清单01 一元一次不等式和一元一次不等式组（5个考点清单+16种题型解读）七年级数学下学期新教材北京版

清单01 一元一次不等式和一元一次不等式组 （5个考点梳理+16题型解读） 清单01 不等式 不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 清单02 不等式的性质 不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式及其解法 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 一元一次不等式的应用 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 清单04 一元一次不等式组及其解法 一元一次不等式组定义 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 一元一次不等式组的解法 （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 一元一次不等式(组）之含参问题 清单05 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【考点题型一 不等式的定义】（） 【例1】（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）下列各式中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有 个． 【变式1-2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完”，若每次服用这种药的剂量为，则x的取值范围是 ． 【变式1-3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）对于下列结论：①为正数，则；②为自然数，则；③不大于5，则；正确的有 ．（填所有正确的序号） 【变式1-4】（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【考点题型二 不等式的基本性质】（） 【例2】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）若，且，则的值可能是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-1】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）若，则下列各式中一定成立的是（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【变式2-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）写出下列不等式变形的依据： （1）由，得．依据是 ； （2）由，得．依据是 ； （3）由，得．依据是 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则k的取值范围是 ． 【变式2-4】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）（1）用不等号填空： 若，则______（依据不等式的基本性质1）； 若，则______（依据不等式的基本性质2）； 若，则______（依据不等式的基本性质3）． （2）已知，试比较与的大小． 【考点题型三 不等式的解集】（） 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【变式3-1】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）有下列各数：0，，4，，，，． 其中 是不等式的解； 是不等式的解． 【变式3-4】（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【考点题型四 一元一次不等式的定义】（） 【例4】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【变式4-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列为一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有 （填序号）． 【变式4-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【考点题型五 求一元一次不等式的解集】（） 【例5】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）解下列不等式． (1)． (2)． 【变式5-1】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）下面是小星同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以，得……第五步 (1)上述求解过程中，第三步变形的依据是________； (2)上述求解过程中的第________步发生错误，具体错误为________； (3)该不等式的解集应为________． 【变式5-2】（24-25七年级下·河南鹤壁·阶段练习）解不等式： (1)； (2)． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【变式5-4】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）解不等式：； （2）不等式的解集为，求的值． 【考点题型六 求一元一次不等式的整数解】（） 【例6】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的整数解有无数多个 B．不等式的负整数解是有限个 C．是不等式的一个解 D．不等式的解集是 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则满足条件的正整数m的值为 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的不等式有三个负整数解，则的取值范围为 ． 【变式6-4】（2025七年级下·全国·专题练习）如果关于x的方程的解不大于1，且是一个正整数，试确定m的值并求出原方程的解． 【考点题型七 用一元一次不等式解决问题】（） 【例7】（2025·陕西西安·三模）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养，计划购买一批绘画工具和劳动工具．经市场调查发现，每套绘画工具120元，每套劳动工具80元，学校准备购买这两类工具共20套，且总费用不超过1960元，则最多可购买多少套绘画工具？ 【变式7-1】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，其中一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米． (1)这两种中国结各编织了几个？ (2)如果小芳想编织这两款中国结共15个，那么50米的绳子最多可以编织几个大号的中国结？ 【变式7-2】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）为了筹备数学知识大赛，小星借读了一本与此相关的500页的书籍，计划10天内读完．前6天因种种原因只读了240页，那么从第七天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？ 【变式7-3】（2025·山西晋城·一模）2025年春节档电影《哪吒：魔童闹海》惊艳世界，创造了中国影视票房记录．小明特别喜欢“哪吒”精神，在网上了解到“哪吒”手办产品价格为22元/个，“其他”的手办产品价格19元/个，计划购买各种手办共10个，手头有200元的他最多能买到几个“哪吒”手办？ 【变式7-4】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）某校准备用绿植美化校园，每棵甲种树苗比乙种树苗便宜元，买棵甲种树苗的费用恰好可以买棵乙种树苗． (1)求甲种树苗每棵多少元？ (2)若准备购买甲、乙两种树苗共棵，且总费用不超过元，则至少要购买甲种树苗多少棵？ 