第2讲 抛体运动-【创新教程】2026年高考物理总复习大一轮讲义（人教版2019）

[典例３]　如图所示,半圆柱 体上有一根能沿竖直方向 运动的竖直杆,竖直杆在外 力作用下以速度v 向下匀 速运动,当杆、半圆柱体接 触点和柱心的连线与竖直 方向的夹角为θ时,半圆柱体的速度大小为 (　　) A．vtanθ B． v sinθ C．vtanθ D．vsinθ [解析]　A　[竖直杆相对 于半圆柱体的速度方向沿 切线向下,将竖直杆的速度 进行分解,如图所示,由图 可知tanθ＝vv１ ,可得v１＝ v tanθ ,可知半圆柱体的速度大小为 v tanθ ,故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２讲　抛体运动 　　　　　　学生用书　P６３ [知识点一]　平抛运动 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义 将物体以一定的初速度沿水平方向抛出,物体只在 重力作用下所做的运动． ２．性质 加速度为重力加速度的匀变速曲线运动,轨迹是抛 物线． ３．条件:v０≠０,沿水平方向;只受重力作用． [知识点二]　平抛运动的基本规律 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．研究方法 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和 竖直方向的自由落体运动． ２．基本规律 (１)位移关系 (２)速度关系 [知识点三]　斜抛运动 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:将物体以初速度v０ 斜向上方或斜向下方抛 出,物体只在重力作用下的运动． ２．性质:斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动, 运动轨迹是抛物线． ３．研究方法:运动的合成与分解 (１)水平方向:匀速直线运动; (２)竖直方向:匀变速直线运动． ４．基本规律(以斜上抛运动为例,如图所示) (１)水平方向:v０x＝v０cosθ,F合x＝０; (２)竖直方向:v０y＝v０sinθ,F合y＝mg． １．(人教版必修第二册 P１３􀅰T１ 改编)某同 学用 如 图 所 示 的 装 置研究平抛运动．在 实验中,小球每次都 从斜 面 上 的 同 一 高 度下落,而放有复写 纸和白纸的木板离水平桌面的高度依次调为h、 ２h、３h,根据小球撞击木板时在白纸上留下的点迹, 可得小球平抛时的水平位移分别为x１、x２、x３,已 知平抛运动在竖直方向的运动规律与自由落体运 动相同,则 (　　) A．若x１∶x２∶x３＝１∶２∶３,则能说明小球在水平 方向做匀速直线运动 B．若x１∶x２∶x３＝１∶ ２∶ ３,则能说明小球在水 平方向做匀速直线运动 C．若x１∶x２∶x３＝１∶４∶９,则能说明小球在水平 方向做匀速直线运动 D．若x３－x２＝x２－x１,则能说明小球在水平方向 做匀速直线运动 解析:B　[已知平抛运动在竖直方向的运动规律与 自由落体运动相同,根据自由落体运动规律有h＝ １ ２gt ２,得t＝ ２hg ,则下降高度分别为h、２h、３h时, 所用的时间之比为１∶ ２∶ ３,则当水平位移之比 为１∶ ２∶ ３时,说明小球在水平方向上做匀速直 线运动,选项B正确．] ２．(人教版必修第二册P１７􀅰例题２改编)无人机在距 离水平地面高度h处,以速度v０ 水平匀速飞行并 释放一包裹,不计空气阻力,重力加速度为g． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９􀅰 高考总复习　物理 (１)求包裹释放点到落地点的水平距离x; (２)求包裹落地时的速度大小v; (３)以释放点为坐标原点,初速度方向为x轴正方 向,竖直向下为y轴正方向,建立平面直角坐标系, 写出该包裹运动的轨迹方程． 解析:(１)包裹脱离无人机后做平抛运动,在竖直方 向做自由落体运动,则有 h＝１２gt ２,解得t＝ ２hg , 水平方向上做匀速直线运动,所以水平距离 x＝v０t＝v０ ２h g ． (２)包裹落地时,竖直方向速度vy＝gt＝ ２gh, 落地时速度v＝ v２０＋v２y＝ v ２ ０＋２gh, (３)包裹做平抛运动,分解位移,水平方向上有x＝ v０t′,竖直方向上有y＝ １ ２gt′ ２, 联立上式解得包裹的轨迹方程为y＝ g２v２０ x２． 