第二章 平面向量及其应用 1从位移、速度、力到向量-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

§１．从位移、速度、力到向量 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解向量的几何表示的意义和方法 ２．理解零向量,单位向量及向量的模等概念 ３．理解零向量、相等向量及共线向量的概念 ４．掌握向量的夹角及其表示 通过学习向量的有关概念及表示,重 点培 养 学 生 的 数 学 抽 象、直 观 想 象 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 猫和老鼠 　　一只老鼠和一只猫相距１６米,老鼠以每秒４ 米的速度从B点向正东奔跑,猫以每秒７米的速 度从A点向正东追． 问题　１．猫能否追上老鼠? ２．若猫的速度记为υ１,老鼠的速度记为υ２,那么 υ１和υ２有什么关系? [知识梳理] [知识点一]　　　向量的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．既有大小又有方向的量统称为向量． ２．具有方向和长度的线段叫作有向线段．向量可 以用有向线段表示,若有向线段的起点为A, 终点为B,则该有向线段记作　　　,也可以 用黑斜体小写字母a,b,c,􀆺表示,书写则用a →, b →,c →,􀆺表示． ３．向量AB →(或a)的大小,称为向量AB →(或a)的 长度,也叫模,记作　　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．向量定义中的“大小”与“方向”分别 描述了向量的哪方面的特性? 只描述其中一 个方面可以吗? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋２．两个向量能否比较大小? ３．有向线段就是向量吗? [知识点二]　与向量有关的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 零向量 长度为０的向量称为零向量,记 作０．任何方向都可以作为零向 量的方向． 单位向量 模等于１个单位长度的向量称 为单位向量． 相等向量 长度相等且方向相同的向量,叫 作相等向量．向量a与b 相等, 记作a＝b． 共线 (平行) 向量 若两个非零向量的方向相同或 相反,则称这两个向量为共线向 量或平行向量．a与b 共线或平 行,记作a∥b．零向量与任一向 量共线． 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相 反,则称它们互为相反向量．向 量a的相反向量记作－a． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．“向量平行”与“几何中的平行”一 样吗? ５．单位向量都相等吗? [知识点三]　向量的夹角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:已知两个非零向量a 和b,在平面内选一点O,作 OA → ＝a,OB → ＝b,则θ＝ ∠AOB称为向量a与b的夹角． ２．范围:０°≤θ≤１８０°． ３．大小与向量共线、垂直的关系: θ＝ ０°⇔a与b同向, １８０°⇔a与b反向, ９０°⇔a与b垂直,记作a⊥b． ì î í ïï ï 规定:零向量可与任一向量垂直． [预习自测] １．下列量中不是向量的是 (　　) A．位移　　　　B．重力 C．速度 D．温度 ２．下列各选项中,正确的是 (　　) A．|a|＝|b|⇒a＝b B．|a|＞|b|⇒a＞b C．|a|＝０⇒a＝０ D．|a|＝０⇒a＝０ ３．下列说法错误的是 (　　) A．向量AB → 与BA → 模相等 B．两个相等向量若起点相同,则终点必相同 C．只有零向量的模等于０ D．零向量没有方向 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　向量的有关概念 [例１]给出下列命题: ①若|a|＝|b|,则a＝b或a＝－b; ②向量的模一定是正数; ③起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等 向量; ④向量AB → 与CD → 是共线向量,则A、B、C、D 四 点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　解答本题可从向量的定义、向 量的模、相等向量、平行向量等概念入手,逐 一判断真假． