第二章 平面向量及其应用 1从位移、速度、力到向量-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　第二章　平面向量及其应用 　　　　§１．从位移、速度、力到向量 １．下列物理量:①质量;②速度;③位移; ④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功． 其中不是向量的有 (　　) A．１个　B．２个　C．３个　D．４个 ２．数轴上点A,B 分别对应－１,２,则向量 AB → 的长度是 (　　 ) A．－１ B．２ C．１ D．３ ３．(多 选)如 图,在 菱 形 ABCD 中,∠BAD ＝ １２０°,则以下说法正确 的是 (　　 ) A．与AB → 相等的向量只 有一个(不含AB → ) B．与AB → 的模相等的向量有９个(不含 AB → ) C．BD → 的模恰为DA → 的模的 ３倍 D．CB → 与DA → 不共线 ４．设O 是正方形ABCD 的中心,则向量 AO → ,BO → ,OC → ,OD → 是 (　　) A．相等的向量 B．平行的向量 C．有相同起点的向量 D．模相等的向量 ５．(多选)已知A＝{与a共线的向量},B ＝{与a长度相等的向量},C＝{与a长 度相等,方向相反的向量},其中a为非 零向量,下列关系中正确的是 (　　) A．C⊆A B．A∩B＝{与a相等的向量} C．C⊆B D．(A∩B)⊇{与a相等的向量} ６．(多选)下列说法正确的是 (　　 ) A．若向量AB → 与CD → 是平行向量,则A, B,C,D 四点不一定在同一直线上 B．若向量a与b平行,且|a|＝|b|≠０, 则a＝b或a＝－b C．向 量AB → 的 长 度 与 向 量BA → 的 长 度 相等 D．单位向量都相等 ７．给出下列命题: ①若|a|＝|b|,则a＝b; ②两相等向量若其起点相同,则终点也 相同; ③若a＝b,b＝c,则a＝c; ④若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB → ＝CD → ,BC → ＝DA → ． 其中正确命题的序号是　　　　． ８．在如图所示的半圆中, AB 为直径,点 O 为圆 心,C为半圆上一点,且 ∠OCB＝３０°,|AB → |＝ ２,则|AC → |＝　　　　． ９．已 知 在 边 长 为 ２ 的 菱 形 ABCD 中, ∠ABC＝６０°．向量AB → 与BD → 的夹角为 　　　　． １０．如图所示,O 为正方形 ABCD 对角线的交点, 四边形 OAED,OCFB 都是正方形． (１)写出与AO → 相等的向量; (２)写出与AO → 共线的向量; (３)向量AO → 与CO → 是否相等? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 必修第二册 １１．某人从A 点出发向西走了２５０m到达 B 点,然后改变方向向北偏西３０°走了 ４５０m 到达C 点,最后又改变方向,向 东走了２５０m到达D 点． (１)作出向量AB → ,BC → ,CD → (１cm代表２００m)． (２)求DA → 的模． １２．一个人从 A 点出发沿东北方向走了 １００m到达B 点,然后改变方向,沿南 偏东１５°方向又走了１００m到达C 点, 则 此 人 从 C 点 回 到 A 点 的 位 移 为　　　　　　　． １３．已知在四边形ABCD 中,AB → ∥CD → ,求 AD → 与BC → 分别满足什么条件时,四边形 ABCD 满足下列情况． (１)四边形ABCD 是等腰梯形; (２)四边形ABCD 是平行四边形． １４．如图,半圆的直径 AB ＝６,C 是半圆上的一 点,D,E 分 别 是 AB, BC上的点,且AD＝１, BE＝４,DE＝３． (１)求证:AC → ∥DE →; (２)求|AC → |; (３)求 向 量DE → 与 向 量AB → 夹 角 的 余 弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 第二章　平面向量及其应用 描点、连线,作出函数f(t),０≤t≤６的简图,如图所示． (３)f １３( ) ＞f ３１ ４( ) ＞f ３１ ５( )． 第二章　平面向量及其应用 §１．从位移、速度、力到向量 １．D　２．D　３．ABC　４．D　５．ACD ６．ABC　[对于 A,向量平行时,表示向量的有向线段所在 直线可以重合或平行,故 A正确．对于 B,∵|a|＝|b|≠ ０,∴a,b都是非零向量,∵a∥b,∴a与b 方向相同或相 反,∴a＝b或a＝－b．故B正确．对于 C,向量AB → 与向量 BA → 方向相反,但长度相等．故 C正确．对于 D,单位向量 除了长度为１,还有方向,而向量相等需要长度相等且方 向相同．故 D错误．故选 ABC．] ７．②③ ８．