10.3 分式的加减（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

10.3 分式的加减 题型一 同分母分式的加减 1．计算的结果是（　　） A．3 B．3a+3 C．2 D． 2．计算的结果是（　　） A．m+1 B．m﹣1 C．m﹣2 D．﹣m﹣2 3．计算的结果是　　． 题型二 异分母分式的加减 1．已知x≠0，等于（　　） A． B． C． D． 2．分式的计算结果是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则A＝　　，B＝　　． 4．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三 利用分式的加减求值 1．若2a﹣2b＝ab，则的值是（　　） A． B．2 C． D．﹣2 2．已知实数x，y，z满足，且，则x+y+z的值为（　　） A．9 B．16 C．20 D． 3．已知5，那么　　． 4．已知，则的值为　　；若添加条件ab＝1，则　　． 题型四 利用分式的加减解决实际问题 1．照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足．已知f，v，则u＝（　　） A． B． C． D． 2．一条笔直的公路依次经过A、B、C三地，甲乙分别同时从A、B地出发到C地，AB＝100米，BC＝200米，设甲速度为a米/分，乙速度为b米/分（3b＞2a），那么（　　） A．甲先到 B．乙先到 C．两人同时到 D．无法确定谁先到 3．一汽艇保持发动机的功率不变，它在相距30千米的两码头之间流动的河水中往返一次（其中汽艇的速度大于河水流动的速度）所用的时间是t1，它在平静的河水中行驶60千米所用的时间是t2，则t1与t2的关系是（　　） A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．t1＝t2 D．以上均有可能 题型五 与分式的加减有关的新定义问题 1．对于正数x，规定f（x），例如f（4），f（），则f（2024）+f（2023）+…+f（2）+f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝　　． 2．定义一种新的运算“*”；对于任意实数x、y，x*y，根据此规则化简（m﹣1）*（m+1）的结果为　　． 3．定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　　． 1．已知实数m、n、p满足，则下列结论：①若m＞0，则n＞p；②若p＝1，则m2﹣m＝1；③若m2﹣p2＝2，则mp＝2；④若np＝1，则m＝1．其中正确的为（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 2．已知：P＝x+1，． （1）当x＞0时，比较P与Q的大小关系，并说明理由； （2）设，若x是整数，求y的整数值． 3．阅读下列材料： 若，试求A、B的值．（其中A、B为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． （1）已知（其中M、N为常数）求M、N的值； （2）若对任意自然数n都成立，则a＝　　，b＝　　． （3）计算：　　． 4．[阅读材料如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x3﹣2x2+x+3＝（﹣x2+1）（x+a）+b， 则﹣x3﹣2x2+x+3＝﹣x3﹣ax2+x+a+b． ∵对任意x上述等式均成立，∴a＝2且a+b＝3，∴a＝2，b＝1． ∴， 这样，分式被拆分成了一个整式x+2与一个分式的和． [方法运用] 求（1）果分式的值为整数，求x的整数值． （2）当﹣1＜x＜1时，求出的最小值． 5．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式A，B，A+B1，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k＝1． （1）若分式A，B，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k； （2）已知分式C，D，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2． ①M＝　　（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于　　； （3）若分式E，F（a，b为整数且c＝a+b），E是F的“关联分式”，且“关联值”k＝5，求c的值． 6．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知x≠0，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，，，求的值． 7．【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（a＞b＞0），则该糖水的甜度为，若再加入m克（m＞0）糖，此时糖水的甜度为　　，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式　　；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若b＞a＞0，m＞0，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v1、v2，水流速度为v0（v1＞v2＞v0＞0），两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为t1、t2，请利用（1）（2）中探究的结论，比较t1、t2的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 分式的加减 题型一 同分母分式的加减 1．计算的结果是（　　） A．3 B．3a+3 C．2 D． 【详解】解：． 故本题选：A． 2．计算的结果是（　　） A．m+1 B．m﹣1 C．m﹣2 D．﹣m﹣2 【详解】解：＝m+1． 故本题选：A． 3．计算的结果是　　． 【详解】解：＝﹣ab． 故本题答案为：﹣ab． 题型二 异分母分式的加减 1．已知x≠0，等于（　　） A． B． C． D． 【详解】解：原式． 