【考点题型八 求不等式组的解集】（） 【例8】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式8-1】（2025·甘肃平凉·一模）解不等式组： 【变式8-2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【变式8-3】（24-25九年级下·重庆渝北·阶段练习）解不等式组：． 【变式8-4】（2025·天津河西·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （I）解不等式①，得 ； （II）解不等式②，得 ； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为 ． 【考点题型九 求一元一次不等式组的整数解】（） 【例9】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2023·四川达州·模拟预测）若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025八年级下·四川成都·专题练习）不等式组的整数解有 个． 【变式9-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 ． 【变式9-4】（2025·山东济南·一模）解不等式组：，并求所有整数解的和． 【考点题型十 由一元一次不等式组的解集求参数】（） 【例10】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式10-1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）若不等式组无解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知关于的不等式组有且仅有三个奇整数解，则的取值范围是 ． 【变式10-3】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【变式10-4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【考点题型十一 不等式组和方程组结合的问题】（） 【例11】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式11-1】（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【变式11-3】（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【变式11-4】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 【考点题型十二 列一元一次不等式组】（） 【例12】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【变式12-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【变式12-4】（23-24七年级下·全国·单元测试）丽丽今年岁，爷爷今年虽不满岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的倍还多，试写出符合爷爷年龄的不等式组． 【考点题型十三 用不等式组解决实际问题】（） 【例13】（24-25七年级下·全国·单元测试）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分的有，但不到3本，这些书的本数和人数分别是（   ） A．27，7 B．24，6 C．21，5 D．18，4 【变式13-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）某商店计划用不超过2000元的资金，购进甲、乙两种单价分别为30元、60元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利5元、15元，两种商品均售完．若所获利润大于380元，则该店进货方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式13-2】（2024八年级上·浙江·专题练习）我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 【变式13-3】（2025七年级下·全国·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【变式13-4】（23-24七年级下·广西贺州·期中）为贯彻落实教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》，我市某中学组织七年级师生到爱莲湖开展研学活动，学校计划租用两种不同型号的客车前往爱莲湖，两种客车的载客量与租金如下表所示： 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 18 30 租金（元/辆） 800 1200 若共有172名师生参加此次研学活动，学校计划租用这两种客车共8辆，租金总费用不超过8000元，要使全部师生均有座位，则怎样租车更划算？ 【考点题型十四 用不等式组解决分配问题】（） 【例14】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题： (1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示） (2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ 【变式14-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）在某市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，已知每台电脑、每台电子白板各0.5和1.5 万元，根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元．但不低于28万元．请你通过计算求出有哪几种购买方案． 【变式14-2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，我校计划从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，经多方调研，现决定购买A品牌篮球和B品牌足球共50个，要求采购总费用不超过万元．若甲、乙两商店销售这两种商品的零售价相同，其中篮球每个零售价300元，足球每个零售价200元． (1)若按照商场零售价直接购买，至多可以买篮球多少个？ (2)为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠 方案：甲店篮球按零售价格打8折销售，足球按照零售价格原价销售；乙店按照购买篮球和足球的零售总价格打9折销售：若学校至少采购篮球18个，请你运用所学知识，帮采购人员算一算：我校从哪家商店购买篮球和足球更合算？说说你的理由（按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买）． 【变式14-3】（23-24七年级下·河南南阳·期中）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … (1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； (2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 【变式14-4】（2023八年级上·浙江·专题练习）某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元． (1)A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？ (2)为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，问厨具店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润． 【考点题型十五 一元一次不等式组的其他应用】（） 【例15】（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【变式15-1】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知． (1) ______（用含x的代数式表示）； (2)当y是非负数时，x的取值范围是_____； (3)当时，求x的取值范围． 