3.1向量的数乘运算-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　§３．从速度的倍数到向量的数乘 　　　　３．１　向量的数乘运算 １．３a＋１２b＋c æ è ç ö ø ÷－ ２a＋３４b－c æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．a－１４b＋２c　　B．５a－ １ ４b＋２c C．a＋５４b＋２c D．５a＋ ５ ４b ２．在△ABC中,AE → ＝３１０ (AB → ＋AC →),D 为 BC 边的中点,则 (　　) A．３AE → ＝７ED → B．７AE → ＝３ED → C．２AE → ＝３ED → D．３AE → ＝２ED → ３．设 D,E,F 分别是△ABC 的三边BC, CA,AB 上的点,且DC → ＝２BD → ,CE → ＝ ２EA → ,AF → ＝２FB → ,则AD → ＋BE → ＋CF → 与BC → (　　 ) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 ４．如图所示,D 是△ABC 的边AB 的中 点,则向量CD → 等于 (　　) A．BC → ＋１２BA → 　　　　B．－BC → ＋１２BA → C．－BC → －１２BA → D．BC → －１２BA → ５．(多选)下列命题是真命题的为 (　　) A．对于实数λ与向量a,λ＋a与λ－a 的和是向量 B．对于非零向量a,向量－３a与向量a 方向相反 C．对于非零向量a,向量－６a的模是向 量３a的模的２倍 D．若b与a共线,则存在实数λ,使得b ＝λa． ６．(多选)已知 m,n是实数,a,b是向量, 则下列正确的有 (　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb,则a＝b D．若ma＝na,则m＝n ７．若|a|＝３,b与a反向,|b|＝２,则a＝ 　　　　b． ８．若２x－１３a æ è ç ö ø ÷－１２ (b＋c－３x)＋b＝０, 其中 a,b,c 为 已 知 向 量,则 向 量 x ＝　　　　． ９．如图所示,在▱ABCD 中,AB → ＝a,AD → ＝b, AN → ＝３NC →,M 为BC 的中点,则MN → ＝ 　 　 　 　．(用a,b 表示) １０．化简下列各式: (１)２(３a－２b)＋３(a＋５b)－５(４b－a); (２)１６ [２(２a＋８b)－４(４a－２b)]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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小船要由 M 直达码头N,其航向应为北偏西３０°． １４．证明:由题意知:AD→＝AC→＋CD→,BE→＝BC→＋CE→,CF→＝ CB→＋BF→． 由平面几何知识可知:EF→＝CD→,BF→＝FA→． 所以AD→＋BE→＋CF→＝(AC→＋CD→)＋(BC→＋CE→)＋(CB→＋ BF→)＝(AC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋(BC→＋CB→) ＝(AE→＋EC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋０ ＝AE→＋CD→＋BF→＝AE→＋EF→＋FA→＝０． ２．２　向量的减法 １．A　２．D　３．B　４．D　５．ABCD ６．ABD　[如图,根据平面向量的平行四边 形或三角形法则,当a,b不共线时,根据三 角形两边之和大于第三边,两边之差小于 第三边 有||a|－|b||＜|a±b|＜|a| ＋|b|． 当a,b同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|,||a|－|b||＝|a－b|．当 a,b反向时有|a＋b|＝||a|－|b||,|a|＋|b|＝|a－b|．] ７．０　８．３ ９．解析:(１)由 已 知 得a＋b＝AB→＋ BC→＝AC→,∵AC→＝c,∴ 延 长 AC 到E, 使|CE→|＝|AC→|．则 a＋b＋c ＝AE→, 且|AE→|＝２ ２．∴|a＋b＋c|＝ ２ ２． (２)作BF→＝AC→,连接CF, 则DB→＋BF→＝DF→,而DB→＝AB→－AD→＝AB→－BC→＝a－b, ∴|a－b＋c|＝DB→＋BF→＝DF→且|DF→|＝２． ∴|a－b＋c|＝２． 答案:(１)２ ２　(２)２ １０．