答案:(１)v０ ２h g 　 (２)v２０＋２gh　(３)y＝ g２v２０ x２ ３．(人教版必修第二册 P２０􀅰 T７ 改编)如图所示,跳台滑 雪运动员经过一段加速滑行 后从 O 点 水 平 飞 出,经 过 ３．０s落到斜坡上的 A 点．已知 O 点是斜坡的起 点,斜坡与水平面的夹角θ＝３７°,运动员的质量m ＝５０kg．不计空气阻力(sin３７°＝０．６０,cos３７°＝ ０．８０,g取１０m/s２)．求: (１)A 点与O 点的距离L; (２)运动员离开O 点时的速度大小． 解析:(１)运动员在竖直方向做自由落体运动,有 y＝Lsin３７°＝１２gt ２． 得A 点与O 点的距离L＝ gt ２ ２sin３７°＝７５m． (２)设运动员离开O 点时的速度大小为v０,运动员 在水平 方 向 做 匀 速 直 线 运 动,即x＝Lcos３７°＝ v０t,解得v０＝ Lcos３７° t ＝２０m /s． 答案:(１)７５m　(２)２０m/s 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　学生用书　P６５ 考点一　平抛运动规律的基本应用 １．飞行时间:由t＝ ２hg 知,时间取决于下落高度h,与 初速度v０ 无关． ２．水平射程:x＝v０t＝v０ ２h g ,即水平射程由初速度 v０ 和下落高度h共同决定,与其他因素无关． ３．落地速度:v＝ v２x＋v２y＝ v ２ ０＋２gh,以θ表示落地 速度与x 轴正方向的夹角,有tanθ＝ vy vx ＝ ２ghv０ ,所 以落地速度只与初速度v０ 和下落高度h有关． ４．速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量 Δv＝gΔt相同,方向恒为竖直向下,如图所示． [典例１]　(２０２４􀅰海南高考真题)在跨越河流表演 中,一人骑车以２５m/s的速度水平冲出平台,恰好 跨河流落在河对岸平台上,已知河流宽度２５m,不 计空气阻力,取g＝１０m/s２,则两平台的高度差 h为 (　　) A．０􀆰５m　　B．５m　　C．１０m　　D．２０m [解析]　B　[车做平抛运动,设运动时间为t,竖直 方向h＝１２gt ２,水平方向d＝v０t, 其中d＝２５m、v０＝２５m/s,解得h＝５m,故选B．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　(本题源于人教版必修第二册P１９􀅰 T４)在水平路面上骑摩托车的人,遇到一个壕 沟,其尺寸如图所示．摩托车后轮离开地面后失 去动力,可以视为平抛运动．摩托车后轮落到壕 沟对面才算安全．摩托车的速度至少要多大才能 越过这个壕沟? g取１０m/s２． 答案:５ １０m/s 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　抛体运动　圆周运动 [典例２]　(２０２４􀅰湖北高考真 题)如图所示,有五片荷叶伸出 荷塘水面,一只青蛙要从高处 荷叶跳到低处荷叶上．设低处 荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度 相同,c、d 高度相同,a、b分别在c、d 正上方．将青 蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳 跃,则它应跳到 (　　) A．荷叶a　　　　　　B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d [解析]　C　[青蛙做平抛运动,水平方向匀速直线 运动,竖直方向自由落体运动,则有x＝vt,h＝１２ gt２,可得v＝x g２h ,因此水平位移越小,竖直高度 越大,初速度越小,因此青蛙跳到荷叶c上面时,初 速度最小．] [典例３]　(２０２４􀅰北京 高考真题)如图所示, 水平放置的排水管满 口排水,管口的横截面 积为S,管口离水池水面的高度为h,水在水池中的 落点与管口的水平距离为d．假定水在空中做平抛 运动,已知重力加速度为g,h远大于管口内径．