【变式15-2】（23-24七年级下·河南南阳·期中）请按图中程序进行计算：    规定：程序运行到“结果是否大于15”为一次运算． (1)若运算进行一次就停止，求出x的取值范围； (2)若运算进行二次才停止，求出x的取值范围，并把解集在数轴上表示出来． 【变式15-3】（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，这是一个计算程序示意图，规定：“从输入x”到“加上7”为一次运算，例如：“输入”，则“，”(完成一次运算)因为，所以输出结果是．    (1)当时， ；当时， . (2)若程序只进行了一次运算，输出结果，则输入的x值为 . (3)若输入x后，需要经过两次运算才能输出结果y，求x的取值范围． 【变式15-4】（23-24七年级下·全国·单元测试）某学校计划租用辆客车送名师生参加一年一度的武汉杂技节，感受杂技艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 若领队老师从学校预支租车费用元，试问预支的租车费用能否有结余？若有结余，最多可结余多少元？ 【考点题型十六 一元一次不等式的新定义问题】（） 【例16】（24-25八年级上·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：， 那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25八年级上·广西桂林·期末）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式16-2】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：对于实数，表示不大于的最大整数．例如：，，．如果，那么的取值范围是 ． 【变式16-3】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，，． （1）如果，那么a的取值范围是 ； （2）如果，满足条件的所有正整数x为 ． 【变式16-4】（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 一元一次不等式和一元一次不等式组 （5个考点梳理+16题型解读） 清单01 不等式 不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 清单02 不等式的性质 不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式及其解法 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 一元一次不等式的应用 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 清单04 一元一次不等式组及其解法 一元一次不等式组定义 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 一元一次不等式组的解法 （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 一元一次不等式(组）之含参问题 清单05 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【考点题型一 不等式的定义】（） 【例1】（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）下列各式中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键．由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个， 故选：C ． 【变式1-1】（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有 个． 【答案】3 【分析】依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．本题考查了不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，③；④；⑤都是不等式， ∴不等式的有3个， 故答案为：3． 【变式1-2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完”，若每次服用这种药的剂量为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的定义．确定每天服用，2次或3次每次的剂量；每天服用，2次或3次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量确定范围即可． 【详解】解：由题意，每日用量，分次服完， 则，， ，， 若每天服用2次，则所需剂量为之间， 若每天服用3次，则所需剂量为之间， 故一次服用这种药的剂量为之间． 则的取值范围是：． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）对于下列结论：①为正数，则；②为自然数，则；③不大于5，则；正确的有 ．（填所有正确的序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了不等式的定义，根据正数大于0，自然数是非负整数，不大于即小于或等于，逐项判断即可得解． 【详解】解：①为正数，则，故①说法正确，符合题意； ②为自然数，则，故②说法错误，不符合题意； ③不大于5，则，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③． 【变式1-4】（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 【考点题型二 不等式的基本性质】（） 【例2】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）若，且，则的值可能是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此分析求解即可． 【详解】解：∵，且 ∴， ∵，故A符合， 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）若，则下列各式中一定成立的是（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，④不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：①∵，则，故本选项符合题意； ②∵，则，故本选项不符合题意； ③∵，则，故本选项不符合题意； ④∵，则，则，故本选项符合题意； 故选D． 【变式2-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）写出下列不等式变形的依据： （1）由，得．依据是 ； （2）由，得．依据是 ； （3）由，得．依据是 ． 【答案】 不等式性质1 不等式性质2 不等式性质1 【分析】（1）根据等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变求解； （2）根据不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变求解； （3）根据等式两边加上（或减去）同一个含有字母的式子，不等号方向不变求解． 【详解】（1）由，得．依据是不等式性质1； 故答案为：不等式性质1； （2）由，得．依据是不等式性质2； 故答案为：不等式性质2． （3）由，得．依据是不等式性质1． 故答案为：不等式性质1． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，将和分别进行讨论，看是否与解集一样，再进行解题即可．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：由题可知， 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为，符合题意； 故， 即． 故答案为：． 【变式2-4】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）（1）用不等号填空： 若，则______（依据不等式的基本性质1）； 若，则______（依据不等式的基本性质2）； 若，则______（依据不等式的基本性质3）． （2）已知，试比较与的大小． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：若，则（依据不等式的基本性质1）； 若，则（依据不等式的基本性质2）； 若，则（依据不等式的基本性质3）． 故答案为：；；； （2）∵， ∴（依据不等式的基本性质3）， ∴（依据不等式的基本性质1）． 【考点题型三 不等式的解集】（） 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 【变式3-1】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）有下列各数：0，，4，，，，． 其中 是不等式的解； 是不等式的解． 【答案】 6.0，4，，， 【变式3-4】（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 【考点题型四 一元一次不等式的定义】（） 【例4】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的不等式叫做一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列为一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数在分母位置，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴， 故答案为：4． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有 （填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ②，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ③有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有④⑤共个． 故答案为：④⑤． 【变式4-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 【考点题型五 求一元一次不等式的解集】（） 【例5】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）解下列不等式． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式． （1）去括号，移项，合并同类项， 两边都除以2即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，两边都除以即可． 【详解】（1）解： 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 两边都除以2，得． （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 两边都除以，得． 【变式5-1】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）下面是小星同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以，得……第五步 (1)上述求解过程中，第三步变形的依据是________； (2)上述求解过程中的第________步发生错误，具体错误为________； (3)该不等式的解集应为________． 【答案】(1)不等式的性质1 (2)五，两边都除以时，不等号方向没有改变 (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，理解了解一元一次不等式的步骤及依据是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可求解； （2）根据解不等式的性质即可求解； （3）根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 上述求解过程中，第三步变形的依据是不等式的性质1； （2）解：上述求解过程中的第五步发生错误，具体错误为两边都除以时，不等号方向没有改变； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 【变式5-2】（24-25七年级下·河南鹤壁·阶段练习）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式； （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得，再将解集表示在数轴上． 【详解】解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如下： 【变式5-4】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）解不等式：； （2）不等式的解集为，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式． （1）先去分母，再去括号，再进行移项和合并同类项，最后将系数化为即可得解； （2）先移项和合并同类项，将系数化为得出不等式的解，再由该不等式的解集为，可推得，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 不等式的解集为， ， ． 【考点题型六 求一元一次不等式的整数解】（） 【例6】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的整数解有无数多个 B．不等式的负整数解是有限个 C．是不等式的一个解 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，不等式的解集，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集和理解不等式的解的含义是解此题的关键． 根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集确定其整数解即可． 【详解】A、不等式的整数解有无数个，故本选项不符合题意； B、不等式的负整数解有，，，，共4个，是有限个，故本选项不符合题意； C、不等式的解集是，不是它的一个解，故本选项符合题意； D、不等式的解集是，故本选项不符合题意． 故选C． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得情况列出关于a的不等式是解题关键．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的情况可以得到关于a的不等式即可解答． 【详解】解：解不等式，得：， ∵其正整数解是1、2、3， ∴． 故选D． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则满足条件的正整数m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围即可求解． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， ∴满足条件的正整数m的值为4． 故答案为：4． 【变式6-3】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的不等式有三个负整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解； 先求出不等式的解集，再根据有三个负整数解得出关于的不等式，进而求解即可. 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式有三个负整数解， ∴这三个负整数解是， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-4】（2025七年级下·全国·专题练习）如果关于x的方程的解不大于1，且是一个正整数，试确定m的值并求出原方程的解． 【答案】或，当时，原方程的解为；当时，原方程的解为 【分析】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，先解一元一次方程得到，再根据的值不大于1，得到关于的不等式，求出的取值范围，再根据是一个正整数即可确定出的值，进而得出的值． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 由题意，得， ， 解得． 是一个正整数， 或． 