解:(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→) ＝AC→＋BA→－DC→＋(DO→＋OB→) ＝AC→＋BA→－DC→＋DB→ ＝BC→－DC→＋DB→＝BC→＋CD→＋DB→ ＝BC→＋CB→＝０． １１．解:AC → ＝OC → －OA → ＝c－a,AD → ＝OD → －OA → ＝d－a,AD → － AB → ＝BD → ＝OD → －OB → ＝d－b,AB → ＋CF → ＝OB → －OA → ＋OF → －OC → ＝b－a＋f－c,BF → －BD → ＝DF → ＝OF → －OD → ＝f－d, DF → ＋FE → ＋ED → ＝０． １２．解:由题意知,AB → ＝a,BC → ＝b,CD → ＝c,DE → ＝d,EA → ＝ e,则 (１)DB → ＝DE → ＋EA → ＋AB → ＝d＋e＋a． (２)DB → ＝CB → －CD → ＝－BC → －CD → ＝－b－c． (３)EC → ＝EA → ＋AB → ＋BC → ＝a＋b＋e． (４)EC → ＝－CE → ＝－(CD → ＋DE →)＝－c－d． １３．解:(１)AC → ＝a＋b,DB → ＝a－b． (２)若a＋b与a－b垂直,即平行四边形的两条对角线 互相垂直,则四边形ABCD 为菱形,所以a,b应该满足 |a|＝|b|． (３)|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线的长 相等,这样的平行四边形为矩形,故a,b应互相垂直． １４．证明:因为△ABC是等腰直角三角形,∠ACB＝９０°, 所以CA＝CB．又 M 是斜边AB 的中点, 所以CM＝AM＝BM． (１)因为CM→－CA→＝AM→, 又|AM→|＝|CM→|, 所以|a－b|＝|a|． (２)因为 M 是斜边AB 的中点, 所以AM→＝MB→, 所以a＋(a－b)＝CM→＋(CM→－CA→) ＝CM→＋AM→＝CM→＋MB→＝CB→． 因为|CA→|＝|CB→|,所以|a＋(a－b)|＝|b|． §３．从速度的倍数到向量的数乘 ３．１　向量的数乘运算 １．A　２．C　３．A　４．B　５．BC ６．AB　[由向量数乘的运算律,易知 A,B正确;对于 C,由 ma＝mb,可得m(a－b)＝０,所以 m＝０或a＝b,故 C错 误;对于D,由ma＝na,可得(m－n)a＝０,所以a＝０或m ＝n,故 D错误．故选 AB．] ７．－３２ ８．解析:由题知２x－２３a－ １ ２b－ １ ２c＋ ３ ２x＋b＝０ , ∴７２x＝ ２ ３a－ １ ２b＋ １ ２c , ∴x＝４２１a－ １ ７b＋ １ ７c． 答案:４ ２１a－ １ ７b＋ １ ７c ９．解析:MN→＝MB→＋BA→＋AN→＝－ １２BC →＋BA→＋ ３４AC →＝ －１２AD →－AB→＋３４(AB →＋AD→)＝－１２b－a＋ ３ ４ (a＋b) ＝１４b－ １ ４a． 答案:１ ４b－ １ ４a １０．解:(１)原式＝６a－４b＋３a＋１５b－２０b＋５a＝１４a－９b． (２)原式＝１６ (４a＋１６b－１６a＋８b)＝１６ (－１２a＋２４b) ＝－２a＋４b． １１．解:(１)原方程可变为５x＋５a＋３x－３b＝０．即８x＝５a＋ ３b,则x＝－５８a＋ ３ ８b． (２)把第一个方程的左、右两边乘以－２,然后与第二个 方程相加,得３ ２y＝－２a＋b ,从而y＝－４３a＋ ２ ３b． 代入 原 来 第 二 个 方 程 得 x ＝ － ２３ a ＋ ４ ３ b． 即 x＝－２３a＋ ４ ３b , y＝－４３a＋ ２ ３b． ì î í ïï ï １２．解:(１)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴BC→＝AD→＝a． ∵M 为AB 的中点,∴MB→＝１２AB →＝１２b, ∴MC→＝MB→＋BC→＝１２b＋a． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３１􀅰 参考答案 ∵N 为BD 上靠近B 的三等分点,∴NB→＝１３DB →, ∴NC→＝NB→＋BC→ ＝１３DB →＋BC→＝１３(AB →－AD→)＋BC→＝１３(b－a)＋a＝ ２ ３a＋ １ ３b． (２)由(１)知NC→＝２３MC →, 向量MC→与向量NC→方向相同, 且NC→的长度为MC→长度的２３． １３．解:AP → ＝AN → ＋NP → ＝１４AC → ＋NP → ＝mAB → ＋２１１AC →, ∴NP → ＝mAB → －３４４AC → ．