求: (１)水从管口到水面的运动时间t; (２)水从管口排出时的速度大小v０; (３)管口单位时间内流出水的体积Q． [解析]　(１)水在空中做平抛运动,由平抛运动规 律得,竖直方向h＝１２gt ２, 解得水从管口到水面的运动时间t＝ ２hg ． (２)由平抛运动规律得,水平方向d＝v０t, 解得水从管口排出时的速度大小v０＝d g２h． (３)管 口 单 位 时 间 内 流 出 水 的 体 积 Q＝Sv０ ＝ Sd g２h． [答案]　(１)２hg 　 (２)d g２h　 (３)Sd g２h 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　(本题源于人教版必修第二册P２０􀅰 B组􀅰T２)环保人员在一次检查时发现,有一根 排污管正在向外满口排出大量污水．这根管道水 平设置,管口离地面有一定的高度,如图所示．现 在,环保人员只有一把卷尺,请问需要测出哪些 数据就可大致估测该管道的排污量? 写出测量 每秒排污体积的表达式． 答案:需要测量的物理量:竖直高度h．水平位移 x,出水口的直径d． 每秒排污体积的表达式为Q＝１４πd ２x g２h 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　化曲为直思想求解(类)平抛运动 (１)求解(类)平抛运动的基本思想是将平抛运动 分解为两个直线运动,即水平方向上的匀速 直线运动和竖直方向上的自由落体运动．此 类问题一般画出合位移与两个分位移、合速 度与两个分速度的矢量分解图,依据三角形 知识即可求解． (２)在解题过程中要注意:两个分运动具有等时 性、独立性,即时间相等、独立进行互不影响． 分运动的时间就是合运动的时间,两个分运 动与合运动遵循平行四边形定则． 如图所示,两玩具枪的枪口水平正对,A、B两小球 以相同大小的速度同时被水平射出,经过时间t在 空中相遇．若调节两玩具枪使两球射出枪口的速度 都减为原来的一半,则两球从射出到相遇经过的时 间为 (　　) A．t　　B．t２　　C．２t　　D． ２ ２t 解析:C　[根据题意可知,A、B两小球在水平方向 上始终做匀速直线运动,则有x＝(vA＋vB)t,若调 节两玩具枪使两球射出枪口的速度都减为原来的 一半,则时间变为２t．故选C．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２９􀅰 高考总复习　物理 考点二　斜抛运动 １．斜抛运动的条件及性质 条 件 ①只受重力． ②初速度方向斜向上或斜向下． 性 质 匀变速曲线运动． ２．抛体运动的规律 共 同 点 物体均只受重力作用,加速度均为重力加速 度g,且保持不变． 不 同 点 竖直方向上的抛体运动为匀变速直线运动, 平抛、斜抛为匀变速曲线运动． 研 究 方 法 对平抛、斜抛运动,通过分解将其转化为直 线运动,根据分运动遵循的规律列方程,要 注意区分合运动与分运动． [典例４]　(２０２４􀅰江苏高 考真题)喷泉a、b 形成 如图所示的形状,不计 空气阻力,则喷泉a、b的 (　　) A．加速度相同　　　　　B．初速度相同 C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同 [解析]　A　[不计空气阻力,在喷泉喷出的水在 空中只受重力,加速度均为重力加速度,故 A 正 确;设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy,水平 方向速度为vx,竖直方向,根据对称性可知在空中 运动的时间t＝２ ２hg ,可知tb＞ta,va≠vb,D错误; BC．最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝ x t , 由于水平方向的位移大小关系未知,无法判断最高 点的速度大小关系,根据速度的合成可知无法判断 初速度的大小,BC错误．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　本题情景取材于人教版必修第二册 P１８图５．４－６,喷出的水做斜抛运动． [典例５]　(２０２３􀅰湖南卷,２)如图(a),我国某些农村 地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种．