， 再一次折叠纸片， 使点 落在 上， 并使折痕经过点 ， 得到折痕 ， 同时得到线段 . 若 与 交点为 ， 则 A．1 B．2 C． D． 9．将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（　　） A．13 B．26 C． D． 10．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 11． 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为　 　． 12．如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是　 　． 13．如图，在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，，，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若，则三角形MCD的面积为　 　． 14．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　． 15．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为　 　，的最小值为　 　． 三、解答题 16．如图， 在矩形 中， 对角线 相交于点 ， 点 分别在边 上， 且 ， 连结 ． 求证： ． 17．如图，在中，，平分，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若是边长为的等边三角形，，相交于点，在上截取，连接，求四边形的面积． 18．如图是以 为对角线的矩形 和矩形 ， 且 平分 . （1） 连接 ， 求证 ； （2） 尺规作图：作 的平分线 交 于点 ， 连接 . ①求证 ； ②若 ， 求 和 的长. 19．如图，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边交AC于点F． （1）求证：四边形ADEF为平行四边形； （2）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由． 20． 如图1，点O为矩形ABCD对角线AC的中点，AB=4，BC=8，点E为BC边上一点，连结EO并延长，交AD于点F．四边形ABEF与四边形A1B1EF关于EF所在直线成轴对称，线段FA1交边BC于点H，连结OH． （1）求证： 。 （2）若 ， 求 的长。 （3） 如图 2， 连结 ， 若 ， 求 的长。 21．【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）【定理证明】 为了证明该定理，小明同学画出了图形如图并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程： 已知：在▱中，对角线，相交于点，且，求证：▱是矩形， （2）【知识应用】 如图在▱中对角线和相交于点，． 求证：▱是矩形； 若，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，求的值． 答案解析部分 一、选择题 1．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（　　） A．甲量得窗框的一组邻边相等 B．乙量得窗框两组对边分别相等 C．丙量得窗框的对角线长相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 【答案】D 【知识点】矩形的判定 【解析】【解答】解：A，只是一组邻边相等的四边形不能判断是矩形，故甲的判断不准确； B，两组对边分别相等可以是平行四边形，菱形，矩形，正方形；故乙的判断不准确； C，对角线长相等可以是等腰梯形，矩形，正方形；故丙的判断不准确； D，两组对边分别相等是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，正方形；故丁的判断最有说服力； 故答案为：D 【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案. 2．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】矩形的判定 【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当时，变成“矩形”， 故答案为：A 【分析】根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）结合题意即可求解. 3．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边相等 D．对角相等 【答案】A 【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而矩形的对角线互相平分且相等. 故答案为：A. 【分析】对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形. 4．已知矩形的周长为56，对角线交点到短边的距离比到长边的距离大4，则该矩形的面积为（ ） A．45 B．90 C．140 D．180 【答案】D 【知识点】矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图，过作，交于，交于，作，交于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理四边形、四边形，四边形都是矩形， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， 设，则， ∵矩形周长是56， ， 解得：， ∴矩形的各边长是． 则该矩形的面积， 故答案为：D． 【分析】过作交于，交于，作交于，交于，即可得到四边形、四边形、四边形、四边形是矩形，设，则，利用矩形周长列方程求出x值即可解题． 5．如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：∵矩形中，； ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：B 【分析】先根据矩形的性质结合题意得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据角平分线的定义得到，再结合题意即可得到，从而即可求出∠BAE得到度数，再根据三角形内角和定理即可求解. 