测试卷(24) 期末测试 A卷-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(二十四)　期末测试　A卷 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知i是虚数单位，复数z＝，则z的虚部为(　　) A.－i B.1 C.i D.－1 2.已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则a＋b等于(　　) A. B. C. D. 3.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，译出的概率分别，，，则此密码能被译出的概率是(　　) A. B. C. D. 4.(2024·吉林长春高一期中)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是(　　) A.若m∥n，n⊂α，则m∥α B.若m⊂α，n⊂β，且α⊥β，则m⊥n C.若m∥β，α∥β，则m∥α D.若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n 5.(2024·湖北武汉高一期中)已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC＝2AD＝2，E为BC的中点，则＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.－＋ 6.(2024·广东清远高一期中)如图，正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A.9 B. C.28 D. 7.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是(　　) A. B. C. D. 8.海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60° ，航行4海里到达B处，望见小岛C在北偏东30°，若此小船不改变航行的方向继续前行2海里，则小船离小岛C的距离为(　　) A.12海里 B.2 海里 C.16海里 D.4 海里 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.甲同学的体温的极差为0.5 ℃ B.甲同学的体温的众数为36.3 C.乙同学的体温的中位数与平均数不相等 D.乙同学的体温比甲同学的体温稳定 10.从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则(　　) A.“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 B.“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立 C.第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是 D.在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是 11.(2024·辽宁朝阳高一期末)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为BA1的中点，下列判断正确的是(　　) A.B1C1∥平面A1BC B.直线EC1与直线AD是异面直线 C.在直线A1C1上存在点F，使EF⊥平面A1CD D.直线BA1与平面A1CD所成角是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a＝(1，m)，b＝(2，－1).若⊥b，则实数m＝________. 13.已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A∪B∪C)＝________. 14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝1，b＝，且满足(2a－c)cos B＝bcos C.则B＝________；·＝________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2024·宁夏固原高一期末)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，A＝. (1)若C＝，a＝2，求c； (2)若△ABC的面积为2，c＝2，求a. 16.(15分)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”. (1)写出该试验的基本事件Ω，并求事件A发生的概率； (2)求事件B发生的概率； (3)事件A与事件C至少有一个发生的概率. 17.(15分)随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A－B－C－A为某市的一条健康步道，AB，AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB＝2 km，AC＝4 km，∠BAC＝. (1)求的长度； (2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道A－D－C(B，D在AC两侧)，AD，CD为线段.若∠ADC＝，A到健康步道B－C－D的最短距离为2 km，求D到直线AB距离的取值范围. 18.(17分)某商场举行优惠促销，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种：方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别) 红球个数 3 2 1 0 实际付款 半价 7折 8折 原价 (1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得优惠的概率； (2)若某顾客选择方案二，请分别计算该顾客获得半价优惠的概率，7折优惠的概率以及8折优惠的概率. 19.(17分)如图，在三棱锥PABC中，△PAB是正三角形，D，E分别为AB，AC的中点，∠ABC＝90°.求证： (1)DE∥平面PBC； (2)AB⊥PE. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(二十四)　期末测试　A卷 一、 1.D　2.C　3.C　4.D　5.D　6.B　7.B　8.B 二、 9.ABD　10.ACD　11.AC 三、 12.7　13.0.9　14.　－1 四、 15.解析　(1)如图： 在△ABC中，因为A＝，C＝， 所以B＝，所以△ABC为等腰三角形. 过A作AD⊥BC于D，则D为BC中点. 在Rt△ABD中，B＝，BD＝，AD⊥BC，所以AB＝＝＝2，即c＝2. (2)因为S△ABC＝bcsin A⇒2＝b×2×⇒b＝4. 由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋4－2×4×2×＝28，所以a＝2. 16.解析　(1)所有可能的基本事件为： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种. 其中“两数之和为8”的有，，，，，共5种，故P＝. (2)由(1)得“两数之和是3的倍数”的有，，，，，，，，，，，，共12种， 故概率为＝. (3)由(1) “两个数均为偶数”的有9种，“两数之和为8”的有，，，，，共5种，重复的有 ，，三种，故事件A与事件C至少有一个发生的有9＋5－3＝11种，概率为. 17.解析　(1)在△ABC 中，由余弦定理可得 BC＝＝2， ⇒＝×2×π×1＝π. (2)D 的轨迹为△ADC 外接圆的一部分，设△ADC 外接圆的半径为R，由正弦定理2R＝⇒R＝. 由(1)得AB2＋BC2＝AC2，所以∠ABC为直角， 过D作DE⊥AB于E，设所求距离为d， ①当DE通过圆心O时，d 达到最大，由几何关系得，四边形OCBE为矩形， 所以dmax＝R＋OE＝R＋BC＝2＋＝2＋，此时满足A到健康步道B－C－D的最短距离为2 km. ②当D无限接近C时，此时d→2， 综上：所求D 到直线AB 距离d 的取值范围为. 18.解析　(1)记某顾客获得优惠为事件A，则P(A)＝＝， ∴两个顾客至少一个人获得优惠的概率为 P＝1－P(A)·P(A)＝1－＝. (2)记某顾客获得半价优惠的概率，7折优惠的概率以及8折优惠分别为事件B，C，D， P(B)＝＝， P(C)＝＝， P(D)＝＝. 19.证明　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点， 所以DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC. (2)连接PD(图略)，因为DE∥BC，又∠ABC＝90°，所以DE⊥AB. 又PA＝PB，D为AB的中点，所以PD⊥AB， 又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PDE. 因为PE⊂平面PDE，所以AB⊥PE. 学科网（北京）股份有限公司 $$