当时，原方程的解为； 当时，原方程的解为． 【考点题型七 用一元一次不等式解决问题】（） 【例7】（2025·陕西西安·三模）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养，计划购买一批绘画工具和劳动工具．经市场调查发现，每套绘画工具120元，每套劳动工具80元，学校准备购买这两类工具共20套，且总费用不超过1960元，则最多可购买多少套绘画工具？ 【答案】9套 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．设购买绘画工具套，则购买劳动工具套，根据题意和题目中的数据，列出相应的不等式求解即可． 【详解】解：设购买绘画工具套，则购买劳动工具套． 根据题意，得， 解得． 答：最多可购买9套绘画工具． 【变式7-1】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，其中一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米． (1)这两种中国结各编织了几个？ (2)如果小芳想编织这两款中国结共15个，那么50米的绳子最多可以编织几个大号的中国结？ 【答案】(1)大号的中国结2个，小号的中国结4个 (2)5个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个，再结合一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米进行列式计算，即可作答． （2）先根据小芳编织这两款中国结共15个，设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个，再结合“50米的绳子”这个条件进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个， 依题意，， 解得， ∴（个）， ∴大号的中国结2个，小号的中国结4个； （2）解：设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个， 依题意，， 解得， 则50米的绳子最多可以编织个大号的中国结． 【变式7-2】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）为了筹备数学知识大赛，小星借读了一本与此相关的500页的书籍，计划10天内读完．前6天因种种原因只读了240页，那么从第七天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？ 【答案】从第7天起平均每天至少要读65页，才能按计划读完这本书． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，先设从第7天起平均每天要读页．因为500页的科普书计划10天内读完．前5天因种种原因只读了240页，故得，再解得，即可作答． 【详解】解：设从第7天起平均每天要读页． 根据题意，得， 解得． 答：从第7天起平均每天至少要读65页，才能按计划读完这本书． 【变式7-3】（2025·山西晋城·一模）2025年春节档电影《哪吒：魔童闹海》惊艳世界，创造了中国影视票房记录．小明特别喜欢“哪吒”精神，在网上了解到“哪吒”手办产品价格为22元/个，“其他”的手办产品价格19元/个，计划购买各种手办共10个，手头有200元的他最多能买到几个“哪吒”手办？ 【答案】最多能买到3个“哪吒”手办 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设小明购买“哪吒”手办个，则其他手办个，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：设小明购买“哪吒”手办个，则其他手办个， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为3， 即：小明最多能买到3个“哪吒”手办． 【变式7-4】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）某校准备用绿植美化校园，每棵甲种树苗比乙种树苗便宜元，买棵甲种树苗的费用恰好可以买棵乙种树苗． (1)求甲种树苗每棵多少元？ (2)若准备购买甲、乙两种树苗共棵，且总费用不超过元，则至少要购买甲种树苗多少棵？ 【答案】(1)元 (2)棵 【分析】（）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，根据题意列出方程即可求解； （）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元， 由题意得，， 解得， 答：甲种树苗每棵元； （2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意得，， 解得， 答：至少要购买甲种树苗棵． 【考点题型八 求不等式组的解集】（） 【例8】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后在数轴表示即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【变式8-1】（2025·甘肃平凉·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集为：． 【变式8-2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 【变式8-3】（24-25九年级下·重庆渝北·阶段练习）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．分别求出两个一元一次不等式的解集，再找解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【变式8-4】（2025·天津河西·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （I）解不等式①，得 ； （II）解不等式②，得 ； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为 ． 【答案】（I）；（II）；（III）数轴见解析；（IV）． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，正确计算和掌握解一元一次不不等式组的步骤是解题的关键． （Ⅰ）通过移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可； （Ⅱ）通过移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可； （Ⅲ）把不等式的解表示在数轴上； （Ⅳ）由（Ⅲ）的结论即可得． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 数轴表示为： ∴原不等式组的解集为：， 【考点题型九 求一元一次不等式组的整数解】（） 【例9】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，根据已知进行得出m的范围即可． 【详解】解：∵， ∴解不等式组得， 又∵关于x的不等式组只有个整数解， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-1】（2023·四川达州·模拟预测）若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元一次不等式组的解法．解题关键在于注意分析不等式组的解集的确定．此题需要首先解不等式，根据整数解的情况确定a的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵此不等式组仅有3个整数解， ∴这3个整数解为0，1，2， ∴a的取值范围是． 故选：A． 【变式9-2】（2025八年级下·四川成都·专题练习）不等式组的整数解有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 分别求解每一个不等式，再取解集的公共部分，求出整数解即可． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，即不等式组有个整数解， 故答案：4． 【变式9-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、不等式组的整数解，得到关于m的不等式组是解答的关键．