2025届上海市宝山区高考二模数学试卷

2025年上海市宝山区二模数学试卷 考生注意： 1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）． 1. 已知是虚数单位，则__________. 2. 设集合，则 . 3. 抛物线的准线方程为 . 4.已知函数则= . 5. 已知为常数，函数为奇函数，则 . 6. 的二项展开式中，项的系数为_______ . 7. 已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 8. 已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_______ . 9. 已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 10. 有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有 种. 11. 某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 12. 空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且,若,且,则二面角平面角的余弦值最小为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）. 13. 已知向量，，若，则的值为 （    ） A. B. C. D. 14. “”的一个必要非充分条件是 （ ） A. B. C. D. 15. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分的极差小于乙得分的极差 B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差小于乙得分的方差 16. 若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列. 则下列选项中正确的是 （ ） A.①是真命题， ②是真命题； B.①是真命题， ②是假命题； C.①是假命题， ②是真命题； D.①是假命题， ②是假命题. 3、 解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）． 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四面体中，是边长为的正三角形， 且. （1）证明：； （2）若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数 （1）若，求方程的解； （2）已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目. 因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 （1）体验类项目中，若关于波动的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； （2）小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； （3）为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间. 小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. (1) 当直线过点，且时，求的周长； (2) 已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； (3) 已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. （1）若,，求的值及的固着点； （2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； （3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 2024学年第二学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 第 4 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市宝山区二模数学试卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）取中点，连接 由已知条件是边长为的正三角形，得 ........................2分 所以.......................4分 所以.............................6分 （2）二面角的大小为，即平面 由，且由（1）知， 所以....................................................8分 从而即为与平面所成角..................................10分 在中,,从而 在中， 因为，且，所以 所以在中，，且............................12分 易求得 即与平面所成角的大小为................14分 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）即解得，于是.....................2分 方程即为 令，则有即 求得（舍负）.................................................4分 所以方程的解为.........................................6分 （2）由已知得 整理得...................................................8分 因为,所以.....................................10分 从而对任意恒成立 因为（当且仅当取等号）.....................12分 所以 即实数的最大值为................................................14分 19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1），........2分 代入回归方程,得： 解得......................................3分 时 即开放所有体验类项目时的平均等待时间约为51分钟.....................4分 （2）事件：等待总时间恰为120分钟； 事件：选择的3个项目中至少包含1个互动类项目 全部的项目数为15个，其中互动类项目有3个，则事件共包含了种； ................6分 在事件的条件下，等待总时间恰为120分钟，此时的可能情况是： ①一个互动类项目,一个体验类项目，一个演出类项目，此时共有种情况； ②两个互动类项目，一个体验类项目，此时共有种情况. ................8分 由条件概率公式得 .....................10分 （3）事件表示“小王参加决赛获得的游园币”，则 ...........13分 所以............14分 所以，当时，,不建议小王继续闯关; 当时，,小王可根据自己的情况随机选择; 当时，,建议小王继续闯关. ................16分 20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 解：(1)根据双曲线定义得：, .................2分 两式相加得 即 由已知得 所以的周长为...................................................4分 (2) 设直线的倾斜角分别为， 由已知得，.......................................5分 不妨设 则 则可求得，..............7分 所以直线解得 直线解得 所以的面积为................................9分 （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍. ....................10分 设直线方程为： 与双曲线联立化简得 显然成立 设交点 由韦达定理：...............................11分 由得 从而，即 将韦达定理代入 化简得 （※） ..................13分 因为，即 由已知在双曲线上，得 从而得代入（※）式 化简得，即 解得.......................................................15分 点的坐标为.............................................16分 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 解：（1）由题得，所以..................2分 因为，所以， 所以，固着点..............................................4分 （2）由题得，............................5分 所以 因为是上的严格增函数， 所以在上恒成立..........................7分 由于不等式的解是 所以...................................9分 所以 因此的最大值是...............................................10分 （3） （方法一）由题得，， 所以. 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 .............................11分 记，则，所以在是严格减函数， 从而 又当时，，故的值域是， 所以，即.............................................13分 记,则由上述可知是的严格减函数且 ， 因为，所以，所以 ①.......................15分 记，则 因为，所以，所以 所以是上的严格增函数， 故，从而 ②..........17分 由①②可知，，即 又是的严格减函数，所以.......................18分 所以. （方法二） 由题得，，所以 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 ............11分 求导得 1 当时，,是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 2 当时， ⅰ.当时，在恒成立，故是上的严格增函数. 所以，所以方程（*）无解； ⅱ. 当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增 又，，当时， 所以方程（*）在无解，在有唯一解 满足题意的的取值范围.................................13分 因为是的唯一解，所以 又 令， 则，所以是上的严格减函数 所以，即.............16分 又当时，，所以 又在上有唯一的零点，则............18分 综上，，此时. 学科网（北京）股份有限公司 $$