解析:连 接 AC(图 略),由|OC→|＝|OB→|,得 ∠ABC＝ ∠OCB＝３０°,又∠ACB＝９０°,则|AC→|＝１２|AB →|＝１２× ２＝１． 答案:１ ９．解析:由题易知AC⊥BD,且∠ABD＝３０°, 所以向量AB→与BD→的夹角为１５０°． 答案:１５０° １０．解:(１)与AO → 相等的向量为:OC →,BF→,ED→． (２)与AO → 共线的向量为:OA →,OC→,CO→,AC→,CA→,ED→,DE→, BF →,FB→． (３)向量AO → 与CO → 不相等,因为AO → 与CO → 的方向相反,所 以它们不相等． １１．解:(１)如图所示: (２)连接 DA,由于CD → 方向是正 东,模长为２５０m,AB → 方向是正 西,模 长 为 ２５０ m,所 以 CD􀱀 AB,因此四边形ABCD 为平行 四边形,所 以|DA → |＝|BC → |＝ ４５０m,即DA → 的模为４５０m． １２．解析:根据题意画出示意图(图略)．由题意可知,|AB → | ＝１００,|BC → |＝１００,∠ABC＝４５°＋１５°＝６０°,∴△ABC 为正三角形,∴|CA → |＝１００,即此人从C 点回到A 点所 走的路程为１００m．又易知此人行走的方向为西偏北 １５°,所以此人从C点走回A 点的位移为沿西偏北１５°, 长度为１００m． 答案:沿西偏北１５°,长度为１００m １３．解:(１)|AD → |＝|BC → |,且AD → 与BC → 不平行． 因为AB → ∥CD →,所以四边形 ABCD 为梯形或平行四边 形．若四边形 ABCD 为等腰梯形,则|AD → |＝|BC → |,同 时两向量不平行． (２)AD → ＝BC →(或AD→∥BC→)． 若AD → ＝BC →,即四边形的一组对边平行且相等,此时四 边形ABCD 为平行四边形． １４．解:(１)证明:因为AB＝６,AD＝１,所以BD＝５,又 DE ＝３,BE＝４, 所以DE２＋BE２＝BD２,所 以 △DBE 是 直 角 三 角 形, ∠DEB＝９０°． 因为AB 为直径,所以∠ACB＝９０°． 所以AC∥DE,故AC→∥DE→． (２)因为AC∥DE,所以△ABC∽△DBE, 所以AC DE＝ AB BD ,即AC ３ ＝ ６ ５ , 解得AC＝１８５ ,即|AC→|＝１８５． (３)向量DE→与向量AB→的夹角即向量DE→与向量DB→的夹 角∠EDB,而cos∠EDB＝DEDB＝ ３ ５ ,所以向量DE→与向 量AB→夹角的余弦值为３５． §２．从位移的合成到向量的加减法 ２．１　向量的加法 １．D　２．B　３．C　４．C　５．AC ６．CD　[①满足向量加法的交换律与结合律,①正确．AB → ＋BA → ＝０,②不正确．DC → ＋AB → ＋BD → ＝DC → ＋(AB → ＋BD →) ＝DC → ＋AD → ＝AD → ＋DC → ＝AC →,③正确．] ７．０　８．２ ２ ９．解析:易知|AB→＋BC→|＝|AC→|＝１,以AB,AC 为邻边作 平行四边形ABDC,则|AB→＋AC→|＝|AD→|＝２|AB→|× sin６０°＝２×１× ３２＝ ３． 答案:１　 ３ １０．解:(１)DG → ＋EA → ＋CB → ＝GC → ＋BE → ＋CB → ＝GC → ＋CB → ＋BE → ＝GB → ＋BE → ＝GE →; (２)EG → ＋CG → ＋DA → ＋EB → ＝EG → ＋GD → ＋DA → ＋AE → ＝ED → ＋ DA → ＋AE → ＝EA → ＋AE → ＝０． １１．解:AB →,BC→分别表示飞机从A 地按北偏东３５°的方向飞 行８００km,从B地按南偏东５５°的方向飞行８００km,则飞 机飞行的路程指的是|AB → |＋|BC → |; 两次飞行的位移的和指的是AB → ＋BC → ＝AC → ． 依题意,有|AB → |＋|BC → |＝８００＋８００＝１６００(km), 又α＝３５°,β＝５５°,∠ABC＝３５°＋５５°＝９０°, 所以|AC → |＝ |AB → |２＋|BC → |２ ８００２＋８００２＝８００ ２(km)． 其中∠BAC＝４５°,所以方向为北偏东３５°＋４５°＝８０°． 从而飞机飞行的路程是１６００km,两次飞行的位移和 的大小为８００km,方向为北偏东８０°． １２．解:(１)在平面内任取一点O,作OA → ＝ a,AB → ＝b,BC → ＝c,CD → ＝d,则OD → ＝a ＋b＋c＋d． (２)在平面内任取一点O,作OA → ＝a, AB → ＝e,则a＋e＝OA → ＋AB → ＝OB →,因为e为单位向量, 所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示), 由图可知当点B 在点B１ 时,O,A,B１ 三点共线,|OB → | 即|a＋e|最大,最大值是３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３１􀅰 必修第二册