先求得已知不等式组的解集，进而得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可求解． 【详解】解：解不等式组，得， ∵已知不等式组有且仅有4个整数解， ∴，解得， 故答案为：． 【变式9-4】（2025·山东济南·一模）解不等式组：，并求所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 先解每一个不等式，再确定不等式组的解集，得到不等式组的所有整数解，计算即可． 【详解】解：， 解：解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 所有整数解得和为． 【考点题型十 由一元一次不等式组的解集求参数】（） 【例10】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．解不等式组可得，，由关于的不等式组的解集中至少有2个整数解，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵关于的不等式组的解集中至少有2个整数解， ∴， 解得，， ∴整数a的最小值为， 故选：C． 【变式10-1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）若不等式组无解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，掌握求不等式组解集的方法是解题的关键．根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进行作答即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故选：C 【变式10-2】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知关于的不等式组有且仅有三个奇整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式得解集，再根据不等式组的解集情况得到关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有且仅有三个奇整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式10-3】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式10-4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 【考点题型十一 不等式组和方程组结合的问题】（） 【例11】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故选：D 【变式11-1】（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了解二元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．首先应用加减法，求出，然后根据解一元一次不等式的方法，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，可得， 解得：， ∵， ， 解得：， 故选：A． 【变式11-2】（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 【变式11-3】（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 【变式11-4】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 【考点题型十二 列一元一次不等式组】（） 【例12】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可． 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 【变式12-1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答． 【详解】解：由图可知最低限速60， ∴， 又自驾游的车属于小轿车， 小轿车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C． 【变式12-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【变式12-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【答案】 【分析】根据题意可求出长方体容器的体积，根据水的高度可以求出容器里现有水的体积，再用总容积减去现有水的体积，即可求出还能注入水的体积． 【详解】解：由题意，得该长方体形状的容器的容积为． 又因为容器内原有的水的体积为， 所以容器内剩余未注水的体积为， 所以的取值范围为． 【点睛】本题主要主要考查了有理数乘法和有理数减法的计算，解决此题的关键是要读懂题意，列出式子． 【变式12-4】（23-24七年级下·全国·单元测试）丽丽今年岁，爷爷今年虽不满岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的倍还多，试写出符合爷爷年龄的不等式组． 【答案】 【分析】根据爷爷今年虽不满70岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的4倍还多，分别得出不等式组成方程组即可． 【详解】解：根据题意可得：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据题意得出正确不等关系是解题关键． 【考点题型十三 用不等式组解决实际问题】（） 【例13】（24-25七年级下·全国·单元测试）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分的有，但不到3本，这些书的本数和人数分别是（   ） A．27，7 B．24，6 C．21，5 D．18，4 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，设人数为个，则书有本，根据前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，可列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设有人，则书有本． 由题意，得， 解得． 因为为整数， 所以， 所以， 即书有21本，人数为5个． 故选：C． 【变式13-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）某商店计划用不超过2000元的资金，购进甲、乙两种单价分别为30元、60元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利5元、15元，两种商品均售完．若所获利润大于380元，则该店进货方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式组．设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“购进甲乙商品不超过2000元的资金、两种商品均售完所获利润大于380元”列出关于的不等式组，解之求得整数的值即可得出答案． 【详解】解：设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴、35、36， ∴该店进货方案有3种， 故选：A． 【变式13-2】（2024八年级上·浙江·专题练习）我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 【答案】5 【详解】本题考查的是一元一次不等式组的应用，设出未知数，找出不等关系：有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本，据此列出不等式组求解即可． 【分析】解：设有小学生x个，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴， ∴共有小学生5人． 故答案为：5． 