故本题选D． 2．分式的计算结果是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：原式． 故本题选：C． 3．已知，则A＝　　，B＝　　． 【详解】解：∵， ∴x﹣3＝（A+B）x+B﹣A， ∴， ∴A＝2，B＝﹣1． 故本题答案为：2，﹣1． 4．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】解：（1） ； （2） ＝2x+3； （3） ； （2） ． 5．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】解：（1） ＝a+b； （2） ； （3） ； （4） ． 题型三 利用分式的加减求值 1．若2a﹣2b＝ab，则的值是（　　） A． B．2 C． D．﹣2 【详解】解：∵2a﹣2b＝ab， ∴a﹣b， ∴． 故本题选：C． 2．已知实数x，y，z满足，且，则x+y+z的值为（　　） A．9 B．16 C．20 D． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 而， ∴， ∴x+y+z＝20． 故本题选：C． 3．已知5，那么　　． 【详解】解：由条件可得：5， ∴x2﹣y2＝﹣5xy， ∴原式． 故本题答案为：． 4．已知，则的值为　　；若添加条件ab＝1，则　　． 【详解】解：∵， ∴3ab＝b﹣a， ∴ ； ∵ab＝1， ∴b﹣a＝3ab＝3， ∴（b﹣a）2＝9， ∴a2﹣2ab+b2＝9， ∴a2+b2＝11， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝11+2＝13， ∴， ∴． 故本题答案为：；． 题型四 利用分式的加减解决实际问题 1．照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足．已知f，v，则u＝（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴u． 故本题选：C． 2．一条笔直的公路依次经过A、B、C三地，甲乙分别同时从A、B地出发到C地，AB＝100米，BC＝200米，设甲速度为a米/分，乙速度为b米/分（3b＞2a），那么（　　） A．甲先到 B．乙先到 C．两人同时到 D．无法确定谁先到 【详解】解：由题意可得：甲从A到C所用时间：分，乙从B到C的时间为：， ， ∵3b＞2a， ∴0， ∴， ∴乙先到． 故本题选：B． 3．一汽艇保持发动机的功率不变，它在相距30千米的两码头之间流动的河水中往返一次（其中汽艇的速度大于河水流动的速度）所用的时间是t1，它在平静的河水中行驶60千米所用的时间是t2，则t1与t2的关系是（　　） A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．t1＝t2 D．以上均有可能 【详解】解：设静水速度为a m/s，水流速度为b m/s， 由题意可得：在静水中所用时间t2，在河水中所用时间t1， ∵t1﹣t20， ∴， ∴t1＞t2． 故本题选：A． 题型五 与分式的加减有关的新定义问题 1．对于正数x，规定f（x），例如f（4），f（），则f（2024）+f（2023）+…+f（2）+f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝　　． 【详解】解：∵f（x），f（）， ∴f（x）+f（）1， ∴原式＝1+1++…+12023． 故本题答案为：2023． 2．定义一种新的运算“*”；对于任意实数x、y，x*y，根据此规则化简（m﹣1）*（m+1）的结果为　　． 【详解】解：∵x*y， ∴（m﹣1）*（m+1）． 故本题答案为：． 3．定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　　． 【详解】解：∵与互为“美妙分式”， ∴， ∵， ∴或， ∴3a2+ab＝3（a2﹣b2）或3a2+ab＝﹣3（a2﹣b2）， ∵a、b均为不等于0的实数， ∴①a＝﹣3b，②ab＝3b2﹣6a2， 把①代入， 把②代入， 综上，分式的值为或． 故本题答案为：或． 1．已知实数m、n、p满足，则下列结论：①若m＞0，则n＞p；②若p＝1，则m2﹣m＝1；③若m2﹣p2＝2，则mp＝2；④若np＝1，则m＝1．其中正确的为（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【详解】解：∵m﹣n+p＝0， ∴n﹣p＝m， ∵m＞0， ∴n﹣p＞0， ∴n＞p，故①的结论正确； ∵m﹣n+p＝0，p＝1， ∴m﹣n＝﹣1， ∴n＝m+1， ∵，p＝1， ∴1， ∴1， ∴m+n＝mn， ∴m+m+1＝m（m+1）， ∴m2﹣m＝1，故②的结论正确； ∵， ∴m+p＝n，， ∴， ∴， ∵m﹣n+p＝0， ∴n＝m+p， ∴， ∴mp＝（m+p）（m﹣p）＝m2﹣p2＝2，故③的结论正确； ∵， ∴， ∵np＝1， ∴n﹣p， ∵m﹣n+p＝0， ∴m＝n﹣p， ∴m， ∴m2＝1， ∴m＝±1，故④的结论不正确； ∴正确的结论为①②③． 故本题选：C． 2．已知：P＝x+1，． （1）当x＞0时，比较P与Q的大小关系，并说明理由； （2）设，若x是整数，求y的整数值． 【详解】解：（1）P＞Q，理由如下： P﹣Q＝x+1， ∵x＞0， ∴， ∴P﹣Q＞0，即P＞Q； （2） ＝﹣1 ∵x和y为整数， ∴x+1＝±1，±2，±4， ①当x+1＝﹣1时，x＝﹣2，y＝﹣5； ②当x+1＝﹣1时，x＝0，y＝3，但此时无意义，故舍去； ③当x+1＝﹣2时，x＝﹣3，y＝﹣3； ④当x+1＝2时，x＝1，y＝1； ⑤当x+1＝﹣4时，x＝﹣5，y＝﹣2； ⑥当x+1＝4时，x＝3，y＝0； 综上，y的整数值为﹣5，﹣3，1，﹣2，0． 3．阅读下列材料： 若，试求A、B的值．（其中A、B为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． （1）已知（其中M、N为常数）求M、N的值； （2）若对任意自然数n都成立，则a＝　　，b＝　　． （3）计算：　　． 【详解】解：（1）， 等式右边通分得：， ∴，解得：； （2）， 等式右边通分得： ， ∴，解得：， 故本题答案为：，； （3）原式 ． 故本题答案为：． 4．