6．如右图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】矩形的判定 【解析】【解答】解：如图所示： 以AB为对角线的格点矩形有3个， 以AB为边的格点矩形有1个， ∴以A，B为顶点的格点矩形共可以画出4个， 故答案为：D． 【分析】画出以A，B为顶点的格点矩形，即可求解. 7．如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=20， ∵E，F分别是AD，CD的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴， ∵G，H分别是BE，BF的中点， ∴GH是△BEF的中位线， ∴. 故答案为：B. 【分析】连接AC、EF，由矩形的对角线相等得出AC的长，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得求出EF的长，同理可求出GH的长. 8．如图， 对折矩形纸片 ， 使 与 重合， 得到折痕 ， 把纸片展平， 再一次折叠纸片， 使点 落在 上， 并使折痕经过点 ， 得到折痕 ， 同时得到线段 . 若 与 交点为 ， 则 A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵对折至，折痕为， ∴， ∴， 故答案为： 【分析】先根据矩形的性质得到，由折叠得直线是线段的垂直平分线，进而根据垂直平分线的性质得到，再根据平行线的判定与性质得到，再根据折叠得到，从而根据等腰三角形的判定（等角对等边）即可求解。 9．将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（　　） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的面积为． 故答案为：D． 【分析】根据勾股定理可得AC=13，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案. 10．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：如图， H为AB中点，连接OH、OD，DH、 ∵∠MON=90°，AB=4， ∴OH=AB=×4=2． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=2，∠BAD=90°， ∵点H是AB的中点， ∴AH=AB=×4=2， 在Rt△DAH中，DH===2， 在△ODH中，根据三角形三边关系可知DH+OH＞OD， ∴当O、H、D三点共线时，OD最大为DH+OH=2+2. 故答案为：A． 【分析】 取AB中点H，连接OH、DH、OD，求出OH和DH值，利用三角形三边关系分析出当O、H、D三点共线时，OD最大为OH+DH。 二、填空题 11． 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为　 　． 【答案】2.5 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：设CE=x ∵EO垂直平分AC ∴AE=EC=x ∴DE=4-x 在长方形ABCD中， CD=AB=2，BC=AD=4 在Rt△CDE中，CE2-DE2=CD2 ∴x2-(4-x)2=4 解得x=2.5 故答案为：2.5. 【分析】根据矩形的性质得出 CD=AB=2，BC=AD=4，由EO垂直平分AC，得出AE=EC=x，最后在在Rt△CDE中，根据勾股定理，列出方程即可. 12．如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是　 　． 【答案】 【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：连接． 在中，∵ ， ∵四边形为矩形， ， 当时，有最小值， 此时， ∴，解得， ， ， ∴的长能取到的所有整数值为5或6或7． 故答案为：． 【分析】连接．先利用勾股定理求出AB，再说明当时，有最小值，并利用三角形的面积的不同算法，得到关于CD的方程求解，再根据CD的范围，得出EF的范围，再求出整数解． 13．如图，在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，，，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若，则三角形MCD的面积为　 　． 【答案】12 【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：过点M作EM⊥DC于点E，如图所示： ∵，，M是AB的中点， ∴MC=5，DM=5， ∴MD=MC， ∵EM⊥DC， ∴EC=ED=3， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：12 【分析】过点M作EM⊥DC于点E，先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到MC=5，DM=5，再根据勾股定理结合三角形的面积即可求解。 14．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　． 【答案】3或6 【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质 【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1）， ∵∠CED'＝90°， 根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°， ∵∠D＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD＝6； （2）当∠ED'A＝90°时，如图（2）， 根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形， 即∠CD'E＝90°， ∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°， ∴A、D'、C在同一直线上， 根据勾股定理得， ∴CD'＝10−6＝4， 设DE＝D'E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x， 在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2， 即x2＋16＝(8−x)2， 解得x＝3， 即DE＝3； 综上所述：DE的长为3或6； 故答案为：3或6． 