【变式13-3】（2025七年级下·全国·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 【变式13-4】（23-24七年级下·广西贺州·期中）为贯彻落实教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》，我市某中学组织七年级师生到爱莲湖开展研学活动，学校计划租用两种不同型号的客车前往爱莲湖，两种客车的载客量与租金如下表所示： 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 18 30 租金（元/辆） 800 1200 若共有172名师生参加此次研学活动，学校计划租用这两种客车共8辆，租金总费用不超过8000元，要使全部师生均有座位，则怎样租车更划算？ 【答案】租用5辆中型客车，3辆大型客车更划算 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用以及有理数混合运算的实际应用，设租用中型客车x辆，则租用大型客车辆，根据题意列出一元一次不等式组并求出整数解，再通过计算比较出费用的大小即可得出答案． 【详解】解：设租用中型客车x辆，则租用大型客车辆， 根据题意，得 解得， ∵x为非负整数， ∴x取4，5 ∴当租用4辆中型客车，4辆大型客车时，租金总费用为： （元）； 当租用5辆中型客车，3辆大型客车时，租金总费用为： （元）： ∵， ∴租用5辆中型客车，3辆大型客车更划算． 【考点题型十四 用不等式组解决分配问题】（） 【例14】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题： (1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示） (2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ 【答案】(1) (2)三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个，即可得出答案； （2）根据做一个竖式纸盒需要4个长方形纸板和1个正方形纸板，做一个横式纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，列出一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 为正整数， 可取36、37、38， 三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒． 【变式14-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）在某市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，已知每台电脑、每台电子白板各0.5和1.5 万元，根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元．但不低于28万元．请你通过计算求出有哪几种购买方案． 【答案】方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．方案三费用最低． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，正确得出不等关系列出不等式组是解题关键． 设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设需购进电脑a台，则购进电子白板台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答即可． 【详解】解：设需购进电脑a台，则购进电子白板台， 则， 解得：，即，16，17． 故共有三种方案： 方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元； 方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元； 方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元． ∴方案三费用最低． 【变式14-2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，我校计划从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，经多方调研，现决定购买A品牌篮球和B品牌足球共50个，要求采购总费用不超过万元．若甲、乙两商店销售这两种商品的零售价相同，其中篮球每个零售价300元，足球每个零售价200元． (1)若按照商场零售价直接购买，至多可以买篮球多少个？ (2)为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠 方案：甲店篮球按零售价格打8折销售，足球按照零售价格原价销售；乙店按照购买篮球和足球的零售总价格打9折销售：若学校至少采购篮球18个，请你运用所学知识，帮采购人员算一算：我校从哪家商店购买篮球和足球更合算？说说你的理由（按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买）． 【答案】(1)至多可以买篮球21个 (2)当设学校购买篮球不低于18个但不超过20个时，到乙商店划算；当学校购买篮球20个时，两个商店一样；当购买篮球超过20个且不超过52个时，到甲商店比较合适． 【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，解不等式即可． （1）设按照商场零售价直接购买可以购买篮球x个，足球个，根据采购总费用不超过万元，列出不等式，解不等式即可； （2）设学校购买篮球m个，购买足球个，得出到甲商店需要的费用为：元，到乙商店需要的费用为：元，再根据采购总费用不超过万元分别求出m的取值范围；再分、、三种情况解答即可． 【详解】（1）解：设按照商场零售价直接购买可以购买篮球x个，足球个，根据题意得： ， 解得：， 答：至多可以买篮球21个． （2）解：设学校购买篮球m个，购买足球个，根据题意得： 到甲商店需要的费用为：元，解得：，且为整数， 到乙商店需要的费用为：元，解得：，且为整数 当时，解得：，此时乙商店划算； 当时，解得：，两个商店一样； 当时，解得：，即，此时甲商店划算； 综上，当设学校购买篮球不低于18个但不超过20个时，到乙商店划算；当学校购买篮球20个时，两个商店一样；当购买篮球超过20个且不超过52个时，到甲商店比较合适． 【变式14-3】（23-24七年级下·河南南阳·期中）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … (1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； (2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 【答案】(1) (2)a的最大值为300． 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用； （1）先得出，进而根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）当时，，符合题意．当时，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：当时，（元）， ∵， ∴． ∵， ∴． 答：该月小李家的用电量为120度． （2）当时，，符合题意． 当时， ∴， ∴ ∴， ∴a的最大值为300． 【变式14-4】（2023八年级上·浙江·专题练习）某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元． (1)A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？ (2)为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，问厨具店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润． 【答案】(1)每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元． (2)见解析 (3)购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设每台A型电饭煲进价为x元，则求得每台B型电饭煲进价，根据题意列等式求解即可； （2）设购买A型电饭煲a台，则购买B型电饭煲台，根据列出出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a为整数即可得出各进货方案； （3）根据总利润等于单个利润乘以购进数量分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结论．