某次抛出的 谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示,其轨迹在同 一竖直平面内,抛出点均为O,且轨迹交于P点,抛出 时谷粒１和谷粒２的初速度分别为v１ 和v２,其中v１ 方向水平,v２ 方向斜向上．忽略空气阻力,关于两谷 粒在空中的运动,下列说法正确的是 (　　) A．谷粒１的加速度小于谷粒２的加速度 B．谷粒２在最高点的速度小于v１ C．两谷粒从O 到P 的运动时间相等 D．两谷粒从O 到P 的平均速度相等 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[审题指导]　(１)本题中两谷粒水平位移相同,可 根据运动时间比较水平分速度． (２)谷粒２在最高点的速度就是水平速度,从最高 点到P 点竖直分运动是自由落体运动,下落高度 更大,与谷粒１比较可看出t１＜t２． [解析]　B　[A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力 作用,加速度均为重力加速度,故谷粒１的加速度 等于谷粒２的加速度,A 错误;C．谷粒２做斜向上 抛运动,谷粒１做平抛运动,均从 O 点运动到P 点,故位移相同．在竖直方向上谷粒２做竖直上抛 运动,谷粒１做自由落体运动,竖直方向上位移相 同,故谷粒２运动时间较长,C错误;B．谷粒２做斜 抛运动,水平方向上为匀速直线运动,故运动到最 高点的速度即为水平方向上的分速度．与谷粒１比 较水平位移相同,但运动时间较长,故谷粒２水平 方向上的速度较小即最高点的速度小于v１,B 正 确;D．两谷粒从O 点运动到P 点的位移相同,运动 时间不同,故平均速度不相等,谷粒１的平均速度 大于谷粒２的平均速度,D错误．故选B．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　抛体运动　圆周运动 [典例６]　(多选)(２０２４􀅰山 东高考真题)如图所示,工 程队向峡谷对岸平台抛射 重物,初速度v０ 大小为２０ m/s,与水平方向的夹角为３０°,抛出点P 和落点Q 的连线与水平方向夹角为３０°,重力加速度大小取 １０m/s２,忽略空气阻力．重物在此运动过程中,下 列说法正确的是 (　　) A．运动时间为２ ３s B．落地速度与水平方向夹角为６０° C．重物离PQ 连线的最远距离为１０m D．轨迹最高点与落点的高度差为４５m 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　(１)重物从P 点做斜上抛运动至最高 点,结合速度的合成与分解和运动学公式求解此过 程的时间． (２)重物从最高点做平抛运动至Q 点,将初速度和 重力加速度分解,重物的运动分解为两个匀变速直 线运动,再结合运动学公式求解距离及速度关系． [解析]　BD　[AC．将初速度分解为沿PQ 方向分 速度v１ 和垂直PQ 分速度v２,则有v１＝v０cos６０° ＝１０m/s,v２＝v０sin６０°＝１０ ３m/s, 将重力加速度分解为沿PQ 方向分加速度a１ 和垂 直PQ 分加速度a２,则有a１＝gsin３０°＝５m/s２, a２＝gcos３０°＝５ ３m/s２, 垂直PQ 方向,根据对称性可得重物运动时间为 t＝２× v２ a２ ＝４s, 重物离PQ 连线的最远距离为 dmax＝ v２２ ２a２ ＝１０ ３m,故 AC错误; B．重物落地时竖直分速度大小为 vy＝－v０sin３０°＋gt＝３０m/s, 则落地速度与水平方向夹角正切值为tanθ＝ vy vx ＝ vy v０cos３０° ＝ ３,可得θ＝６０°,故B正确; D．从抛出到最高点所用时间为 t１＝ v０sin３０° g ＝１s , 则从最高点到落地所用时间为t２＝t－t１＝３s, 轨迹最高点与落点的高度差为h＝１２gt ２ ２＝４５m, 故 D正确．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　斜抛运动的对称性 (１)时间对称:相对于轨迹最高点,两侧对称的上升 时间等于下降时间． (２)速度对称:相对于轨迹最高点,两侧对称的两点 速度大小相等． (３)轨迹对称:斜抛运动的轨迹相对于过最高点的 竖直线对称． 　(多选)以相同的初速率,不同 的抛射角同时抛出三个小球, A、B、C 三球在空中的运动轨 迹如图所示,下列几句话中正 确的是(不计空气阻力) (　　) A．