[阅读材料如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x3﹣2x2+x+3＝（﹣x2+1）（x+a）+b， 则﹣x3﹣2x2+x+3＝﹣x3﹣ax2+x+a+b． ∵对任意x上述等式均成立，∴a＝2且a+b＝3，∴a＝2，b＝1． ∴， 这样，分式被拆分成了一个整式x+2与一个分式的和． [方法运用] 求（1）果分式的值为整数，求x的整数值． （2）当﹣1＜x＜1时，求出的最小值． 【详解】解：（1）， ∵的值为整数，且x为整数， ∴x﹣1为3的约数， ∴x﹣1的值为1或﹣1或3或﹣3， ∴x的整数值为2，0，4，﹣2； （2）设﹣x4﹣2x2+10＝（﹣x2+1）（x2+a）+b， ∴﹣x4﹣2x2+10＝﹣x4+（1﹣a）x2+a+b， ∵对任意x上述等式均成立， ∴1﹣a＝﹣2，a+b＝10， ∴a＝3，b＝7， ∴， ∵﹣1＜x＜1， ∴当x＝0，取得最小值10， ∴当﹣1＜x＜1时，的最小值是10． 5．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式A，B，A+B1，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k＝1． （1）若分式A，B，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k； （2）已知分式C，D，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2． ①M＝　　（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于　　； （3）若分式E，F（a，b为整数且c＝a+b），E是F的“关联分式”，且“关联值”k＝5，求c的值． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵分式，， ∴， ∴A与B是互为“关联分式”，“关联值”k为2； （2）①∵分式C，D，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2， ∴， ， ， 2x2+5x+M﹣3＝2x2﹣18， ∴M＝2x2﹣18﹣2x2﹣5x+3＝﹣5x﹣15， 故本题答案为：﹣5x﹣15； ②， ∵分式D的值为正整数， ∴x﹣3是﹣5的约数，即x﹣3＝﹣1或﹣5， ∴x＝2或﹣2， ∵x为正整数， ∴x＝2， 故本题答案为：2； （3）∵E是F的“关联分式”， ∴， ， ， （5+c﹣a﹣b）x+ab﹣5c＝5x﹣20， ∵c＝a+b， ∴5x+ab﹣5（a+b）＝5x﹣20， ∴ab﹣5（a+b）＝﹣20， ab﹣5a＝5b﹣20， a（b﹣5）＝5b﹣20， ， ∵a，b为整数， ∴b﹣5一定是5的约数， ∴b﹣5＝﹣1或﹣5或1或5， ∴b＝4或0或6或10， ∴a＝0或4或10或6， ∴c＝a+b＝4+0＝4或10+6＝16， ∴c的值为4或16． 6．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知x≠0，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，，，求的值． 【详解】解：（1）由，知x≠0， ∴，即， ∴x2＝（x）2﹣2＝22﹣2＝2， ∴的值为2的倒数，即； （2）由，知x≠0， ∴7， ∴x﹣17，即， ∴x2﹣1＝（x）2﹣3＝82﹣3＝61， ∴的值为61的倒数，即； （3）由，知x≠0，y≠0， ∴， ∴①， 由，知y≠0，z≠0， ∴， ∴②， 由，知z≠0，x≠0， ∴， ∴③， ①+②+③得：2（）， ∴1， ∴1， ∴的值为1的倒数，即1． 7．【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（a＞b＞0），则该糖水的甜度为，若再加入m克（m＞0）糖，此时糖水的甜度为　　，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式　　；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若b＞a＞0，m＞0，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v1、v2，水流速度为v0（v1＞v2＞v0＞0），两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为t1、t2，请利用（1）（2）中探究的结论，比较t1、t2的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（a＞b＞0），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（m＞0）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵， ∵a＞b＞0，m＞0， ∴a﹣b＞0，m（a﹣b）＞0，a（a+m）＞0， ∴， ∴， ∴由此我们可以得到一个不等式， 故本题答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵， ∵b＞a＞0，m＞0， ∴a﹣b＜0，m（a﹣b）＜0，a（a+m）＞0， ∴， ∴； （3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时， ∵v0（v1＞v2＞v0＞0）， ∴v1﹣v0＞0，v2﹣v0＞0， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴t1＜t2，甲船先返回A港， 当甲、乙两船返航时为顺流航行时， ∵v0（v1＞v2＞v0＞0）， ∴v1﹣v0＞0，v2﹣v0＞0， 由（1）得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴t1＞t2，乙船先返回A港， 综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，t1＜t2，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，t1＞t2，乙船先返回A港． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$