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 向量有关概念的辨析问题,关键是理解有 关概念的意义．向量是既有大小又有方向 的量．向量的大小叫向量的长度或模．向量 的有关概念都是从方向和大小两个方面定 义的．仅从向量的大小考虑:长度为１个单 位的向量叫单位向量,长度为０的向量叫 零向量．仅从方向考虑:方向相同或相反的 向量叫平行或共线向量;从两方面考虑:方 向相同、大小相等的向量叫相等向量． 􀳀[变式训练] １．下列说法正确的是 (　　) A．若a＝b,则a∥b B．|a|＞|b|,则a＞b C．若a∥b,且b∥c,则a∥c D．若a≠b,则a与b不共线 　向量的表示 [例２]某次军事演习中,红方一支装甲分队为完 成对蓝军的穿插包围,先从A 处出发向西迂 回了１００km到达B 地,然后又改变方向向北 偏西４０°走了２００km到达C地,最后又改变方 向,向东突进１００km到达D 处,完成了对蓝军 的包围． (１)作出向量AB →,BC →,CD →; (２)求出|AD| → ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　作图时既要考虑向量的大小, 又要考虑其方向及起点,为此可建立平面直 角坐标系,在坐标系中作图求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 第二章　平面向量及其应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)向量的画法:先确定向量的起点,再确 定向量的方向,最后根据向量的长度确 定向量的终点． (２)向量的表示方法:向量的表示方法有几 何表示和字母表示,用几何研究向量运 算,为用向量处理几何问题打下了基 础,字母表示便于向量的运算． 􀳀[变式训练] ２．如图以１×２方格中的格 点(各线段的交点)为起点 和终点的向量中． (１)与 AF → 相 等 的 向 量 有　　　　; (２)与AE → 共线的向量有　　　　　　． 共线向量与相等向量 [例３]如图所示,O 是 正 六 边 形 ABCDEF 的中心,且OA → ＝a． (１)与a 的 模 相 等 的 向 量 有 多 少个? (２)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些? (３)与a共线的向量有哪些? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　借助图形的几何性质和向量 相关概念进行判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断两个向量是否共线,关键是看方向是 否相同或相反,判断两个向量相等,既要使 方向相同,又要使长度相等． 􀳀[变式训练] ３．如图,四边形ABCD 和ABDE 都是平行四 边形． (１)写出与向量ED → 相等的向量; (２)若|AB → |＝３,求向量EC → 的模． 　　　向量的夹角 [例４]△ABC为正三角形,设AB → ＝a,BC → ＝b, AC → ＝c,则 (１)向量a与c的夹角是多少? (２)向量a与b的夹角是多少? (３)向量b与c的夹角是多少? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　求向量的夹角,必须把两向量 平移到同一个起点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在作两个非零向量的夹角时,根据相等向 量和平行向量,把两向量平移到同一个起 点,这两个有共同起点的向量组成的角才 是两向量的夹角． 􀳀[变式训练] ４．正六边形ABCDEF的中心是点O,以这七个 点为起点或终点的向量中,与AB → 相等的向量 共有　　　　个,与AB → 的模相等且夹角为６０° 的向量共有　　　　个． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 １．下列说法中正确的是 (　　) A．数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小,但同向的向 量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 ２．下列说法正确的是 (　　) A．