A、B、C三球在运动过程中,加速度都相同 B．B球的射程最远,所以最迟落地 C．A球的射高最大,所以最迟落地 D．A、C两球的射程相等,两球的抛射角互为余角, 即θA＋θC＝ π ２ 解析:ACD　[A、B、C 三球在运动过程中,只受到 重力作用,故具有相同的加速度g,A 项正确．斜抛 运动可以分成上升和下落两个过程,下落过程就是 平抛运动,根据平抛物体在空中运动的时间只取决于 抛出点的高度可知,A球从抛物线顶点落至地面所需 的时间最长,再由对称性可知,斜抛物体上升和下落所 需的时间是相等的,所以A球最迟落地,故B项错误, C项正确．已知A、C两球的射程相等,根据射程公式x ＝ v２０sin２θ g 可知sin２θA＝sin２θC,在θA≠θC 的情况下, 必有θA＋θC＝ π ２ 才能使等式成立,故 D项正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９􀅰 高考总复习　物理 考点三　抛体运动中的临界、极值问题 　在平抛运动中,由于时间由高度决定,水平位移由 高度和初速度决定,因而在越过障碍物时,有可能 会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态,还会出 现运动位移的极值等情况． １．临界点的确定 (１)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表 明题述的过程中存在着临界点． (２)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等 词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些 “起止点”往往就是临界点． (３)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼, 表明题述的过程中存在着极值点,这些极值点也 往往是临界点． ２．求解平抛运动临界问题的一般思路 (１)找出临界状态对应的临界条件． (２)分解速度或位移． (３)若有必要,画出临界轨迹． [典例７]　(２０２３􀅰新课标卷,２４)将扁平的石子向水 面快速抛出,石子可能会在水面上一跳一跳地飞向 远方,俗称“打水漂”．要使石子从水面跳起产生“水 漂”效果,石子接触水面时的速度方向与水面的夹 角不能大于θ．为了观察到“水漂”,一同学将一石子 从距水面高度为h处水平抛出,抛出速度的最小值 为多少? (不计石子在空中飞行时的空气阻力,重 力加速度大小为g) [解析]　石子做平抛运动,落到水面时竖直方向的 速度为vy,由v ２ y＝２gh,得vy＝ ２gh 又由题意可知,速度夹角为θ,有 vy v０ ≤tanθ,则初速 度v０≥ ２gh tanθ ,即抛出时的最小速度为 ２gh tanθ． [答案]　抛出时的最小速度为 ２ghtanθ [典例８]　(２０２５􀅰安徽芜湖 阶段练习)如图所示,P 处 能持续水平向右发射初速 度不同的小球．高度为 L 的挡板AB 竖直放置,离O 点的水平距离为４L．挡 板上端A 与P 点的高度差为Lx,可通过改变发球 点P 的竖直位置调整A、P 两点的竖直高度差Lx, 重力加速度为g． (１)当Lx＝L时,调节初速度使小球能够击中挡板 AB,求发射小球的初速度取值范围; (２)当竖直高度Lx 调整为多大时,小球击中A 点 时的速度取得最小值? 并求出该最小值的大小． [解析]　(１)设小球平抛初速度为v１ 恰好打在探 测屏A 点,则有:４L＝v１t１,L＝ １ ２gt ２ １, 解得:v１＝２ ２gL, 设小球平抛初速度为v２ 恰好打在探测屏B 点,则 有:４L＝v２t２,２L＝ １ ２gt ２ ２, 解得:v２＝２ gL, 综上可知:使小球能够击中挡板AB 的初速度应满 足２ gL≤v０≤２ ２gL． (２)从P 点到A 点满足Lx＝ １ ２gt ２,４L＝v０At 解得:v０A＝４L g２Lx ,vy＝gt＝ ２gLx 故知:vA＝ v２OA＋v２y＝ １６L２g ２Lx ＋２gLx 由数学知识可得当１６L ２g ２Lx ＝２gLx 时,即Lx＝２L 时 vA 有最小值 可知击中A 点最小速度vmin＝２ ２gL． [答案]　(１)２ gL≤v０≤２ ２gL;(２)２L,２ ２gL 　(多选)(２０２５􀅰湖北名师联盟月考)飞镖运动于１５ 世纪兴起于英格兰,２０世纪初,成为人们日常休闲 的必备活动．