又NB → ＝NC → ＋CB → ＝３４AC → ＋(AB → －AC →)＝AB→－１４AC →,设NP→＝λNB→,则λAB→－１４λAC → ＝ mAB → －３４４AC →,∴m＝λ＝３１１． １４．证明:取以 A 为起点的向量,应用三角 形法则求证． ∵E 为AD 的中点,∴AE → ＝１２AD → ． ∵F 是BC 的中点, ∴AF → ＝１２ (AB → ＋AC →)． 又AC → ＝AD → ＋DC →, ∴AF → ＝１２ (AB → ＋AD → ＋DC →)＝１２(AB → ＋DC →)＋１２AD → ． ∴EF → ＝AF → －AE → ＝１２ (AB → ＋DC →)． ３．２　向量的数乘与向量共线的关系 １．B　２．C　３．B　４．D　５．BC ６．AC　[AD → ＋BE → ＋CF → ＝１２AB → ＋１２BC → ＋１２CA → ＝１２ (AB → ＋ BC → ＋CA →)＝０,AD→－CE→＋CF→＝AD→－FE→＝AD→－AD→＝０] ７．解析:由AE→＝λAC→,得AC→＝１λAE →,可得出AP→＝１３AB →＋ １ ５λAE →,∵B,P,E 三点共线,∴１３＋ １ ５λ＝１ ,解得λ＝３１０． 答案:３ １０ ８．解析:因为向量２ka＋b与８a＋kb的方向相反, 所以存在实数λ(λ＜０),使得２ka＋b＝λ(８a＋kb), 又a,b不共线, 所以 ２k＝８λ, １＝kλ,{ 消去k,得λ ２＝１４． 因为λ＜０,所以λ＝－１２ , 所以k＝４λ＝４× －１２( )＝－２． 答案:－２ ９．解析:∵D,P,C三点共线,故设DP → ＝λDC →,同理可设EP→ ＝μEB →,由题可知AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋λDC→＝AD→＋ λ(BC → －BD →)＝２３AB → ＋λ(AC → －AB → －１３BA →) ＝２３ (１－λ)AB → ＋λAC →, 又AP → ＝AE → ＋EP → ＝AE → ＋μEB → ＝AE → ＋μ(CB → －CE →) ＝１３AC → ＋μ(AB → －AC → －２３CA →) ＝μAB → ＋１３ (１－μ)AC →, 所以可得 ２ ３ (１－λ)＝μ, １ ３ (１－μ)＝λ, ì î í ïï ï 解得 λ＝１７ , μ＝ ４ ７ , ì î í ïï ï 故AP → ＝４７AB → ＋１７AC →,所以x＝４７,y＝ １ ７． 答案:４ ７　 １ ７ １０．证明:∵a＝１２c ,∴c＝２a, ∴b＝２３c＋a＝ ４ ３a＋a＝ ７ ３a , ∴a∥b． １１．解:(１)由题意得AB→＝CA→． ∵AB→＝a,AO→＝b,∴OC→＝OA→＋AC→＝－b－a,CD→＝CB→ ＋BD→＝CB→＋１３BO →＝CB→＋１３(BA →＋AO→) ＝２a＋１３ (－a＋b)＝５３a＋ １ ３b． (２)证明:∵CE→＝OE→－OC→＝４５OA →＋CA→＋AO→ ＝４５ (－b)＋a＋b＝a＋１５b＝ ３ ５CD →, ∴CE→与CD→平行,又∵CE→与CD→有公共点C, ∴C,D,E 三点共线． １２．解析:如图所示,设AP → ＝１４AB →, AQ → ＝１３AC →, 则AM → ＝AP → ＋AQ → ．由平行四边形法则知,MQ∥AB, ∴ S△ABM S△ABC ＝|AQ → | |AC → | ＝１３． 同理 S△ABN S△ABC ＝１２． ∴ S△ABM S△ABN ＝２３． 答案:２∶３ １３．解:平行,理由如下: 连接AF,DF,∵F 是BC 的中点,∴BF→＋CF→＝０,∴AB→ ＋DC→＝AB→＋DC→＋(BF→＋CF→)＝(AB→＋BF→)＋(DC→＋ CF→)＝AF→＋DF→． ∵E 是AD 的中点,∴AE→＋DE→＝０． 又∵AF→＝AE→＋EF→,DF→＝DE→＋EF→, ∴AB→＋DC→＝AF→＋DF→＝(AE→＋EF→)＋(DE→＋EF→)＝ AE→＋DE→＋２EF→＝２EF→． ∴向量AB→＋DC→与向量EF→平行． １４．解:(１)如图,延 长 AD 到G,使AD→ ＝１２AG →,连接BG,CG,得到平行四 边形ABGC, 所以AG→＝a＋b,AD→＝１２AG →＝１２(a ＋b),AE→＝ ２３AD →＝ １３ (a＋b),AF →＝ １２AC →＝ １２b,则 BE→＝AE→－AB→＝１３(a＋b)－a ＝１３ (b－２a),BF→＝AF→－AB→＝１２b－a＝ １ ２ (b－２a)． (２)由(１)可知BE→＝２３BF →,因为BE→与BF→有公共点B,所 以B,E,F 三点共线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４１􀅰 必修第二册