AB → ∥CD → 表示AB → 所在的直线平行于CD → 所 在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量的长度等于０ D．共线向量是在一条直线上的向量 ３．若|AB → |＝|AD → |且BA → ＝CD →,则四边形ABCD 的形状为 (　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 ４．已知在边长为２的菱形ABCD 中,∠ABC＝ ６０°,则|BD → |＝　　　　． ５．如图所示,在四边形ABCD 中,AB → ＝DC →,N,M 分别是 AD,BC 上 的 点,且 CN → ＝MA →, 求证:DN → ＝MB → ． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §２．从位移的合成到向量的加减法 ２．１　向量的加法 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解并掌握向量加法的概念,了解加法的物理意义 ２．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟 练运用这两个法则作两个向量的加法运算 ３．了解向量加法的交换律和结合律 通过学习向量的加法,重点培养学生 的数 学 抽 象 和 逻 辑 推 理、数 学 建 模 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　在日常生活中,你是否有这样的经验:两个 人共提一个重物,夹角越大越费力;在单杠上做 引体向上运动,两臂的夹角越小越省力． 问题　１．你能从数学的角度解释这种现象吗? ２．物理学中的两个位移的和体现了向量 的什么运算? [知识梳理] [知识点一]　向量加法的定义及运算法则 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．求定义 求　　　　　　的运算,叫作向量的加法． ２．运算法则 (１) 平 行 四 边 形 法 则 已知两个不共线的 向 量 a,b,在平面内任取一点 A,作 有 向 线 段AB → ＝a, AD → ＝b,再作平行于AD → 的 有 向 线 段BC → ＝b,连 接 DC,则四 边 形 ABCD 为 平行四边形．向量AC → 叫作 向量a 与b 的和,表示为 AC → ＝a＋b． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 第二章　平面向量及其应用 当sinα终边在第三象限时,取α终边上一点P(－１,－３) ∴|OP|＝ １０,∴sinα＝－３ １０１０ ,cosα＝－ １０１０ ,tanα ＝３． (２)① 由 １－２sinx≥０,根 据 正 弦 函 数 图 象 知:定 义 域 为 x ２kπ＋５６π≤x≤２kπ＋ １３π ６ ,k∈Z{ }． ②∵－１≤sinx≤１２ , ∴０≤１－２sinx≤３, ∴f(x)的值域为[０,３], 当x＝２kπ＋３π２ ,k∈Z时,f(x)取得最大值． [例２]　C　[由已知得 ３sinβ－２tanα＋５＝０ , tanα－６sinβ－１＝０．{ 消去sinβ,得tanα＝３, ∴sinα＝３cosα,代入sin２α＋cos２α＝１, 化简得sin２α＝９１０ ,则sinα＝３ １０１０ (α为锐角)．] 变式训练 ２．解:方程５x２－７x－６＝０的两根为x１＝－ ３ ５ ,x２＝２, 由α是第三象限角,得sinα＝－３５ ,则cosα＝－４５ , ∴ sin －α－３２π( )cos ３ ２π－α( ) cos π２－α( )sin π ２＋α( ) 􀅰tan２(π－α) ＝ sin π２－α( )cos π ２＋α( ) sinαcosα 􀅰tan２α ＝cosα (－sinα) sinαcosα 􀅰tan２α＝－tan２α＝－sin ２α cos２α ＝－９１６． [例３]　[解]　(１)f(x)的最小正周期为π,令２x＋π６＝ π ２＋ kπ,k∈Z,则x＝π６＋ kπ ２ ,k∈Z,当k＝２时,x０＝ ７π ６ ,y０＝３． (２)令 π２＋２kπ≤２x＋ π ６≤ ３π ２＋２kπ ,k∈Z． 解得 π ６＋kπ≤x≤ ２π ３＋kπ ,k∈Z, ∴f(x)的单调递减区间为 π６＋kπ ,２π ３＋kπ[ ] ,k∈Z． (３)因为x∈ －π２ ,－π１２[ ] ,所以２x＋ π ６∈ － ５π ６ ,０[ ] ,于是 当２x＋π６＝０ ,即x＝－ π１２ 时,f(x)取得最大值０;当２x＋ π ６＝－ π ２ ,即x＝－π３ 时,f(x)取得最小值－３． 