一般投飞镖的靶上共标有１０环,第１０ 环的半径最小．现有一靶的第１０环的半径为１cm, 第９环的半径为２cm,􀆺􀆺以此类推,若靶的半径 为１０cm,在进行飞镖训练时,若人离靶的距离为５m, 将飞镖对准第１０环中心以水平速度v投出,g 取 １０m/s２．则下列说法中正确的是(　　) A．当v≥５０m/s时,飞镖将射中第８环的线内 B．当v＝５０m/s时,飞镖将射中第６环线 C．若要击中第１０环的线内,飞镖的速度v至少为 ５０ ２m/s D．若要击中靶子,飞镖的速度v至少为２５ ２m/s 解析:BD　[当v＝５０m/s时,运动的时间t＝xv ＝ ０􀆰１s,则 飞 镖 在 竖 直 方 向 上 的 位 移y＝１２gt ２＝ ０􀆰０５m＝５cm,将射中第６环线,当v≥５０m/s时, 飞镖将射中第６环线以内,A 错误,B正确;若要击 中第１０环的线内,飞镖下降的最大高度为０􀆰０１m,根 据h＝１２gt ２ 得t１ ＝ ５ ５０s ,则 飞 镖 的 最 小 初 速 度 vm１＝ x t１ ＝５０ ５m/s,C错误;若要击中靶子,飞镖 下降的高度不能超过０􀆰１m,根据h＝１２gt ２,得t２＝ ２ １０s ,则 飞 镖 的 最 小 速 度vm２＝ x t２ ＝２５ ２ m/s,D 正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　抛体运动　圆周运动 　　　　　　学生用书　P６７ 有约束条件的抛体运动 常见模型及分析方法 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度,构建速度的 矢量三角形 水平vx＝v０ 竖直vy＝gt 合速度v＝ v２x＋v２y 由tanθ＝ v０ vy ＝ v０ gt 得 t＝ v０ gtanθ 分解位移,构建位移的 矢量三角形 水平x＝v０t 竖直y＝１２gt ２ 合位移x合 ＝ x２＋y２ 由tanθ＝yx＝ gt ２v０ 得 t＝ ２v０tanθ g 在运动起点 同 时 分 解 v０、g 由０＝v１－a１t,０－v２１＝－２a１d得t＝ v０tanθ g , d＝ v２０sinθtanθ ２g 分 解 平 行 于 斜 面 的 速度v 由vy＝gt得t＝ v０tanθ g [典例１]　(多选)(２０２５􀅰烟台模拟)如图所示,固定 斜面PO、QO 与水平面MN 的夹角均为４５°,现由 PO 斜面上的A 点分别以v１、v２ 先后沿水平方向抛 出两个小球(可视为质点),不计空气阻力,其中以 v１ 抛出的小球恰能垂直于QO 落于C 点,飞行时间 为t,以v２ 抛出的小球落在PO 斜面上的B 点,且 B、C在同一水平面上,则 (　　) A．落于B 点的小球飞行时间为t B．v２＝gt C．落于C点的小球的水平位移为gt２ D．A 点距水平面MN 的高度为３４gt ２ [解析]　ACD　[落 于 C 点 的 小 球 速 度 垂 直 于 QO,则两分速度相等,即v１＝gt,得出水平位移x ＝v１t＝gt２,故选项 C正确;落于B 点的小球分解 位移 如 图 所 示,其 中,B、C 在同一水平面,故飞行时间 都为t,由图可得tan４５°＝ １ ２gt ２ v２t ＝gt２v２ ,所以v２＝g t ２ , 故选项 A 正确,B错误;设C 点距水平面MN 的高 度为h,由几何关系知x＝２h＋v２t,联立以上几式 可得h＝１４gt ２,故A 距水平面高度 H＝h＋１２gt ２＝ ３ ４gt ２,故选项 D正确．] [典例２]　(２０２５􀅰大连模拟) 如图所示为一半球形的坑, 其中坑边缘两点 M、N 与圆 心等高且在同一竖直面内． 现甲、乙两位同学分别站在 M、N 两点,同时将两 个小球以v１、v２ 的速度沿图示方向水平踢出,发现 两球刚好落在坑中同一点Q,已知∠MOQ＝６０°,忽 略空气阻力．则下列说法正确的是 (　　) A．两球踢出的速率之比为１∶４ B．若仅增大v１,则两球将在落入坑中之前相撞 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９􀅰 高考总复习　物理 C．两球的初速度无论怎样变化,只要落在坑中的同 一点,两球踢出的速率之和不变 D．