测试卷(25) 期末测试 B卷-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(二十五)　期末测试　B卷 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足(1－i)z＝2＋2i，则|z|＝(　　) A.2 B.3 C. D. 2.在△ABC中，已知D是边AB上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　) A. B. C. D. 3.(2024·山东烟台高一期末)已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是(　　) A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β 4.钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　) A.5 B. C.2 D.1 5.(2024·天津河东高一期末)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则甲获胜的概率为(　　) A. B. C. D. 6.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 7.(2024·福建福州高一期末)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(　　) A.平均数为3，中位数为2 B.平均数为3，方差为2 C.中位数为3，众数为2 D.中位数为3，方差为1.6 8.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为(　　) A.2∶3 B.3∶2 C.1∶2 D.3∶4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(2024·江苏镇江高一期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有(　　) A.A∶B∶C＝a∶b∶c B.sin(A＋B)＝sin C C.＝ D.若A>B，则sin A>sin B 10.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20 000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，样本容量为n.按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间[50，60)内的人数为16.则下列结论正确的是(　　) A.样本容量n＝1 000 B.图中x＝0.030 C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分 D.该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号 11.如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论正确的是(　　) A.AC⊥平面BEF B.AE，BF始终在同一个平面内 C.EF∥平面ABCD D.三棱锥ABEF的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知＝，＝，若⊥，则实数m的值为________. 13.如图，为测量出高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________ m. 14.已知正三棱锥PABC，AB＝2，PA＝2，则此三棱锥外接球的半径为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. y的分组 [－0.20，0) [0，0.20) [0.20，0.40) [0.40，0.60) [0.60，0.80) 企业数 2 24 53 14 7 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附：≈8.602. 16.(15分)(2024·北京房山高一月考)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，M是DD1的中点. (1)求证：BD1∥平面AMC； (2)证明：AC⊥BD1； (3)求点D到平面MAC的距离. 17.(15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求角C； (2)若c＝，S△ABC＝，求△ABC的周长. 18.(17分)某科研团队发现了一种新型单细胞生物，在长时间观测后，科研团队发现每个活细胞在每一分钟内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件：①死亡；②保持原状；③分裂成两个活细胞；④分裂成三个活细胞.若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞，试计算理论上在无限长时间后该系统中仍有活细胞存活的概率. 19.(17分)如图①，是由正三角形ABE和正方形BCDE组成的平面图形，其中AB＝2；将其沿BE折起，使得AC＝2，如图②所示. (1)证明：图②中平面ABE⊥平面BCDE； (2)在线段AB上取一点P，使＝t，当三棱锥PACE的体积为时，求t的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(二十五)　期末测试　B卷 一、 1.A　2.B　3.D　4.B　5.C　6.D　7.B　8.A 二、 9.BCD　10.BC　11.ACD 三、 12.5　13.150　14. 四、 15.解析　(1)由题意可知，随机调查的100个企业中增长率超过40%的企业有14＋7＝21个， 产值负增长的企业有2个， 所以增长率超过40%的企业比例为，产值负增长的企业比例为＝. (2)由题意可知，平均值y＝ ＝0.3， 标准差的平方： s2＝[2×(－0.1－0.3)2＋24×(0.1－0.3)2＋53×＋14×＋7×(0.7－0.3)2]＝[0.32＋0.96＋0.56＋1.12]＝0.029 6，所以标准差s＝＝≈0.02×8.602≈0.17. 16.解析　(1)证明　设AC∩BD＝O，连接OM， ∵在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形， ∴O为BD中点，又M为DD1中点， ∴OM∥BD1， 又OM⊂平面AMC，BD1⊄平面AMC， ∴BD1∥平面AMC； (2)证明　在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC， 又在正方形ABCD中，BD⊥AC， 且DD1∩BD＝D，DD1⊂平面BDD1，BD⊂平面BDD1， ∴AC⊥平面BDD1，又BD1⊂平面BDD1， ∴AC⊥BD1； (3)令点D到平面MAC的距离为h， ∴VD­AMC＝VM­ADC， 即S△AMC·h＝S△ADC·DM， ∵AB＝1，AA1＝2，M是DD1的中点， ∴AM＝MC＝，AC＝， 即S△AMC＝×()2＝， ∴h＝×1×1×1，解得h＝， 即点D到平面MAC的距离为. 17.解析　(1)由已知可得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， ∴2cos Csin (A＋B)＝sin C⇒cos C＝⇒C＝， (2)S△ABC＝absin C⇒＝ab·⇒ab＝6，又a2＋b2－2abcos C＝c2 ∴a2＋b2＝13，∴(a＋b)2＝25⇒a＋b＝5， ∴△ABC的周长为5＋. 18.解析　设一个细胞时它存活的概率为x，则x是与当前时间无关的，一分钟后及“无限长时间后仍有存活的细胞的概率”还是x，变成两个细胞后有存活的概率会变成1－(1－x)2，类推可得方程x＝0×＋x×＋[1－(1－x)2]×＋[1－(1－x)3]×，整理得x2－4x＋2＝0，解得x＝2－或x＝2＋(舍去)，所以两个细胞无限时间后还有细胞存活的概率为P＝1－(1－x)2＝2－2. 19. 解析　(1)证明　取BE的中点O，连接AO，OC， 因为△ABE为正三角形且AB＝2，所以AO⊥BE，且AO＝， 因为BCDE为正方形， 所以BO＝1，BC＝2，OC＝， 因为AC＝2，则AO2＋OC2＝AC2， 所以AO⊥OC， 又BE∩OC＝O，且BE，OC⊂平面BCDE， 所以AO⊥平面BCDE. 因为AO⊂平面ABE， 所以平面ABE⊥平面BCDE. (2)在AB上取点P，连接PC，PE，EC， 由(1)知平面ABE⊥平面BCDE. 则C到平面PAE的距离d＝＝2. 因为＝t，所以S△APE＝tS△ABE， 因为△ABE为正三角形，且AB＝2， 所以S△ABE＝×2×2×sin 60°＝， 所以S△APE＝tS△ABE＝t， 又因为三棱锥P­AEC的体积VP­AEC＝d·S△APE＝，所以t＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$