变式训练 ３．解析:(１)令－π２＋kπ＜２x－ π ３＜ π ２＋kπ ,k∈Z． 解得－π１２＋ kπ ２＜x＜ ５π １２＋ kπ ２ ,k∈Z． ∴f(x)的单调递增区间为 －π１２＋ kπ ２ ,５π １２＋ kπ ２( ) ,k∈Z,故 选B． (２)令２x－π６＝kπ ,k∈Z, 则x＝π１２＋ kπ ２ ,k∈Z, ∴f(x)的对称中心为 π１２＋ kπ ２ ,０( )(k∈Z)． 令２x－π６＝ π ２＋kπ ,k∈Z,∴x＝π３＋ kπ ２ ,k∈Z． ∴f(x)的对称轴方程为x＝π３＋ kπ ３ ,k∈Z． 答案:(１)B　(２) π１２＋ kπ ２ ,０( )(k∈Z)　x＝π３＋ kπ ３ ,k∈Z [例４]　[解]　(１)由题干图象知A＝ －１２－ － ３ ２( ) ２ ＝ １ ２ , k＝ －１２＋ － ３ ２( ) ２ ＝－１ ,T＝２× ２π３－ π ６( )＝π, ∴ω＝２πT＝２ , ∴y＝１２sin (２x＋φ)－１． 当x＝π６ 时,１ ２sin ２× π ６＋φ( )－１＝－ １ ２ , 即sin π３＋φ( )＝１, π ３＋φ＝２× π ６＋φ＝ π ２＋２nπ ,n∈Z, ∴φ＝ π ６＋２nπ ,n∈Z,又|φ|＜ π ２ , ∴φ＝ π ６ , 故所求函数的解析式为y＝１２sin ２x＋ π ６( )－１． (２)把 y＝sinx 的 图 象 向 左 平 移 π６ 个 单 位,得 到 y＝ sin x＋π６( ) 的图象,然后将得到的图象上点的纵坐标保持 不变,横坐标缩短为原来的 １ ２ ,得到y＝sin ２x＋π６( ) 的图 象;再将得到的图象上点的横坐标保持不变,纵坐标变为原 来的１ ２ ,得到y＝ １２sin ２x＋ π ６( ) 的图象,最后把函数y＝ １ ２sin ２x＋ π ６( ) 的 图 象 向 下 平 移 １ 个 单 位,得 到 y＝ １ ２sin ２x＋ π ６( )－１的图象． 变式训练 ４．A　[y＝sin ωx＋ω３π－ π ６( ) 和函数y＝cosωx的图象重合, 可得ω ３π－ π ６＝ π ２＋２kπ ,k∈Z,则ω＝６k＋２,k∈Z．∴２是ω 的一个可能值．] 第二章　平面向量及其应用 §１．从位移、速度、力到向量 课前预习学案　情境引入 １．提示:能追上,因为它们的方向相同,猫的速率大于老鼠的 速率． ２．提示:υ１ 和υ２ 为共线向量． 知识梳理　知识点一 ２．AB→　３．|AB→|(或|a|) [思考] １．提示:向量不仅有大小,而且有方向．大小是代数特征,方向 是几何特征．看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大 小和方向两个要素,二者缺一不可． ２．提示:不能．向量是既有大小又有方向的量．所以只能比较它 们模的大小． ３．提示:不是．向量是既有大小又有方向的量,而有向线段除了 有大小、方向外还有起点,所以二者是不同的,但是可以用有 向线段表示向量． ４．提示:不一样．向量平行与几何中的平行不同,向量平行包括 基线重合的情况,故也称向量共线． ５．提示:不一定．单位向量的长度都相等,但方向不一定相同, 故不一定相等． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２２􀅰 参考答案 预习自测 １．D　２．C　３．D 课堂互动学案 [例１]　[解析]　①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等,但 不能说明它们方向的关系． ②错误．０的模为零． ③正确．对于一个向量,只要不改变其大小和方向,是可以任 意移动的． ④错误．共线向量即平行向量,只要方向相同或相反即可,并不 要求两个向量AB→,CD→必须在同一直线上． [答案]　③ 变式训练 １．A　[由向量相等的定义知 A正确;向量是有方向的量,不能比 较大小,故B错误;选项C中,当c＝０时,a与c不平行,故C不 正确;选项D中,a≠b可以是a∥b但a与b的模不相等,故 D 不正确．] [例２]　[解]　(１)向量AB→、BC→、CD→如图所示． (２)由 题 意,易 知AB→ 与CD→ 方 向 相 反,故AB→ 与CD→ 共 线, 又|AB→|＝|CD→|, ∴在四边形ABCD 中,AB􀱀CD． ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD→＝BC→,∴|AD→|＝|BC→|＝２００km． 变式训练 ２．解析:(１)与AF→ 相等的向量有BE→、CD→． (２)与AE→ 共线的向量有EA→、BD→、DB→． 