若仅从M 点水平踢出小球,改变小球踢出的速 度,小球可能垂直坑壁落入坑中 [解析]　B　[由几何关系得,M、N 的水平位移分 别为R ２ 、３ ２R ,运动时间相等,由平抛运动规律得xM ＝v１t,xN＝v２t,可得v１∶v２＝１∶３,A 错误;若只 增大v１,M 运动轨迹将向右一些,两球在空中相 遇,B正确;只要两球落在坑中同一点,水平位移之 和为２R,则(v１＋v２)t＝２R,落点不同,竖直位移不 同,t不同,v１＋v２ 不是定值,C错误;如果能垂直落 入坑中,速度反向延长线过圆心,而平抛运动速度 反向延长线必过水平位移的中点,可知水平位移为 ２R 即应打在N 点,但由平抛知识,不可能打在 N 点,故不可能垂直落入坑中,D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３讲　圆周运动 　　　　　　学生用书　P６８ [知识点一]　匀速圆周运动及其描述 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．匀速圆周运动 (１)定义:做圆周运动的物体,若在相等的时间内通过 的圆弧长相等,就是做匀速圆周运动． (２)特点:加速度大小不变,方向始终指向圆心,是变 加速运动． (３)条件:合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直 且指向圆心． ２．描述圆周运动的物理量 物理量 意义、方向 公式、单位 线速度 (v) ①描述圆周运动的 物体运动快慢的物 理量 ②是矢量,方向和 半径垂直,和圆周 相切 ①v＝ΔsΔt＝ ２πr T ②单位:m/s 角速度 (ω) ①描述物体绕圆心 转动快慢的物理量 ② 中 学 不 研 究 其 方向 ①ω＝ΔθΔt＝ ２π T ②单位:rad/s 周期(T) 和转速(n) 或频率(f) ①周期是物体沿圆 周运动一周的时间 ②转速是物体单位 时间转过的圈数; 频率是单位时间内 运动重复的次数 ①T＝２πrv 单位:s ②n的单位:r/s、 r/min,f 的 单 位:Hz 向心 加速 度(a) ①描述速度变化快 慢的物理量 ②方向指向圆心 ①a＝v ２ r＝rω ２ ②单位:m/s２ [知识点二]　匀速圆周运动的向心力 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．作用效果 向心力产生向心加速度,只改变速度的方向,不改 变速度的大小． ２．大小 F＝mv ２ r＝mω ２r＝m４π ２ T２ r＝mωv＝４π２mf２r． ３．方向 始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力 是一个变力． ４．来源 向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的合力 提供,还可以由一个力的分力提供． [知识点三]　离心现象 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．现象 做圆周运动的物体,在所受合外力突然消失或不足 以提供圆周运动所需向心力的情况下,就做逐渐远 离圆心的运动． ２．受力特点及轨迹 ①当Fn＝mω２r时,物体做匀速圆周运动． ②当Fn＝０时,物体沿切线方向飞出． ③当Fn＜mω２r时,物体逐渐远离圆心,做离心运动． ④当Fn＞mω２r时,物体逐渐靠近圆心,做近心运动． １．(人教版必修第二册 P２６􀅰T２ 改编)把某一机械手 表的分针与时针上的点看成是匀速圆周运动,且分 针长度是时针长度的１．５倍,则 (　　) A．分针与时针的周期之比为１∶６０ B．分针与时针的角速度之比为１２∶１ C．分针与时针末端的线速度之比为８∶１ D．分针与时针的频率之比为１∶１２ 解析:B　[分针的周期为T分 ＝１h,时针的周期为 T时 ＝１２h,则分针与时针的周期之比为 T分 ∶T时 ＝１∶１２,由ω＝２πT 可知,分针与时针的角速度之比 为ω分 ∶ω时 ＝１２∶１,由f＝１T 可知,分针与时针的 频率之比为f分 ∶f时 ＝１２∶１,A、D 错误,B正确; 由v＝ωr得,分针与时针末端的线速度之比为v分 ∶v时 ＝ω分r分 ∶ω时r时 ＝１８∶１,C错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　抛体运动　圆周运动