【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，根据勾股定理求出x值即可． 15．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为　 　，的最小值为　 　． 【答案】； 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；对顶角及其性质 【解析】【解答】解：第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴CB∥DA，∠A=∠B=90°， ∴∠PAO=∠OCQ， ∴AO=CO， ∵∠POA=∠COQ， ∴△APO=△CQO(ASA)， ∴PA=QC=2，OP=OQ， 过点P作PH⊥BC于点P， ∴四边形BHPA是矩形， ∴BH=PA=CQ=2，BA=HP=2， ∴QH=2， 由勾股定理得， ∴PO=； 第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，如图所示： ∵DA⊥GO'，O为AC中点， ∴GA=3， ∴AP=2，OG=1， ∴GO'=3，GP=1， 由勾股定理得， 综上所述，的最大值为，的最小值为， 故答案为：；； 【分析】第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，先根据矩形的性质即可得到CB∥DA，∠A=∠B=90°，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到AO=CO，再运用对顶角的性质结合三角形全等的判定与性质证明△APO=△CQO(ASA)即可得到PA=QC=2，OP=OQ，过点P作PH⊥BC于点P，进而根据矩形的性质即可得到BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，再根据勾股定理即可求解；第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，根据题意结合已知条件即可得到GA=3，进而得到AP=2，OG=1，从而得到GO'=3，GP=1，最后运用勾股定理即可求解。 三、解答题 16．如图， 在矩形 中， 对角线 相交于点 ， 点 分别在边 上， 且 ， 连结 ． 求证： ． 【答案】证明：如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC， ∴OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠ADC-∠ODC＝∠BCD-∠OCD， 即∠EDO＝∠FCO， 在△ODE与△OCF中， ， ∴△ODE≌△OCF（SAS）， ∴OE＝OF． 【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】利用矩形的性质，再证出△ODE≌△OCF即可得出结论． 17．如图，在中，，平分，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若是边长为的等边三角形，，相交于点，在上截取，连接，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：且， 四边形是平行四边形， ，平分， ， 四边形是矩形； （2）解：过作于， 是等边三角形，边长为， ，， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ． 【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；多边形的面积 【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，由等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ADCE是矩形； （2）过O作OH⊥CE于H，由等边三角形的性质和平行线的性质可得∠DAC=∠BAC=30°=∠ACE，由矩形的对角线互相平分可得OC=OA，结合已知条件可得CF=OC，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=CF，然后根据四边形面积的构成S四边形AOFE=S△AEC-S△COF可求解. 18．如图是以 为对角线的矩形 和矩形 ， 且 平分 . （1） 连接 ， 求证 ； （2） 尺规作图：作 的平分线 交 于点 ， 连接 . ①求证 ； ②若 ， 求 和 的长. 【答案】（1）证明：如图，连接，， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴ （2）证明：①尺规作图如下： 由（1）已证：， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴． ②设， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， 如图，延长，交于点， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，点是的中点， 则在中，， ∵， ∴ 【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质 【解析】【分析】（1）连接，，根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，，再进行角的运算得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到即可求解； （2）①由（1）已证：，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据矩形的性质得到，结合题意等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，从而结合等腰直角三角形的判定与性质即可求解； ②设，运用勾股定理即可其表示AG，从而结合题意即可得到CF，延长，交于点，根据等腰三角形的判定与性质（等角对等边）即可得到，从而根据垂直结合题意即可得到，点是的中点，再根据三角形的面积结合题意即可求解。 19．