答案:(１)BE→、CD→　(２)EA→、BD→、DB→ [例３]　[解]　(１)与a的模相等的向量有２３个． (２)与a的长度相等且方向相反的向量有OD→,BC→,AO→,FE→． (３)与 a 共 线 的 向 量 有EF→,BC→,OD→,FE→,CB→,DO→,AO→, DA→,AD→． 变式训练 ３．解:(１)∵四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形, ∴AB􀱀ED,AB􀱀DC,从而AB→＝ED→,AB→＝DC→, ∴ED→＝DC→,故与向量ED→相等的向量是AB→,DC→． (２)∵AB→＝ED→,AB→＝DC→,∴ED→＝DC→． ∴ED→与DC→方向相同,从而E、D、C三点共线． ∴|EC→|＝|ED→|＋|DC→|＝２|AB→|＝６． [例４]　[解]　(１)向量a与c的夹角即∠BAC＝６０°． (２)如图,延长 AB 至 点D,使 BD ＝AB,则BD→＝a,因为△ABC 为等 边 三 角 形,所 以 ∠ABC＝６０°,则 ∠CBD＝１２０°,故向量a与b 的夹 角为１２０°． (３)延长 AC 至点E,使CE＝AC, 则CE→＝c,延 长 BC 至 点F,使 CF＝BC,则CF→＝b．因 为 △ABC为等边三角形,所以∠ECF＝∠ACB＝６０°,故向量b 与c的夹角为６０°． 变式训练 ４．解析:如图,正六边形 ABCDEF 中, 点O 为 其 中 心,以 这 七 个 点 为 起 点 或终点的向量中,与AB→相等的向量 有OC→,FO→,ED→,共３个, 与AB→的模相等,且夹角为６０°的向量 有AO→,OD→,FE→,BC→,FA→,EO→,OB→, DC→,共８个． 答案:３　８ 随堂步步夯实 １．D　[不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故 A,B不 正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与 方向无关,故 C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大 小,故 D正确．] ２．C　[AB→∥DC→表示AB→所在的直线平行于DC→所在的直线,或 AB→所在的直线与DC→所在的直线重合;相等向量不仅要求长 度相等,还要求方向相同;共线向量也称为平行向量,它们可 以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向 量,所以 A,B,D均错误,故选 C．] ３．C　[因为BA→＝CD→,所以四边形ABCD 为平行四边形, 又|AB→|＝|AD→|,即邻边相等,所以四边形ABCD为菱形．] ４．２ ３ ５．证明:∵AB→＝DC→, ∴AB＝DC且AB∥DC, ∴四边形ABCD 是平行四边形,∴CB→＝DA→, 又CN→＝MA→, ∴CN＝MA,CN∥MA, ∴四边形CNAM 是平行四边形, ∴CM→＝NA→,∴CM＝NA,CM∥NA． ∵CB＝DA,CM＝NA, ∴MB＝DN． 又DN∥MB,∴DN→与MB→的模相等且方向相同, ∴DN→＝MB→． §２．从位移的合成到向量的加减法 ２．１　向量的加法 课前预习学案　情境引入 １．提示:这涉及到向量的合成问题．即向量的加法． ２．提示:体现了两个向量的加法运算． 知识梳理　知识点一 １．两个向量和 ２．０　a　 [思考] １．提示:两个向量相加,和向量还是一个向量,通过三角形法则 或平行四边形法则可得和向量,两个向量的模相加,其和是 一个实数,不是一个向量． 知识点三 ３．首尾相接 [思考] ２．提示:AB→＋CA→＋BC→＝AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝０,故结果 是０． 预习自测 １．C　２．B　３． １３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)在平面内任取一点O,作OA→＝a,AB→＝b,再 作向量OB→,则OB→＝a＋b． (２)在平面内任取一点O,作OA→＝a,OB→＝b,再作平行OB→的 AC→＝b,连 接 BC,则 四 边 形 OACB 为 平 行 四 边 形,OC→＝a ＋b． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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