或比较两者之间的利润大小，竟可能选择利润大的型号即可获取更多的利润． 【详解】（1）解：（1）设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元． （2）设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲台， ， 解得， ∵a为整数， ∴a＝25、26、27、28，共4种方案， 方案1：A型号25台，B型号25台， 方案2：A型号26台，B型号24台， 方案3：A型号27台，B型号23台， 方案4：A型号28台，B型号22台； （3）方法一：每台A型电饭煲利润：（元）， 每台B型电饭煲利润：（元）， 方案1利润：（元）， 方案2利润：（元）， 方案3利润：（元）， 方案4利润：（元）， ∴方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元， 方法二：每台A型电饭煲利润：（元）， 每台B型电饭煲利润：（元）， ∵每台A型电饭煲利润大于每台B型电饭煲利润， ∴A型电饭煲的数量越多，获利越多， 则方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元． 【考点题型十五 一元一次不等式组的其他应用】（） 【例15】（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据程序流程图列出不等式组，然后再解不等式组即可． 【详解】解：依题意，得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 故x的取值范围为． 【变式15-1】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知． (1) ______（用含x的代数式表示）； (2)当y是非负数时，x的取值范围是_____； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次不等式以及一元一次不等式组的应用． （1）移项，化系数为1即可得出答案． （2）根据y是非负数，列出关于x的一元一次不等式求解即可得出答案． （3）根据，列出关于x的一元一次不等式组求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知， 当y是非负数时， 即， 解得：， 故答案为：； （3）解：当时，即， 解得：． 【变式15-2】（23-24七年级下·河南南阳·期中）请按图中程序进行计算：    规定：程序运行到“结果是否大于15”为一次运算． (1)若运算进行一次就停止，求出x的取值范围； (2)若运算进行二次才停止，求出x的取值范围，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据程序进行一次就停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． （2）根据程序进行二次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； （2）根据题意得：， 解得：， 在数轴上表示解集为：    【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式的解集，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式15-3】（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，这是一个计算程序示意图，规定：“从输入x”到“加上7”为一次运算，例如：“输入”，则“，”(完成一次运算)因为，所以输出结果是．    (1)当时， ；当时， . (2)若程序只进行了一次运算，输出结果，则输入的x值为 . (3)若输入x后，需要经过两次运算才能输出结果y，求x的取值范围． 【答案】(1)16； (2) (3) 【分析】（1）把代入求值即可；把代入求出结果为，再把代入求出结果即可； （2）根据输出结果，列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：当时，输出结果； 当时，， 把代入得：， 即当时，； 故答案为：16；1． （2）解：∵程序只进行了一次运算，输出结果， ∴， 解得：； 故答案为：． （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴当时，输入x后，需要经过两次运算才能输出结果y． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解一元一次方程，解不等式组，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程或不等式组． 【变式15-4】（23-24七年级下·全国·单元测试）某学校计划租用辆客车送名师生参加一年一度的武汉杂技节，感受杂技艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 若领队老师从学校预支租车费用元，试问预支的租车费用能否有结余？若有结余，最多可结余多少元？ 【答案】能有结余，最多可结余130元 【分析】设租用甲种客车辆，根据题意列出不等式组，解之取整数解，分别计算对应的结余，即可得解． 【详解】解：设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， ， 解得． 由题意知应取整数， 或5． 若，即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆， 结余数额：（元）． 若，即租用甲种客车5辆，乙种客车1辆， 结余数额：（元）． 能有结余，最多可结余130元． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据已知列出不等式组是解题关键． 【考点题型十六 一元一次不等式的新定义问题】（） 【例16】（24-25八年级上·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：， 那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据定义的新运算可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 【变式16-1】（24-25八年级上·广西桂林·期末）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解不等式得：， 解不等式得： ∴； 当时，， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：x的取值范围是． 故选：C． 【变式16-2】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：对于实数，表示不大于的最大整数．例如：，，．如果，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，根据已知条件转化为一元一次不等式组是解题的关键． 根据已知条件得一元一次不等式组，解一元一次不等式组求得解集，即可求得． 【详解】根据题意得， ∴ 解得． 故答案为：． 【变式16-3】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，，． （1）如果，那么a的取值范围是 ； （2）如果，满足条件的所有正整数x为 ． 【答案】 / 5，6，7 【分析】本题考查了新定义，求不等式组的解集，理解新定义的含义是解答本题的关键． （1）根据定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数，即可解答； （2）根据定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数，先求出x的取值范围，然后在其范围内找出满足条件的所有正整数即可． 【详解】解：（1）∵， ∴a的取值范围是：， 故答案为：； （2）由题意得： ， 解得：， ∴满足条件的所有正整数x为：5，6，7． 故答案为：5，6，7． 【变式16-4】（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 26 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$