如图，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边交AC于点F． （1）求证：四边形ADEF为平行四边形； （2）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：，， ，，， 又，四边形为平行四边形； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 由（1）得，四边形为平行四边形，，， ，，， 四边形是平行四边形， ，，，四边形是矩形． 【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定 【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和已知条件推导出∠BDE=∠A=∠DEF，从而得出AD和EF平行，证得 四边形ADEF为平行四边形。 (2)先证明AF和EG平行且相等，得出四边形AEGF是平行四边形，再证明AG和EF相等，可推导出结论。 20． 如图1，点O为矩形ABCD对角线AC的中点，AB=4，BC=8，点E为BC边上一点，连结EO并延长，交AD于点F．四边形ABEF与四边形A1B1EF关于EF所在直线成轴对称，线段FA1交边BC于点H，连结OH． （1）求证： 。 （2）若 ， 求 的长。 （3） 如图 2， 连结 ， 若 ， 求 的长。 【答案】（1）证明：如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠1=∠2， ∵点O为矩形ABCD对角线AC的中点， ∴AO=CO， 又∵∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴OE=OF， ∴O为EF的中点， ∵四边形ABEF与四边形A1B1EF关于EF所在直线成轴对称， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴EH=FH， 又∵O为EF的中点， ∴OH⊥EF. （2）解：过点F作 FG垂直BC，如图： ∵∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠D=∠C=90°， ∴则四边形FGCD为矩形. ∴CG=FD，FG=CD=AB=4. 由（1）得△AOF≌△COE， ∴AF=CE=BC-BE=8-1=7， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC， ∴FD=BE=1， 设EH=x，则FH=x，HC=7-x， ∴CG=FD=1， ∴HG=6-x. ∴在Rt△FHG中，FH2=HG2+FG2， 即x2=（6-x）2+42， 解得： ， ∴. （3）解：连结AE，如图： 由对称得OA=OB1， ∵点O为矩形ABCD对角线AC的中点， ∴AO=CO， 若OH=OB1，则OB1=AO=CO=OH， 当点C，H，A1重合满足条件， ∵∠B=∠EB1C=90°，AB=B1C，BE=B1E， ∴△ABE≌△CB1E（SAS）， ∴∠AEB=∠CEB1，AE=EC， ∵BE与EC共线， ∴点A、点E和点B1三点共线， ∵∠D=∠EB1C=90°，B1C=AB=DC，AC=AC， ∴Rt△ADC≌Rt△AB1C（HL）， ∴AD=AB1， 设BE=y，则AE=8-y， ∴在Rt△ABE中．AE2=AB2+BE2， 即 （8-y）2=42+y2， 解得y=3， 即BE=3. 【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行可得AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠2，由已知条件得出AO=CO，由对顶角相等得出∠AOF=∠COE，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等得△AOF≌△COE，全等三角形的对应边相等可得OE=OF，根据轴对称的性质得出∠1=∠3，等量代换可得出∠2=∠3，由等角对等边得EH=FH，再根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合即可得出结论； （2）过点F作 FG垂直BC，根据矩形的性质和判定可得四边形FGCD为矩形，可得FG=CD=AB=4，CG=FD.根据全等三角形的对应边相等可得AF=CE=7，根据矩形的对边相等可得AD=BC，推得FD=BE=1，设EH=x，则FH=x，HC=7-x，根据矩形的对边相等可得CG=FD=1，再求出HG=6-x，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解； （3）连结AE，由对称得OA=OB1，根据题意得AO=CO，若OH=OB1，则OB1=AO=CO=OH，当点C，H，A1重合满足条件，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，对应边相等可得∠AEB=∠CEB1，AE=EC，推得A、E和B1三点共线，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等可得AD=AB1，设BE=y，则AE=8-y，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解. 21．【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）【定理证明】 为了证明该定理，小明同学画出了图形如图并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程： 已知：在▱中，对角线，相交于点，且，求证：▱是矩形， （2）【知识应用】 如图在▱中对角线和相交于点，． 求证：▱是矩形； 若，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，求的值． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ▱是矩形； 解：证明：在▱中对角线和相交于点， ，， ， ， ， ▱是矩形； （2）解：证明：在▱中对角线和相交于点， ，， ， ， ， ▱是矩形； 解：如图，连接， 过点分别作和的垂线，垂足为，， ， 四边形是矩形，，， ，， ，， ， ， ， ． 【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质结合AC=BD得≌，得∠ABC=90°，即可得ABCD为矩形； (2)①由平行四边形的性质得AC=BD即可证ABCD为矩形； ②连接PO，利用等面积法，可得PE+PF的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$